TRANSPORTE DE UN SOLUTO POR UN FLUIDO LIBRE

Transcripción

1 TRANPORTE DE UN OLUTO POR UN FLUIDO LIBRE CURO: MODELACIÓN MATEMÁTICA COMPUTACIONAL DE ITEMA TERRETRE I POGRADO: CIENCIA DE LA TIERRA Y CIENCIA E INGENIERIA DE LA COMPUTACIÓN AUTOR: GUILLERMO DE J. HERNÁNDEZ G. UNAM

2 LA ECUACIÓN GENERAL DE TRANPORTE DE UN OLUTO POR UN FLUIDO LIBRE La masa de soluo es una propiedad exensiva da M en cualquier iempo por cx La ecuación de balance global es dm g x dx d B B donde g es la fuene de soluo en consideración p. e.decaimieno radiacivo. B represena la dx principalmene difusión molecular. x nx masa de soluo por unidad de área por unidad de iempo enrando al cuerpo de fluido dx

3 LA ECUACIÓN GENERAL DE TRANPORTE DE UN OLUTO POR UN FLUIDO LIBRE La ecuación diferencial de balance local del ranspore de soluos por un fluido libre es : c cv g Donde c x eslaconcenración del soluo y es la propiedad inensiva asociada con la masa del soluo es decirmasa de soluo por unidad de volumen de la solución.

4 PROCEO DE TRANPORTE e pueden disinguir res procesos de ranspore : advección difusión y generación de masa. La ecuación de ranspore necesia el suminisro de información cienífica y ecnológica acerca de v la velocidad de la parícula flujo de masa del soluo y g la fuene exerna de masa del soluo.

5 PROCEO DE TRANPORTE Procesos de difusión Las parículas microscópias que consiuyen un fluido esán en permanene agiación y las parículas del soluo que las acompañan iene caminos aleaorios conocidos como movimieno Browniano. Los procesos de difusión que son debidos a ese movimieno son conocidos como difusión molecular.

6 PROCEO DE TRANPORTE Procesos de difusión Un modelo muy simple y muy ampliamene usado para difusión molecular es el de la primera ley de Fick; ella esablece que el campo vecorial represenando el flujo de masa de soluo x D c x es una función del gradiene de la concenración : Donde D es una mariz denominada ensor de difusión molecular.cuando el proceso es de difusión es isorópico y la ecuación se reduce : D DI

7 PROCEO DE TRANPORTE Procesos de generación de masa La razón a la que la masa esgenerada esdeerminada por fuenes exernas g x Cuando las fuenes exernas son idénicamene iguales a cero nada de masa esgenerada y cada cuerpo de fluido conserva la masa que coniene. En ese caso el sisema de ranspore se denomina conservaivo..

8 PROCEO DE TRANPORTE Procesos de generación de masa Por ora pare cuando las fuenes exernas del soluo son diferenes de cero fuene de masa x 0 o g x x 0 y al sisema de ranspore se le denomina no - conservaivo. Informalmene se dice que hay una g y un sumidero de masa cuando g 0 respecivamene. Los orígenes de ales fuenes y sumideros son diversos; por ejemplo dos que son especialmene significaivas son el decaimieno radiacivo y las reacciones químicas enre diferenes soluos conenidos en el fluido.

9 LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE TRANPORTE DIFUUVO La primera ley de Fick es generalmene acepada como la ecuación consiuiva básica para difusión molecular. Para fluidos libres los procesos de difusión son usualmene isorópicos. Cuando eso es aplicado la ecuación diferencial de balance local es c cv g Dc Algunos casos especiales de la ecuación son los siguienes.

10 LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE TRANPORTE DIFUUVO 1. i el fluido esincompresible c v c g Dc v Cuando el fluido es homogéneos el coeficiene de difusión esindependiene de la posición c c g cv g Dc D Cuando el fluido esá en reposo 2 c v 0 : D 0

11 LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE TRANPORTE DIFUUVO Para el ranspore conservaivo por un fluido homogéneo que esá en reposo la ecuación diferencial gobernane se reduce a la conocida ecuación del calor : c D 2 c El Esado esacionario es ambién de inerés en muchas aplicaciones. Las ecuaciones aplicables a ellas son las siguienes.

12 LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE TRANPORTE DIFUUVO Esado esacionario El caso más Dc cv El caso para fluidos incompresibles : El caso para fluidos homogéneos : D general gobernado por : La siuación cuando el fluido esá en reposo : 5. La represenación de un fluido homogéneo en reposo cuando el ranspore es conservaivo : 2 Dc 2 c Dc c 0 cv g g v c g g Esa úlima esla ecuación de Laplace el prooipo para ecuaciones elípicas.

