CURSO: ANÁLISIS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS I UNIDAD 5: RESPUESTA TRANSITORIA Y DE ESTADO ESTABLE EN LOS CIRCUITOS ELÉTRICOS DE PRIMER ORDEN CONTENIDO

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1 CUSO: ANÁISIS DE CICUITOS EÉCTICOS I UNIDAD 5: ESPUESTA TANSITOIA Y DE ESTADO ESTABE EN OS CICUITOS EÉTICOS DE PIME ODEN CONTENIDO 5.1 INTODUCCIÓN 5.2 CICUITOS EN SEIE CICUITO EN SEIE SIN FUENTES CICUITO EN SEIE SIN FUENTES MAS GENEA MÉTODOS PAA A DETEMINACIÓN DE VOTAJES Y COIENTES EN FUNCIÓN DE TIEMPO CICUITO EN SEIE CON FUENTES MÉTODO DE A ECUACIÓN DE ESPUESTA NATUA Y FOZADA EN A DETEMINACIÓN DE A ESPUESTA DE A COIENTE EN E CICUITO EN SEIE EXCITADO CICUITO EN SEIE CON FUENTES MAS GENEA DETEMINACIÓN DE AS CONDICIONES INICIAES SOUCIÓN PO E MÉTODO DE CICUITO EQUIVAENTE SOUCIÓN PO E MÉTODO SISTÉMICO SIMPE (ESPUESTA NATUA Y FOZADA) SOUCIÓN PO E MÉTODO DE A ECUACIÓN DIFEENCIA POBEMAS POPUESTOS 5.3 CICUITOS C EN SEIE CICUITO C EN SEIE SIN FUENTES ANÁISIS DE FENÓMENO EÉCTICO CICUITO C EN SEIE SIN FUENTES MAS GENEA MÉTODOS PAA A DETEMINACIÓN DE AS ECUACIONES DE VOTAJES Y DE COIENTE EN FUNCIÓN DE TIEMPO CICUITOS C EN SEIE CON FUENTES MÉTODOS PAA A DETEMINACIÓN DE AS ECUACIONES DE VOTAJES Y COIENTES EN FUNCIÓN DE TIEMPO MÉTODO SISTÉMICO O SIMPE MÉTODO DE A ECUACIÓN DIFEENCIA POBEMAS POPUESTOS 5.4 A FUNCIÓN DE EXCITACIÓN ESCAON UNIDAD CAACTEÍSTICAS DE A FUNCIÓN ESCAÓN UNIDAD DEFINICIÓN DE A FUNCIÓN ESCAÓN UNIDAD MODEO MATEMÁTICO DE A FUNCION ESCAÓN UNIDAD UGA GEOMÉTICO DE A FUNCION ESCAÓN UNIDAD EPESENTACIONES ATENAS DE A FUNCION ESCAÓN UNIDAD A FUNCIÓN ESCAÓN UNIDAD EN E OIGEN A FUNCIÓN DE EXCITACIÓN DE VOTAJE ESCAÓN A FUNCIÓN DE EXCITACIÓN DE COIENTE ESCAÓN A FUNCIÓN DE EXCITACIÓN PUSO ECTANGUA ESPUESTA A PUSO ECTANGUA UTIIZANDO E MÉTODO DE ESPUESTA NATUA Y FOZADA ESPUESTA A PUSO ECTANGUA UTIIZANDO A FUNCIÓN ESCAÓN UNITAIO POBEMAS POPUESTOS 29/09/06 Página 1 de 34 Profesor : uis odolfo Dávila Márquez CODIGO: UFPS

2 CUSO: ANÁISIS DE CICUITOS EÉCTICOS I UNIDAD 5 ESPUESTA TANSITOIA Y DE ESTADO ESTABE EN OS CICUITOS EÉTICOS DE PIME ODEN 5.1. INTODUCCIÓN En la unidad anerior se presenaron ecuaciones que describen el comporamieno de los disposiivos que almacenan energía elécrica y la aplicación de las principales leyes de Kirchhoff arrojan ecuaciones inegrodiferenciales, las cuales, en el más simple de los casos resulan ecuaciones diferenciales de primer orden. El orden de la ecuación diferencial generalmene es igual al número de capaciores más el número de inducores presenes en el circuio. os circuios que conienen un solo inducor y ningún capacior o un solo capacior y ningún inducor pueden represenarse con una ecuación diferencial de primer orden. En ese documeno procederemos a deerminar la respuesa ransioria y de esado esable para los circuios de primer orden, o sea, la combinación de inducor con resisencia o de capacior con resisencia. Aunque la apariencia de los circuios de primer orden es muy elemenal son de imporancia prácica en amplificadores elecrónicos, sisemas de conrol auomáico, amplificadores operacionales, equipo de comunicaciones y en muchas oras aplicaciones, a familiarización con esos circuios simples nos permiirá predecir con qué exaciud puede la salida de un amplificador seguir una enrada que cambia con relación al iempo, o predecir qué an rápido cambiará la velocidad de un moor como respuesa a un cambio en su corriene de campo. 5.2 CICUITO EN SEIE CICUITO EN SEIE SIN FUENTES En un circuio en donde no exisen fuenes de energía, para que exisa corriene en el circuio debe exisir energía almacenada en algún elemeno, de al forma que, esa energía almacenada reemplace a la fuene, si el circuio coniene solamene resisencia e inducancia o inducor, ése debe ener energía almacenada y esará represenada por su corriene en el insane de conecar el circuio. El propósio del análisis en ese ema es el de deerminar las caracerísicas de volajes y corrienes en odos los elemenos para 0, osea, después de accionar el inerrupor V r i A B = 0 Para el circuio presenado, el inerrupor se conecó en la posición A en = y pasó a la posición B en = 0. Se supone que el inerrupor gasa cero iempo en pasar de la posición A a la B, lo cual significa que el inerrupor esá en A y B al mismo iempo. Noaciones del Tiempo: Alrrededor del insane = 0, exisen dos insanes de iempo muy cercanos al primero, pués la diferencia enre ellos es casi impercepible, pero son diferenes, y serán uilizados para deerminar las condiciones iniciales en la corriene de la inducancia, esos son: 1. Un insane anes de igual a cero ( 0 ) 2. El insane de igual a cero = 0, ( 0 ), Insane en la cual se acciona el inerrupor 3. Un insane después de igual a cero ( 0 ) Para < 0, mucho iempo después de haberse conecado en la posición A en =, por ejemplo en ( 0 ), la inducancia se encuenra en esado esable y se compora como un coro circuio, o sea, un insane ánes de accionar el inerrupor, en ( 0 ), el inerrupor esá en la posición A y circula por la inducancia una corriene consane hacia arriba de magniud i (0 ) = V 29/09/06 Página 2 de 34 Profesor : uis odolfo Dávila Márquez CODIGO: UFPS

