REACTORES REALES- MODELO DE FLUJO EN REACTORES REALES

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1 RACTORS RAS- MODO D FUJO N RACTORS RAS INTRODUCCIÓN n el caso de los reacores homogéneos isoérmicos, para predecir el comporamieno de los mismos deben enerse en cuena dos aspecos: - a velocidad a la cual el fluido modifica su composición, en función de las variables cinéicas. - l modo como el fluido pasa a ravés del equipo, o sea el comporamieno fluidodinámico del reacor. Se han adopado hasa ahora dos ipos de flujo para reacores coninuos: el reacor de mezcla complea y el reacor flujo pisón. l comporamieno de reacor ideal de mezcla complea supone que el fluido iene propiedades (composición, emperaura, ec.) idénicas en odos los punos del reacor. a caracerísica más imporane a ener en cuena para acercarse al cumplimieno de esa hipóesis ideal es la velocidad de agiación. Por ora pare el comporamieno de flujo pisón ideal se logra si se cumple que: a) a velocidad de flujo másico del fluido y las propiedades del mismo (presión, emperaura, composición), son consanes o uniformes en cualquier sección ransversal normal al movimieno global del fluido. b) a difusión, que según supueso anerior sólo puede ser longiudinal, es despreciable frene al movimieno oal del fluido. n la prácica pueden obenerse siuaciones muy similares a las condiciones de idealidad. Sin embargo es necesario deerminar de manera más o menos cuaniaiva el aparamieno de la idealidad y las posibles consecuencias sobre el funcionamieno del sisema (conversión, producción, coso. Varios facores influyen en el aparamieno de la idealidad: - diseño geomérico del reacor - mezclado y agiación - viscosidad del fluido - disribución de relleno en lechos empacados Se consaan frecuenemene dos ipos de aparamieno de la idealidad: - canalizaciones: cuando pare de los elemenos del fluido pasan a ravés del recipiene más rápido que oros. - espacios mueros: cuando deerminadas zonas del reacor acúan como esancas, disminuyendo el volumen úil del equipo. sas zonas o espacios mueros pueden ener lugar, por ejemplo en la base de omas manoméricas o esquinas recas.

2 a magniud de la no idealidad es un aspeco no conrolable en los cambios de escala; eso es, el aparamieno de la no idealidad puede ser muy diferene en dos escalas disinas, lo que puede conducir a errores graves en el diseño. FUNCIONS D DISTRIBUCIÓN D DADS Para obener la información complea del modelo de flujo del reacor se necesia conocer cual es el recorrido de las parículas del fluido denro del reacor. Como el obener esa información es engorroso y ambién lo es el procesamieno e inerpreación de los daos obenidos, se opa por uilizar las funciones de disribución de edades. Se uiliza así el iempo que los elemenos de fluido o parículas permanecen denro del recipiene. sa es una información parcial, pero es fácilmene inerpreada y permie obener información suficiene en la mayoría de los casos para obener una idea saisfacoria del comporamieno fluidodinámico del reacor.. RCIPINTS ABIRTOS Y CRRADOS Se dice que un reacor es cerrado cuando exise flujo pisón a la enrada y a la salida. Si esa condición no se cumple ni a la enrada ni a la salida el reacor es abiero y si se cumple en un puno y no en oro el recor es semiabiero: cerrado-abiero o abiero- cerrado. De ahora en adelane se supondrá que el recipiene es cerrado, o sea comporamieno de flujo pisón a la enrada y la salida.. TIMPO RDUCIDO Siendo V/v, se puede definir el iempo reducido: /, donde es adimensional..3 FUNCIONS D DISTRIBUCIÓN Y FUNCIONS D RSPUSTA dad de un elemeno de fluido es el iempo que ha permanecido ese elemeno de fluido en el recipiene..3. Función de disribución I o función de disribución inerna en un reacor cerrado - l fluido en el recipiene esá formado por una serie de edades diferenes y por lo ano habrá denro de él una disribución de edades. a función de disribución inerna, I, es la medida de la disribución de edades de los elemenos de fluido en el recipiene. Por ano, Id es la fracción de fluido del conenido del reacor con edades comprendidas enre y +d. Dado que la suma de odas esas fracciones de fluido debe ser igual a ya que es el conenido del recipiene, se iene: I d

