Apuntes Tema 7: 7 Respuesta temporal de componentes pasivos. Contenido

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1 Apunes Tema 7: espuesa emporal de componenes pasivos onenido 7 espuesa emporal de componenes pasivos espuesa de circuios - y Inroducción ombinación de resisencia y capacidad (-) Pregunas de Auoevaluación Problemas ombinación de resisencia y bobina (-) esumen ircuios derivadores e inegradores Inegradores Derivadores Pregunas de Auoevaluación esumen Series de Fourier Definición de armónicas Gráficos de series de Fourier Pregunas de Auoevaluación Problemas esumem Bibliografía espuesa emporal de componenes pasivos.

2 7. espuesa de circuios - y Inroducción l alumno debe considerar que al aplicar una ensión de corriene coninua mediane un inerrupor a los componenes pasivos, la misma se compora como si se aplicara una ensión en forma de pulso o escalón ascendene. De la misma forma, al desconecar el circuio se produce un escalón descendene. Por ello, cuando se aplica un escalón ascendene o descendene a una resisencia, la respuesa (corriene o caída de ensión) sigue fielmene a la fuene que lo aplica, eso se dealla en la próxima figura. Se observa, en la misma ( a ), que al cerrar, escalón ascendene, en forma insanánea se esablece ano la ensión o caída de poencial como la corriene. De la misma forma y un insane después, escalón descendene, al abrir, ambién en forma insanánea desaparece ano la ensión como la corriene, ( b ). V, I I V I ( a ) ierre de llave ( b ) Aperura de llave llo induce a pensar, que la resisencia no inroduce ninguna perurbación a la circulación de corriene (I ) ni a la caída de poencial (V), dibujadas ambas a disina escala. De la misma forma, cuando se aplican esos escalones a circuios compuesos por resisencia y capacidad (-) y resisencia e inducancia (-), las respuesas que se producen resulan muy diferenes al 2

3 caso de la resisencia. llo es debido a las caracerísicas propias del capacior e inducancia. ecordemos que el comporamieno de la capacidad es la acumulación de energía poencial en el mismo, equivalene a la consane de deformación del resore, y la inducancia acumula campo magnéico apareciendo la inercia elécrica equivalene a la inercia mecánica. Así enonces, el inerés de esudiar esas configuraciones circuiales permie definir circuios conformadores de ondas o señales que ienen amplias posibilidades en muchas aplicaciones del equipamieno elecrónico. Solamene para que se enienda esa premisa, se dirá que se puede mediane ellos realizar las operaciones maemáicas de derivar e inegrar con basane aproximación ombinación de resisencia y capacidad (-) n la siguiene figura, se ha esquemaizado un circuio compueso por una generador de.., una llave inerrupora y la combinación de resisencia y capacior en serie (-). s imporane desacar que la resisencia inerna de la fuene de f.e.m. es cero o muy pequeña ( fuene ideal ). n el insane en que se cierra la llave se esablece la corriene I. sa corriene, cesa cuando se carga. Se esudió en el capíulo correspondiene a componenes pasivos, que la forma de la ensión de carga, es en forma exponencial, acumulando el capacior, energía de campo elécrico a la que se puede denominar poencial. a carga oal se produce después de un ciero reardo comandado por la consane de iempo τ = y la corriene se hace cero. Poseriormene, con cargado al valor de Aplicando Kirchoff se iene : i V V = V + V V = i. V = i d 3

4 Por definición se sabe que : = con lo que: = i. + i d = dq d + dq d d = dq d + dq = dq d + q Separando variables queda: q = dq d d = q dq Inegrando ambos miembros 0 d = q 0 q dq levando la inegral del segundo miembro a la forma: x a dx = ln x a 0 d = q 0 q dq 0 = ln q q 0 0 = ln. q ln. = ln. q. = ln. q 4

5 Aplicando anilogarímo se llega a : e = q Sabiendo que la ensión en el capacior esá dada por : expresar como : V = q se puede e = V V = e Haciendo un análisis dimensional del produco ". " se iene : τ =. = i = dq dv dq d = i d dv = Amper. Segundos Vols τ =. = Vols Amper. Amper. Segundos Vols = Segundos τ = Segundos τ =. onsane de iempo nconraremos el valor al cuál se carga el capacior para res valores de la consane de iempo. uando se cierra la llave inicia la carga esando en el insane inicial = 0. V = e = 0 0 = e 0 V = 0 5