3 En = 0, el inerrupor pasa a la posicion B ánes de abrir la posición A y la corriene de la inducancia se maniene consane, luego i (0) = i (0 ) Para > 0, y exacamene un insane después de cerrar el inerrupor en la posición B, la inducancia maniene la corriene porque ella se opone al cambio bruzco, luego, i (0 ) = i (0) = i (0 ) a corriene a ravés de la inducancia en = 0, o sea i (0), es el valor que se uiliza como condición inicial para ser reemplazado en la deerminación del modelo maemáico de la corriene de la inducancia, luego para = 0 ; i (0) = V = Io Para deerminar la corriene en = 0, aprovechamos la caracerisica de la inducancia, la cual no permie el cambio bruzco de corriene, y se deermina la corriene en esado esable en ( 0 ) Para 0, después de pasar el inerrupor a la posición B, el circuio quedará: i () Por lo ano, el enunciado del problema podría quedar: Deerminar las ecuaciones de volajes y corrienes que se presenan en el v () v () circuio para 0, sí la corriene a ravés del inducor en = 0 es I o, consane, en la dirección indicada. El fenómeno elecrico se presena por la energía almacenada que exise en I la inducancia, represenada por la corriene Io en = 0, la cual hace o circular una corriene i () por la resisencia, variable con el iempo, que produce la disipación de energía calorífica, no recuperable por el circuio. Por lo anerior, la corriene inicia con un valor máximo de Io y disminuye hasa que la inducancia le enregue oda la energía a la resisencia. Deerminación del Modelo Maemáico El procedimieno a uilizar en la obención del modelo maemáico, es idénico al uilizado en los circuios puramene resisivos, para un solo camino cerrado, el cual por la inclusión de inducancias en ese caso, los modelos resulanes serán ecuaciones diferenciales. Procedimieno: 1. Se asigna la magniud y dirección de la corriene (asignación arbiraria), para el caso, se escogió i (), corriene variable, y el senido horario, por lo ano, para = 0 ; i () = Io, o sea, i (0) = Io 2. Se asigna la magniud y polaridad de los volajes (asignación condicionada, por la convención de los signos pasivos o acivos), para el caso, v (), v () ; volajes variables con el iempo, y para las polaridades fueron considerados como elemenos pasivos. 3. Por aplicación de la ley de Ohm, v () = i () *, (asignación de direcciones y polaridades sigue la convención de los elemenos pasivos). Por aplicación de la ley de Faraday, v () = d i () convención de los elemenos pasivos). 4. Aplicando la ley de los volajes de Kirchhoff al camino cerrado, endremos: v () v () = 0, reemplazando los valores obenidos aneriormene, quedará: d i (), (asignación de direcciones y polaridades sigue la i () * = 0, reagrupando érminos y omiiendo el subíndice del iempo, el modelo maemáico d i quedará expresado por: i = 0, en donde, i, son variables y, son consanes. El modelo maemáico resulane es una ecuación diferencial lineal, con i como función y como variable independiene, homogénea, de coeficienes consanes, de primer orden. 29/09/06 Página 3 de 34 Profesor : uis odolfo Dávila Márquez CODIGO: UFPS

4 Uilizando separación de variables e inegración indefinida se puede enconrar una solución general de la ecuación diferencial presenada, eso es: i () = K e eemplazando las condiciones iniciales presenadas, para = 0 ; i () = Io, la solución específica o paricular quedará expresada por: i () = Io e A parir de la ecuación para la corriene y de las fórmulas obenidas con la aplicación de las leyes, podremos deerminar las ecuaciones para el volaje a ravés de la resisencia y a ravés de la inducancia, los cuales deben ser iguales porque esán en paralelo. v () = i () * = Io e v () = d i () = Io e Análisis de los esulados: Para un valor posiivo de Io, el volaje a ravés de la inducancia es negaivo, o sea que, la polaridad del volaje es conraria a la asignada, lo que indica, que al inducor por mas de que se le consideró como elemeno pasivo, pasa a ser un elemeno acivo o a producir energía, la cual es disipada por la resisencia que esá en paralelo. a corriene del circuio se caraceriza porque es máxima ( Io ) en el insane inicial y disminuye exponencialmene a medida que ranscurre el iempo, lo que significa con eso que, la energía almacenada inicialmene en la inducancia, en érminos de la corriene Io, disminuye a medida que ranscurre el iempo o es disipada por la resisencia. Todas las respuesas de volajes y corrienes consisen de una consane muliplicada por la misma función exponencial negaiva, como la función exponencial depende de los valores de y (nauraleza del circuio), las ecuación recibe el nombre de espuesa Naural del Circuio a función exponencial de la respuesa naural se puede escribir de la forma e = e = e τ, en donde τ = Henrry, Seg. =, es la consane de iempo del circuio. Ohmios Análisis de la espuesa Naural: Para el circuio analizado en el puno inmediaamene anerior, sí = 8Ω, = 2 H, Io = 2.4 ma, enonces, la consane de iempo será τ = 0.25 seg. y la respuesa de corriene quedará expresada = 2.4 e 4 = 2.4 e τ por: i () = 2.4 e 0.25 A Para la ecuación anerior podremos consruir la abla siguiene: PUNTO TIEMPO COIENTE en seg. i ( ) en amperios POCENTAJE DE CAMBIO 1 0 Io = 2.4 0% 2 1τ = Io = % 3 2τ = Io = % 4 3τ = Io = % 5 4τ = Io = % 6 5τ = Io = % 7 6τ = Io = % A parir de los daos abulados podremos consruir el lugar geomérico para la ecuación de corriene de la inducancia, la cual es una curva que varía exponencialmene iniciando en 2.4 A, para = 0 y erminando en 0 A, para =. 29/09/06 Página 4 de 34 Profesor : uis odolfo Dávila Márquez CODIGO: UFPS

5 En la figura a coninuación, se encuenra el lugar geomérico de la ecuación de corriene. 2,4 A i () A 1 2 A 1 A τ 2τ 3τ 4τ 5τ 6τ (seg) ESTADO ESTABE ESTADO TANSITOIO ( = 1.25 seg ) ESTADO ESTABE A parir de la gráfica de respuesa de la corriene se puede observar que anes de = 0 la corriene era consane e igual a 2.4 A y después de = 1.25 seg, la corriene se hace consane e igual a cero amperios, en esos periodos, la respuesa recibe el nombre de esado esable. Exise un periodo de cambio en la magniud de la corriene, que dura aproximadamene ( = 1.25 seg ), la cual recibe el nombre de esado ransiorio y de ahí el nombre del ema de espuesa Transioria. El iempo de duración de la respuesa en el esado ransiorio es aproximadamene de cinco consanes de iempo y la consane de iempo depende de la relación enre la inducancia y la resisencia, por lo que ese iempo es relaivamene coro, recibe el nombre de respuesa ransioria. El iempo de duración de la respuesa en el esado ransiorio, es el iempo en que dura la resisencia disipando la energía enregada por la inducancia, luego, sí la resisencia disminuye o la inducancia crece, el iempo de duración del esado será mayor y la curva mas exendida o iene menor pendiene, por el conrario, si la resisencia aumena o la inducancia decrece, el iempo de duración del esado será menor y la curva será mas parada o iene mayor pendiene. El análisis anerior concuerda con la fórmula para la consane de iempo en el circuio en serie, aumena con el incremeno de la inducancia o disminuye con el aumeno de la resisencia, en caso conrario, la consane de iempo disminuye. Para esa respuesa, la función exponencial es negaiva y el cambio se produce en la corriene del valor mayor al menor, cuando el cambio es a la inversa, o sea cuando cambia de un valor menor a uno mayor, la función exponencial resulane ambién es negaiva pero ésa se le resa a un número posiivo y el comporamieno durane el cambio es idénico al anerior( esa clase de cambio se presena en el circuio en serie con fuenes, la cual se analizará mas adelane) CICUITO EN SEIE SIN FUENTES MAS GENEA EJEMPO N 1: Deerminar los volajes y corrienes de odos los elemenos para 0, en el circuio de la figura siguiene, si el inerrupor se abre para = Ω 900 Ω De acuerdo con la figura, para 0, en el circuio queda una sola inducancia y cuaro resisencias, si se i () obiene un equivalene de las cuaro resisencias, el = 0 circuio puede ser clasificado como sin fuenes. 100 Ω = 25 mh 500 Ω Por lo ano, el enunciado del problema puede 90 v cambiarse por el siguiene: i 2() Deerminar los volajes y corrienes de odos los elemenos para 0, en el circuio de la figura siguiene, si la inducancia presena una corriene Io para = 0 29/09/06 Página 5 de 34 Profesor : uis odolfo Dávila Márquez CODIGO: UFPS

