Señales y Sistemas: Tema II. Sistemas en el dominio del tiempo

Transcripción

1 Señales y Sisemas: Tema II Sisemas en el dominio del iempo

2 Sisemas en el dominio del iempo 1. Definición de sisemas y de sus propiedades. 2. Sisemas lineales e invarianes en el iempo (LTI). 3. Represenación de señales en érminos de impulsos. 4. Sisemas de iempo discreo lineales e invarianes en el iempo. 5. Sisemas de iempo coninuo lineales e invarianes en el iempo. 6. Propiedades de los sisemas lineales e invarianes en el iempo.

3 1 Definición de sisemas y sus propiedades Se eniende por sisema cualquier ransformación de una señal (que llamamos de enrada) en ora señal (que llamamos de salida) x() Sisema de iempo coninuo y() x Sisema de iempo discreo Relación enrada-salida: expresión maemáica que expresa la salida como función de la enrada del sisema: y()=f{ x() }; y=f{ x } Ejemplos: Aplicación de un volaje a un alavoz producción de un sonido Cambio de presión en un micrófono producción de una señal elécrica Luz que incide sobre un foodiodo corriene foogenerada Presión sobre el acelerador aumeno de la velocidad de un coche Volaje aplicado a un amplificador volaje amplificado y

4 Ejemplos de sisemas (I) Circuio RLC di() Ri () + L + y() = x() 2 d d y() dy() LC + RC + y() = x() dy() d d i () = C d

5 Ejemplos de sisemas (II) Sisema mecánico x()= fuerza aplicada K= ce. del muelle D= ce. de amoriguación y()= desplazamieno 2 2 dy () dy () dy () dy () M = x () Ky() D M + D + Ky() = x() d d d d Observación: se pueden modelar maemáicamene sisemas físicos muy diferenes de forma muy similar

6 Ejemplos de sisemas (III) Deecor de bordes rudimenario y=x[n+1] 2 x+x[n 1]={ x[n+1] x } { x x[n 1] } segunda diferencia Ese sisema deeca cambios de pendiene en la señal x=n y=0 x=n u y x 4 y 2 1 n n

7 Inerconexión de sisemas Inerconexión en serie o cascada: x 1 () y 1 ()=x 2 () y 2 () Sisema 1 Sisema 2 x 1 y 1 =x 2 y 2 Inerconexión en paralelo: x() x Sisema 1 Sisema 2 y 1 () y 1 y 2 () y 2 y()=y 1 ()+y 2 () y=y 1 +y 2 Inerconexión de realimenación: x() x x() z() x z z() z Sisema 1 Sisema 2 y() y

8 Propiedades de sisemas Derás de las propiedades de los sisemas hay implicaciones físicas y prácicas muy imporanes Las propiedades nos proporcionan una perspeciva y una esrucura que podemos exploar para analizar y comprender los problemas más a fondo Nos ineresa caracerizar las siguienes propiedades de los sisemas: Linealidad Invarianza en el iempo Causalidad Memoria Esabilidad Inveribilidad

9 Linealidad (I) Linealidad (L): Se dice que un sisema es lineal se cumple que dadas dos señales de enrada x 1 () y x 2 () cuyas correspondienes salidas son y 1 () e y 2 (), enonces para una enrada x()= ax 1 ()+bx 2 (), la salida es y()= ay 1 ()+by 2 (), cualesquiera que sean a, b, x 1 () y x 2 () La definición de linealidad para un sisema de iempo discreo es igual cambiando por n x 1 () x 1 x 2 () x 2 Sisema 1 Sisema 1 y 1 () y 1 y 2 () y 2 x()= ax 1 ()+bx 2 () x= ax 1 +bx 2 Sisema 1 y()= ay 1 ()+by 2 () y= ay 1 +by 2

10 Linealidad (II) Equivale a adiividad y proporcionalidad simuláneamene: Adiividad: x 1 () x 1 x 2 () x 2 Sisema 1 Sisema 1 y 1 () y 1 y 2 () y 2 x()=x 1 ()+x 2 () x=x 1 +x 2 Sisema 1 y()=y 1 ()+y 2 () y=y 1 +y 2 Proporcionalidad: x 1 () x 1 Sisema 1 y 1 () y 1 x()=ax 1 () x=ax 1 Sisema 1 y()=ay 1 () y=ay 1 Si x()=0 (x=0) y el sisema es lineal, la salida es nula: y()=0 (y=0) Sisema incremenalmene lineal: se cumple la linealidad para la diferencia (o incremenos) de enradas