6 uando el iempo ranscurrido es una consane de iempo =. = V = e = e V = 0,63 uando el iempo ranscurrido es cinco consanes de iempo o más = 5. = 5 V = e 5 = e 5 V V V V = 0,63 V = = 5 Para enconrar el valor de la corriene que circula por el circuio se aplica: V = i d V = i d i = dv d 6

7 i = d e d i = 0 e i = e i = e omo se sabe la ensión en la resisencia por ley de Ohm esá dada por : V =. i V =. e V = e uando se cierra la llave inicia la circulación de corriene y con ello la ensión sobre la resisencia esando en el insane inicial = 0. = 0 V = e 0 = e 0 V = uando el iempo ranscurrido es una consane de iempo =. = V = e = e V = 0,37 uando el iempo ranscurrido es cinco consanes de iempo = 5. V = e 5 = 5 = e 5 V 0 7

8 V V V = 0,37 V = = 5 Graficando la ensión en el capacior y en la resisencia al mismo iempo se iene : V V V = 0,63 V = 0,37 V V = = 5 Si ahora se inerrumpe le exciación dada por la fuene de ensión y se corocircuia la fuene se iene: 8

9 Aplicando Kirchoff se iene: i V V 0 = V + V V = i. V = i d 0 =. i + i d 0 = dq d + dq d d 0 = dq d + dq 0 = dq d + q Aplicando el mismo méodo anerior se iene: 0 q = dq d d = q dq d 0 = q q 0 q dq 0 = ln q q q 0 0 = ln q ln q 0 = ln q q 0 e = q q 0 q = q 0 e 9

10 Sabiendo que la corriene es: i = dq d i = q 0 e. i = q 0 e i = V 0 e V 0 nonces la ensión en la resisencia es: V = i. = V 0 e V = V 0 e l signo negaivo indica que la corriene circula en senido conrario. a ensión en el capacior esá dada por : V = i d = V 0 e d V = V 0 e V = V 0 e l signo posiivo se debe a que la corriene sigue circulando en el mismo senido. 0

11 V V V AGA DSAGA 7..3 Pregunas de Auoevaluación ) Qué sucede con la ensión y la corriene en una resisencia? ómo esán dichas variables? 2) Qué sucede con la ensión y la corriene en un circuio -?. 3) Qué sucede con la ensión y la corriene en un circuio -? 7..4 Problemas.

12 ) n el siguiene circuio se iene un capacior de 0 µf y una resisencia de 20 Ω. Si el iempo en que se cierra la llave es de 0 seg. A qué valor de ensión se carga el capacior? 2) n el siguiene circuio se iene un capacior de 200 µf y una resisencia de 2000 kω. Si el iempo en que se cierra la llave es de seg. A qué valor de ensión se carga el capacior? uál es el valor de la ensión en la resisencia? 3) n el siguiene circuio se iene un capacior de µf con una carga de 50 V y una resisencia de 50 Ω. Si el iempo en que se cierra la llave es de 2 segundos. A qué valor de ensión se descarga el capacior? 2

13 4) Se coneca un condensador de 20 µf a un generador de 200 V a ravés de una resisencia de 0,5 MΩ. a) Hallar la carga del condensador al cabo de 0 seg, 5 seg, 0 seg, 20 seg, 40 seg y 00 seg después de haberlo conecado. b) Hallar la inensidad de la corriene de carga en esos mismos insanes. c) Qué iempo sería necesario para que el condensador adquiriese su carga final si la inensidad de la corriene de carga fuese en odo momeno igual a la inicial? omparar ese iempo con la corriene de iempo del circuio ombinación de resisencia y bobina (-) Aplicando Kirchoff se iene : i V = V + V V V = i. V = di d = i. + di d Para resolver esa ecuación se aplica: di d = i. d = i. di Inegrando ambos miembros en función de su variable se llega a: 3

14 0 d = i 0 i. di Arreglando el segundo miembro para llevarlo a una inegral conocida x a dx = ln x a 0 d = 0 i i di = 0 ln i i 0 Aplicando Barrow: 0 = ln i + ln 0 = ln 0 i = ln i = ln i = ln i Aplicando anilogarimos se iene: e = i Despejando el valor de la corriene por el circuio se llega a: i = e i =. e 4

15 i = e Haciendo el análisis dimensional de τ = se concluye que: V = di d = V d di = V d di = Vols. seg Amp τ = = seg Vols. Amp Vols Amp = seg τ = seg A τ se lo llama consane de iempo. a caída de ensión en la resisencia esá dada por: V =. i V =. e V = e a caída de ensión en la bobina esá dada por: V = di d V = d e d V = 0 e V = e uando se cierra la llave, = 0, la ensión en ambos elemenos es : = 0 V = e 0 = e 0 V = 5

