Identificación Paramétrica

Transcripción

1 Idenificación Paramérica

2 Conenidos Proceso de Idenificación Algunas ociones eóricas Modelos Paraméricos Inerfa Gráfica oolbox de Idenificación Oros méodos Méodos Recursivos Los comandos de la oolbox 2

3 Definición Se denomina idenificación de sisema a la obención de información relevane a parir de un conjuno de daos observados. Resulado: Modelo Cómo? Ajusando parámeros para un modelo dado. Cómo saber si un modelo es bueno? Comprobandolo con daos no uiliados para la obención del modelo 3

4 Idenificación de Sisemas ano el modelado como la idenificación son necesarios para la inerpreación y observación de las medidas obenidas desde el sisema de esudio. Los modelos consiuyen el enlace necesario enre experimenos y la oma de decisiones. 4

5 Modelos Cogniivos: modelos concepuales desde el raonamieno humano y su percepción. ormaivos: especifican funciones a propósio de un sisema. Ingeniería y regulaciones gubernamenales. Descripivos: orienados al comporamieno del sisema. Funcionales: orienados a la acción y conrol del sisema. cuaniaivos cualiaivos 5

6 Modelos cuaniaivos Es naural comenando con un conjuno de daos de enrada - salida de un sisema en funcionamieno, mienras los experimenos se realian mediane manipulación de las enradas. Propósios: Predicción del comporamieno del sisema en el fuuro Aprendiaje de nuevas reglas que resuman las regularidades del sisema Compresión de daos Compresión de daos: produce un modelo que represena los daos de forma compaca y con baja complejidad 6

7 Sisemas y complejidad de los modelos La complejidad depende del propósio del modelado y de la idenificación: Modelos cualiaivos y caegóricos: derivables desde principios físicos. Modelos cuaniaivos esáicos: modelos basados en modelos de esados esables descrios mediane ecuaciones algebraicas. Modelos a poseriori: se derivan de daos experimenales y uilian parameriaciones absracas o dependienes de experimenos como son: caja negra, basados en regresiones lineales o modelos de series emporales. ambién expresan relaciones como la covariana enre las variables formuladas y nociones esadísicas. 7

8 Proceso de la idenificación Fases Considerar el conexo de la aplicación Propósio y formulación del problema Planificación experimenal Conjuno de modelos Idenificación y méodos de idenificación Validación del modelo 8

9 Modelos no paraméricos vs. modelos paraméricos Modelos no paraméricos: consisen en un regisro de respuesas a un impulso o a un flanco en el dominio del iempo, o una medida de la función de ransferencia en el dominio de la frecuencia. Modelos paraméricos: concenran oda la información en la esrucura del modelo con un número limiado de parámeros. Áreas de dificulad: Definición y esrucura del modelo Desarrollo del algorimo para esimar los parámeros del modelo 9

10 Herramienas Vamos a uiliar el Malab 6.0 con la oolbox de Idenificación Información básica: Los modelos describen las relaciones enre señales medidas de enrada y de salida. u enradas e Sisema perurbaciones y salidas En el conexo de la idenificación se consideran medidas discreas ano de las enradas como de las salidas 0

11 Un modelo dinámico básico Una relación básica es una ecuación en diferencias lineal y.5y 0.7y 2 0.9u 2 0.5u 3 donde la salida acual se puede obener como una combinación lineal de enradas y salidas aneriores. Donde: los coeficienes: -.5, 0.7, Los reardos de iempo es de 2 unidades de iempo anes que un cambio en u afece a y en muchos modelos los reardos de las enradas y salidas son referidos como orden del modelo.