6 500 Ω v 3() v 4() Ω v 2() v () = 25 mh Ω v 1() i 2() 900 Ω Io i () i (0 ) i 1() Noa: Para los volajes y corrienes que se deerminarán en cualquiera de los insanes, se uilizarán las polaridades y direcciones aquí asignadas. Deerminación de las Condiciones Iniciales Para deerminar las condiciones iniciales lo hacemos a parir de las condiciones de la corriene en la inducancia y de las caracerísicas del circuio. Para 0, específicamene para (0 ), un insane anes de accionar el inerrupor, el circuio se encuenra en esado esable y por ano la inducancia se compora como un coro circuio, luego para (0 ), el circuio quedará: 500 Ω 900 Ω De la figura se puede observar que, por la resisencia 100 Ω 90 v 500 Ω de 500 Ω no circula corriene, ya que esá corocircuiada por el comporamieno de la inducancia Por lo ano, la resisencia de 900 Ω queda en paralelo con la fuene de 90 v y la corriene a ravés de la inducancia es i (0 ) = 0.1 A Para = 0, se pueden deerminar odos los valores de volajes y corrienes a parir de las condiciones de la inducancia y del circuio que se presena, por lo ano, como la inducancia no permie el cambio brusco de la corriene, i (0) = i (0 ) = 0.1 A Para = 0, el circuio quedará: 100 Ω 500 Ω 12.5 v A 900 Ω 22.5 v 2.5 v 37.5 v i () Io = 0.1 A 500 Ω 37.5 v A i (0) = 0.1 A ; v (0) = 37.5 v ; i 1(0) = A ; v 1(0) = 37.5 v ; i 2(0) = A ; v 2(0) = 2.5 v ; v 3(0) = 12.5 v ; v 4(0) = 22.5 v a corriene a ravés de la inducancia se divide en las resisencias que esán en paralelo, la equivalene de 1500 Ω y la de 500 Ω, el volaje a ravés de la inducancia es el mismo a ravés de la resisencia de 500 Ω, por esar en paralelo con ella. Por ano, los correspondienes valores de las condiciones iniciales serán: MÉTODOS PAA A DETEMINACIÓN DE VOTAJES Y COIENTES EN FUNCIÓN DE TIEMPO A) MÉTODO DE CICUITO EQUIVAENTE: A parir del circuio para 0, se puede obener la resisencia equivalene de hévenin en los erminales de la 1500 *500 inducancia, quedando: hev = = 375 Ω. Por ano el circuio equivalene será: i De acuerdo con el modelo analizado en el puno anerior, la consane de () 3 25 x 10 iempo esará dada por: τ = = = useg, la respuesa naural v () I o hev v () de corriene i () = Io e = Io e eemplazando la condición inicial i (0) = 0.1 A, la corriene esará dada por: i () = 0.1 e A A parir del valor de corriene que circula por la inducancia, podremos d i () deerminar el valor del volaje a ravés de la misma, eso es : v () = = 37.5 e v 29/09/06 Página 6 de 34 Profesor : uis odolfo Dávila Márquez CODIGO: UFPS

7 egresando al circuio original y a parir de los valores obenidos sobre la inducancia, podremos deerminar el reso de corrienes y volajes asignados. a corriene a ravés de la inducancia se bifurca en las resisencias de 500 Ω y la equivalene de 1500 Ω que esán en paralelo, luego las corrienes por las resisencias serán: i 1() = 0.1 e * = e A i 2() = 0.1 e * = e A os volajes a ravés de las resisencias serán: v 1() = 500 i 1() = 37.5 e v ; v 2() = 100 i 2() = 2.5 e v v 3() = 500 i 2() = 12.5 e v ; v 4() = 900 i 2() = 22.5 e v B) MÉTODO DE A ECUACIÓN DE ESPUESTA NATUA Y ESPUESTA FOZADA Se observa que odas las respuesas de volajes y de corrienes ienen la misma función exponencial, por lo ano, se puede asumir la respuesa naural para odos los volajes y corrienes del circuio, deerminando la consane mediane el reemplazo de la respeciva condición inicial. El méodo consise en asumir para cada variable una ecuación que conenga una consane desconocida muliplicada por una función exponencial cuyo exponene es , en donde la consane se deermina reemplazando las condiciones iniciales. A coninuación se presena una abla en donde esá condensado el procedimieno a seguir con cada variable y el resulado para cada una de ellas, esos resulados coinciden con las respuesas obenidas en el puno inmediaamene anerior, ya que se han uilizado las mismas direcciones para las corrienes y las mismas polaridades para los volajes. ESPUESTA NATUA PAA CADA VAIABE ESPECTIVA CONDICIÓN INICIA VAO DE A CONSTANTE ESPUESTA EN E DOMINIO DE TIEMPO PAA CADA VAIABE i () = K 1 e A v () = K 2 e v i 1() = K 3 e A i 2() = K 4 e A v 1() = K 5 e v v 2() = K 6 e v v 3() = K 7 e v v 4() = K 8 e v i (0) = 0.1 A K 1 = 0.1 v (0) = 37.5 v K 2 = 37.5 i 1(0) = A K 3 = i 2(0) = A K 4 = v 1(0) = 37.5 v K 5 = 37.5 v 2(0) = 2.5 v K 6 = 2.5 v 3(0) = 12.5 v K 7 = 12.5 v 4(0) = 22.5 v K 8 = 22.5 i () = 0.1 e A v () = 37.5 e v i 1() = e A i 2() = e A v 1() = 37.5 e v v 2() = 2.5 e v v 3() = 12.5 e v v 4() = 22.5 e v C) MÉTODO DE A ECUACIÓN DIFEENCIA: El méodo consise en deerminar un modelo maemáico o ecuación diferencial, la cual presene a la corriene de la inducancia como la única variable dependiene, a parir de las relaciones enre el volaje y la corriene de los elemenos y las aplicaciones de las leyes de Kirchhoff al circuio que se esá analizando, poseriormene, a parir de la respuesa de corriene enconrada se deerminan odas las variables uilizando las mismas relaciones indicadas aneriormene. 29/09/06 Página 7 de 34 Profesor : uis odolfo Dávila Márquez CODIGO: UFPS

