TEMA I RESPUESTA TEMPORAL. TRANSITORIOS Introducción La respuesta completa de una red lineal.

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1 TEMA I RESPUESTA TEMPORAL. TRANSITORIOS 1.1.-Inroducción La respuesa complea de una red lineal Condiciones iniciales de los elemenos Resisencia Inducancia Capacidad Circuios de Primer Orden Inroducción Circuio RC Circuio RL Resolución sisemáica Circuios de Segundo Orden Inroducción Circuios RLC serie y paralelo Clasificación de circuios Amoriguamieno críico ,.Sobreamoriguamieno Subamoriguamieno Parámeros de inerés Sobreimpulso Tiempo de subida Tiempo de esabilización Circuios de Orden Superior. -11-

2 I.1.-INTRODUCCIÓN Anes de que un circuio (o máquina) pueda llegar a una siuación esacionaria o de régimen permanene de funcionamieno (que sea diferene de algún esado anerior), el circuio pasa por un periodo de ransición, durane el cual, las ensiones y corrienes varían en función del iempo, hasa llegar finalmene a la condición de equilibrio (esado esacionario) impuesa por los parámeros de la red. El periodo de iempo requerido para que las ensiones y corrienes alcancen el esado final esacionario, se denomina periodo ransiorio. Durane ese iempo, las expresiones maemáicas de las ensiones y corrienes en las diversas pares de la red conienen cieros érminos disinos de las componenes esacionarias esudiadas en los aparados dedicados al régimen esacionario senoidal. Esas componenes consiuyen los érminos ransiorios y son, por lo general, de cora duración, siendo amoriguados por cieros facores exponenciales decrecienes, cuyos valores dependen de los parámeros del circuio. En general, cualquier operación de conexión, o desconexión, inducción o conmuación denro de un circuio, hará que exisan fenómenos ransiorios en la red. Aunque los fenómenos ransiorios son generalmene de cora duración, es precisamene en esos periodos de iempo en los que se presenan los problemas más serios y complicados de funcionamieno de un circuio o, en paricular, de una máquina elécrica. En ese capíulo se van a esudiar los circuios elécricos en régimen ransiorio. El análisis se realizará por el méodo clásico, es decir, resolviendo las ecuaciones inegrodiferenciales (en definiiva diferenciales) que resulan de aplicar los lemas de Kirchhoff al circuio, y deerminando las consanes de inegración que resulan, conociendo las condiciones iniciales de la red. Ese méodo es fácil de aplicar a circuios simples, represenados a lo sumo por una ecuación diferencial de segundo orden, pero resula complicada y ediosa su aplicación en circuios de mayor orden, por la dificulad en deerminar correcamene las condiciones iniciales de la red. Veremos, por ese méodo, los circuios de orden uno y dos, en los que se incluyen concepos y erminologías de gran inerés en el análisis ransiorio. Más adelane, uilizando el concepo de Transformada de Laplace, se verá el méodo moderno de cálculo de ransiorios en circuios elécricos. Ese procedimieno consise en ransformar las funciones y operaciones emporales en oras funciones que dependen de una frecuencia compleja generalizada s = F + jw. El méodo es muy sisemáico y poene, ya que permie resolver las ecuaciones diferenciales de un circuio de un modo simple, pues ransforma las ecuaciones diferenciales lineales de una red, en ecuaciones algebraicas, función de la frecuencia compleja s, con la gran venaja de que las condiciones iniciales del circuio quedan incorporadas de un modo auomáico. -12-

3 I.2.-LA RESPUESTA COMPLETA DE UNA RED LINEAL Al aplicar los lemas de Kirchhoff a circuios elécricos simples (serie o paralelo), se obienen unas ecuaciones inegro-diferenciales de orden 1 ó 2. Las ecuaciones de primer orden responden a la forma general: () a df d () () + b f = g (1) que corresponde a la expresión normalizada: df d () () f + = () g (2) Las ecuaciones de segundo orden son de la forma: a d n f n n d () () a df 2 b df c f() = g() (3) d d donde f() puede represenar una ensión, una corriene o una carga; g() es la ensión o corriene de exciación de la red (generadores); a, b, c y J son coeficienes consanes y es el iempo. Las ecuaciones diferenciales aneriores reciben ambién el calificaivo de lineales, debido a que los coeficienes que aparecen en cada érmino son parámeros consanes y no son función de la variable dependiene f(). En circuios más complejos, que esén formados por más mallas y nudos, la aplicación de los lemas de Kirchhoff da lugar a una serie de ecuaciones inegrodiferenciales en las que, cada variable dependiene (corriene de malla o ensión de nudo) responde a una ecuación diferencial lineal de un orden que, en general, es superior a dos, de la forma: n 1 () () () d f + a a df n 1 n af = G d d -13- () () (4) donde G() es, en general, una función lineal de g() y de sus derivadas. Como se recordará, la solución complea de una ecuación diferencial lineal (con coeficienes consanes) se compone de dos érminos: el primero de ellos se obiene resolviendo la homogénea de la ecuación diferencial, es decir, es la solución general de la ecuación diferencial cuando g() o G() se hace igual a cero, o de oro modo, cuando se anula la función de exciación del circuio. Esa solución f n () se conoce en ingeniería elécrica, como respuesa naural, propia y ambién libre del circuio; físicamene, represena la respuesa de un circuio cuando se anulan los generadores exisenes en el mismo y donde se consideran únicamene como fuenes, las debidas a las energías almacenadas en los elemenos reacivos de la red: inducancias y condensadores, como consecuencia de una alimenación previa de los