12 Varianes en la descripción de los modelos ARX del ejemplo anerior Oros: Salida del error OE ARMAX FIR Box-Jenins BJ Modelos del espacio de esado lineales Modelos lineales generales Modelos de función de ransferencia... 2

13 Cómo inerprear la fuene de ruido? Hay res aspecos a ener en cuena enender el ruido blanco: es compleamene impredecible cómo inerprear la fuene de ruido? muchas veces la fuene de ruido iene significado físico. Uiliar la fuene de ruido cuando se rabaja con el modelo: si el modelo es para simulación si el modelo es para predicción 3

14 érminos que caracerian propiedades del modelo Respuesa a un impulso: es la salida obenida cuando la enrada es un impulso. y g τ u τ dτ u δ 0 Respuesa a un escalón: es la salida resulado de una enrada escalón. AMBOS: son llamados El ransiorio de la respuesa. Respuesa en frecuencia: Como responde el sisema frene a una enrada senoidal. Dos gráficos uno del cambio de ampliud y oro del cambio de fase como función de la frecuencia. Diagrama de Bode. Ceros y Polos 4

15 Algunas nociones eóricas... 5

16 ransformaciones ransformada de Laplace X s L{ x } x x L 2πi σ s { X s } X s e ds don con sσiw se llama frecuencia compleja. La ransformada de Fourier iw X iw F{ x } x e d x F 2π e s σ d σ iw { X iw } X iw e dw σ 6

17 Análisis de la respuesa en Frecuencia Si el sisema a idenificar es un sisema dinámico invariane en el iempo y lineal y g τ u τ dτ 0 L {}. Y s G s U s 7

18 Daos discreiados Una variable medida sólo esa disponible como observaciones periódicas de x muesreado como un inervalo de iempo h. { x } x x h para K,,0,,2, K Se requiere que la duración del periodo de muesreo sea muy cora así la función de muesreo debe ser represenada como una secuencia de impulsos muy pequeños x x h δ h x Π h Π h h δ h 8

19 9 Efecos producidos al Efecos producidos al discreiar discreiar Aplicando la ransformada de Fourier { } { } { } { } { } { } Π Π Π Π h h h h h w i X x iw X w h h w x x iw X π π π δ π 2 * 2 2 * 2 F F F F F F que al donde PeriodoFrecuencia de muesreo

20 eorema del muesreo de Shannon La variable coninua en el iempo x puede ser reconsruida desde los muesreos {x } sí y sólo si la frecuencia de muesreo es al menos dos veces la frecuencia más ala para la que Xiw no es cero. 20

21 X La ransformada en Z x { x} < x X d 2πi Región de convergencia Z x con la ransformación inversa dada por Plano de excepo para Una aplicación direca de la variable discreiada verifica que el especro de x D esa relacionado con X X iw F{ x Π } h h 0 y iwh xe hx e iwh 2

22 22 iempo de medida finio iempo de medida finio Sea El especro de cualquier señal esa disorsionado para una medida en un inervalo de iempo finio { } { } 2 / / < > < e w w sin iw * * * * Z F F F discreo en iempo { } { } { } *. x x h h F F F

23 ransformada de Fourier Discrea F h, l 0 iwlh iwh { x h } h x e hx e X l óese que la ransformada de Fourier {X } - solo esa definida en los punos de frecuencia discrea w 2π con 0,, K, h la relación de la DF con la ransformada de la función coninua en el iempo X F de donde hz X h, { x h } F h, { x Πh* h } { x h * } iw h hz{ x h }* Z{ * } iw h e { x h } X iw h* iw h F h, e e iw h e 23

24 24 La Función de ransferencia La Función de ransferencia Represenación en el espacio de esados: La dependencia de la salida para un sisema lineal viene caraceriada por la ecuación de convolución 0 v d u g Y τ τ τ s V s U s G s Y K,K,0,, 0 v u h v h u y l l l l l l con { } h h h Z H 0 U Y H

25 Sisema en el espacio de esados x y con Φx Cx x R Γu Du n, u R p Con la función de ransferencia de un impulso, y 0,, K R m H C I Φ Γ D y la variable de salida Y C Φ x0 0 H U 25