3 a fracción del conenido del recipiene con edad menor que será: I d a fracción con edad mayor que será: Id I d Si no se usa el iempo reducido la función de disribución inerna será I( donde: I() I(.3. Función de disribución exerna en un recipiene cerrado o disribución de iempos de residencia. - s la medida de la disribución de edades de odos los elemenos de fluido en la salida del recipiene, referidas al iempo o momeno de enrada al mismo. Por lo ano, d es la fracción de fluido en la corriene de salida que iene iempo de residencia comprendido enre y +d. Nuevamene la inegral d vale. Si se usa iempo,, en lugar de iempo reducido, se iene: () (..3.3 Respuesa a un escalón, curva F - Si se esá alimenando un reacor con un fluido deerminado y en ciero momeno se aplica un escalón en la enrada, lo que se observa como respuesa a la salida es la curva F. l escalón en la enrada se puede producir mediane un salo, eso es, un cambio abrupo y sosenido en la concenración de un razador. n ese caso, expresando la concenración del razador a la salida en función de la concenración de enrada y represenándola en función del iempo se obiene la curva F. Igual que anes puede represenarse la curva en función del iempo o del iempo reducido. n el caso de la curva F se iene que: F( F()..3.4 Respuesa a un pulso, curva C - Si se aplica en la enrada del reacor una función pulso o dela de Dirac, la curva C es la respuesa que se obiene a la salida. Nuevamene la función pulso a la enrada puede obenerse por un cambio en la concenración de un razador. so es, si se aplica una función pulso en la enrada producida por un cambio de concenración y se mide la variación de la concenración del razador con el iempo a la salida puede obenerse la curva C. Generalmene se uilizan las curvas normalizadas de forma que la inegral de la curva enre cero e infinio valga uno. Para obener a la curva normalizada a parir de las concenraciones a la salida en función del iempo lo que se hace es dividir las concenraciones por el valor de la inegral de la curva enre cero e infinio.

4 C d C d Q de donde Q Cd Se puede deerminar el área bajo la curva a parir de la masa de razador inyecada y el caudal aplicado al reacor. M + inyecada vced + vcsd vq.4 RACIONS NTR AS CURVAS, C y F, en recipiene cerrado..4. Relación enre C y - Para relacionar C y se debe ener en cuena que en esado esacionario, la disribución de iempos de residencia para el fluido que enra al recipiene, es igual a la del fluido que sale. Si se inyeca un pulso en un reacor en el iempo cero, enonces odos los elemenos de razador endrán el mismo iempo de parida para sus edades. a curva C represena la concenración de razador a la salida en función del iempo; por consiguiene, indica cuándo salen esas moléculas, o sea, su disribución de edades. Como la disribución del fluido que enra es la misma que la del fluido que sale enonces C..4. Relación enre y F. Si se inyeca a iempo cero ciera concenración de razador y esa inyección se maniene consane, se habrá inroducido una función escalón en la enrada y la respuesa a la salida es la curva F. a curva F, se obiene dividiendo la concenración de razador a la salida por la concenración a la enrada para cada insane de iempo. F ( ) concenración de razador a la salida concenración de razador a la enrada Para un iempo poserior a la inyección de razador, la fracción de razador a la salida será igual a la fracción de la corriene de salida con iempo de residencia menor que. F d df d Si se uilizan variables reducidas: F( ) ( ) d

5 .4.3 Relación enre I y F. Si se inyeca un razador en forma de escalón a un recipiene, en cualquier momeno poserior al iempo de inyección, el balance en el recipiene será: (vel. de ingreso de razador) (vel. de salida de raz.) + (vel. de acumulación de raz.) donde (vel.de ingreso de raz.) (flujo de raz. a la enrada) v (m 3 /h) (vel. de salida de raz.) (flujo de raz. a la salida) v C/C o v F (m 3 /h) (vel. de acumulación de raz.) (variación con el iempo del razador en el reacor) V I d d (m 3 /h) De donde: v d v F + V I (m 3 /h) d I d F + (m 3 /h) d F + I(.5 FUNCIONS N VARIABS RDUCIDAS ( y () son las funciones de disribución de iempos de residencia, una función de la variable y ora de la variable. Por lo ano debe cumplirse que: ()d (d, de donde: () (. Si se aplica lo anerior a la curva de disribución inerna I, se obiene: I() I(. Para obener la relación de la curva F en y en, de acuerdo a: ( ) d ( ) d F( F()

