TRANSPORTE DE UN SOLUTO POR UN FLUIDO LIBRE

Transcripción

1 TRANPORTE DE UN OLUTO POR UN FLUIDO LIBRE CURO: MODELACIÓN MATEMÁTICA COMPUTACIONAL DE ITEMA TERRETRE I POGRADO: CIENCIA DE LA TIERRA Y CIENCIA E INGENIERIA DE LA COMPUTACIÓN AUTOR: GUILLERMO DE J. HERNÁNDEZ G. UNAM

2 TRANPORTE DE UN OLUTO POR UN FLUIDO LIBRE 1. LA ECUACIÓN GENERAL DE TRANPORTE DE UN OLUTO POR UN FLUIDO LIBRE

3 1. LA ECUACIÓN GENERAL DE TRANPORTE DE UN OLUTO POR UN FLUIDO LIBRE La masa de soluo es una propiedad exensiva dada en cualquier iempo por La ecuación de balance global es donde M c x dx B dm g x dx x n x dx d B B g es la fuene de soluo en consideración p. e. decaimieno radiacivo. represena la masa de soluo por unidad de área por unidad de iempo enrando al cuerpo de fluido principalmene difusión molecular.

4 1. LA ECUACIÓN GENERAL DE TRANPORTE DE UN OLUTO POR UN FLUIDO LIBRE La ecuación diferencial de balance local del ranspore de soluos por un fluido libre es: Donde c cv c x es la concenración del soluo y es la propiedad inensiva asociada con la masa del soluo es decir masa de soluo por unidad de volumen de la solución. g

5 TRANPORTE DE UN OLUTO POR UN FLUIDO LIBRE 2. PROCEO DE TRANPORTE

6 2. PROCEO DE TRANPORTE e pueden disinguir res procesos de ranspore: advección difusión y generación de masa. La ecuación de ranspore necesia el suminisro de información cienífica y ecnológica acerca de v la velocidad de la parícula g flujo de masa del soluo y la fuene exerna de masa del soluo.

7 2. PROCEO DE TRANPORTE Procesos de advección iempre que el fluido esá en movimieno ocurre la advección; es decir cuando la velocidad de la parícula es diferene de cero v 0. Ese proceso o fenómeno es debido al hecho de que la subsancia disuela es llevada por el fluido conforme se mueve como una carga ransporada por un vehículo. La exensión del proceso advecivo es caracerizada por la velocidad del fluido la cual en los modelos de ranspore que esan siendo considerados se asume que es dao conocido. Es necesario enonces obener la velocidad de las parículas por medios adecuados.

8 2. PROCEO DE TRANPORTE Procesos de difusión Las parículas microscópias que consiuyen un fluido esán en permanene agiación y las parículas del soluo que las acompañan iene caminos aleaorios conocidos como movimieno Browniano. Los procesos de difusión que son debidos a ese movimieno son conocidos como difusión molecular.

9 2. PROCEO DE TRANPORTE Procesos de difusión Un modelo muy simple y muy ampliamene usado para difusión molecular es el de la primera ley de Fick; en ella se esablece que el campo vecorial represenando el flujo de masa de soluo x es una función del gradiene de la concenración: x D c Donde D es una mariz denominada ensor de difusión molecular. Cuando el proceso es de difusión es isorópico y la ecuación se reduce: D DI

10 TRANPORTE DE UN OLUTO POR UN FLUIDO LIBRE 3. PROCEO DE TRANPORTE Procesos de generación de masa

11 3. PROCEO DE TRANPORTE Procesos de generación de masa La razón a la que la masa es generada es deerminada por fuenes exernas g x. Cuando las fuenes exernas son idénicamene iguales a cero nada de masa es generada y cada cuerpo de fluido conserva la masa que coniene. En ese caso el sisema de ranspore se denomina conservaivo.