8 Haciendo referencia al circuio presenado para 0, con las polaridades y direcciones indicadas, se pueden escribir las ecuaciones siguienes: d i () (1) v () =, Malla II ; (2) v () = 500 i 1() Malla I ; v () = (v 2() v 3() v 4() ) ; (3) v () = 1500 i 2() Nodo inferior ; (4) i () = i 1() i 2() eagrupando las ecuaciones 2 y 3, obenemos (5) i 1() = 3 i 2() eemplazando 5 en 4, obenemos (6) i () = 4 i 2() eemplazando 6 y 3 en 1, endremos el modelo maemáico final para la variable de corriene de la inducancia, d i () ese es : i () = 0 uego el problema ahora consise en desarrollar la ecuación diferencial presenada para la condición inicial deerminada aneriormene i (0) = 0.1 A Desarrollando la ecuación diferencial por el méodo de separación de variables, podremos enconrar la solución general de la ecuación diferencial, esa es : i () = K e eemplazando la condición inicial en la solución general, la solución específica quedará expresada por: i () = 0.1 e , la cual corresponde a la misma respuesa obenida en uno de los méodos aneriormene uilizados. Como en el primer méodo uilizado las ecuaciones de volajes y de corrienes se pueden obener a parir de la ecuación de corriene enconrada. El méodo se puede uilizar deerminando la ecuación diferencial a parir de cualquiera de las variables involucradas en el circuio CICUITO EN SEIE CON FUENTES Al incluirle una fuene al circuio, ésa suminisra energía al circuio y ya no habrá necesidad que la inducancia enga energía almacenada en el insane inicial para que circule corriene por el circuio, pero igualmene la puede ener para hacer el análisis del circuio. A coninuación se presena un circuio en serie, en donde el inerrupor se acciona en = 0 para conecar la fuene de corriene coninua que le suminisrará la energía al circuio. i Sea i () la corriene que circula por el circuio para 0, después de () accionar el inerrupor en = 0. v () i () Sea Io la corriene por el circuio en = 0 = 0 Sea v () el volaje a ravés de la resisencia para 0. v () Sea v () el volaje a ravés de la inducancia para 0. V Por esar el circuio en serie: i () = i () = i () i () Io Por ley de Ohm: v () = * i () v () = * i () (A) d i () d i () Por ley de Faraday: v () = v () = (B) Aplicando la ley de los volajes de Kirchhoff alrededor del camino cerrado, endremos: V v () v () = 0, remplazando A y B en esa ecuación y reagrupando en érminos de la corriene, la expresión quedará: d i () V i() =, la cual corresponde a una ecuación diferencial lineal, con i() como función, no homogénea, de coeficienes consanes, de primer orden. Por ser una ecuación diferencial, su solución puede apoyarse en la solución de la homogénea correspondiene, o sea, la solución de la ecuación diferencial puede expresarse como i () = i h () i p (), en donde i h () es la solución 29/09/06 Página 8 de 34 Profesor : uis odolfo Dávila Márquez CODIGO: UFPS

9 general de la homogénea correspondiene y i p () es una solución paricular o específica de la ecuación diferencial a resolver. Solución de la Homogénea Correspondiene: Para la ecuación diferencial homogénea correspondiene en el proceso anerior, resulando: i h () = K 1 e d i () i() = 0, su solución general fue enconrada, esa respuesa ambién recibe el nombre de espuesa Naural, porque su resulado solo depende de la nauraleza del circuio. Solución Paricular de la Ecuación Diferencial a esolver: Para deerminar la solución paricular uilizaremos el méodo de los coeficienes indeerminados, luego, como el érmino independiene es una consane se asume para la solución paricular una consane, eso es: i p () = K d i p() Derivando esa expresión con respeco al iempo, endremos: = 0 y reemplazando, la función y su V V derivada, en la ecuación diferencial resula: 0 K =, luego, K = Por ano, la solución paricular quedará i p () = V Esa solución ambién recibe le nombre de espuesa Forzada, porque depende de la fuene de exciación y se dice que la fuene fuerza a que la corriene enga ese valor, ambién es la corriene que aparece mucho iempo después de haber accionado el inerrupor, cuando la inducancia se compora como coro circuio por enconrarse en esado esable Solución General de la Ecuación Diferencial a esolver: a solución general de la ecuación diferencial quedará expresada por: i () = i h () i p (), luego, i () = K 1 e V Solución Paricular de la Ecuación Diferencial: eemplazando la condición inicial i (0) = Io, la expresión para la respuesa de corriene del circuio quedará : V V i () = ( Io ) e Como en el proceso anerior, después de deerminar la expresión para la corriene del circuio podremos obener a parir de ésa, las expresiones para los volajes del circuio. EJEMPO N 2: Para el circuio analizado en el puno inmediaamene anerior, sí = 2Ω, = 3 H, V = 50 v, Io = 0 A, deermine una expresión para la corriene del circuio en 0. Solución: El modelo maemáico para la corriene del circuio quedará: d i () 3 2 i() = a solución general de la homogénea correspondiene será: : i h () = K 1 e 3 2 a solución paricular de la ecuación diferencial a resolver se obiene por medio del méodo de los coeficienes indeerminados, o sea; i p () = K 50 3, 29/09/06 Página 9 de 34 Profesor : uis odolfo Dávila Márquez CODIGO: UFPS

10 Derivando esa expresión con respeco al iempo, endremos: d i p() = 0 y reemplazando, la función y su derivada, en la ecuación diferencial resula: 0 K =, luego, K =, ó, K = 25, por ano, la solución paricular quedará i p () = 25 a solución general de la ecuación diferencial esará expresada por: i () = 25 K 1 e 3 2 eemplazando las condiciones iniciales i (0) = 0, enconraremos la respuesa de corriene para el circuio, la cual quedará expresada por: i () = e 2 3 o i () = 25( 1 e 2 3 ) El lugar geomérico correspondiene a la ecuación de respuesa de la corriene será dibujado en la figura siguiene: 25 A i () 15 A 5 A 0 1τ 2τ 3τ 4τ 5τ 6τ (seg) ESTADO ESTABE ESTADO TANSITOIO = 7. 5 seg. ESTADO ESTABE En donde, la consane de iempo es igual a 1.5 segundos y el esado ransiorio dura aproximadamene 7.5 segundos. El fenómeno es considerado como la carga de una inducancia, o sea, inicialmene la corriene a ravés de la inducancia era 0 A, se cierra el inerrupor en = 0 y empieza a aumenar la corriene a ravés de la inducancia, variando exponencialmene, hasa que se esabiliza en 25 A, a parir de ese insane la inducancia produce un flujo que es consane, correspondiene a los 25 A consanes que circulan a ravés de ella, por ello, se dice que la inducancia se cargó con un deerminado flujo, o sea, la inducancia almacenó energía. Oro puno de visa es el que, la fuene de volaje proporciona un cambio en la corriene de la inducancia al forzarla a pasar de 0 a 25 A, la inducancia se opone a que ese cambio se realice en cero iempo y solo lo permie ejecuar en un iempo igual a cinco consanes de iempo( = 7. 5 seg.), la cual es el iempo en el que dura el esado ransiorio. a inducancia acúa como al solo en el esado ransiorio porque la corriene es variable, en los esados esables la inducancia se compora como un coro circuio, enonces, la corriene en los esados esables esará deerminada por la fuene de volaje aplicada y la resisencia en serie con la inducancia, lo que significa, que 50 para 0 la corriene es igual a 20 = 0 A y para >>>> 0, en esado esable, la corriene es igual a 2 = 25 A, a esa úlima respuesa es lo que se le denomina espuesa Forzada, que es la misma solución paricular dela ecuación diferencial enunciada en el méodo analíico anerior. El comporamieno de la inducancia en cada uno de los esados indicados en la figura anerior, permie esablecer un esquema elécrico para cada uno de los esados en donde se pueda analizar el comporamieno de la corriene. V 0 A 0 A 0 v 0 A = 2 Ω 0 v = 3 H Para < 0 el inerrupor no ha sido accionado, por lo ano la fuene de volaje no se ha aplicado al circuio y su corriene será cero, luego i (0 ) = 0, al periodo de iempo se le considera como Esado Esable. 29/09/06 Página 10 de 34 Profesor : uis odolfo Dávila Márquez CODIGO: UFPS