6 .6 CÁCUO D OS CNTROIDS D AS CURVAS D DISTRIBUCIÓN.6. Momeno de primer orden, iempo medio. ( ) d, I I ( ) d, solo en recipienes cerrados y sin volumen muero..6. Momeno de segundo orden, varianza. σ ( ) d.6.3 Relaciones enre los momenos con y como variable. σ y σ.7 CURVAS D RSPUSTA A UN PUSO Y UN SCAÓN N RACTORS IDAS.7. Reacor coninuo agiado ideal - Para obener la curva de respuesa a la inyección de un pulso de razador en un reacor coninuo agiado ideal se debe resolver la ecuación de balance de masa en esado ransiorio. A parir de la resolución de la ecuación diferencial se obiene la curva C( o (, en función del iempo. C e e F F e d e - e

7 .7. Reacor ubular flujo pisón ideal - n ese reacor, al igual que en el caso del reacor coninuo agiado debe planearse la ecuación de balance de masa en ransiorio y resolverla para el caso de una inyección del razador en forma de pulso. De dicha resolución se obienen las curvas C y para el reacor ubular ideal. a curva C para el flujo pisón ideal será un pulso en. C δ ( - ) Por ora pare, C será un pulso en, si el recipiene es cerrado y no hay volumen muero. C δ ( - ) Para deerminar la respuesa al escalón se inegra la curva, que iene forma de pulso como se vio aneriormene. F F d d Inegrando el pulso en se obiene como respuesa al escalón inyecado en un escalón rerasado en el iempo un valor igual a. Uilizando la variable reducida, la forma de la curva F es la misma y se obiene el escalón en si no hay volumen muero. F U(-) F U(-).8 VOUMN MURTO n un reacor real no exise verdaderamene un espacio muero, ya que aun en una región compleamene inmóvil exise ranspore de masa por difusión molecular. Sin embargo para fines prácicos pueden considerarse zonas mueras aquellas donde el fluido se mueve con relaiva leniud comparado con el reso del fluido. sas zonas mueras endrán asociado un volumen, V m, y el reso del volumen del reacor será considerado como el volumen acivo, V a. Así, V-V m V a. Por lo ano puede calcularse un iempo medio de residencia para la zona aciva: Va v V V v m a Va a y V V m a V O sea que deerminando el iempo medio de residencia para la curva se puede obener la fracción de volumen muero del reacor.

8 .9 CANAIZACIONS De la misma manera que el volumen muero es una idealización, la canalización ambién lo es. n un reacor real pueden exisir fracciones de la corriene de enrada que permanecen un iempo coro denro del reacor comparado con el iempo de residencia del reso del fluido. as fracciones de fluido que pasan rápidamene a ravés del recipiene se consideran como canalizaciones o by-pass y se les aribuye iempo de residencia cero denro del reacor. Si no exise volumen muero y solo se consaa presencia de canalización, enonces: y. UTIIZACIÓN D A INFORMACIÓN SOBR A DISTRIBUCIÓN D DADS Se verá que si se iene una reacción de primer orden es posible predecir el comporamieno del reacor, por ejemplo calcular la conversión, uilizando únicamene la información aporada por la curva de disribución de edades. os procesos lineales presenan la propiedad de que si en un sisema ocurren simuláneamene varios procesos lineales independienes, el efeco global de esos procesos puede deerminarse si se conocen los efecos de los procesos lineales que inervienen por separado. os ensayos con razador son procesos lineales, si el razador no se adsorbe sobre las paredes o desaparece por reacción química; las experiencias esímulo respuesa son lineales respeco a la concenración de razador. so es, por ejemplo, si se duplica la concenración del razador a la enrada ambién se duplicará la concenración de la respuesa. A parir de esos ensayos con razador se obienen las curvas de disribución de edades. Por lo ano si se iene la información de los ensayos con razador (proceso lineal) y los daos cinéicos para una reacción de orden (proceso lineal), se puede deerminar la conversión a la salida del reacor. Si el orden de reacción es disino de, no es suficiene con la información de la curva de disribución de iempos de residencia obenida a parir de los ensayos esímulo respuesa. Cálculo de la conversión a parir de la información de razador - Como se vio, si la reacción es de primer orden y se iene la curva de disribución de edades, se puede deerminar la conversión a la salida del reacor. Una misma curva de disribución de edades puede responder a diferenes modelos de flujo pero odos darán la misma conversión si la reacción es de primer orden. l modelo más sencillo que se puede uilizar, es suponer que cada elemeno de fluido pasa a ravés del recipiene sin inermezclarse con los elemenos adyacenes. a disribución de edades a la salida nos indica cuano iempo ha permanecido en el reacor cada uno de esos elemenos de fluido. Por lo ano para el reacivo A en la corriene de salida, se iene:

9 concenración media del reacane en la corriene de salida concenración fracción de la del reacane que corriene de permanece en un salida con edad elemeno de edad comprendida comprendida enre y + d enre y + d o bien C A C A, elemeno d Para reacciones irreversibles de primer orden, la reacción del reacane en cualquier elemeno varía con el iempo según: C A, elemeno C Ao e k de donde: C A C Ao e k d

10 3. MODOS PARA FUJO NO IDA 3. MODO D DISPRSIÓN n el comporamieno del reacor flujo pisón ideal se asumió que el fluido avanzaba según un frene plano perpendicular al eje del reacor. l modelo de dispersión oma en cuena la deformación que sufre el frene plano por fenómenos difusivos y el comporamieno fluidodinámico. De acuerdo a lo anerior exisirá un aparamieno del frene plano del reacor ubular ideal. a ley de Fick describe los fenómenos difusivos, difusión molecular únicamene: dc d C D d dz D, es el coeficiene de difusión molecular y es función de la emperaura y las propiedades del fluido. Se puede planear una ecuación con la misma forma pero que enga en cuena además el comporamieno fluidodinámico. Así como D es el parámero que caraceriza el proceso de difusión molecular, en la nueva ecuación el parámero que llamaremos D, coeficiene de dispersión, oma en cuena odas las conribuciones a la reromezcla del fluido que circula en un reacor del ipo flujo pisón. D es el coeficiene de dispersión longiudinal, o sea, en la dirección del flujo, y depende de las propiedades del fluido pero además es una consane fenomenológica que conempla el comporamieno fluidodinámico del sisema. a ecuación que represena al modelo de dispersión es: D d C u dx dc dx dc d con longiud del reacor u velocidad lineal media del fluido n la ecuación anerior se uilizan una longiud y un iempo adimensionales, x y : z x, C es la concenración y u D es un número adimensional que caraceriza la dispersión. Si la dispersión es pequeña la resolución de la ecuación anerior para una enrada de impulso en un reacor cerrado es: C e Π(D/ u) ( ) 4(D / u)

11 3. MODOS D TANQUS N SRI l modelo de dispersión oma en cuena pequeñas desviaciones del flujo pisón. Si se iene un gran número de anques perfecamene agiados, de igual amaño en serie, darán curvas de respuesa a la inyección de un pulso similares a las del modelo de dispersión. Si por el conrario el número de anques es pequeño, la respuesa se apara considerablemene de la del modelo de dispersión. N ( N ) N e ( N )! N para N, e σ N ( N ) N e ( N )! -N d N se modelo, al igual que el modelo de dispersión, es un modelo de un único parámero, en ese caso N. 3.3 STUDIO DINÁMICO D SISTMAS Transformada de aplace - a ransformación de aplace de una función cuya variable independiene es el iempo f(, consise en operar sobre la función de la siguiene manera: s [ f ( f ( e d F( donde s es la variable de la ransformación de aplace y es el operador de aplace. [ f ( F( De acuerdo a lo anerior la ransformación de aplace conviere funciones cuyo dominio es el iempo en funciones del dominio de aplace donde la variable independiene es s. Ciero ipo de operaciones en el dominio emporal, se ransforman en oras más sencillas en el dominio de aplace. Por ejemplo una ecuación diferencial en el dominio iempo, se ransforma en una ecuación algebraica al uilizar ransformadas de aplace. Propiedades de las ransformadas [ f + f [ f [ + [ f s [ f s f ( ) s f ( ) +... f ( ) f n n n n n a [ f ( a F( s / a) a >

12 b f ( / b) F( b b > Ts [ f ( T ) e [ f ( Transformadas de algunas funciones A) Función escalón Si se considera una función escalón: f ( K U ( con U ( > o y U (. a ransformada de aplace para esa función es: de donde: s [ KU ( ) [ KU ( ) e d [ KU ( K s B) Función pulso Para deerminar la ransformada de la función impulso se definirá el pulso δ( como la derivada del escalón. du ( δ( d Por ora pare se puede considerar U( como: U ( lim α ( e α ) Por lo ano: d d α [ δ( lim ( e α ) Resulando: [ (