12 3. PROCEO DE TRANPORTE Procesos de generación de masa Por ora pare cuando las fuenes exernas del soluo son diferenes de cero g x 0 y a al sisema de ranspore se le denomina no - conservaivo. Informalmene se dice que hay una fuene de masa un sumidero de masa cuando g x 0 o g x 0 o respecivamene. Los orígenes de ales fuenes y sumideros son diversos; por ejemplo dos que son especialmene significaivas son el decaimieno radiacivo y las reacciones químicas enre diferenes soluos conenidos en el fluido.

13 TRANPORTE DE UN OLUTO POR UN FLUIDO LIBRE 4. LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE TRANPORTE DIFUIVO

14 4. LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE TRANPORTE DIFUIVO La primera ley de Fick es generalmene acepada como la ecuación consiuiva básica para difusión molecular. Para fluidos libres los procesos de difusión son usualmene isorópicos. Cuando eso es aplicado la ecuación diferencial de balance local es c cv g D c Algunos casos especiales de la ecuación son los siguienes.

15 LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE TRANPORTE DIFUIVO i el fluido es incompresible c v c c c g cv g g Dc D Dc Cuando el fluido es homogéneos el coeficiene de difusión es independiene de la posición Cuando el fluido esá en reposo 2 c v 0 v 0 : D 0

16 4. LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE TRANPORTE DIFUIVO Para el ranspore conservaivo por un fluido homogéneo que esá en reposo la ecuación diferencial gobernane se reduce a la conocida ecuación del calor : c D 2 c El Esado esacionario es ambién deinerés en muchas aplicaciones. Las ecuaciones aplicables a ellas son las siguienes.

17 LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE TRANPORTE DIFUIVO Esado esacionario El caso más Dc cv El caso para fluidos incompresibles : El caso para fluidos homogéneos : D general gobernado por : La siuación cuando el fluido esá en reposo : 5. La represenación de un fluido homogéneo en reposo cuando el ranspore es conservaivo : 2 Dc 2 c Dc c 0 cv g g v c g g Esa úlima es la ecuación de Laplace el prooipo para ecuaciones elípicas.

18 TRANPORTE DE UN OLUTO POR UN FLUIDO LIBRE 5. PROBLEMA BIEN PLANTEADO PARA TRANPORTE DIFUIVO

19 5. PROBLEMA BIEN PLANTEADO PARA TRANPORTE DIFUIVO Problemas dependienes del iempo. Cuando fronera; Condiciones iniciales : Los prescrios : ea x c planeados son problemas de valores iniciales prescrias en adición las condiciones de fronera. valores iniciales de la concenración son c g x0 c0x; c x donde la función es lineal los es decir las condiciones iniciales son x quees dao conocido del problema. 0 problemas bien Ω el dominio espacial y sea Ω su fronera y es la concenración inicial 0 y de

20 5. PROBLEMA BIEN PLANTEADO PARA TRANPORTE DIFUIVO Problemas dependienes del iempo. Condiciones defronera ipo Robin. on la más general forma decondiciones defronera a ser consideradas. 2 2 ean y números ales que 1 c n donde la función x cx x ; x y 0 x es dao conocido del problema.

21 5. PROBLEMA BIEN PLANTEADO PARA TRANPORTE DIFUIVO Problemas dependienes del iempo. Dos casos pariculares muy imporanes de las condiciones de fronera son las condiciones de fronera Dirichle y de Newmann. Corresponden a los casos =1 ( =0) y =1( =0) respecivamene. Condiciones de fronera ipo Dirichle. c x x ; x y 0. Condiciones de fronera ipo Neumann. c x x ; x y 0. n Condición de flujo oal de masa. c D x v x nc x x ; x y 0 n

22 5. PROBLEMA BIEN PLANTEADO PARA TRANPORTE DIFUIVO Problemas dependienes del iempo. En la siguiene figura se observa la solución para la ecuación diferencial para ranspore por fluidos libres para el caso unidimensional en el cual la definición del dominio del problema es el inervalo uniario (01). Además : v g = 0 y D