16 V = e 0 = 0 =. 0 V = 0 uando ha ranscurrido un iempo igual a la consane de iempo del circuio resula: = V = e = e V = 0,37 = V = e =. 0,632 uando ha ranscurrido un iempo igual a 5 consanes de iempo del circuio resula: = 5 V = e 5 = e 5 V = 0 = 5 V = e 5 V V V = 0,63 V = 0,37 V V = = 5 6

17 Anulando la ensión de alimenación resula : Aplicando Kirchoff se iene : i V 0 = V + V V V = i. V = di d di d = i. i. di = d Inegrando ambos miembros : i di = i 0 i d 0 i ln i = i 0 0 ln i ln i 0 = 0 ln i = i 0 Aplicando anilogarimo se llega a : ln i i 0 = i = e i 0 i = i 0 e 7

18 a caída de ensión en la resisencia esá dada por: =. V =. i 0 e V = e a caída de ensión en la bobina esá dada por: V = di d V = d i 0 e d V = i 0 e V = i 0 e V = e uando se cierra la llave, = 0, la ensión en ambos elemenos es : = 0 V = e 0 = e 0 V = = 0 V = e 0 =. V = uando ha ranscurrido un iempo igual a la consane de iempo del circuio resula: = V = e = e V = 0,37 = V = e =. 0,632 8

19 uando ha ranscurrido un iempo igual a 5 consanes de iempo del circuio resula: = 5 V = e 5 = e 5 V = 0 = 5 V = e 5 = e 5 V = 0 V V V AGA DSAGA sos circuios, - o -, para el caso de operar como derivadores, ienen muchas aplicaciones, siendo una de ellas la necesidad de obener pulsos (señales en las cuales el semiperíodo posiivo o negaivo es muy coro respeco al negaivo o posiivo), adecuados para accionar circuios digiales y 9

20 para oras aplicaciones. n el caso de los circuios inegradores, su aplicación es fundamenal cuando se raa de filrar ruidos o señales no adecuadas o de lograr valores medios de alguna ensión en paricular esumen n esa sección se considera el efeco en circuios - y - al aplicar una ensión de corriene coninua mediane un inerrupor, la misma se compora como si se aplicara una ensión en forma de pulso o escalón ascendene. De la misma forma, al desconecar el circuio se produce un escalón descendene. uando se aplica un escalón ascendene o descendene a una resisencia, la respuesa (corriene o caída de ensión) sigue fielmene a la fuene que lo aplica. Al aplicar el escalón ascendene a un circuio serie con una resisencia y un capacior, la ensión en el capacior seguirá una respuesa exponencial creciene. n cambio al aplicar el escalón ascendene a un circuio serie con una resisencia y una inducancia, la corriene en la inducancia seguirá la respuesa exponencial creciene. n ambos casos se definen consanes de iempo en segundo, dados por τ =. ( para circuio ) τ = ( para circuio ) que es el valor en alcanzar el 63,2% de la ensión final (en el capacior) o la corriene final (en la inducancia). 7.2 ircuios derivadores e inegradores. sos circuios, - o -, para el caso de operar como derivadores, ienen muchas aplicaciones, siendo una de ellas la necesidad de obener pulsos 20

21 (señales en las cuales el semiperíodo posiivo o negaivo es muy coro respeco al negaivo o posiivo), adecuados para accionar circuios digiales y para oras aplicaciones. n el caso de los circuios inegradores, su aplicación es fundamenal cuando se raa de filrar ruidos o señales no adecuadas o de lograr valores medios de alguna ensión en paricular. l ircuio derivador realiza la operación maemáica de derivación, de modo que la salida de ese circuio es proporcional a la derivada en el iempo de la señal de enrada. n oras palabras, la salida es proporcional a la velocidad de variación de la señal de enrada. Teniendo en cuena lo viso aneriormene, y variando la consane de iempo con respeco al semiperíodo, se podrán realizar las operaciones de inegrar y derivar, ya sea con o. l análisis de esas aplicaciones se realizará exclusivamene con la combinación de. llo debido a que se fabrica una gran variedad de capaciores prácicamene con dielécricos perfecos. n cambio, las inducancias comerciales son muy limiadas y poseen, aunque pequeña, la resisencia del arrollamieno, además son más caras que los capaciores. uando se inegra o deriva una función recangular, el resulado obenido es el que se expone en la siguiene figura. n ella se puede observar que la inegración maemáica es el valor medio de dicha función. Se exponen la inegral y derivada maemáicas de la misma y la inegral y derivada elecrónica de una ensión equivalene a la función. 2