11 Linealidad o no linealidad Muchos sisemas son no lineales. Por ejemplo: muchos elemenos de circuios (ej., diodos), dinámica de aviones, modelos economéricos, ec. No obsane, nos cenramos exclusivamene en los sisemas lineales. Por qué? Los sisemas lineales describen represenaciones precisas del comporamieno de muchos sisemas (ej., resisencias lineales, condensadores, oros ejemplos mencionados aneriormene, ec.) Se pueden linealizar modelos con el fin de examinar perurbaciones de "pequeña señal" alrededor de "punos de funcionamieno" Los sisemas lineales son manejables de forma analíica, faciliando bases para herramienas imporanes y una considerable perspeciva.

12 Ejemplo Diagrama V-I de una resisencia Diagrama V-I de un diodo Lineal No Lineal

13 Invarianza en el iempo Invarianza en el iempo (TI): Se dice que un sisema es invariane en el iempo se cumple que dada una señal de enrada x 0 () cuya salida correspondiene sea y 0 (), enonces para una enrada x()= x 0 ( 0 ), la salida es y()= y 0 ( 0 ) cualesquiera que sean x 0 () y 0 x 0 () x 0 Sisema 1 y 0 () y 0 x()=x 0 ( 0 ) x=x 0 [n n 0 ] Sisema 1 y()=y 0 ( 0 ) y=y 0 [n n 0 ] x 0 () x 0 ( 0 ) x 0 x 0 [n n 0 ] 0 n n 0 n y 0 () y 0 ( 0 ) y 0 y 0 [n n 0 ] 0 n n 0 n

14 Causalidad Causalidad: Se dice que un sisema es causal su respuesa en cada insane depende exclusivamene de los valores de la enrada en el insane acual o en insanes pasados. Equivale a decir que la respuesa del sisema comienza en el insane en que comienza la enrada o en insanes poseriores cualquiera que sea la señal de enrada. Es decir, el sisema cumple el principio de causalidad o la relación causa-efeco: el efeco siempre es simuláneo o poserior a la causa. Como consecuencia, odos los sisemas que funcionan en iempo real son causales Ej. Causal: Pisar el pedal del freno el coche frena Aplicación de una ensión a un circuio paso de corriene Pulsar el boón de encendido encendido de un equipo Ej: No causal: Grabar una secuencia reproducción en senido inverso Regisrar emperauras presenar emperaura media del día

15 Memoria Memoria: Se dice que un sisema no iene memoria la salida en cada insane depende exclusivamene de los valores de la enrada en el insane acual (no depende del fuuro ni del pasado). Un sisema sin memoria es causal. Un sisema sin memoria no almacena energía (daos). Un sisema no causal iene memoria Ej. Sin memoria: Aplicar una ensión a una resisencia paso de corriene Amplificar idealmene una señal: y()=a x() Muliplicar por sí misma una señal: y()=x 2 () Ej. Con memoria: Corriene por una bobina generación de una ensión Paso de corriene por condensador generación de ensión Derivar o inegrar una señal Rerasar (o adelanar) una señal: y=x[n+n 0 ]

16 Esabilidad Esabilidad: Se dice que un sisema es esable para cualquier enrada acoada, la salida es acoada (crierio bound inpu, bound oupu: BIBO). x() x Sisema y() y De forma maemáica se expresa como: Un sisema es esable (siendo A y B finios) x().q. x() < A y() < B, ( x.q. x < A y < B) Ej. Esable: Amplificar o aenuar una señal y=a x, Rerasar o adelanar una señal: y()=x( 0 ) Obener la media de una señal en un inervalo finio... Ej. Inesable: Inegrar o derivar una señal Muliplicar una señal por el iempo: y=n x

17 Inveribilidad Inveribilidad: Se dice que un sisema es inverible conocida la salida del sisema se puede deerminar unívocamene la enrada correspondiene Ej. Inverible: Amplificar o aenuar una señal y=a x Rerasar o adelanar una señal: y()=x(+ 0 ) Se puede despejar unívocamene x() (o x) de la relación enrada-salida Ej. No inverible: Derivar una señal: y()=dx()/d Elevar a una poencia enera una señal: y()=x 2 ()