23 5. PROBLEMA BIEN PLANTEADO PARA TRANPORTE DIFUIVO Problemas dependienes del iempo. Las condiciones de fronera son : Dirichle : Iniciales: i c i i 1 x 0 c 0 i ci x 0 0 x 1 x x Las curvas son siméricas alrededor de la concenración 0.5 indicando quela masa del sisema se conserva. El efeco de incremenar el valor de D es de decrecer la pendiene de la curva y así dela solución. i

24 5. PROBLEMA BIEN PLANTEADO PARA TRANPORTE DIFUIVO Problemas de esado esacionario. Los problemas bien planeados independienes del iempo no incluyen condiciones iniciales. Las condiciones de fronera a considerar son las mismas raadas en los problemas dependienes del iempo. in embargo cuando las condiciones de fronera ipo Neumann son impuesas en oda la fronera del dominio no exise solución.

25 TRANPORTE DE UN OLUTO POR UN FLUIDO LIBRE 6. PROCEO IRREVERIBLE DE PRIMER ORDEN

26 Para 6. PROCEO IRREVERIBLE DE PRIMER ORDEN Para procesos conservaivos g la ecuación diferencial de balance local se reduce a c cv Dc Cieras clases de acividad química ales como decaimieno radiacivo hidrólisis y cieras formas biodegradación pueden ser caracerizadas como procesos irreversibles de primer orden. ellas la siguiene expresión para las fuenes exernas es aplicada : g x cx Donde es una consane posiiva. i el fluido es homogéneo la ecuación es : c cv c Dc 0 = 0 en odos lados; cuando eso se hace

27 6. PROCEO IRREVERIBLE DE PRIMER ORDEN i el fluido es homogéneo la ecuación es: c cv c D c 0 En la siguiene figura se presenan soluciones al problema descrio por la ecuación anerior para diferenes valores de. El valor de D= 0. 5 v = 1 y el iempo ranscurrido es =30. 1 Noar que: = y N N0e =Ce. de desinegración N No. de aomos en iempo = es la vida media N No. inicial de aomos Periodo de semidesinegración: 0 1/2 ln 2

28 6. PROCEO IRREVERIBLE DE PRIMER ORDEN El más evidene impaco en la solución de esa reacción química de primer orden es la pérdida demasa global la cual se refleja en menores áreas bajo cada curva conforme la asa de reacción se incremena. Las condiciones de fronera son : i c 1 x i ci 0 x x x Y la condición inicial es : i c i i 0 x

29 TRANPORTE DE UN OLUTO POR UN FLUIDO LIBRE 7. ECUACIONE DIFERENCIALE PARA TRANPORTE NO DIFUIVO

30 7. ECUACIONE DIFERENCIALE PARA TRANPORTE NO DIFUIVO La ecuación gobernane del ranspore no - difusivo desoluos puede ser derivada esableciendo D c c v c c g cv g c x i el fluido es incompresible c x cv g c x g g c x c x Cuando el fluido esá en reposo Para esado esacionario Para esado esacionario y fluido incompresible v c v v 0 0 :

31 TRANPORTE DE UN OLUTO POR UN FLUIDO LIBRE 8. PROBLEMA BIEN PLANTEADO PARA TRANPORTE NO DIFUIVO

32 8. PROBLEMA BIEN PLANTEADO PARA TRANPORTE NO DIFUIVO Una imporane diferencia enre las ecuaciones generales de ranspore difusivo y no-difusivo es que la primera coniene derivadas espaciales de segundo orden debido a que D>0 mienras que la ora no. Como consecuencia la ecuación de ranspore difusivo es una ecuación parabólica de segundo orden mienras que la de ranspore no-difusivo es una ecuación de primer orden.