11 50 v i () = 2 Ω v () v () i () = 3 H Para, seg., el inerrupor esá conecado y por el circuio circula una corriene que dependedle iempo, esa corriene es: i () = 25( 1 e 2 3 ) A. os volajes y corrienes de los elemenos ambién dependen del iempo, al periodo de iempo se le considera como Esado Transiorio. i () 25 A 50 v = 2 Ω 50 v 0 v 25 A = 3 H Para >>>> 0, la corriene por el circuio se ha esabilizado en 25 A y la inducancia se compora como un coro circuio, por ser la corriene consane, para ese periodo el valor de la 50 corriene esa deerminado por 2 = 25 A, a ese valor se le da el nombre de espuesa Forzada,o PEMANENTE, o ESTABE, la cual es deerminada por el valor de la fuene. i () MÉTODO DE A ECUACIÓN DE ESPUESTA NATUA Y FOZADA EN A DETEMINACIÓN DE A ESPUESTA DE A COIENTE EN E CICUITO EN SEIE EXCITADO (MÉTODO SISTÉMICO SIMPE O DE ESPUESTA NATUA Y FOZADA) El análisis del ejemplo numérico y el desarrollo analíico de la ecuación diferencial presenados aneriormene para la deerminación de la corriene en el circuio en serie, sugiere la presenación de un méodo sisémico denominado procedimieno simple para deerminar la corriene o cualquier volaje en el circuio y que reemplaza al desarrollo analíico. a respuesa oal de la corriene en función del iempo esará compuesa de dos érminos, a saber: i () = i n () i f (), en donde, i n () es la respuesa naural de la corriene, y i f () es la respuesa forzada de la corriene. espuesa Naural de la Corriene: El respuesa consise en asumir para i n () una ecuación que conenga una consane desconocida muliplicada por una función exponencial cuyo exponene es =, en donde la consane desconocida se deermina reemplazando las condiciones iniciales en la respuesa oal de la corriene, eso es: i n () = K e 2 Para el ejemplo numérico, τ = 1.5 seg., i n () = K e 3, i n () = K e 1.5 τ espuesa Forzada de la Corriene: a respuesa forzada o permanene o esable es la corriene que se presena en la inducancia mucho iempo después de haber accionado el inerrupor, o la corriene que se presena para > >>> 0, cuando la inducancia se compora como un coro circuio. Para el ejemplo numérico, i f () = 25 A espuesa Toal de la Corriene, Solución General de la Corriene a respuesa esará expresada por: i () = K e Solución Específica de la Corriene: Para deerminar la consane presenada en la solución general, reemplazamos las condiciones iniciales i (0) = 0, por ano la respuesa de corriene para el circuio quedará expresada por: i () = e 2 3 o i () = 25( 1 e 2 3 ), la cual es idénica a la deerminada en el desarrollo analíico presenado en el puno inmediaamene anerior. El méodo simple, se puede uilizar para deerminar la respuesa de cualquier variable del circuio aplicado direcamene a ella, en la cual, se reemplaza las respecivas condición inicial y respuesa forzada, por ano, si se 29/09/06 Página 11 de 34 Profesor : uis odolfo Dávila Márquez CODIGO: UFPS

12 conocen odas las condiciones iniciales de las variables y sus respuesas forzadas, el méodo puede ser uilizado para deerminar cualquiera de las variables mediane aplicación direca del méodo. A coninuación se presena una abla en donde esá condensado el procedimieno a seguir, por el méodo simple, aplicado direcamene a cada variable y el resulado final para cada una de ellas, esos resulados coinciden con las respuesas obenidas a parir del valor de corriene deerminado en el puno inmediaamene anerior, ya que se han uilizado las mismas direcciones para las corrienes y las mismas polaridades para los volajes. VAIABE DE CICUITO ESP. NATU A ESP. FO ZADA SOUCIÓN GENEA COND INICIA ESPUESTA EN FUNCIÓN DE TIEMPO COIENTE DE CICUITO VOTAJE DE AE SISTENCIA VOTAJE DE A INDUC TANCIA K 1 e K 2 e K 3 e i () = K 1 e i (0) = 0 v () = K 2 e 2 3 v () = K 3 e v (0) = 50 v (0) = 0 i () = e 2 3 v () = e 2 3 v () = 50 e CICUITO EN SEIE CON FUENTES MAS GENEA EJEMPO N 3 : Para el circuio de la figura siguiene el inerrupor se cierra en = 0, deermine la corriene i y los volajes v (), v 1(), v 2() y v 3() para 0. Encuenre : v (25 ms), v (1 ms), v 1 en = 1τ y el iempo requerido para que i sea igual a 100 ma DETEMINACIÓN DE AS CONDICIONES INICIAES = 0 36 v 470 Ω v 2() 100 Ω v 1() v 3() 20 Ω i () = 0.6 h v () Para ( 0 ), anes de accionar el inerrupor, la corriene a ravés de la inducancia es igual a cero, luego, para ( 0 ), la corriene de la inducancia sigue siendo cero. Por ano, el valor uilizado en la condición inicial para la corriene de la inducancia en el insane = 0 es: i (0) = 0 y el reso de valores iniciales se podrán obener a parir del siguiene circuio presenado para = 0. Para = 0, el circuio que se presena es el siguiene: i 2(0) = A 36 v i f(0) = A 470 Ω = 36 v = 0.6 h v (0) = 36 v v 2(0) 100 Ω i (0) = 0 v 1(0) = 0 v 3(0) = 0 20 Ω De la figura se pueden deerminar las condiciones iniciales de odos los elemenos, esas son: i f(0) = A ; v f(0) = 36 v; i 2(0) = A ; v 2(0) = 36 v ; i 1(0) = 0 ; v 1(0) = 0 ; i 3(0) = 0 ; v 3(0) = 0 i (0) = 0 ; v (0) = 36 v 29/09/06 Página 12 de 34 Profesor : uis odolfo Dávila Márquez CODIGO: UFPS