18 Ejemplo Un recificador de onda complea es un sisema no inverible No Inverible

19 2. Sisemas Lineales e invarianes en el iempo Un filro paso bajo RC es un sisema elécrico LTI Se excia con una ensión, v in (), y responde con v ou (), V in () S LTI V ou () v in () = Au( ) vou A 1 e u RC () = () Si duplicamos la exciación, se duplica la salida Si aplicamos la exciación en oro insane de iempo la salida no cambia

20 2. Sisemas Lineales e invarianes en el iempo Sisemas que cumplen la propiedad de linealidad: superposición y proporcionalidad Sisemas invarianes en el iempo: ane una misma enrada aplicada en disinos momenos responde con la misma salida x() x S LTI y() y

21 3. Represenación de señales en érminos de impulsos El impulso (ano en iempo coninuo como discreo) permie consruir, mediane combinación lineal, una clase muy amplia de señales Esa afirmación es válida para señales de iempo coninuo y para señales de iempo discreo i. Represenación de señales discreas en érminos de impulsos discreos ii. Represenación de señales coninuas en érminos de impulsos coninuos

22 Represenación de señales en érminos de impulsos. Señales de iempo discreo (TD) 1, si n = 0 x[0], si n = 0 δ[ n] = ; x[ n] δ[ n] = x[0] δ[ n] = 0, si n 0 0, si n 0 xn [ 0], si n= n0 xn [ ] δ[ n n0] = xn [ 0] δ[ n n0] = 0, si n n0 Supongamos una señal cualquiera x, por ej. x=n (u-u[n-4]) x = + + n x[1] δ[n 1] x[2] δ[n 2] 1 n 2 n x[3] δ[n 3] 3 n Se comprueba que: x=x[1]δ[n 1]+x[2]δ[n 2]+x[3]δ[n 3]

23 Represenación de señales en érminos de impulsos. Señales de TD Si la duración de la señal x fuera mayor, sólo habría que incluir más érminos en la suma de modo que: [] n = = x x[ k] δ[ n k] k A esa suma se le llama suma de convolución y es un resulado válido para cualquier señal x: una señal de TD se puede represenar como una combinación lineal de impulsos desplazados cuyos coeficienes son los propios valores de la señal en cada insane al que se ha desplazado cada impulso. Se represena por: u x [ n] = x[ n] δ[ n] Por ejemplo, para la función escalón se iene: [] n = u[ k] δ[ n k] = k = k = 0 δ[ n k]

24 Represenación de señales en érminos de impulsos. Señales de iempo coninuo (TC) Volvemos a emplear la función auxiliar δ Δ (): 0, si < 0 δ Δ () = 1/ Δ, si 0< <Δ 0, si >Δ x() δ ( ) = limδ ( ) Δ 0 Dada una señal x() cualquiera se puede obener una aproximación mediane versiones desplazadas y escaladas en ampliud de δ Δ (): x Δ () x si Δ ( ) x( ) = = k = lim x Δ 0 Δ kδ τ y x( kδ) δ ( ( ) = Δ lim Δ Δ dτ kδ) Δ, Δ 0 k = x( kδ) δ ( Δ kδ) Δ 0 Δ 2Δ 4Δ 6Δ 8Δ x( ) = x( τ ) δ ( τ ) dτ = x( ) δ ( )

25 4. Sisemas TD lineales e invarianes Son sisemas de TD que cumplen las propiedades de: Linealidad Invarianza en el iempo Se represenan como: x S LTI y La relación enrada/salida viene dada por la suma de convolución Esán caracerizados por su respuesa al impulso

26 La suma de convolución (I) Consideramos un sisema LTI de TD y una señal de enrada arbiraria: x [] n = k = S LTI Podemos expresar la señal de enrada x como suma de convolución (o convolución discrea): y x x[ k] δ[ n k] Vemos que se raa de una combinación lineal de impulsos desplazados en el iempo Supongamos que conocemos la salida del sisema h k cuando la enrada es un impulso desplazado δ[n k] δ[n-k] S LTI h k

27 La suma de convolución (II) Si aprovechamos la propiedad de linealidad del sisema podemos escribir: [] n = k = y x[ k] h k [ n] Se raa de la misma combinación lineal (coeficienes x[k]) que represena a x, pero de las respuesas a los impulsos desplazados Por invarianza emporal del sisema la respuesa h k a un impulso desplazado δ[n k] corresponde al desplazamieno de la respuesa h 0 [n k] al impulso sin desplazar δ h [ k n ] = h [ - ] 0 n k y[ n] = x [ k ] h [ ] 0 n k k = Como sólo necesiamos conocer h 0, llamamos h= h 0 y la relación enrada salida que describe al sisema queda: y [] n x[ k] h[ n k] = x[ n] h[ n] = k =