33 8. PROBLEMA BIEN PLANTEADO PARA TRANPORTE NO DIFUIVO Las ecuaciones diferenciales parciales de primer orden pueden ser reducidas a una familia ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden cada una de ellas saisfechas a lo largo de cieras curvas llamadas curvas caracerísicas; como se puede ver las curvas caracerísicas para ranspore no-difusivo son las rayecorias el espacio-iempo de parículas de fluido. La solución de ales ecuaciones diferenciales parciales es compleamene deerminada cuando su valor es prescrio en un y solo un puno de la curva caracerísica en el espacio-iempo. Consecuenemene los problemas bien planeados son aquellos que cumplen esa condición y el siguiene principio general se cumple.

34 8. PROBLEMA BIEN PLANTEADO PARA TRANPORTE NO DIFUIVO Los problemas bien planeados de valores en la fronera del ranspore no difusivo de un soluo son aquellos en los cuales el valor de la concenración del soluo es prescrio en un y solo un puno de la rayecoria espacio-emporal de cada parícula de fluido.

35 8. Problemas bien planeados en una dimensión espacial Los problemas con dependencia del iempo a ser considerados serán formulados en el inervalo espacial [a b] y en el inervalo de iempo [0 T]. Por lo ano la ecuación diferencial será saisfecha en en el dominio [a b]x[0 T] del plano x-. Para una dimensión espacial : c cv x g c x

36 8. Problemas bien planeados en una dimensión espacial Un problema de ranspore de soluo que es bien planeado puede ser esablecido como adherida al Principio Básico para Problemas Bien Planeados del Transpore no difusivo: Encuénrese la concenración c(x) para >0 hasa ciero iempo T en cada a<x<b cuando los valores de la concenración son conocidos ano al inicio y en cada en un exremo del inervalo [a b].

37 8. Problemas bien planeados en una dimensión espacial El correspondiene problema maemáico es un problema con valores iniciales y de fronera con condiciones de fronera Dirichle que puede ser esablecido como sigue: Encuénrese la función c(x) definida en el dominio recangular [a b]x[0 T] que saisface la ecuación diferencial siguiene

38 8. Problemas bien planeados en una dimensión espacial problema con valores iniciales con condiciones defronera c c c cv g c x x con las condiciones iniciales x0 c x y la condiciones a 0 a a c T 0 x la fronera Dirichle y de fronera b

39 8. Problemas bien planeados en una dimensión espacial Ese problema es bien planeado siempre que la velocidad sea conocida en odos lados: esa condición es requerida para hacer seguro que cualquier parícula de fluido que cruce la fronera izquierda del inervalo espacial del inervalo (x=a) nunca regrese a ella; si una parícula cruza esa fronera más de una vez en el inervalo de 0 a T enonces la ecuación debería prescribir el valor de C en dos punos diferene en la rayecoria en el espacio-iempo para la misma parícula y el principio básico de problemas bien planeados de ranspore no-difusivo sería violado.

40 8. Problemas bien planeados en una dimensión espacial X p X p c g X p x v x v X p c X c X p v X p c X p X p x c X p c X C X p c X C represenación Lagrangiana x c g x v c x c v c : represenación Lagrangiana de la y la fórmula para la derivada la ecuación de ranspore ecuación y usando iempo esa derivando con respeco al dela concenración es : La más explícia de la ecuación es : forma Una

41 En conclusión si dc d 8. Problemas bien planeados en una dimensión espacial la ecuación se reduce a manenemos fija : v x parícula defluido X X cpx px g c px px la

42 8. Problemas bien planeados en una dimensión espacial e usó derivada oal porque cuando la parícula de fluido se maniene fija la derivada parcial y la derivada oal coinciden. i la función de posición p(x ) es conocida la ecuación obenida consiuye una ecuación diferencial ordinaria para la concenración a lo largo de cada rayecoria de parícula de fluido.