13 PROBLEMA BIEN PLANTEADO PARA TRANPORTE DIFUUVO Problemas dependienes del iempo. Cuando fronera; Condiciones iniciales : Los prescrios : ea x c planeados son problemas de valores iniciales prescrias en adición las condiciones de fronera. valoresiniciales de la concenración son c g x0 c0x; c x donde la función es lineal los problemas bien es decir las condiciones iniciales son Ω el dominio espacial y sea Ω su fronera x que es dao conocido del problema. 0 y esla concenración inicial 0 y de

14 PROBLEMA BIEN PLANTEADO PARA TRANPORTE DIFUUVO Problemas dependienes del iempo. Condiciones de fronera ipo Robin. on la más general forma de condiciones de fronera a ser consideradas. 2 2 ean y números ales que 1 c n donde la función x cx x ; x y 0 x es dao conocido del problema.

15 PROBLEMA BIEN PLANTEADO PARA TRANPORTE DIFUUVO Problemas dependienes del iempo. Dos casos pariculares muy imporanes de las condiciones de fronera son las condiciones de fronera Dirichle y de Corresponden a los casos = 1( = 0) y = 1( = 0) respecivamene. Condiciones de fronera x x Condiciones de fronera ipo Neumann. c x x ; x n Condición de flujo oal de masa. c D n c ; ipo Dirichle. x x vx ncx x ; x y 0 y y Newmann

16 PROBLEMA BIEN PLANTEADO PARA TRANPORTE DIFUUVO Problemas dependienes del iempo. En la siguiene figura se observa la solución para la ecuación diferencial para ranspore por fluidos libres para el caso unidimensional en el cual la definición del dominio del problema esel inervalo uniario (01). Además : v g = 0 y D

17 PROBLEMA BIEN PLANTEADO PARA TRANPORTE DIFUUVO Problemas dependienes del iempo. Las condiciones de fronera son : Dirichle : Iniciales: i c i i 1 x 0 c 0 i ci x 0 0 x 1 x x Las curvas son siméricas alrededor de la concenración 0.5 indicando que la masa del sisema seconserva. El efeco de incremenar el valor de D es de decrecer la pendiene de la curva y así de la solución. i

18 PROBLEMA BIEN PLANTEADO PARA TRANPORTE DIFUUVO Problemas de esado esacionario. Los problemas bien planeados independienes del iempo no incluyen condiciones iniciales. Las condiciones de fronera a considerar son las mismas raadas en los problemas dependienes del iempo. in embargo cuando las condiciones de fronera ipo Neumann son impuesas en oda la fronera del dominio no exise solución.

19 PROCEO IRREVERIBLE DE PRIMER ORDEN Para procesos conservaivos g la ecuación diferencial de balance local se reduce a c cv Dc Cieras clases de acividad química ales como decaimieno radiacivo hidrólisis y cieras formas biodegradación pueden ser caracerizadas como procesos irreversibles de primer orden. Para ellas la siguiene expresión para las fuenes exernas es aplicada : g x cx Donde es una consane posiiva. i el fluido es homogéneo la ecuación es : c cv c Dc 0 = 0 en odos lados; cuando eso se hace

20 PROCEO IRREVERIBLE DE PRIMER ORDEN i el fluido es homogéneo la ecuación es : c cv c Dc En la siguiene figura se presenan soluciones al problema descrio por la ecuación anerior para diferenes valores de. El valor de D= 0. 5 v= 1 y el iempo ranscurrido es 0 = 30.

21 PROCEO IRREVERIBLE DE PRIMER ORDEN El más evidene impaco en la solución de esa reacción química de primer orden esla pérdida de masa global la cual se refleja en menores áreas bajo cada curva conforme la asa de reacción seincremena. Las condiciones de fronera son : i c 1 x i ci 0 x x x Y la condición inicial es : i c i i 0 x

22 ECUACIONE DIFERENCIALE PARA TRANPORTE NO DIFUIVO La ecuación gobernane del ranspore no - difusivo de soluos puede ser derivada esableciendo D c c v c c g cv g c x i el fluido esincompresible c x cv g c x g g c x c x Cuando el fluido esá en reposo Para esado esacionario Para esado esacionario y fluido incompresible v c v v 0 0 :

23 PROBLEMA BIEN PLANTEADO PARA TRANPORTE NO DIFUIVO Una imporane diferencia enre las ecuaciones generales de ranspore difusivo y no-difusivo es que la primera coniene derivadas espaciales de segundo orden debido a que D>0 mienras que la ora no. Como consecuencia la ecuación de ranspore difusivo es una ecuación parabólica de segundo orden mienras que la de ranspore no-difusivo es una ecuación de primer orden.