4 mismos. La respuesa naural recibe ese nombre porque es así como responde el circuio nauralmene, libremene, sin esar forzado. El sisema se compora de ese modo debido a su propia esrucura, ya que no hay fuenes conecadas que lo excien. El oro érmino que se incluye en la solución de la ecuación diferencial depende del ipo de exciación del circuio y corresponde a la solución paricular f p () de la ecuación diferencial, se conoce con el nombre de respuesa forzada del circuio, ya que depende de la forma paricular de la fuene (o fuenes) de exciación. En definiiva, la solución complea de una ecuación diferencial lineal como la indicada en (4) es de la forma: f () = f() + f() (5) n p La respuesa naural del circuio f n () coniene las consanes de inegración de la ecuación diferencial correspondiene. En circuios pasivos que conengan resisencias, esa respuesa debe ser necesariamene amoriguada, viniendo caracerizada por érminos exponenciales decrecienes con el iempo. Al cabo de un ciero iempo, esos érminos pueden considerarse despreciables, quedando como única respuesa, la solución paricular f p (); en ese caso se dice que el circuio funciona o ha llegado al régimen permanene. Mienras que la respuesa naural no sea despreciable, se dice que el circuio funciona en régimen ransiorio. La respuesa forzada del circuio f p () no coniene consanes de inegración arbirarias ya que esán definidas por la exciación correspondiene. Para deerminar las consanes de inegración de la respuesa compuesa, que esán presenes en la respuesa naural, es preciso conocer el esado del circuio en algún insane de iempo. En la prácica ese insane corresponde al momeno en que se produce la conexión (o desconexión en su caso) de los inerrupores del circuio. Por conveniencia maemáica, se considera casi siempre, que la conmuación (conexión o desconexión) se produce en el insane =, de al modo que el iempo inmediaamene anerior se define por = - y el iempo inmediaamene poserior a la conmuación se denoa por = +. El esado previo del circuio anerior a la conmuación (en = - ) se define generalmene con el conocimieno de la ensión en bornes de los elemenos capaciivos y la corriene en los elemenos inducivos. Esas condiciones de conorno definidas en = - se denominan condiciones iniciales. Sin embargo, hay que ener en cuena que para evaluar las consanes de inegración deben conocerse los valores inmediaamene después de que se ha producido la conmuación, pueso que se preende analizar el comporamieno del circuio a parir de dicho insane. En muchos casos el problema es indiferene, ya que las variables: ensión y corriene, son funciones coninuas en = (es decir, f( - ) = f( + )), pero exisen siuaciones con exciaciones ipo impulso donde las variables no ienen el mismo valor en = - y = +, por lo que es preciso deerminar con sumo cuidado las magniudes de las ensiones y corrienes en = +, necesarias para la evaluación de las consanes iniciales pariendo del conocimieno de sus valores en = -. Esa deerminación requiere un conocimieno claro del comporamieno de los elemenos pasivos simples, en el insane de la conmuación y se analizan con dealle en el siguiene aparado. -14-

5 I.3.-CONDICIONES INICIALES DE LOS ELEMENTOS Las condiciones iniciales de una red dependen de las energías almacenadas en los elemenos reacivos en = -, y la esrucura opológica de la misma en = + después de la conmuación. Lo que haya pasado anes se manifesará en los valores que engan las ensiones en los condensadores y las corrienes en las bobinas. Los dealles de ese proceso no ienen imporancia y lo único que ineresa es conocer los valores en = -. Una vez realizada la conmuación en = +, pueden aparecer nuevas ensiones y corrienes en la red, como resulado de los valores iniciales aneriores y debido a las fuenes que ahora se inroducen (o desaparecen). La evaluación de las ensiones y corrienes en = +, permiirá deerminar las consanes de inegración que aparecen en la respuesa complea de la red para >. Veamos el comporamieno de los elemenos pasivos simples en el momeno de la conmuación. I.3.1.-RESISTENCIA En una resisencia, la relación enre la ensión y la corriene viene expresada por la ley de Ohm: v () = R i () (6) Según la ecuación anerior, exise proporcionalidad direca enre la ensión y la corriene en una resisencia, lo que equivale a decir que la corriene sigue los cambios (la forma) que imponga la ensión; si ésa cambia insanáneamene, la corriene ambién cambiará de un modo insanáneo con una magniud 1/R de la ensión. I.3.2.-INDUCTANCIA En una inducancia, la relación enre la ensión y la coriene es de la forma: () v () L di L = (7) De la ecuación anerior se deduce que la corriene en una bobina no puede variar bruscamene, ya que la ensión debería hacerse infinia, lo cual no iene senido físico. Se puede comprobar la afirmación anerior con un poco más de dealle maemáico, deduciendo a parir de (7) la corriene i L () para un iempo genérico : d i L () () = 1 L vd (8) -15-