13 SOUCIÓN PO E MÉTODO DE CICUITO EQUIVAENTE Para 0 el circuio puede ransformarse a un circuio equivalene, uilizando el equivalene de hévenin en los erminales del inducor. Por lo ano, el circuio anerior se puede ransformar a: En donde la corriene a ravés de la inducancia se puede obener 120 Ω mediane la aplicación de la fórmula enconrada en el desarrollo hev eórico del circuio en serie con fuenes viso aneriormene, i () esa es: V hev = 36 v e = 0.6 h v () i () = V ( Io V ) e Para el caso: I o = 0 ; V = 36 ; = 120, luego reemplazando en la ecuación endremos: i () = = e 200 A A parir de ese resulado y eniendo en cuena el circuio original podremos enconrar el reso de variables que solicia el enunciado del problema, por ello, haciendo referencia al circuio original endremos: i () = i 1() = i 3() = e 200 d i () A ; v () = = 36 e 200 v v 1() = 30 30e 200 v ; v 2() = 36 v ; v 3() = 6 6 e 200 v ; i 2() = A i f() = i () i 2() = e 200 A ESPUESTA A AS PEGUNTAS FOMUADAS EN E ENUNCIADO DE POBEMA : v (25 ms) = v ; v (1 ms) = v ; v 1(0.005 s) = v ln( 2 El iempo requerido para que I sea igual a 100 ma es: 3 ) 200 = mseg SOUCIÓN PO E MÉTODO SISTÉMICO SIMPE (ESPUESTA NATUA Y FOZADA) DETEMINACIÓN DE AS CONDICIONES FOZADAS Para un iempo grande después de haber accionado el inerrupor, el circuio se encuenra en esado esable y el inducor se compora como un coro circuio, por ano, el circuio equivalene quedará: CONDICIONES FOZADAS 100 Ω i 1f = 0.3 A ; v 1f = 30 v i f = 0.3 A i 2f = A ; v 2f = 36 v i 2f = A v v 1f = 30 i 3f = 0.3 A ; v 3f = 30 v 36 v 470 Ω v 2f = 36 v = 0.6 h v f = 0 v i ff = A v ff = 36v i f = 0.3 A ; v f = 0 v i ff = A v 3f = 6 v 20 Ω A parir de las condiciones iniciales y forzadas se podrá deerminar cualquier variable de volaje o corriene del circuio. Deerminación del volaje a ravés de la inducancia Condiciones: v (0) = 36 v ; v f = 0 v v () = v f v N = 0 K e 200, reemplazando las condiciones iniciales endremos: 200 (0) para = 0 ; v = 36 ; 36 = K e K = 36, luego, v () = 36 e 200 A coninuación se presena una abla en donde esá condensado el procedimieno a seguir con cada variable y el resulado enconrado para cada una de ellas, esos resulados coinciden con las respuesas obenidas en el puno 29/09/06 Página 13 de 34 Profesor : uis odolfo Dávila Márquez CODIGO: UFPS

14 inmediaamene anerior, ya que se han uilizado las mismas direcciones para las corrienes e iguales polaridades para los volajes. VAIABE DE CICUITO ESPUESTA NATUA ESPUESTA FOZADA SOUCIÓN GENEA CONDICIÓN INICIA ESPUESTA EN FUNCIÓN DE TIEMPO COIENTE DE INDUCTO i () K 1 e 200 i f = K 1 e 200 i (0) = 0 i () = e 200 COIENTE DE 1 i 1() K 2 e 200 i 1f = K 2 e 200 i 1(0) = 0 i 1() = e 200 COIENTE DE i 2f = 2 i 2() K 3 e COIENTE DE i 2(0) = K 3 e i 1() = i 3() K 4 e 200 i 3f = K 4 e 200 i 3(0) = 0 i 3() = e 200 VOTAJE DE INDUCTO v () K 5 e 200 v () = 0 0 K 5 e 200 v (0) = 36 v () = 36 e 200 VOTAJE DE 1 v 1() K 6 e 200 v 1f = K 6 e 200 v 1(0) = 0 v 1() = 30 30e 200 VOTAJE DE 2 v 2() K 7 e 200 v 2f = K 7 e 200 v 2(0) = 36 v 2() = 36 VOTAJE DE 3 v 3() K8 e 200 v 3f = 6 6 K 8 e 200 v 3(0) = 6 v 3() = 6 6 e SOUCIÓN PO E MÉTODO DE A ECUACIÓN DIFEENCIA El méodo consise en deerminar un modelo maemáico o ecuación diferencial, el cual presene a cualquier volaje o corriene como la única variable dependiene ( para ese caso la corriene de la inducancia) y al iempo como la variable independiene, a parir de las relaciones enre el volaje y la corriene de los elemenos y las aplicaciones de las leyes de Kirchhoff al circuio que se esá analizando. Poseriormene, a parir de la respuesa de corriene enconrada se deerminan odas los volajes y corrienes uilizando las mismas relaciones indicadas aneriormene. Haciendo referencia al circuio original presenado para 0, con las polaridades y direcciones indicadas, se pueden escribir las ecuaciones siguienes: Aplicando VK a la malla de la derecha, endremos: i 1() 100 Ω A) v i v 20 i = 0 i f() v 1() d i i B) v 2 = 36 C) v = () 470 Ω v 2() = 0.6 h v () eemplazando B) y C) en A), ésa quedara: 36 v d i i i 2() v 3() = 0 d i 200 i = Ω i 3() eemplazando el valor de y reagrupando la ecuación, ésa quedará: Por ano el problema consise en desarrollar la ecuación diferencial deerminada para las condicione inicial i (0) = 0.3 a solución general de la ecuación diferencial i (), puede ser expresada como la suma de la respuesa de la homogénea correspondiene i N y una solución paricular de la ecuación diferencial i P; i () = i H i P 29/09/06 Página 14 de 34 Profesor : uis odolfo Dávila Márquez CODIGO: UFPS

15 Deerminación de la respuesa a la homogénea correspondiene d i i H es la solución de 200 i = 0, o sea :i H = K e 200 Deerminación de la solución paricular: Para deerminar la solución paricular se uiliza el méodo de los coeficienes indeerminados: Como el érmino independiene es 60, se asume para i P = k 1 Derivando con respeco al iempo y reemplazando en la ecuación diferencial se deermina la solución paricular. d i P = 0 ; k 1 = 60, luego, k 1 = 0.3, o sea que: i P = 0.3 SOUCIÓN GENEA a solución general quedará: i () = K e SOUCIÓN ESPECÍFICA O PATICUA eemplazando la condición inicial ( = 0 ; i = 0 ) en la solucion general, deerminaremos la consane K, eso es: 0 = K e 200 (0) 0.3 ; K = 0.3, luego la solución específica quedará: = e 200 A parir de la solución para la corriene en el inducor se puede deerminar el volaje del inducor y poseriormene odas las variables del circuio, resulando expresiones idénicas a las obenidas en el paso inmediaamene anerior POBEMAS POPUESTOS 1. El inerrupor de la figura ha permanecido cerrado durane mucho iempo y se abre en = 0. Deermine una expresión para la corriene i en función del iempo, para 0. espuesa: i = 5 20 e 40 A i i () 2. El inerrupor de la figura se acciona en = 0. Deermine expresiones para las corrienes Ia e Ib en función del iempo y para 0. espuesas: 29/09/06 Página 15 de 34 Profesor : uis odolfo Dávila Márquez CODIGO: UFPS