13 Función de ransferencia l esudio de la función de ransferencia se basa en deerminar las caracerísicas del sisema en régimen ransiorio. a función de ransferencia es caracerísica del sisema y permie predecir el comporamieno del sisema real y su aparamieno de la idealidad. G( y( x( donde x( e y( son las funciones de enrada y salida variables con el iempo. n régimen ransiorio aparecen ecuaciones diferenciales de complejidad variable. Para simplificar el raamieno se uiliza la ransformada de aplace. G( [ y( [ x( De acuerdo a lo anerior para deerminar el efeco de una perurbación x( sobre el sisema, se debe calcular y( según: y( [ G( ( x( ) Propiedades de la función de ransferencia Si se ienen varios sisemas en serie, la G( del sisema equivalene será la producoria de los sisemas individuales. G( n i G i ( Si se ienen sisemas en paralelo de G( conocida, la G( oal del sisema se calcula ponderando con las fracciones de caudal que recorren cada ramal. n caso de que se engan dos sisemas paralelo con G ( y G ( conocidas la función de ransferencia oal será: v v G ( G ( + G v v (

14 Función de ransferencia para un RCAI Para calcular la función de ransferencia para el RCAI se planea la ecuación de balance de masa en régimen ransiorio: dc( vc e ( vc( V d dc( C e ( C( d [ C ( [ C( + s[ C( e [ ( [ ( C C e + s G( Función de ransferencia para un RTFPI n el reacor ubular flujo pisón ideal el fluido se mueve según un frene plano de velocidad, sin dispersión longiudinal, rerasando la señal sin deformarla un iempo iguala a. Por lo ano, una forma de calcular la G( para el RTFPI es la siguiene: s [ C( [ C ( ) e [ C ( e e de donde: G( [ ( [ ( C C e e s Baería de RCAI en serie Si se iene una serie de reacores coninuos agiados en serie de igual volumen, la función de ransferencia global será el produco de las funciones de cada uno de los anques agiados: n G( + s + ( ) n i i is

15 Deerminación experimenal de la función de ransferencia Si se desea deerminar la función de ransferencia de un sisema real, se puede someer a dicho sisema a una perurbación x(, cuya función del iempo es conocida y se mide experimenalmene la respuesa y(. G ( [ y( [ x( a función x( es conocida y por lo ano se puede deerminar su ransformada. Por ora pare, parir de los daos experimenales de salida se puede obener una función analíica de la curva y(, ransformarla y de esa forma obener G(. También puede suponerse una G( para el sisema y calcular y( según: [ G( ( x( )) y( Una vez obenida y( de esa manera, se compara con los daos experimenales para verificar si la G( supuesa es la correca. Respuesa a la inyección de un pulso A) RCAI Si se inyeca un pulso normalizado a la enrada (área debajo del pulso igual a uno), ese pulso será la función dela de Dirac. Como se conoce la G( de un RCAI y la ransformada del pulso, que es uno, enonces: [ y( G( S) + s Aniransformando se obiene la curva de salida en función del iempo, que es la curva C o lo que es lo mismo la curva (curva de disribución de iempos de residencia). ( y( e B) RTFPI Nuevamene se supone que se inyeca un pulso normalizado por lo que la ransformada del pulso es igual a uno y la G( es conocida, por lo ano la función a la salida será: s [ y( G( e s [ e δ( ) y(

16 ( δ( ) Respuesa a un escalón A) RCAI Si se inyeca un escalón normalizado, la ransformada será: ( s [ x y la G(: G( + s [ y( s ( + y( e F ( e B) RTFPI Si se inyeca un escalón normalizado y a parir de la curva G(, se puede obener la respuesa a la inyección del escalón. s e [ y( s y( U(-) F( U(-) lo que implica que F ( y( para > F ( y( para <, y

17 3.4 MODOS COMBINADOS n siuaciones donde el comporamieno fluidodinámico se apara basane del descrio en el modelo de dispersión o el de anques en serie debido a canalizaciones, recirculación, remolinos, espacios mueros, ec., se uilizan modelos combinados. n ese ipo de modelos se considera al reacor real como un sisema de regiones de flujo definido inerconecadas enre si. sos modelos se aplican a reacores a escala indusrial del ipo coninuos agiados, lechos fluidos, inercambiadores de calor, filros, ec. n regiones en serie: n regiones en paralelo: v / v + v /v +...