6 Que se puede descomponer en dos sumandos: i L () () () 1 = L vd 1 + L vd (9) El primer sumando represena el valor de la corriene en = -. Si la conmuación se realiza en = y se desea calcular la corriene en el insane = +, resulará: i L 1 L + ( ) = i ( ) + () + L vd (1) que, excepuando la siuación eórica de que la ensión aplicada sea un impulso de Dirac, la inegral de (1) será siempre igual a cero, de donde se deduce que: i L ( ) i ( ) + L = (11) que represena la coninuidad física de la corriene en la bobina en el momeno de la conmuación. De la ecuación anerior se deduce que para el cálculo de los valores iniciales en un circuio, una bobina cargada se puede susiuir por una fuene ideal de corriene de valor i L ( + ) = i L ( - ). Si la bobina esá descargada, i L ( - ) =, enonces se compora inicialmene como un circuio abiero (i L ( + ) = ), independienemene de la ensión en sus erminales. El circuio equivalene de Noron lo obenemos a parir de la ecuación de definición: (12) que equivale a una fuene de inensidad coninua I o en paralelo con la bobina descargada. Figura 1 En cuano al circuio de Thevenin, lo obenemos poniendo esa bobina descargada inicialmene, en serie con un impulso de ensión de área l, lo que origina un flujo oal inicial NM o = l y una corriene I o = l/l. Eso es, e() = (I o L) *() -16-

7 Figura 2 Oras conclusiones que pueden deducirse de (7) es el comporamieno de una bobina cuando las exciaciones del circuio (generadores) son de corriene coninua. En ese caso, cuando se ha alcanzado el régimen permanene ( = 4), la corriene en la bobina endrá un valor consane independiene del iempo, por lo que, según (7), la derivada será igual a cero, lo que significa que, con corriene coninua, en régimen permanene, una bobina se compora como un corocircuio. I.3.3.-CAPACIDAD por: En un condensador, la relación enre la ensión y la corriene viene expresada 1 v () () C id c = (13) o de un modo equivalene: () i () C dv c = (14) d de la ecuación anerior se deduce que la ensión en un condensador no puede variar bruscamene, ya que la corriene debería hacerse infinia, lo cual no iene senido físico. La aseveración anerior se puede jusificar con más dealle a parir de (12): v c () () () () 1 C id 1 = = C id 1 + C id v c La primera inegral del úlimo miembro de la anerior ecuación represena la ensión en el condensador en = -, es decir, v c ( - ). Si la conmuación del condensador se produce en =, el valor de la ensión del condensador en = +, será igual, de acuerdo con (14), a: 1 C + ( ) = v ( ) + () + c (15) id (16) -17-

8 que, para corrienes que no sean de ipo impulso, conduce a: v c ( ) v ( ) = (17) + c que represena la coninuidad de la ensión en un condensador en el momeno de la conmuación. De (16) se deduce que, para el cálculo de los valores iniciales en un circuio, un condensador cargado se puede susiuir por una fuene ideal de ensión de valor v c ( + ) = v c ( - ). Si el condensador esá descargado [v c ( - ) = ] enonces se compora como un corocircuio [v c ( + ) = ] independienemene de la corriene que circula por el mismo. El circuio equivalene, según Thevenin, de un condensador cargado con una carga inicial U o (volios) lo podemos obener a parir de la ecuación de definición: (18) Esa ecuación indica que, a parir del insane =, un condensador cargado puede susiuirse por una fuene de ensión coninua, que suminisra un escalón U o U() y un condensador de igual capacidad (descargado): Figura 3 La ensión en bornes del condensador real es u() enre A y B (no u C ). El circuio equivalene de Noron puede obenerse a parir del anerior. La inensidad de corocircuio que puede suminisrar el condensador en el insane =, en que U AB = U o U() es: (19) Figura 4 y siendo la carga del condensador q = C U o lo que implica que la corriene de corocircuio es un impulso de área q: i cc () = q *() -18-

9 Por oro lado, si se considera un condensador en un circuio de corriene coninua, cuando se ha alcanzado el régimen permanene ( = 4), la ensión en bornes del condensador endrá un valor consane, independiene del iempo, por lo que, según (13), la derivada será igual a cero, lo que significa que con corriene coninua, en régimen permanene, un condensador se compora como un circuio abiero. En resumen, cuando se desean deerminar las condiciones iniciales de una red, deberían seguirse los siguienes pasos: a)susiuir los generadores de ensión del circuio v g () por fuenes de ensión coninua de valor v g ( + ). b)susiuir odos los generadores de corriene del circuio i g () por fuenes de corriene coninua de valor i g ( + ). c)susiuir odas las bobinas cargadas por generadores de corriene de valor i L ( + ) = i L ( - ). Si la corriene inicial en la bobina es cero i L ( - ) =, susiuir por un circuio abiero. d)susiuir odos los condensadores cargados por generadores de ensión de valor v c ( + ) = v c ( - ). Si la ensión inicial en un condensador es cero, v c ( - ) =, susiuir por un corocircuio. e)en la red resisiva resulane, calcular las corrienes y ensiones iniciales necesarias para el esudio subsiguiene de la red. ADICIONAL: Si se desean deerminar las condiciones iniciales para las derivadas (por ejemplo i ( + ), v ( + )), se escribirán las ecuaciones de la red aplicando los lemas de Kirchhoff según se necesie, para >. A coninuación se calcularán las variables derivadas para el insane = +. (Las condiciones iniciales para las derivadas son necesarias para el esudio de redes de orden superior a 1). EJEMPLO DE APLICACIÓN 1. En la red de la figura, la corriene del generador de inensidad es i g = 1e -2. Figura 5-19-