22 y = f x x f x dx x d f x dx x Inegral y derivada maemáica y = f f d d f d Inegral y derivada elecrónica 22

23 Se aprecia que la aproximación elecrónica es basane cercana a la maemáica. o que si debe enerse en cuena es que el valor de la derivada desde el puno de visa maemáico para la función que crece desde cero al máximo o decrece a cero, (flancos ascendenes o descendenes), es que lo hace en un iempo cero. Por ello, la derivada será infinio posiivo o infinio negaivo, lo que elecrónicamene no puede conseguirse, ya que exise un ciero iempo de crecimieno y decrecimieno para los flancos ascendenes y descendenes de las señales elécricas. Al iempo que ranscurre desde que la señal oma una ampliud del 0 % al 90 % de su máxima ampliud se lo denomina iempo de crecimieno y por el conrario al iempo que va desde un 90 % a un 0 % de su ampliud se lo denomina iempo de decrecimieno 90 % 0 % Tiempo de crecimieno Tiempo de decrecimieno Por ello, la derivada adquirirá la ensión aplicada, ano para la pare ascendene como descendene en forma no insanánea. No obsane lo verido, la aproximación es suficienemene buena para la mayoría de las aplicaciones. Ora condición que se debe ener en cuena es que elecrónicamene, a parir de un mismo circuio, cambiando la consane de iempo se puede obener un buen inegrador (ensión sobre ) o un buen 23

24 derivador (ensión sobre ), pero no ambos simuláneamene. sa premisa, se produce por la consane de iempo, que para el caso del inegrador con debe ser de varias veces el semiperíodo de la señal a inegrar, por lo que la caída en se aleja de un buen derivador. aso conrario, con muy pequeña respeco al semiperíodo, la inegral se aleja, pero es un buen diferenciador Inegradores n la figura se ha represenado un circuio cuya función será inegrar. Para que ello se cumpla, la consane de iempo debe ser varias veces mayor que el semiperíodo de la señal a inegrar. Un valor apropiado es que sea al menos 0 veces mayor. on ello se logra que la carga del capacior alcance un valor muy pequeño y lo haga en la zona aproximadamene lineal de la exponencial de carga. i e =. i T 2 e = i d T n un principio la carga del capacior es cero y al cargarse en un iempo muy coro respeco a la consane de iempo adquiere muy poca carga. 24

25 0 V V = e = 0 V 0,95 V = 500 Ω = 0 μf f = 000 Hz = 5 mseg T = mseg V = 0 e 5 0,5 = 0,95 V T 2 = 0,5 mseg Tomando la descarga del capacior ( en ausencia de ensión ) y sabiendo que ahora el capacior esá cargado con 0,95 V se llega a 0 V V = e 0,95 V 0,86 V = 0,95 V = 500 Ω = 0 μf f = 000 Hz = 5 mseg T 2 = 0,5 mseg V = 0,95 e 5 0,5 = 0,86 V Al aplicar nuevamene la ensión ahora el capacior ya ha adquirido una carga de 0,86 V con la que se comienza a cargar nuevamene llegando a,73 V. uego se descarga llegando a,57 V y así sucesivamene. 25

26 0 V 0,95 V 0,86 V,73 V,57 V 2,37 V n la siguiene figura ha graficado el comporamieno de la ensión en la resisencia y en el capacior. n los primeros ciclos, cuando esá descargado, comienza a cargarse y su valor va aumenando hasa alcanzar la zona en la que se esabiliza a c..... b d a + b = c + d = 0 ealmene, la ensión adquirida represena la energía media almacenada en el capacior, proporcional a la señal de enrada, y por ello equivalene a la inegral. ecordando enonces, por Kirchoff, la suma de la caída en el capacior más la de la resisencia debe ser igual a la enrada, lo 26

27 que gráficamene se observa y se maerializa para la zona esable, donde la suma de + = valor máximo de la señal y la suma de + = 0 valor cero de dicha señal. Por oro lado, de acuerdo a lo expresado en párrafos aneriores, ese circuio es un buen inegrador pero no serviría como derivador. Ora premisa imporane, es que para cualquier función repeiiva, independienemene de la forma que posea, se puede obener su inegral con basane aproximación. Finalmene, cabe acoar que ambién se produce una disminución de la señal de salida, pero ello se compensa, cuando la aplicación así lo requiera, uilizando un circuio operacional inegrador esquemaizado al como se observa en la figura. n ella se puede observar, ano la resisencia como el capacior. f AO f n el caso de los circuios inegradores, su aplicación es fundamenal cuando se raa de filrar ruidos o señales no adecuadas o de lograr valores medios de alguna ensión en paricular Derivadores n la próxima figura se ha esquemaizado el mismo circuio del íem anerior, ahora se uilizará para realizar la función maemáica de derivar. a exigencia para que efecivamene se realice la derivación, es que ahora la consane de iempo debe ser varias veces menor que el semiperíodo de la señal a derivar. 27