16 5.3 CICUITOS C EN SEIE CICUITOS C EN SEIE SIN FUENTES Como en el caso del circuio sin fuenes, para que exisa corriene en el circuio, después de accionar el inerrupor en = 0, se hace necesario que el capacior esé inicialmene cargado, por lo anerior, la siguiene configuración nos permiirá analizar el comporamieno del circuio C sin fuenes en 0. v r i i C = 0 v C v i Para el circuio anerior, se supone que el inerrupor se conecó en la posición A en = y cambia a la posición B en = 0. Suponemos ambién que el inerrupor gasa cero iempo en pasar de la posición A a la B, eso significa que en = 0 el inerrupor esá en la posición A y B Para < 0, mucho iempo después de haberse conecado el inerrupor en la posición A, el circuio se encuenra en esado esable, por ano el capacior se encuenra en circuio abiero y específicamene para (0 ) el circuio esará represenado por el siguiene esquema: El volaje a ravés del capacior en (0 ), un insane anes de accionar v ic() r i A v C() i () B 0 A v () v C( 0 ) = v =V 0 i () el inerrupor, es igual al volaje de la fuene, o sea que: v C( 0 ) = V 0 En = 0 el inerrupor pasa a la posición B y como el capacior se opone al cambio brusco de su volaje, enonces: v C( 0 ) = v C( 0) = v C( 0 ) = V 0, la cual será la condición inicial del condensador a reemplazar en la deerminación del modelo maemáico. Para 0, el problema consise en deerminar las corrienes y volajes y en función del iempo sí el volaje a ravés del capacior en = 0 es Vo. DESAOO: Como en el circuio en serie, primero se asigna la dirección de la corriene en el circuio, eso es: i () = i () = i C() Poseriormene se asigna la polaridad del volaje de la resisencia y del capacior, condicionada a la dirección asignada a la corriene para uilizar las fórmulas en la convención de los signos pasivos. De acuerdo con la polaridad asignada al volaje del capacior,v C(), la condición inicial de volaje quedará, v C(0) = Vo, produciendo con eso una condición inicial para la crga igual a: q C(0) = C Vo. Aplicando la ley de los volajes de Kirchhoff al camino cerrado, endremos: v C() v () = 0 (1) Por ley de Ohm v () = * i () ; Por leyes de la elecrosáica v C() = q () C q ( ) eemplazando esas expresiones, la ecuación (1) quedará * i () = 0 (A) C d q () Como i () = i C() =, reemplazamos en la ecuación (A), que reagrupándola quedará: d q () 1 q () = 0, la cual corresponde a una ecuación diferencial de primer orden, ineal, con q () como C función y como variable independiene, con coeficienes consanes( 1 C ), homogénea. a ecuación diferencial enconrada es idénica a la ecuación presenada para la corriene en el circuio en serie, en donde el coeficiene ( ) se cambia por ( 1 C ), por ano, odo lo que se esudió para esa ecuación se cumple para la ecuación de la carga en ese caso. 29/09/06 Página 16 de 34 Profesor : uis odolfo Dávila Márquez CODIGO: UFPS

17 a solución general de la ecuación quedará q () = K e C,la cual corresponde a la espuesa Naural de la carga, en donde la consane de iempo τ es igual a C. Finalmene, reemplazamos la condición inicial q C(0) = C Vo, para enconrar el modelo maemáico de la carga en función del iempo, el cual queda q () = C Vo e C A parir de la ecuación de carga enconrada, de las polaridades asignadas en el circuio y de las relaciones enre el volaje y la corriene para cada uno de los elemenos, podremos deerminar las ecuaciones para la corriene del circuio y los volajes de cada elemeno, esas ecuaciones quedarán: V i () = i () = i C() = o e C ; v C() = Vo e C ; v () = Vo e C ANÁISIS DE FENÓMENO EÉCTICO A parir de los lugares geoméricos correspondienes a las expresiones enconradas para la carga, la corriene y los volajes, podremos analizar el comporamieno del fenómeno elécrico que se presena para 0. El circuio elécrico consa de una resisencia que se coneca en paralelo con un capacior, el cual iene almacenada una energía elécrica represenada por el volaje Vo o la carga q o = C Vo. En el desarrollo del modelo maemáico, las polaridades de los volajes y las direcciones de las corrienes de los elemenos fueron asignadas de acuerdo con la convención de los signos pasivos, pero al deerminar el volaje del capacior resuló negaivo, o sea que, cambia la polaridad del volaje asignado, lo que indica que el capacior acúa como elemeno acivo y enrega la energía almacenada. Al proceso se le denomina descarga del capacior. a energía elécrica almacenada en el capacior es enregada a la resisencia y ésa a su vez la disipa en forma de calor al medio ambiene. En = 0, el volaje del capacior Vo es aplicado a la resisencia, resulando con eso, que la corriene oma un valor de en el insane inicial y disminuye exponencialmene. Después de cinco consanes de iempo( 5 C seg.), aproximadamene, la corriene del circuio oma el valor de cero y por ano los volajes del capacior y de la resisencia ambién se hacen cero. Como en el circuio en serie, el proceso de cambio( ransiorio) gasa aproximadamene 5 C segundos, o sea que, el iempo del ransiorio se puede aumenar o disminuir con los valores de y C. Esa caracerísica es muy uilizada en los circuios elecrónicos, los cuales producen pulsos de frecuencias elevadas o periodos de iempo pequeñísimos mediane la simulación de circuios C CICUITO C EN SEIE SIN FUENTES MAS GENEA EJEMPO N 4 4 Ω 12 v 5 Ω i () = 0 v 2 20 Ω v 1 50mf v C() El inerrupor del circuio represenado en la figura de la izquierda, se abre para = 0, deermine los volajes y corrienes indicadas para 0 DETEMINACIÓN DE AS CONDICIONES INICIAES Para < 0, y específicamene para (0 ), el circuio se encuenra en esado esable, por ano el capacior se compora como un circuio abiero y los valores de corrienes y volajes para cada uno de los elemenos en ese insane, se indican en el circuio dibujado en el esquema elécrico siguiene: 29/09/06 Página 17 de 34 Profesor : uis odolfo Dávila Márquez CODIGO: UFPS