10 El inerrupor se abre en =, siendo los valores iniciales: Calcular: 1º)i R ( + ), i C ( + ), v L ( + ) 2º)v C ( + ), i L ( + ) 3º)v C ( + ) i L ( - ) = ; v c ( - ) = -5v RESOLUCIÓN: 1)El circuio correspondiene en el insane = + (válido únicamene para ese insane) es el mosrado en la figura siguiene. Se observa que la bobina se ha susiuido por un circuio abiero, ya que i L ( - ) = ; el condensador se ha susiuido por un generador de ensión v C ( - ) = -5v (obsérvese la polaridad del generador). Además, se ha omado la corriene del generador de inensidad i g ( + ) = [1e -2 ] = = 1A. Figura 6 Del circuio de la figura 6 se deduce de un modo inmediao: i R ( + ) = 1A ; i C ( + ) = Para calcular el valor de v L ( + ) aplicamos el segundo lema de Kirchhoff a la malla de la derecha: v L ( + ) - 5-2Ai R ( + ) = de donde se deduce: v L ( + ) = 5 + 2A1 = 25v 2)Para calcular las condiciones iniciales de las derivadas, es preciso represenar el circuio paa >. En la Fig. 7 se muesra la red correspondiene. En esa red se cumple: Figura 7-2-

11 () i () C dv c c () = = il (2) d y, en consecuencia, en = + resula: () C dv c d = + ( ) i ( ) = i = (21) L + L y, por lo ano: v c ( + ) = Si se aplica el segundo lema de Kirchhoff a la malla de la derecha de la Fig. 3 se obiene: () L di L d que, en el insane = + nos da: () () + v R i = (22) c Li L ( + ) + v C ( + ) - RAi R ( + ) = y eniendo en cuena los resulados del aparado 1), queda:.5 i L ( + ) + (-5) - 2A1 = R es decir: i L ( + ) = 25/.5 = 5 A/s 3) De acuerdo con el aparado 2), en el circuio de la Fig. 7 se cumple: () i () C dv C C () = = il (23) d expresión que, al derivar respeco de, nos da: () i () C dv 2 c ' L = 2 = C v" d c () (24) que, para = + da lugar a: i L ( + ) = CAv C ( + ) y eniendo en cuena el resulado del aparado anerior se llega a: v c ( + ) = i L ( + )/C = 5/.2 = 25 V/s 2 que es el resulado soliciado. -21-

12 Es imporane, en el esudio de las condiciones iniciales, que se disingan los circuios que se obienen en = + y en >. En nuesro caso, el esquema de la Fig. 6 represena la visión del circuio congelado en = +. A parir de ese momeno, para >, el circuio se ha ransformado y se conviere en el de la Fig. 7. I.4.- CIRCUITOS DE 1er ORDEN I.4.1.-INTRODUCCIÓN. Como ya vimos en el ema de méodos maemáicos, un circuio elécrico, someido a una exciación u(), responde con una señal y(), que es solución a la ecuación diferencial lineal genérica: (25) Esa ecuación iene como solución oal la suma de: a) Solución a la ecuación homogénea (suponiendo exciación nula: u() = ): (26) llamada ambién "solución ransioria o respuesa libre (o naural) del sisema". b) Una solución paricular de la ecuación complea, llamada "respuesa forzada o permanene (o esacionaria)" del sisema. Como ya vimos en el ema inicial, la solución homogénea (en el caso de que r i sean simples) es de la forma: y h = C 1 e r1 + C 2 e r C m e rm siendo r i las soluciones (raíces) de la ecuación caracerísica a m r m + a m-1 r m a 1 r + a o = - La respuesa libre es, pues, independiene de la enrada o exciación u(). Solamene depende de la opología del circuio y de su esado inicial. En un circuio pasivo, esa respuesa naural es amoriguada y, por lo ano, ransioria, exinguiéndose después de un período de iempo definido por las consanes del circuio. - La respuesa forzada o permanene depende de la exciación u(), y exisirá mienras el circuio esé someido a ella (lo que no significa que no de lugar a ransiorios, como ocurre, por ejemplo, en los insanes de conexión y desconexión de circuios, en las variaciones bruscas de exciación, ec.) En definiiva, la respuesa puede expresarse de la forma: -22-

13 y() = y() permanene + y() ransioria En ese ema esudiaremos los circuios cuyo modelo maemáico es una ecuación diferencial lineal de primer orden, por lo que se les denomina "circuios de primer orden". Físicamene, esos circuios esán consiuidos por un número cualquiera de resisencias y fuenes de energía independienes, pero con un solo elemeno almacenador de energía (bobina o condensador) o varios del mismo ipo, que puedan ser susiuidos por uno solo equivalene, al esar asociados en serie o en paralelo. I.4.2.-CIRCUITO RC Sea el circuio RC ípico de la figura; Figura 8 Aplicando las leyes de Kirchhoff al nudo A: i() = i R + i C siendo (27) con lo que obenemos la ecuación de primer orden que caraceriza a ese ipo de circuios: (28) Se define el produco RC / J como "consane de iempo" del circuio. (29) Suponiendo que el condensador esá cargado inicialmene con una ensión enre sus bornes de u C () = U o (en =), y aplicando el méodo convencional de resolución de ecuaciones diferenciales lineales, obendremos la solución de la ecuación homogénea, a parir de su ecuación caracerísica: -23-