28 Un valor apropiado es que sea al menos 0 veces menor que el semiperíodo. on ello se logra que el capacior se cargue y descargue rápidamene. i e T 2 e = d d T Se ha graficado en la figura el comporamieno de la ensión en y en. Nóese que la derivada es la caída en la resisencia, ya que al inicio del impulso ascendene, el capacior es un corocircuio y oda la caída se produce en, luego se comienza a cargar y la corriene disminuye en forma exponencial, produciendo en la derivada. Por oro lado y por Kirchoff, = e + e, lo que se observa gráficamene en la misma figura. 28

29 sos circuios, - o -, para el caso de operar como derivadores, ienen muchas aplicaciones, siendo una de ellas la necesidad de obener pulsos (señales en las cuales el semiperíodo posiivo o negaivo es muy coro respeco al negaivo o posiivo), adecuados para accionar circuios digiales y para oras aplicaciones. l análisis de lo viso indica que el valor máximo posiivo de la derivada es la ensión aplicada, y el mínimo, la misma ensión pero negaiva. No se debe descarar que en ese caso ambién para oras señales, puede la derivada disminuir su valor, por ello y cuando la aplicación así lo requiera, ambién se puede uilizar un amplificador operacional como diferenciador para mejorar y acercarse más a la derivada maemáica. n la próxima figura se expone el esquema circuial necesario para esa aplicación. f AO df d También se debe desacar que se pueden realizar derivadas de orden superior si se conecan en cascada circuios derivadores Pregunas de Auoevaluación 4) uál es la consane de iempo en un circuio -? 5) uál es la consane de iempo en un circuio -? 29

30 6) Se puede obener un circuio que inegre y derive la señal de enrada al mismo iempo? Por qué? 7) n qué elemeno se encuenra la derivada en un circuio -? 8) n qué elemeno se encuenra la inegral en un circuio -? 9) n qué elemeno se encuenra la derivada en un circuio -? 0) n qué elemeno se encuenra la inegral en un circuio -? ) Desde qué valor se considera una buena aproximación para relacionar la consane de iempo con el semiperiodo en un circuio derivador o inegrador? esumen n esa sección se considera el efeco en circuios - y - al aplicar una ensión de corriene coninua mediane un inerrupor, la misma se compora como si se aplicara una ensión en forma de pulso o escalón ascendene. De la misma forma, al desconecar el circuio se produce un escalón descendene. uando se aplica un escalón ascendene o descendene a una resisencia, la respuesa (corriene o caída de ensión) sigue fielmene a la fuene que lo aplica. Al aplicar el escalón ascendene a un circuio serie con una resisencia y un capacior, la ensión en el capacior seguirá una respuesa exponencial creciene. n cambio al aplicar el escalón ascendene a un circuio serie con una resisencia y una inducancia, la corriene en la inducancia seguirá la respuesa exponencial creciene. n ambos casos se definen consanes de iempo, en segundo dados por para un circuio resisivo capaciivo y para un circuio resisivo inducivo. s el iempo en que el valor alcanza el 63,2% de la ensión final (en el capacior) o la corriene final (en la inducancia). 30

31 7.3 Series de Fourier a forma de onda de la ensión de cualquier señal periódica alerna simple es puramene senoidal o sinusoidal. Por ello se denomina armónica. ualquier ora señal que se apare de ella, no es armónica, seguramene producida para alguna aplicación específica, como el barrido del osciloscopio o cualquier ora forma de onda que no es senoidal, como así ambién disorsiones que se producen a las señales senoidales para diferenes aplicaciones o circuios. Por ello el conocimieno y análisis de las funciones armónicas en forma maemáica es muy sencillo, ya que su idenificación esá perfecamene deerminada. Basa como ejemplo que cuando se posee una corriene alerna armónica la misma queda idenificada fijando su valor insanáneo: e = máx sen w ó i = I máx sen w y su frecuencia f, como así ambién su valor máximo y su valor eficaz. abe ciar aquí ambién que la función coseno ambién es armónica y su diferencia con la seno es que esán desfasadas 90º. Ahora bien, para disinas funciones no armónicas, pero periódicas, como por ejemplo una función recangular, el problema se complica y su desarrollo y aplicación en forma maemáica es muy difícil. Por ello, el invesigador y maemáico francés Jean Bapise Joseph Fourier desarrolló varias herramienas, enre las cuales se analizará la que corresponde a series de Fourier rigonoméricas, que permie un esudio de funciones no armónicas en forma simplificada. sa forma de análisis responde a que se pueden aplicar funciones rigonoméricas superpuesas y se apoya en el principio de superposición. s una herramiena para predecir la respuesa de un circuio lineal a cualquier enrada en forma de sinusoides. Posee la capacidad de expresar una señal arbiraria como superposición de senoides ó cosenoides. Por ello, pare de la premisa que cualquier función no armónica, se puede deerminar como una suma de senos y cosenos represenadas por sus armónicos pares e impares. Así enonces, se 3