28 La suma de convolución. Consecuencias Se puede obener la salida de un sisema LTI discreo conociendo h: y x [] n x[ k] h[ n k] = x[ n] h[ n] = k = La respuesa al impulso h de un sisema LTI de TD caraceriza compleamene al sisema: permie escribir la relación enrada-salida Para caracerizar un sisema de TD LTI basa con conocer h Un sisema NO LTI ambién endrá respuesa al impulso, pero en ese caso NO caraceriza al sisema (no apora información adicional): y S LTI, h y [ n] x[ n] h[ n]

29 Propiedades de la suma de convolución (I) a) Propiedad conmuaiva: x1[ n] x2[ n] = x2[ n] x1[ n] Aplicado a un sisema LTI x S1 LTI, h y 1 = x h h S2 LTI, x y 2 = h x= y 1

30 Propiedades de la suma de convolución (II) b) Propiedad asociaiva, inerconexión en cascada: x n] h [ n] h [ n] = x[ n] h [ n] h Aplicado a sisemas LTI: ( ) ( ) [ ] [ n x S1 v= x h 1 S2 y 1 =v h 2 LTI, h 1 LTI, h 2 y 1 =(x h 1 ) h 2 x S2 w= x h 2 S1 y 2 = w h 1 LTI, h 2 LTI, h 1 y 2 =(x h 2 ) h 1 =y 1 x Asociación en cascada S1 y S2 LTI, h=h 1 h 2 =h 2 h 1 y=x h 1 h 2 y=y 1 =y 2 Los res esquemas son equivalenes

31 Propiedades de la suma de convolución (III) c) Propiedad disribuiva sobre la suma, inerconexión en paralelo: x n] h [ n] + h [ n] = x[ n] h [ n] + x[ n] h [ ] ( ) ( ) ( ) [ n Aplicado a sisemas LTI: x S1 LTI, h 1 y 1 =x h 1 y=x h 1 +x h 2 S2 LTI, h 2 y 2 =x h 2 x Asociación //º S1 y S2 LTI h=h 1 +h 2 y =x (h 1 +h 2 ) y = y Los dos esquemas son equivalenes

32 5. Sisemas TC lineales e invarianes Son sisemas de TC que cumplen las propiedades de: Linealidad Invarianza en el iempo Se represenan como: x() S1 LTI y() La relación enrada/salida viene dada por la inegral de convolución Esán caracerizados por su respuesa al impulso

33 La inegral de convolución (I) Consideramos un sisema LTI de TC y una señal de enrada arbiraria: x() x () = x( τ ) δ( τ) dτ S1 LTI Podemos expresar la señal de enrada x() como inegral de convolución (o convolución coninua): Se raa de una combinación lineal de impulsos desplazados en el iempo Supongamos conocida la salida del sisema h() cuando la enrada es δ() y() Por invarianza en el iempo si desplazamos la enrada en τ, δ( τ), la salida se debe desplazar en la misma canidad: h( τ) δ() S1 LTI h() δ( τ) S1 LTI h( τ)

34 La inegral de convolución (II) Como el sisema es lineal y la enrada se puede expresar como una combinación lineal de impulsos desplazados: x( ) = x( τ ) δ ( τ ) dτ y( ) = S1 x( τ ) h( τ ) dτ = x( ) h( ) LTI y( ) = x( τ ) h( τ ) dτ = x( ) h( ) Un sisema LTI de TC queda compleamene caracerizado (se puede describir, se puede obener una relación enrada salida) si se conoce su respuesa al impulso h(): x() S1 LTI, h() y()= x() h()

35 Propiedades de la inegral de convolución (I) a) Propiedad conmuaiva: x ) x ( ) = x ( ) x ( ) 1( b) Propiedad asociaiva, inerconexión en cascada: [ h ( ) h ( ) ] = [ x( ) h ( ) ] h ( ) x( ) Aplicado a sisemas LTI: 1 x() S1 LTI, h 1 () v() S2 LTI, h 2 () x() S2 w() S1 LTI, h 2 () LTI, h 1 () y 1 ()=v() h 2 ()=[x() h 1 ()] h 2 () y 2 ()= w() h 1 ()=[x() h 2 ()] h 1 () x() Asociación en cascada de S1 y S2 LTI, h()=h 1 () h 2 ()=h 2 () h 1 () y()=x() h 1 () h 2 ()=y 1 ()=y 2 () Los res esquemas son equivalenes