14 1 a + = RC (3) de ahí obenemos dicha solución homogénea (respuesa naural), que denominaremos u cn (), y cuyo valor es: u () = A e cn (31) siendo A una consane de inegración, cuyo valor obendremos a parir de las condiciones iniciales, una vez obengamos la ora pare de la solución. Figura 9 Ese sería el resulado para el caso de que el sisema no esuviese exciado (eso es, problema de la descarga de un condensador inicialmene cargado, a ravés de una resisencia). Si obenemos ambién la expresión de la corriene que circula en ese caso por el condensador y dibujamos ambas obendríamos: (32) Figura 1 La pendiene de la angene en el origen de u c () es: (33) donde esa angene u' C = U o - (U o /J) cora al eje de abcisas en el puno = J. Puno en el cual, la ensión u C vale u C (=J) = U o /e =.368 U o que equivale al 36.8% de la ensión inicial. -24-

15 Así pues, podemos considerar a J como una especie de medida de la rapidez con que se amorigua la energía en el circuio (eso es, la velocidad con que se descarga el condensador). Si J es pequeña, la pendiene en el origen, de la curva, es grande, por lo que u C se aproxima muy rápidamene a cero. Al conrario, si J es grande, las variables del circuio se aproximan más lenamene a su esado final. Todo eso se muesra en la siguiene figura (un proceso semejane ocurre para la inensidad). La energía almacenada inicialmene en el condensador se disipa en forma de calor en la resisencia. El esado final del circuio, es decir, la descarga oal del condensador y la consiguiene anulación de u C e i se alcanza, eóricamene, después de un iempo infinio; sin embargo, en la prácica, ese esado puede considerarse alcanzado después de ranscurridos enre 3 y 4 J. Al érmino Figura 11 (34) se le denomina "pulsación propia (o naural) del circuio" (aunque no se presene ningún ipo de oscilación). Para obener la solución paricular es obvio que necesiaremos exciar el circuio con un generador deerminado, por lo que la resolución dependerá de cual sea el ipo de función elegida. Esá claro que no podemos elegir las infinias posibilidades exisenes, así que nos conformaremos con elegir dos de las de más uso en elecricidad, como son una exciación DC y ora AC, lo que veremos en los dos aparados siguienes. a)caso de exciación DC: i() = I En ese caso, al ser la exciación una consane (polinomio de orden cero) y, siguiendo las pauas ya indicadas en el aparado correspondiene, habría que pobar como posible solución paricular (o forzada), oro polinomio genérico del mismo grado, eso es, ora consane, que llamaremos B: -25-

16 I C u = cp B (35) Susiuyendo dicha solución en la ecuación original complea, obendríamos que B = + u () cp = RI (36) RC cosa que ya conocíamos de anemano, pues sabemos que cuando se alcance el esado esacionario, el condensador se comporará como un circuio abiero, por lo que la ensión en sus bornes coincidirá con la caída de ensión en la resisencia (RI ). Con eso llegamos casi al final de nuesro objeivo, ya que enemos que: () () () u u + u = Ae + RI c cn cp (37) y, solamene nos queda obener el valor de la consane A, para lo que uilizamos las condiciones de conorno (en ese caso son iniciales), que nos dicen que u c (=)=U. Susiuyendo eso en la expresión obenida llegamos a que A = U - RAI con lo que la solución final será: () ( ) u = U RI e + RI (38) c donde se aprecian claramene los érminos respuesa naural y respuesa forzada del circuio esudiado. Suponiendo ahora condiciones iniciales nulas: (39) Podemos observar que la respuesa u C () esá formada por dos sumandos: - Respuesa permanene (esacionaria): u p = RI - Respuesa ransioria (amoriguada): u = RI e -/J Podemos observar esa respuesa (suponiendo ahora condiciones iniciales nulas) en la siguiene figura Figura 12 Durane el período ransiorio se carga el condensador, hasa alcanzar una ensión en bornes igual a la caída de ensión en la resisencia. Una vez cargado el condensador, la corriene coninua no puede pasar por él, y sí lo hace por R (siendo U = IR), y esableciéndose, pues, el régimen esacionario. -26-

17 Podemos obener la expresión de la corriene por la resisencia R: (4) b)caso de exciación AC: i() = I Acos(w) Como vimos, en ese caso, lo lógico sería opar por una solución paricular de la forma u cp () = A 1 cos(w) + A 2 sen(w), pero puede demosrarse que esa opción es equivalene a escogerla de la forma que adoparemos: u cp () = BAcos(w+n) (puede observarse que siguen habiendo dos consanes a deerminar: en lugar de A 1 y A 2, ahora enemos B y n). Susiuyendo dicha solución en la ecuación inicial, obenemos: I cos C ( w) = Bwsen( w + ) + cos( w + ) 1 () up = 1+ RI ( ) RCw 2 j RC B j (41) desarrollando las funciones rigonoméricas, uilizando que las funciones seno y coseno son linealmene independienes, y operando, llegamos a obener los valores de B y de n, con lo que la solución paricular quedará: ( j) cos( w + j) g = RCw ; (42) Como puede comprobarse, esa es la solución que obendríamos si nos planeásemos el problema como un circuio de alerna y uilizásemos el cálculo simbólico, por lo que, si enemos un mayor dominio en ese campo, puede ser ineresane el obener la solución paricular de esa ora manera, en lugar de las engorrosas operaciones maemáicas seguidas por el méodo radicional (a grandes rasgos, no es desainado decir que la solución paricular coincide con la solución de esado esacionario; solamene habría que maizar eso en el caso en que el sisema no fuese amoriguado, lo que nos llevaría a que la solución homogénea no decrecería con el iempo y, esricamene, ambién esaría presene una vez alcanzado el esado esacionario). Por úlimo, podemos poner la solución oal, que será la suma de ambas y, de nuevo, uilizar la condición de conorno para enconrar el valor de la consane A de la solución homogénea. Una vez hecho odo eso, dicha solución final será: -27-