26 26 Poencia y Energía de la Señal Poencia y Energía de la Señal Las señales x e y se dicen no correlacionadas si no correlacionadas si: x * x p xx y * x p xy d x x p xx 0 0 * d y x p xy 0 0 * d x x e xx * d y x e xy * τ τ * * τ τ τ yx e xy d x y e 0 τ e xy

27 Funciones especro y covariana La densidad especral de energía o especro de energía E xx iw E xy iw X X iw X * iw iw Y * iw La energía oal del sisema es según las relaciones de Parseval e xy * x y d * X iw Y iw dw 2π La energía es independiene de la elección de la represenación en el iempo o frecuencia 27

28 E xy Funciones especro y covariana De acuerdo con el eorema de Plancherel el produco de dos ransformadas de Fourier es igual a la ransformada de Fourier de la convolución de dos señales en el dominio del iempo. eorema de Wiener-Khinchine. Covariana cruada Especro cruado { } { } { } * * x F y F x y τ d F{ e τ } * iw X iw Y iw F C S Exisen relaciones similares enre el auoespecro y la auocovariana xy { } * x y τ xy τ lim d { } iw F τ xy C xy 28

29 Correlación y coherencia y x v g * u v SR Coeficiene de correlación ρ τ C e e xx xx vv C τ xy e e yy vv τ C yy τ Especro de coherencia cuadráica 2 γxy τ iw S Es un es de linealidad ineresane S xx S xy iw yy 2 iw 29

30 Análisis Especral Esimación del especro de poencia Perdidas especrales y enmarcado Esimación de funciones de ransferencia Alisado del especro 30

31 Esimación del especro de poencia El periodograma: o especro de la muesra Sˆ xx iw 2 X iw para w h 2π h El correlograma: Las funciones de covariana esimadas Cˆ Cˆ xx xy h h - l - l x x l l x y * l * l,, 0,, K, 3

32 Esimación del especro de poencia El cálculo del especro de poencia -energía- Sˆ xx iw h m 0 Cˆ xx mh e iw mh para w 2π h con 0,,..., Sˆ xy iw h m 0 Cˆ xy mh e iw Periodograma mh Dominio en el iempo Especro de Poencia correlograma función de correlación 32

33 MODELOS PARAMÉRICOS Regresión lineal Idenificación de modelos de series emporales Modelos ARMAX y ecuaciones en diferencias Méodos Recursivos 33

34 Modelos paraméricos Definición:son aquellos modelos que permien esablecer una relación conocida enre las enradas y salidas salvo algunas consanes o coeficienes: parámeros θ Caraceriación y f ui,... u j; θ v Modelos lineales con los parámeros y θ 2 0 θu θ2u Modelos no lineales con los parámeros θ2 y θ θ e 0 u 34

35 Regresión lineal Modelo y φ θ e Las observaciones {y } se asumen recogidas con un periodo de muesreo concreo, conjunamene con los correspondienes vecores de regresión {φ } Donde los errores añadidos se asumen que ienen la forma, disribución normal 2 E{ ei } 0, E{ ei, e j} σeδij i, j Suponiendo que hay p parámeros θ... θ p para observaciones, el problema es enconrar un esimador del vecor de parámeros θ para las variables observadas 35

36 36 Modelo para la regresión lineal Modelo para la regresión lineal y y y Y M 2 Φ φ φ φ M 2 e e e e M 2 θ ε ε ε θ ε Y Φ M 2 e Y Φ θ El vecor de errores o de errores de predicción

37 Esimación por mínimos cuadrados. Formulación Esa esimación requiere la minimiación de la función de error según diferenes crierios φ min y θ i i θ 2 φ min y θ i i θ 37

38 Esimación por mínimos cuadrados El crierio de mínimos cuadrados consise en minimiar la suma de los cuadrados del error enre el modelo de salida y las observaciones V θ ε ε ε 2 2 con el mínimo K 2 minv θ V θˆ Y Φ θ Y Φ θ obeniendo para el esimado ópimo ˆθ 2 Φ Φ Φ Y a parir del gradiene del crierio de opimiación θ 38