36 Propiedades de la inegral de convolución (II) c) Propiedad disribuiva sobre la suma, inerconexión en paralelo: [ h ( ) + h ( ) ] = [ x( ) h ( ) ] + [ x( ) h ( )] x( ) Aplicado a sisemas LTI: 1 x() S1 LTI h 1 () y 1 ()=x() h 1 () y()=x() h 1 ()+x() h 2 () S2 LTI h 2 () y 2 ()=x() h 2 () x() Asociación //º de S1 y S2 LTI, h()=h 1 ()+h 2 () y ()=x() [h 1 ()+h 2 ()] y ()=y() Los dos esquemas son equivalenes

37 Inerpreación gráfica de la inegral de convolución (I) Se ha definido la inegral de convolución como: Supongamos: () () = ( ) ( ) x h x τ h τ dτ

38 Inerpreación gráfica de la inegral de convolución (II) La convolución es el valor del área bajo el produco de x() y h(-τ). Esa área depende del valor de. Supongamos como ejemplo que =5. Para =5 el área bajo el produco es 0 y(5)=0 Supongamos ahora =0 Enonces y(0)=2

39 Inerpreación gráfica de la inegral de convolución (III) El proceso compleo de convolución arroja la función y() La deerminación correca de los inervalos de inegración es crucial

40 Ejemplo de convolución x() Convolución de dos pulsos recangulares de igual duración y()=x()*h() Señal x() Señal h() x(τ) h(-τ) x(τ) h(-τ) x(τ) τ (199.0) (100.0) τ τ 200 h() y() Se duplica la longiud de y()

41 Ejemplo de convolución x() h() Convolución de un pulso recangular y una señal riangular de igual duración y()=x()*h() Señal x() Señal h() y() x(τ) h(-τ) x(τ) h(-τ) τ (199.0) (100.0) τ τ Se duplica la longiud de y()

42 Sisemas pariculares Algunos sisemas que esán caracerizados por una respuesa al impulso paricular: Sisema idenidad h()=δ(); h=δ Reardador h()=δ(- 0 ); h=δ[n-n 0 ]; 0 y n 0 posiivos Inegrador h()=u() Derivador discreo h=δ-δ[n-1] Media móvil: M 1 hn [ ] = [ n k] = M M 2 δ + M + 1 k= M M M n M 1 2 0, reso Acumulador: n 1, n 0 hn [ ] = un [ ] = δ[ k] = k = 0, n < 0

43 6. Propiedades de los sisemas LTI Por definición son lineales e invarianes Caracerizaremos las siguienes propiedades Memoria Inveribilidad Causalidad Esabilidad Para ello, sabemos que: x x() S LTI h S LTI h() y [] n x[ k ] h[ n k ] = x[ n] h[ n] = k = y( ) = x( τ ) h( τ ) dτ = x( ) h( )

44 Memoria Para que un sisema LTI sea sin memoria, la relación enrada salida no puede depender más que del insane acual. Como en el caso de los sisemas LTI, la relación enrada salida se puede expresar mediane una convolución, Dicha suma (inegral) de convolución no puede depender de insanes k 0 ( 0 ), con lo que la respuesa al impulso h (h()) deberá ser: Sisema LTI A=1 sin memoria hn [ ] = A δ[ n], para TD h () = A δ (), para TC

45 Causalidad En sisemas LTI, la relación E/S se puede expresar mediane convolución Dicha suma (inegral) de convolución no puede depender de insanes fuuros para que el sisema sea causal. Es decir, la suma (inegral) de convolución no puede depender de insanes k>0 (>0 ), con lo que la respuesa al impulso h (h()) deberá ser: a) TD: b) TC: [ ] Causal y( ) = x( τ) h( τ) dτ = x( τ) h( τ) dτ 0 y n = x[ k] h[ n k] = x[ k] h[ n k], para ser causal k= k= hn [ k] = 0 k> n hn [ ] = 0 n< 0 h ( τ) = 0 τ > h ( ) = 0 < 0 0 Sisema LTI causal hn [ ] = 0, n< 0, h () = 0, < 0, TD TC