18 4 Ω 2 v 12 v 0.5 A 20 Ω 10 v 5 Ω 0.5 A 0 v 0 A v C() = 10 v El volaje a ravés del capacior en (0 ), un insane anes de accionar el inerrupor, es igual al volaje de la resisencia de 20 Ω, o sea que: v C( 0 ) = 10 v En = 0 el inerrupor se abre y como el capacior se opone al cambio brusco de su volaje, enonces: v C( 0 ) = v C( 0) = v C( 0 ) = 10 v, la cual será la condición inicial del condensador a reemplazar en la deerminación del modelo maemáico. Para 0, el inerrupor se encuenra en la posición abiero, y el circuio resulane es el capacior en serie con dos resisencias(sin fuenes exernas), por ano, para = 0, el circuio esará represenado por el esquema siguiene, de donde se pueden obener odas las condiciones iniciales de cada uno de los elemenos: 4 Ω 12 v 5 Ω i (0) = 0.4 A v 2(0) = 2 v 20 Ω v 1(0) = 8 v 50mf v C(0) = 10 v Igualmene la condición inicial para la carga del condensador es q C(0) = 0.5 coul Con base en el volaje del condensador, podremos deerminar la corriene y los volajes a ravés de las resisencias, de acuerdo con las polaridades asignadas en el enunciado del problema as condiciones iniciales son: v C(0) = 10 v ;i (0) = 0.4 A ; v 2(0) = 2 v ; v 1(0) = 8 v MÉTODOS PAA A DETEMINACIÓN DE AS ECUACIONES DE VOTAJES Y DE COIENTE EN FUNCIÓN DE TIEMPO A) Méodo de la respuesa naural Como en el circuio en serie, para 0 se deermina el equivalene de hévenin en los erminales del capacior, por lo ano el circuio equivalene que queda es un circuio equiv C, al cual se le pueden aplicar las fórmulas de respuesa deerminadas en el puno inmediaamene anerior. Para 0, el inerrupor se encuenra en la posición abiero, y el circuio resulane es el capacior en serie con una resisencia equivalene de 25 Ω, resulando de esa manera una consane de iempo igual a 1,25 segundos. a respuesa naural o solución general del volaje será: v C() = K 1 e 1.25 = K e eemplazando la condición inicial v C(0) = 10 v, el modelo maemáico quedará v C() = 10 e 0.8 A parir del valor del volaje en el condensador y de las relaciones de volaje conra corriene para cada uno de los elemenos los elemenos podremos deerminar el reso de los modelos. d v C() a corriene a ravés del condensador es i () = i () = i C() = C, en donde el negaivo proviene de haber uilizado para el condensador la convención de los signos acivos, luego su expresión será: i () = i () = i C() = 0.4 e 0.8 A parir de ese valor de corriene se pueden deerminar los volajes de las resisencias, resulando para ellos: v 1() = 8 e0.8 v2() = 2 e 0.8 Una alernaiva de ese úlimo proceso, es el de aplicar el méodo de la respuesa naural direcamene a cada variable, reemplazando su respeciva condición inicial. B) Méodo de la Ecuación Diferencial A parir del esquema elécrico presenado en el enunciado del problema, podremos deerminar la ecuación diferencial para la carga del condensador, la cual se desarrollará por el méodo analíico, obeniéndose con eso el modelo maemáico de la carga en función del iempo Aplicando la ley de los volajes de Kirchhoff al camino cerrado, endremos: v C() v 1() v 2() = 0 (1) 29/09/06 Página 18 de 34 Profesor : uis odolfo Dávila Márquez CODIGO: UFPS

19 Por ley de Ohm: v 1() = 20 * i () y v 2() = 5 * i () Por leyes de la elecrosáica i () = i 1() = i 2() = i C() = C d v C() ; v C() = q () C eemplazando esas expresiones, la ecuación (1) quedará: d q q ( ) ( 1 2 ) * i () = 0 (A) C () Como i () = i C() =, reemplazamos en la ecuación (A), que reagrupándola quedará: d q () 1 q 3 () = 0, la cual corresponde a una ecuación diferencial de primer orden, ineal, con q () 25x50*10 1 como función y como variable independiene, con coeficienes consanes ( (1 2 ) C ), homogénea d q () 0.8 q () = 0 Desarrollando la ecuación diferencial, su solución general quedará q () = K 1 e 0.8 eemplazando la condición inicial q C(0) = 0.5 coul, la solución específica para la carga quedará: q () = 0.5 e 0.8 ( El volaje a ravés del condensador será v C() = = 10 e 0.8 C d q () a corriene del circuio esará expresada por i () = = 0.4 e 0.8 os volajes sobre las resisencias serán v 1() = 8 e0.8 y v2() = 2 e 0.8 q ) CICUITOS C EN SEIE CON FUENTES A coninuación se presena un circuio C en serie, en donde el inerrupor se acciona en = 0 para conecar la fuene de corriene coninua que le suminisrará la energía al circuio i () = 0 V i () v () v C() i C() C Io Sea i () la corriene que circula por el circuio para 0, después de accionar el inerrupor en = 0. Sea Vo el volaje a ravés del capacior en = 0 y la correspondiene carga q 0 = C Vo Sea v () el volaje a ravés de la resisencia para 0. Sea v () el volaje a ravés del capacior para 0. Por esar el circuio en serie: i () = i () = i C() Por ley de Ohm: v () = * i () v () = * i () (A) d C() v Por leyes de la Elecrosáica: i C() = C v C() = (B) C d q C() d q () Por la definición de corriene: i () = i C() = = (C) Aplicando la ley de los volajes de Kirchhoff alrededor del camino cerrado, endremos: V v () v C() = 0, remplazando A,B y C en esa ecuación y reagrupando en érminos de la carga, la expresión d q () 1 V quedará: q() =, la cual corresponde a una ecuación diferencial lineal, con q() como función, C no homogénea, de coeficienes consanes, de primer orden. Por ser una ecuación diferencial, su solución puede apoyarse en la solución de la homogénea correspondiene, o sea, la solución de la ecuación diferencial puede expresarse como q () = q h () q p (), en donde q h () es la q C () 29/09/06 Página 19 de 34 Profesor : uis odolfo Dávila Márquez CODIGO: UFPS

20 solución general de la homogénea correspondiene y q p () es una solución paricular o específica de la ecuación diferencial a resolver. Solución de la Homogénea Correspondiene: Para la ecuación diferencial homogénea correspondiene d q () 1 q() = 0, su solución general fue C enconrada en el proceso anerior, resulando: q h () = K 1 e C, esa respuesa ambién recibe el nombre de espuesa Naural, porque su resulado solo depende de la nauraleza del circuio. Solución Paricular de la Ecuación Diferencial a esolver: Para deerminar la solución paricular uilizaremos el méodo de los coeficienes indeerminados, luego, como el érmino independiene es una consane se asume para la solución paricular una consane, eso es: q p () = K d q p() Derivando esa expresión con respeco al iempo, endremos: = 0 y reemplazando, la función y su derivada, en la ecuación diferencial resula: 1 V 0 K =, luego, K = C V C Por ano, la solución paricular quedará q p () = C V Solución General de la Ecuación Diferencial a esolver: a solución general de la ecuación diferencial quedará expresada por: q () = q h () q p (), luego, q () = K 1 e C C V Solución Específica de la Ecuación Diferencial: eemplazando la condición inicial q o = C Vo, la expresión para la respuesa de corriene del circuio quedará : i () = C V ( q o C V) e C = C Vo e C Como en el proceso anerior, después de deerminar la expresión para la carga del capacior podremos obener a parir de ésa, las expresiones para los volajes y la corriene del circuio. EJEMPO N 5: Para el circuio que se presena en la figura siguiene el inerrupor se abre en = 0. Deermine los volajes v C(), Vo () y la corriene i C() indicados, para 0. DESAOO: 4 kω = 0 12 v 2 kω i C() 2 kω 100 uf v C() 4 kω Vo () En el desarrollo del ejercicio uilizaremos dos méodos, a saber: 1 Méodo sisémico o simple de la respuesa naural y forzada para cada una de las variables ; 2 Méodo de la deerminación de la ecuación diferencial para una de las variables a desarrollar. Por cualquiera de los méodos que se uilice, se hace necesario deerminar las condiciones iniciales y los valores de las variables para >>>> 0, para cada una de las variables a deerminar, por lo ano, anes de planear el méodo a uilizar deerminaremos las condiciones iniciales y las condiciones forzadas de odas las variables del circuio, las cuales serán uilizadas en el desarrollo de los méodos. 29/09/06 Página 20 de 34 Profesor : uis odolfo Dávila Márquez CODIGO: UFPS