39 Ejemplo Ejemplo Daos U e Y Modelo y θ 2 0 θu θ2u Ejemplo 2 Ejemp54 y bu e ay donde u y e son daos arificiales generados como variables a aleaorias con varianas y con una perurbación media de cero. 39

40 Caracerísicas Los grandes errores son duramene penaliados Puede ser obenido direcamene a parir del álgebra maricial. Con las asunciones omadas es un esimado imparcial de θ θˆ La mari de covarianas es: El esimado imparcial de σ deθ ˆ es σ e 2 2 esσe 2 La sensibilidad del esimado por mínimos cuadrados a las perurbaciones diferenes del ruido blanco es una cuesión basane seria 2 e Φ V p Φ θˆ 40

41 Esimadores imparciales lineales ópimos Las condiciones impuesas son resricivas y valiosas para idenificar la clase de odos los esimadores de la forma θˆ Y donde es una mari de las dimensiones adecuadas. El correspondiene vecor de error de parámeros θ ~ Φ I e θˆ θ Y θ θ p p 4

42 Esimadores imparciales... Se deben añadir las siguienes condiciones para que el esimador sea imparcial { } { θ Φθ E e} θ E ˆ La deerminación del mejor méodo posible requiere la minimiación de la covariana Cov { } θˆ θ θˆ θ E Y θˆ Y θˆ Φ I y E { } R { e} 0 para R E { e e} 42

43 Esimadores Imparciales... Aplicando el méodo del Lagrangiano con esa resricción nos da las siguienes ecuaciones Que resolviendolo se obiene el esimador imparcial ópimo θ ˆ Y Φ R Φ Φ R Que es conocido como esimador de Marov con la mari de covarianas Φ o BLUE L 0 2Rθ ~~ θ ΦΛ L 0 Φ I Λ Y Cov θˆ Φ R 43

44 Conclusiones Para la aplicación del méodo de mínimos cuadrados se deben cumplir dos prerequisios imporanes: Φ Φ debe ser inverible Por ano el rango va a ser deerminane. La selección de los daos de enrada con un exciación adecuada debe formar pare del procedimieno experimenal. El ruido no debe ser correlaivo con los regresores Φ 44

45 45 Idenificación Sisema Idenificación Sisema Mulivariable Mulivariable Con Un problema caracerísico: es que en general no hay una única facoriación AB correspondiene a una función de ransferencia. Por ano dada una función de ransferencia mulivariable se puede definir una clase de facoriaciones. 0 de : A U B Y A S p m n n n m m n n n m m R B B B B B R A A A A I A L L L L,, H B A B Q A Q

46 Sisemas Mulivariables Cualquier miembro de esa clase puede ser uiliado para describir acoplamienos cruados, reardos y oras propiedades de las funciones. Por raones pracicas es deseable uiliar un número finio de parámeros bien definidos, y es a menudo deseable escoger un conjuno de parámeros con la menor dos norma posible. 46

47 47 Sisemas Sisemas Mulivariables Mulivariables LS LS Para el propósio de idenificación por mínimos cuadrados sugiere el modelo de regresión lineal Solución mínimos cuadrados m p m n n p m n n m n n n n R B B A A R u u y y R y B u B u y A A y y θ θ φ φ L L L L L L, Φ Φ y y y φ φ φ θ M M 2 2, y con Y Y M Y Φ Φ Φ θˆ

48 Ejemplo mulivariable Sea el sisema y y u se puede consruir el sisema con n y n2. Con el Malab ninguno de los dos se puede esimar pues da error al obener la inversa. Ejemplo 59 48

49 Modelos Series emporales La idenificación de modelos de series emporales ofrece varias aproximaciones esadísicas para fijar el modelo además del crierio uiliado en mínimos cuadrados. Hay al menos res caegorías imporanes de los modelos de series emporales: Ecuaciones en diferencias y modelo ARMAX Modelos de funciones de ransferencia Modelos del espacio de esados 49