32 puede definir: que el eorema que se relaciona con esa serie afirma: que una función periódica f() se puede escribir en la forma: f = a 0 + a cos w + a 2 cos 2 w b sen w + b 2 sen 2w +.. en la cual es la frecuencia angular fundamenal y 0 es la componene de corriene coninua de la señal considerada. os érminos + es la componene fundamenal. Por oro lado, los érminos: 2 2,..., y 2 2,, son las componenes armónicas; y 2, 3,.. ; 2, 3,..., son las ampliudes de esas armónicas y son inversamene proporcionales a ellas (recíprocas). n oras palabras: si la fundamenal o primera armónica es, la segunda es 2 ; la ercera 3, la cuara 4, ec... También, la serie se puede escribir en forma generalizada como: f = a 0 + a n cos nw + b n sen nw n= n= 7.3. Definición de armónicas Para la inerpreación de esa herramiena maemáica, primero se definirá el significado de las armónicas. Una armónica es una onda senoidal pura, cuya frecuencia es un múliplo enero de la fundamenal. Se eniende por fundamenal a la frecuencia de la señal NO SINUSOIDA que se desea esudiar. n oras palabras, por ejemplo si se dispone de una onda cuadrada de 00 Hz, la primera armónica o fundamenal es de 00 Hz. as armónicas múliplos poseen frecuencias superiores en un número exaco de veces a la fundamenal. s decir que la segunda armónica es doble de la fundamenal y la ercera es res veces la frecuencia de la fundamenal, ec. 32

33 Por ello se puede definir a las armónicas de orden par (o simplemene armónicas pares) como múliplos pares de la frecuencia fundamenal así: segunda, cuara, sexa, ec, mienras que las armónicas de orden impar (simplemene impares) son múliplo impares de la fundamenal: ercera, quina, sépima, ec. as ondas senoidales componenes de una señal no senoidal o compleja (cuadrada, riangular, ec.), consiuyen el conenido de armónicas de dicha señal analizada. l esudio de esas ondas complejas en érmino de su conenido en armónicas, o componenes senoidales, recibe el nombre de análisis armónico mediane las series rigonoméricas de Fourier. Para inerprear mejor lo anerior, si se agrega cualquier armónica de orden par a una senoidal, da origen a una resulane, cuya forma difiere radicalmene de la senoidal. n la próxima figura (a) se muesra la forma resulane de una onda que coniene a la fundamenal y su segunda armónica. Se observa que esa resulane se aproxima a una diene de sierra inverida. n la figura (b), se han superpueso la fundamenal y la ercera armónica, y en la figura (c) se ha realizado la suma de la fundamenal con la impar 3ra y 5a. esulane Fundamenal 2da armónica esulane Fundamenal 3ra armónica esulane Fundamenal 5a armónica 3ra armónica (a) (b) (c) 33

34 Para ese caso, debe observarse que la resulane se comienza a parecer a una función recangular. Por oro lado, es imporane expresar que la superposición se realiza ambién eniendo en cuena las ampliudes de las armónicas, relacionadas con la ampliud de la fundamenal. efiriéndose a las series de Fourier, ello esá indicado para cada armónica en los érminos y que son los coeficienes o ampliudes de cada una de ellas, que se relacionan en forma recíproca a la ampliud de la fundamenal como se expresó aneriormene. De acuerdo a esos ejemplos, se puede comenzar a comprender lo poderosa que es esa herramiena maemáica. A coninuación, como ejemplos se escribirán las series rigonoméricas de las señales de ensión cuadradas y diene de sierra. a serie para la función cuadrada se escribe así: e = m m π sen w 2 m 3 π sen 3w + 2 m 5 π sen 5w en la cual: el primer érmino es la componene de.. y los érminos 2 2,... son las ampliudes de cada armónica impar represenadas por la fundamenal, y las armónicas impares: 3,... n la figura que se ve a coninuación (a), señal cuadrada, se ha represenado la resulane de superponer varias armónicas impares, es decir que solamene esá consiuida por señales senos cuyo valor de armónica es impar, los coeficienes pares de la función seno resulan odos ceros como así ambién los coeficienes pares e impares de la función coseno. 34