18 u () c = U RI RCw e RI RCw 2 ( ) ( ) 2 ( w + j) cos (43) siendo g(n) = -RCw. De nuevo, suponiendo carga inicial nula (para simplificar), esa respuesa coniene dos pares: - Una solución ransioria amoriguada en función de la ce. de iempo J: (44) - Una solución permanene (esacionaria), senoidal, de ampliud: La figura siguiene muesra la respuesa u C () oal, así como las dos componenes (ransioria y esacionaria) que la conforman: I.4.3.-CIRCUITO RL Sea el circuio RL ípico de la figura; Figura 13 Aplicando la 2ª ley de Kirchhoff: e() = u R + u L siendo: (45) podemos obener la ecuación asociada: (46) -28-

19 Si definimos J / L/R como la "consane de iempo" del circuio, suponiendo que en la bobina exise un campo magnéico inicial al que en = enemos i L () = I o y aplicando un raamieno similar al caso anerior llegamos a los siguienes resulados. (47) Ahora se define la "pulsación propia (o naural)" del circuio como: (48) En general, podemos afirmar que la respuesa naural de un circuio de primer orden, será de la forma: (49) donde solamene con conocer el esado inicial del circuio y su consane de iempo J, obendremos la expresión de la repuesa. Eso lo realizaremos dealladamene en el puno siguiene. I.4.4.-RESOLUCIÓN SISTEMÁTICA Se puede generalizar la resolución de circuios de primer orden (aquellos en los que solamene exisa un único elemeno almacenador de energía: bobina o condensador o, que exisiendo varios del mismo ipo, se puedan ransformar en uno sólo equivalene. Para esos circuios, su configuración equivalene en el insane siguiene a la conmuación (para $), susiuyendo el reso del circuio por su equivalene Thevenin para una bobina (o el de Noron para un condensador) será la indicada a coninuación. Figura

20 Las respuesas naurales serán: L i () n = A e (con = ) (5) R Th () v = B e (con = R C) n Th (51) Esas expresiones, unidas las componenes forzadas permien calcular de un modo simple la respuesa ransioria de una red de primer orden. Las consanes de inegración (A y B) se obendrán a parir de las condiciones iniciales (o de conorno en su defeco). Ese cálculo anerior se puede sisemaizar más si se analiza con deenimieno la solución de una ecuación diferencial de primer orden de la forma normalizada: df d f + = g Como sabemos, la solución de la ecuación diferencial anerior iene dos componenes: naural f n () y forzada o paricular f p (). Esa úlima represena la respuesa permanene de la red, es decir, para = 4, y que represenaremos mejor por f 4 (). La componene naural será de la forma general y, de ese modo, se puede escribir la solución oal como: () () () f = Ae + f + + () ( ) ( ) (52) (53) La consane A se deermina para el iempo inmediao a la conmuación = +, resulando: f( + ) = A + f 4 ( + ) Y A = f( + ) - f 4 ( + ) que, al susiuir, da: [ ] () f = f f e + f (54) Como se observa, se disinguen las dos componenes: respuesa naural (primer sumando) y respuesa permanene (segundo sumando). Conviene recordar algo sobre la solución anerior. En primer lugar f( + ) se deermina por el principio de coninuidad de ensiones o corrienes (en ausencia de señales impulso), por lo que f( + ) = f( - ). El cálculo de la componene permanene f 4 () es basane simple cuando se raa de redes DC, ya que en esos casos las inducancias se pueden susiuir por corocircuios y los condensadores por circuios abieros, dando lugar a una red resisiva en la cual la resolución es sencilla. En el caso se que los generadores presenes en la red sean AC senoidal, la componene permanene f 4 () se deermina con las écnicas de cálculo simbólico. Para oro ipo de exciación, la respuesa permanene se deerminará direcamene como solución paricular de la ecuación, ya que no exisen procedimienos direcos para calcular f 4 (). -3-