46 Un sisema es esable x().q. x() <A y() <B, ( x.q. x <A y <B) con A y B finios a) TC: Supongamos que: x() < A. Tomando valores absoluos a la salida: < < = < = = B y d h d h A d A h d h x y d h x d h x h x y ) ( ) ( Si ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ ( ) Si el sisema es esable h d τ τ < Se puede comprobar el recíproco Esabilidad (I) x() y()=x() h() S LTI h()

47 b) TD: Supongamos que: x <A. Tomando valores absoluos a la salida: < < = < = = B n y k n h Si k n h A k n A h k n h k x n y k n h k x k n h k x n h n x n y ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ [ ] Si el sisema es esable n hn = < Se puede comprobar el recíproco Esabilidad (II) x y=x h S LTI h

48 Esabilidad (III) En resumen: Un sisema LTI de TC es esable si y solo si su respuesa al impulso es absoluamene inegrable Un sisema LTI de TD es esable si y solo si su respuesa al impulso es absoluamene sumable Sisema LTI esable TC: TD: n= h () d hn [ ] < <

49 Inveribilidad (I) Para que un sisema sea inverible debe exisir su S -1 de modo que asociados en serie el resulado de la asociación sea la idenidad: x() x S1 LTI, h() h y() y S1-1 x() x Si S1 es LTI, su inverso, si exise, ambién debe ser LTI. Linealidad: ax 1 ()+bx 2 () ax 1 +bx 2 S1 LTI, h() h y()=ay 1 ()+by 2 () y= ay 1 +by 2 S1-1 ax 1 ()+bx 2 () ax 1 +bx 2 Invarianza x 1 ()=x(- 0 ) x 1 =x[n-n 0 ] S1 LTI, h() h y 1 ()=y( 0 ) y 1 =y[n n 0 ] S1-1 x 1 ()=x( 0 ) x 1 =x[n n 0 ]

50 Inveribilidad (II) Como el sisema inverso es LTI, puede ser caracerizado por su respuesa al impulso, h I () o h I, y la asociación es equivalene a la idenidad (sisema LTI con respuesa al impulso δ() o δ): x() x S1 LTI, h() o h y() y S1-1 LTI h I () o h I x() x x() x Asociación LTI en cascada h() h I () o h h I x() x x() x Sisema idenidad, LTI h()=δ() o h=δ x() x Un sisema LTI es inverible oro sisema LTI al que: TC: h() h I ()=δ() TD: h h I = δ

51 Sínesis 1. Definición de sisema y de sus propiedades: Relación enrada salida x() x Propiedades Linealidad Invarianza en el iempo Memoria Causalidad Esabilidad Inveribilidad 2. Sisemas LTI Sisema y()=f{x()} y=f{x}

52 Sínesis 3. Represenación de señales: TD: TC: [ ] = [ ] δ[ ] = [ ] δ[ ] xn xk n k xn n k = x () = x( τδ ) ( τ) dτ= x () δ() 4. Sisemas LTI de iempo discreo: x S LTI h y y [] n x[ k ] h[ n k ] = x[ n] h[ n] = k = 5. Sisemas LTI de iempo coninuo: x() S LTI h() y() y( ) = x( τ ) h( τ ) dτ = x( ) h( )

53 Sínesis Asociaciones: Serie: x() x S1 LTI h 1 () h 1 S2 LTI h 2 () h 2 y() y x() x S LTI h 1 () h 2 () h 1 h 2 y() y x() x S2 LTI h 2 () h 2 S1 LTI h 1 () h 1 y() y Paralelo: x() x S1 LTI h 1 () h 1 S2 LTI h 2 () h 2 y()=x() h 1 ()+x() h 2 () y=x h 1 +x h 2 x() x S LTI h()=h 1 ()+h 2 () h=h 1 +h 2 y()=x() [h 1 ()+h 2 ()] y=x {h 1 +h 2 }

54 Sínesis 6. Propiedades de los sisemas LTI: hn [ ] = A δ[ n], Sisema LTI sin memoria h () = A δ (), hn [ ] = 0, n< 0, Sisema LTI causal h () = 0, < 0, TC: Sisema LTI esable TD: n= h () d< hn [ ] < para TD para TC para TD para TC Sisema LTI inverible oro sisema LTI al que: TC: h() h I ()=δ() TD: h h I =δ