35 a b especo a la señal diene de sierra, figura (b), el análisis armónico indica que la misma es la suma de los infinios érminos pares e impares de la función seno (los coeficienes de la función coseno pares e impares dan odos ceros). n ese caso no es la diene de sierra con polaridad normal al como se uiliza en el barrido de los osciloscopios. Para que posea polaridad normal la serie debe comenzar con la función seno con polaridad inverida, o sea llo da como resulado que la serie se escriba como: e = m m π sen w 2 m 3 π sen 3w m n π sen nw os coeficienes de la serie coseno dan odos cero en el análisis armónico. sa función se esquemaiza al como se puede observar en la próxima figura. se dibujo se ha realizado solamene con pocas armónicas, pero aplicando el oal de las mismas, la resulane se aproxima con basane fidelidad a la diene de sierra. Debe recordarse ambién, para odas las series, que para armónicas mayores a la décima, su inervención comienza a ser cada vez menor. No obsane ello, esa herramiena permie obener conclusiones que se deben ener en cuena y que explican el comporamieno de los circuios - y - a una función impulso. 35

36 Vol Vol Gráficos de series de Fourier Una forma muy cómoda de expresar las series de Fourier, es mediane los gráficos o especros de frecuencia de las funciones a las cuales se aplica. Así enonces, se consruirán los especros de frecuencia para la señal cuadrada y diene de sierra., mosrados en la figura siguiene. Vol Vol 4A/ 3A/ 2A/ A/ 4A/ 3A/ 2A/ A/ Armónicas Armónicas + A + A 0 Onda cuadrada 0 Diene de sierra 36

37 Para la onda cuadrada, en la serie de Fourier, a cos w represena a la fundamenal. a magniud o el valor máximo de la primera armónica, es 4, donde A es la ampliud máxima de un semiciclo, y en radianes represena a 80º del período compleo. Si por ejemplo la onda posee una frecuencia de KHz, la primera armónica es una onda seno de KHz con ampliud; la ercera armónica es de 3 KHz con una ampliud de Vol de Vol, verificándose de forma similar que la quina armónica es de 5 KHz y iene una ampliud de 4 5 cuadrada perfeca. Vol. sos valores se cumplen solamene para una función n cuano a la diene de sierra, recordemos que la serie iene armónicos pares e impares. Aquí nuevamene la magniud de la fundamenal es 4 Vol. a magniud de la segunda armónica es ahora 4 2 Vol, de la ercera armónica es 4 3 Vol y así sucesivamene. Noe para ambos casos que las ampliudes disminuyen gradualmene. se comporamieno es ípico de las ondas que ienen caracerísicas agudas de crecimieno o caída, ales como la cuadrada y la diene de sierra Pregunas de Auoevaluación 2) Qué significa la primera armónica de una señal? 3) a señal cuadrada iene armónicas pares e impares? 37

38 4) a señal riangular iene armónicas pares e impares? 5) ómo se relacionan las ampliudes de las armónicas con respeco a la fundamenal? 6) Por qué en un capacior la reacancia capaciiva (oposición al paso de.a.) es cero? Problemas. 5) Si la consane de iempo de un circuio - es de 0 S y es igual al semiperíodo de la señal de enrada cuyo valor es de 0 Vol. uáno valdrá en el primer semiciclo el valor de ensión en el capacior? 6) uáno será el valor medio de una señal recangular cuya ensión máxima es de 5V? 7) Se desea inegrar una señal armónica cuya frecuencia es de KHz. uál será el valor de la consane de iempo =. Por oro lado se conoce el valor del capacior que se uiliza el cual es de 0, F. uáno valdrá? 8) Se posee un derivador en el cual su consane de iempo es de ms (un milisegundo). Qué frecuencia deberá ener la señal a derivar? 9) Se desea consruir un inegrador con una inducancia y resisencia. a señal de enrada es de 500Hz. Se conoce el valor de =00 K. Deermine el valor de. 38