43 8. Problemas bien planeados en una dimensión espacial Como ya se mencionó la función de posición p(x) de cada parícula necesia ser conocida para aplicar la ecuación; no obsane usualmene ese no es el caso no obsane la velocidad es en efeco conocida y por definición de la velocidad de parícula: dp X v px d cuando la parícula X es manenida fija

44 8. Problemas bien planeados en una dimensión espacial Esa ecuación suminisra una ecuación diferencial ordinaria para p(x) de la cual es obenida. En conclusión el méodo general de solución consise en primero resolver esa ecuación numéricamene y cuando p(x) sea disponible inegrar la ecuación para la concenración. Acualmene las ecuaciones diferenciales ordinarias son fácilmene resuelas usando esquemas numéricos como el méodo Runge Kua aunque procedimienos más simples son saisfacorios en muchos casos.

45 8. Problemas bien planeados en una dimensión espacial Como una ilusración de ese resulado general consideraremos un caso cuando una solución analíica exaca puede ser obenida. Para ese fin se asume que ninguna fuene de soluos esá presene g (cx) = 0 y que v es una consane. Enonces la ecuación se reduce al caso: dc X 0 d

46 Caso : La cual C X es g 8. Problemas bien planeados en una dimensión espacial C X CX una cx = 0 y con dc X 0 d puede ser inegrada función dela exclusivamene; es decir cada valor deconcenración a v es una para obener posición X de la ravés del consane : parícula de fluido conserva su iempo. parícula defluido

47 8. Problemas bien planeados en una dimensión espacial Para ese simple caso la solución del problema de valores iniciales y de fronera de las ecuaciones de ranspore puede ser obenida como se explica a coninuación. ea x [ ab] [0 T ] y asúmase v 0; para cualquier parícula de fluido hay solo dos 1. Ya esaba en el inervalo[a b] en 0; o 2. Enró al inervalo[ ab] a ravés de su fronera izquierda x a en 0. posibilidades :

48 8. Problemas bien planeados en una dimensión espacial En el primer caso la posición decada parícula en 0 es dada por : x X v Aquí X es la posición dela parícula de fluido en Además la concenración es : c x c x v 0 = 0.

49 x c c 8. Problemas bien planeados en una dimensión espacial En el segundo caso cada por el iempo al cual enró al inervalo[a b] el cual va de cero a y ese iempo será denoado por '.La iempo > 0 al que ' X v x c x v ' Laconcenración dela x a cx c v Dada cualquier x y ales que a 0 x a v x c se aplica cuando x a v parícula de fluido puede ser idenificada T es dado por parícula es dada x b se aplica cuando posición dela por y 0 x : a T enonces : parícula en el v T

50 8. Problemas bien planeados en una dimensión espacial Comenario. El modelo del mismo problema físico cuando el sisema ipo Dirichle es gobernada c c cv c D g c x x x x Y saisface las mismas condiciones iniciales. Las condiciones de fronera es difusivo y las condiciones de fronera por la ecuación diferencial Dirichle son : a c y cb c T 1 2 0

51 8. Problemas bien planeados en varias dimensiones espaciales Las ideas precedenes pueden ser fácilmene exendidas a modelos mulidimensionales de ranspore no difusivo. La ecuación diferencial parcial de primer orden puede ser escria como: c v c vc g c x Usando la represenación Lagrangiana de la concenración del soluo: dc X g c p X p X c p X v p X d

52 8. Problemas bien planeados en varias dimensiones espaciales La función de posición puede ser obenida la un sisema d d Para dp velocidad de la p d i de ecuaciones diferenciales ordinarias : X v px un modelo ridimensional X v px i parícula de fluido es inerpreada una forma i 12 3 cuando la definición de como más explícia :

53 8. Problemas bien planeados para modelos de esado esacionario Cuando la solución buscada es independiene del iempo la ecuación se reduce a: cv g c x in difusión la concenración iene que saisfacer la E. D. dc v 0 para cada x 0 x 1 d con la condición Dirichle c 1en x 0 la solución del problema es c x 1 para 0 x 1