21 En resumen, el proceso de cálculo de ransiorios en una red de primer orden sigue los siguienes pasos: 1º)Dibujar el circuio para < y calcular el valor de régimen permanene de la corriene en la bobina (o ensión en bornes del condensador) en ese circuio. Deerminar enonces ese valor en =. Se obiene así i L ( - ) o v c ( - ). 2º)Aplicar el principio de coninuidad y deerminar los valores i L ( + ) = i L ( - ) o v c ( + ) = v c ( - ) en su caso (eso es ciero sin generadores de señales de ipo impulso). 3º)Dibujar el circuio para > y calcular la resisencia de Thevenin (R Th ) visa desde los bornes de la bobina o el condensador. Con ello se deermina la consane de iempo de la respuesa naural: J = L/R Th o J = RhC. 4º)Calcular la respuesa en régimen permanene (corriene en la bobina o ensión en el condensador) en el circuio para >. a)si los generadores son DC, enonces susiuir anes la bobina por un corocircuio y el condensador por un circuio abiero. b)si los generadores de la red son de AC senoidal, aplicar las écnicas de cálculo simbólico para calcular esa respuesa. c)si los generadores ienen oor ipo de forma, deerminar la solución paricular de la ecuación diferencial correspondiene a >. 5º)Escribir la solución complea para > aplicando la ecuación: [ ] () + + () ( ) ( ) f = f f e + f (55) 6º)Uilizando la respuesa calculada en el aparado anerior, deerminar oras variables de inerés en la red. I.5.-CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN I.5.1.-INTRODUCCIÓN Los circuios de segundo orden son aquellos cuyo comporamieno físico viene caracerizado por una ecuación de 2º grado, y esán consiuidos por un número cualesquiera de resisencias, y dos elemenos almacenadores de energía de disina clase (bobina y condensador) o de la misma clase, cuando no pueden ser susiuidos por uno equivalene. Esudiaremos el circuio ípico RCL en serie y en paralelo, aunque, obviamene, no es el único posible. -31-

22 I.5.2.-CIRCUITOS RLC SERIE Y PARALELO Supondremos unas cargas iniciales: u c () = U o ; i L () = I o Se debe verificar que: u R = u L = u C / u ; i() = i R + i L + i C siendo (56) de donde (57) Derivando la ecuación: (58) Definiendo como "pulsación o resonancia propia w o ": (59) y el "facor o relación de amoriguamieno (>)": (6) Podemos escribir la ecuación de forma "canónica": (61) Resolviéndola se obendrá la ensión enre los bornes de los elemenos. Si deseásemos, por ejemplo, la inensidad que circula por la bobina, en lugar de la ensión en bornes, se procedería de forma análoga: -32-

23 (62) (63) (64) Para resolver esa ecuación hemos de hallar la solución general de la ecuación homogénea (haciendo nulo el segundo miembro) que, en nuesro caso equivale a prescindir de la fuene de exciación y obener lo que en el capíulo anerior denominábamos "respuesa a enrada cero" o "respuesa naural" del circuio. A la solución así obenida, se le añadirá una solución paricular, dependiendo de la forma analíica del segundo miembro (eso es, del ipo de exciación), obeniendo así, la solución complea: a) Respuesa a enrada cero: La ecuación caracerísica es: r 2 + 2>w o r + w o 2 =. Cuyas soluciones son: (65) con lo que la solución será de la forma: (66) donde las consanes K 1 y K 2 se deerminan a parir de las condiciones iniciales: (67) La forma de la inensidad, así deerminada, dependerá de la nauraleza de las raíces r 1 y r 2. Se pueden presenar res casos, según el valor del facor de amoriguamieno: > < 1 ; > = 1 ; > > 1. La respuesa a enrada cero será, pues, amoriguada, al exisir elemenos pasivos (resisencias) en el circuio. -33-

24 b) Respuesa complea: Para obenerla hay que sumar a la solución homogénea enconrada aneriormene, una solución paricular, cuya forma dependerá del ipo de exciación i(). Como odo circuio lineal, la respuesa complea puede esudiarse ambién como suma de la respuesa a esado inicial cero (que es debida exclusivamene a las fuenes) y respuesa a enrada cero (que es debida solamene a cargas iniciales). Igualmene a como vimos aneriormene, podemos susiuir los elemenos inicialmene cargados por los circuios equivalenes de Thevenin o Noron, en que figuran los mismos elemenos, descargados, y las fuenes que represenan las cargas. Para el circuio RLC serie indicado en la figura, consideremos que la bobina y el condensador esán inicialmene descargados. Obendremos como respuesa la ensión en bornes del condensador (la inensidad podrá obenerse poseriormene derivando esa ensión y muliplicando por C). e() = u R + u L + u c siendo (68) recordando que (69) (7) Definiendo como "pulsación o resonancia propia w o ": (71) y el "facor o relación de amoriguamieno (>)": -34-

25 (72) Podemos escribir la ecuación de forma "canónica": (73) Vemos que las ecuaciones obenidas son formalmene análogas para ambos casos (con las diferenes relaciones de amoriguación), por lo que el esudio solamene lo haremos para una cualquiera de las dos. En concreo, solamene vamos a esudiar el caso en que la enrada es un escalón (señal DC). Poseriormene, en el capíulo dedicado expresamene a la Transformada de Laplace realizaremos el mismo esudio ambién para forzamienos senoidales. I.5.3.-CLASIFICACIÓN DE CIRCUITOS De acuerdo con lo viso hasa ahora, hemos llegado a que la solución de la ecuación homogénea iene como raíces: (74) Como es obvio, podemos clasificar los circuios de segundo orden de forma cualiaiva, aendiendo al ipo de solución represenada por dichas raíces, más concreamene, aendiendo al discriminane de la ecuación caracerísica, eso es: a)raíces reales e iguales (discriminane nulo), obenido cuando > = 1 b)raíces reales y disinas (discriminane posiivo), que se obiene cuando > > 1. c)raíces complejas conjugadas (discriminane negaivo), caso en que > < 1. I AMORTIGUAMIENTO CRÍTICO (> = 1) En ese caso las raíces son reales e iguales. Si suponemos que la enrada es un escalón (y que las condiciones iniciales son nulas), resolviendo de la forma convencional la ecuación diferencial se obiene como solución: (75) -35-