50 50 Modelos ARMAX Modelos ARMAX Auoregresive Moving Average wih Exogenous Inpu: consiuye una clase especial de las ecuaciones en diferencias de la forma donde d es un reardo y A, B, C son polinomios con los parámeros desconocidos d w C u B y A C C B B A A n n n n n n c c C b b b B a a A L L L 0 n n n C B A c c b b b a a 0 L L L

51 Algunos casos Reformulación Regresión lineal Auoregresivo AR d A y B u A y w w Moving Average MA y C w Modelo ARMA A y C w Modelo ARX d A y B u 5

52 Modelos ARX d A y B u Esa compleamene definido por res eneros: na: número de ceros nb: número de polos n: el reardo d Se puede inroducir el orden o esimarlo uiliando la noación ipo na:0 Para modelos de múliples enradas se pueden inroducir como vecores Dos méodos: Mínimos cuadrados Variable Insrumenal 52

53 Ejemplos... e Inerfa oolbox Idenificación

54 54 M. de Función de ransferencia M. de Función de ransferencia Un modelo de función de ransferencia que permie el modelado ano deerminísico como esocásico es En el conexo de la idenificación hay dos modos de función de ransferencia muy populares { } v ij j i v u v v E v H u H y δ * con Box - Jenins modelo de la salida error de modelo del w D C u F B y v u F B y

55 M. de Función de ransferencia Ora opción es raarlos como ecuaciones en diferencias A B F C D y u donde A, B, C, D, F son polinomios en - de orden n A, n B, n C, n D, n F, El modelo del error de la salida es un caso especial con ABD w 55

56 ARMAX, Error de la salida y Box-Jenins Hay varias modificaciones sobre el modelo básico ARX donde se inroducen diferenes modelos de perurbaciones: ARMAX, OE, BJ Enrando la Esrucura Méodo de Esimación Error de predicción/máxima probabilidad: minimiando el érmino e SOLO DISPOIBLES SISEMA SISO 56

57 Idenificación de Máxima Probabilidad seleccionamos el esimador que proporciona las observaciones más probables de Y. max θ p Y / θ que obiene el esimado que maximia θ p Y / θ θˆ 57

58 Filro de Kalman Se considera un problema de esimación y filrado. con E{v }0, E{e }0, E{vv }R, E{ee }R 2, y P0 E{x 0 x 0 }R 0, x y Φx Cx Γu Du El problema de la esimación puede ser resuelo minimiando J v e { } 2 xˆ E xˆ xˆ para, 2, 3,..., 58

59 Filro de Kalman Resulado x K P Φx ΦP C ΦP Φ R CP C Γu 2 R K ΦP C y Cx R CP C CP Φ 2 que es la ecuación recursiva donde los esimados se acualian an prono como una enrad-salida esa disponible 59

60 Méodo de la variable insrumenal Sea el méodo de regresión lineal Y Φθ v la correlación enre el regresor y el error de predicción conduce al vecor de parámeros esimados obenido mediane las soluciones de mínimos cuadrados. Son méodos que reemplaan el regresor Φ por la variable Z y el esimado oma la forma θ Z Φ Z Y ˆZ 60

61 Méodo de la variable insrumenal Condiciones - Las variables insrumenales deben ser no correlacionadas con las perurbaciones E { Z v} 0 2- La mari Z F debe ser inverible. Además debe ser grande para el esimador obenido sea eficiene 6

62 Examinando los Modelos Respuesa en frecuencia y Especro de perurbaciones Respuesa del ransiorio Polos y ceros Comparando medidas y salida del modelo Análisis residual Visualiador LI: ese visualiador coniene un conjuno de modelos pero que requieren el mismo número de enradas que salidas. 62

63 Méodos Recursivos