39 0) Se posee un buen inegrador para una señal de MHz. Deermine la consane de iempo necesaria que debe ener la consane de iempo τ. ) Se posee un derivador para una señal de 50 KHz. Deermine la consane iempo τ. 2) Si la consane de iempo τ de un circuio - es de 0μS y es igual al semiperíodo de la señal de enrada cuyo valor es de 0 Vol. uáno valdrá en el primer semiciclo el valor de ensión en el capacior? 3) uáno será el valor medio de una señal recangular cuya ensión máxima es de 5V? esumem. l esudio de la respuesa de los componenes pasivos a una función impulso, que se genera mediane un generador de funciones, permie enconrar imporanes consecuencias en componenes ales como capaciores e inducancias. Debe recordarse que un capacior acumula energía poencial y la inducancia energía cinéica. so úlimo produce que el capacior en serie con una resisencia, o una inducancia ambién en serie con una resisencia, pueda conformar la onda enrane de cualquier forma y periódica, y por ello realizar con basane aproximación la función maemáica de inegrar o derivar. Para el análisis se uilizarán exclusivamene señales cuadradas porque sus resulados son más explícios. a derivada maemáica de una función cuadrada pura son pulsos de ampliud infinia ano en senido posiivo ( flanco ascendene de la señal ), como negaivo ( flanco descendene ). De la misma forma, la inegral produce el 39

40 valor medio de dicha función represenado por una reca. lecrónicamene, los flancos ascendenes y descendenes de la señal producida por un generador se realizan en un iempo finio. Debido a esa consecuencia, la derivación e inegración elecrónicas se produce con una aproximación basane exaca. ecordemos que =. sa úlima expresión indica que la ensión en los bornes del capacior, es la inegral. Así enonces, si se combina un condensador en serie con una resisencia, se endrá una ciera consane de iempo =. elacionando esa úlima con el semiperíodo de la señal periódica, se podrá inegrar o derivar, pero no ambas a la vez. Si la consane de iempo es mayor que el semiperíodo, se obendrá enre los bornes del capacior una ensión que represena la energía media del mismo, produciendo un buen inegrador, y si la consane iempo es menor, se obendrá una ensión sobre los bornes de la resisencia, obeniéndose un buen derivador. Para inegrar, es necesario que sea al menos 0 veces mayor que el semiperíodo = 0. Para derivar será necesario que sea al menos 0 2 veces menor al semiperíodo = 20. De la misma forma, una combinación en serie -, ambién inegrará o derivará pero ahora la inegral se obiene en los bornes de la resisencia y la derivada en los bornes de la inducancia; recuerde =. n general, se pueden obener con cualquiera de los circuios derivadas de mayor orden conecando circuios en serie y además se puede inegrar o derivar a cualquier función periódica. Por oro lado, la mejor inerpreación de las señales recangulares se puede realizar esudiando esas úlimas mediane las series de Fourier. sa herramiena maemáica permie esudiar cualquier función no armónica, al como una cuadrada o diene de sierra, mediane suma de armónicas seno y coseno, descomponiendo a la señal bajo esudio en la fundamenal y sus armónicos. Así enonces, la cuadrada es la suma de los infinios érminos seno impares, y la diene sierra de los infinios érminos pares e impares - seno. so úlimo 40

41 permie inerprear porqué cuando se aplica el impulso ascendene, la ensión en los bornes del capacior es cero. llo es produco de la reacancia capaciiva = 2 = 0, ya que f es prácicamene infinio, y por ello la caída de ensión es cero. n cambio en la inducancia = 2 =, por lo que la caída de ensión es máxima (no circula corriene). 7.4 Bibliografía [] Knowlon, A..; Manual sándar del Ingeniero lecricisa ; diorial ABO; 956. [2] Pueyo, Hécor, Marco, arlos y QUIO, Saniago; ircuios lécricos: Análisis de Modelos ircuiales 3ra d. Tomo ; diorial Alfaomega ; [3] Pueyo, Hécor, Marco, arlos y QUIO, Saniago; ircuios lécricos: Análisis de Modelos ircuiales 3ra d. Tomo 2 ; diorial Alfaomega ; 20. [4] Terman, Frederick.; Ingeniería en adio ; diorial ABÓ; 952. [5] PAKMAN, milio; Mediciones lécricas ; diorial ABO; 972. [6] ASTJÓN, Agusín y SANTAMAIA, Germán; Tecnología lécrica - diorial Mc GAW HI; 993. [7] SANJUJO NAVAO, afael; Maquinas lécricas ; diorial Mc GAW HI; 989. [8] POIMNI, Hécor G.; Documenos de áedra ;