26 Figura 17 La respuesa permanene será, pues, el escalón uniario U(), y la ransioria esará formada por los dos érminos exponenciales (1) y (2) (-e -wo y -w o e -wo respecivamene). La corriene en el circuio iene la forma: i() = C w 2 o e -wo que es amoriguada (una vez cargado el condensador, la corriene cesaría, aunque eso solamene se alcanza, desde el puno de visa eórico, en =4). I SOBREAMORTIGUAMIENTO (> > 1) En ese caso, las raíces son reales, negaivas y disinas, con lo que la solución para una enrada escalón uniario (de nuevo con condiciones iniciales nulas) será: (76) Como en el caso anerior, en el circuio se esablece un régimen ransiorio "aperiódico", alcanzando la ensión, finalmene, el valor del escalón U(). Dependiendo de los valores del amoriguamieno > (siempre mayor que la unidad) obendremos una u ora curva. La respuesa iende a ser la de un circuio de primer orden para valores de > elevados. La corriene del circuio es igualmene amoriguada, hasa anularse (eóricamene en el infinio) cuando el condensador adquiere la ensión final. Figura

27 I SUBAMORTIGUAMIENTO (> < 1) En ese caso, las raíces r 1 y r 2 son complejas conjugadas y siuadas en el SPI. Definiendo como "pulsación naural amoriguada", a la expresión: (77) endremos las raíces: (78) De acuerdo con las écnicas generales esudiadas, para una enrada escalón y con condiciones iniciales nulas, se obiene: (79) (81) (8) con lo cual: (82) En la gráfica siguiene se muesran res respuesas (para >=,.1 y.5), donde puede apreciarse que para >= la respuesa sería u C ()=U()-cos w o, que no se amorigua, obeniéndose una senoide de la misma frecuencia que la respuesa Figura 19 amoriguada. Se observa que la ensión final se alcanza después de un período ransiorio oscilane alrededor del valor unidad. La corriene sería: (83) -37-

28 I.5.4.-PARÁMETROS DE INTERÉS En ese aparado vamos a definir algunos parámeros de inerés para sisemas de segundo orden (del ipo subamoriguado, viso aneriormene), frene a una enrada escalón uniario (se pueden generalizar para oras enradas, pero nos ineresa solo el aspeco cualiaivo de esos parámeros). I PORCENTAJE DE SOBREIMPULSO (84) En la respuesa del sisema que iene por ecuación caracerísica (85) Figura 2 La represenación del porcenaje de sobreimpulso es la que indica la figura anerior. En base a la experiencia, se ha enconrado que una relación de amoriguamieno de cerca de.7 es saisfacoria en un amplio margen de aplicaciones (como los sisemas de posicionamieno y piloos auomáicos de aeronaves). Un valor numérico conveniene es %2/2 =.77 para el cual la pare real e imaginaria del polo -38-

29 son iguales. La respuesa es más rápida que con amoriguamieno críico y el sobreimpulso es aproximadamene de sólo el 5%. I TIEMPO DE SUBIDA Se define como el iempo que se requiere para que la respuesa escalón de un sisema ascienda del 1 al 9% del valor final. En las siguienes figuras se muesra (para el sisema con función de rasferencia anerior, y relación de amoriguamieno > =.2) como obener esa canidad (superior) y la gráfica del iempo de subida normalizado en función de la relación de amoriguamieno. Figura 21 I TIEMPO DE ESTABILIZACIÓN Es el iempo que se requiere para que la respuesa escalón de un sisema se esabilice denro de alguna banda específica de valores (normalmene en ±5%), respeco del valor final. La siguiene figura muesra un ejemplo, para nuesro sisema Figura 22 ípico, con relación de amoriguamieno > =.5 aproximadamene. -39-

30 Figura 23 I.6.-CIRCUITOS DE ORDEN SUPERIOR En el casos en que la ecuación diferencial asociada a un circuio en cuesión sea de orden superior a dos, nos enconraremos con la dificulad añadida de resolver la ecuación polinómica caracerísica (recordemos que, de acuerdo con un eorema demosrado por el maemáico noruego Abel, solamene exise fórmula de obención de raíces para polinomios de grado inferior a cinco). En cualquier caso, siempre exisen méodos numéricos de resolución (cualquier programa maemáico acual conempla dicha posibilidad). No obsane, en la mayoría de los casos, lo que se suele hacer es una aproximación, de forma que el circuio se simplifica a uno de segundo orden (si esa simplificación es acepable) que enga como raíces las dos más próximas al eje imaginario, del polinomio original (eso es válido siempre que el reso de raíces esé lo suficienemene alejado hacia la izquierda de esas dos raíces principales, como para permiir el que puedan ser despreciadas). En cualquier caso, dado que la dificulad del ema excede las preensiones de la presena asignaura, no nos ocuparemos de esa siuación, dejándola para esudios más avanzados. -4-