24 PROBLEMA BIEN PLANTEADO PARA TRANPORTE NO DIFUIVO Las ecuaciones diferenciales parciales de primer orden pueden ser reducidas a una familia ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden cada una de ellas saisfechas a lo largo de cieras curvas llamadas curvas caracerísicas; como se puede ver las curvas caracerísicas para ranspore no-difusivo so las rayecorias el espacio-iempo de parículas de fluido. Por ano la solución de ales ecuaciones diferenciales parciales es compleamene deerminada cuando su valor es prescrio en un y solo un puno de la curva caracerísica en el espacio-iempo. Consecuenemene los problemas bien planeados son aquellos que cumplen esa condición y el siguiene principio general se cumple.

25 PROBLEMA BIEN PLANTEADO PARA TRANPORTE NO DIFUIVO Los problemas bien planeados de valores en la fronera del ranspore no difusivo de un soluo son esos en los cuales el valor de la concenración del soluo es prescrio en un y solo un puno de la rayecoria espacio-emporal de cada parícula de fluido.

26 Problemas bien planeados en una dimensión espacial Los problemas con dependencia del iempo a ser considerados serán formulados en el inervalo espacial [a b] y en el inervalo de iempo [0 T]. Por lo ano la ecuación diferencial será saisfecha en en el dominio [a b]x[0 T] del plano x-. Para una dimensión espacial : c cv x g c x

27 Problemas bien planeados en una dimensión espacial Un problema de ranspore de soluo que es bien planeado puede ser esablecido como adherida al Principio Básico para Problemas Bien Planeados del Transpore no difusivo: Encuénrese la concenración c(x) para >0 hasa ciero iempo T en cada a<x<b cuando los valores de la concenración son conocidos ano al inicio y en cada en un exremo del inervalo [a b].

28 Problemas bien planeados en una dimensión espacial El correspondiene problema maemáico es un problema con valores iniciales y de fronera con condiciones de fronera Dirichle que puede ser esablecido como sigue: Encuénrese la función c(x) definida en el dominio recangular [a b]x[0 T] que saisface la ecuación diferencial siguiene

29 Problemas bien planeados en una dimensión espacial problema con valores iniciales con condiciones de fronera Dirichle c c c cv g c x x con las condiciones iniciales x0 c x y la condiciones a 0 a a c T 0 x la fronera y de fronera b

30 Problemas bien planeados en una dimensión espacial Ese problema es bien planeado siempre que la velocidad sea conocida en odos lados: esa condición es requerida para hacer seguro que cualquier parícula de fluido que cruce la fronera izquierda del inervalo espacial del inervalo (x=a) nunca regrese a ella; si una parícula cruza esa fronera más de una vez en el inervalo de 0 a T enonces la ecuación debería prescribir el valor de C en dos punos diferene en la rayecoria en el espacio-iempo para la misma parícula y el principio básico de problemas bien planeados de ranspore no-difusivo sería violado.

31 Problemas bien planeados en una dimensión espacial X p X p c g X p x v x v X p c X c X p v X p c X p X p x c X p c X C X p c X C represenación Lagrangiana x c g x v c x c v c : represenación Lagrangiana de la y la fórmula para la derivada la ecuación de ranspore ecuación y usando iempo esa derivando con respeco al de la concenración es : La Una forma más explícia de la ecuación es :

32 En conclusión si la ecuación se reduce a dc d Problemas bien planeados en una dimensión espacial manenemos fija : v x parícula de fluido X X cpx px g c px px la

33 Problemas bien planeados en una dimensión espacial e usó derivada oal porque cuando la parícula de fluido se maniene fija la derivada parcial y la derivada oal coinciden. i la función de posición p(x ) es conocida la ecuación obenida consiuye una ecuación diferencial ordinaria para la concenración a lo largo de cada rayecoria de parícula de fluido.

34 Problemas bien planeados en una dimensión espacial Como ya se mencionó la función de posición p(x) de cada parícula necesia ser conocida para aplicar la ecuación; no obsane usualmene ese no es el caso no obsane la velocidad es en efeco conocida y por definición de la velocidad de parícula: dp d cuando la X v px parícula X es manenida fija

35 Problemas bien planeados en una dimensión espacial Esa ecuación suminisra una ecuación diferencial ordinaria para p(x) de la cual es obenida. En conclusión el méodo general de solución consise en primero resolver esa ecuación numéricamene y cuando p(x) sea disponible inegrar la ecuación para la concenración. Acualmene las ecuaciones diferenciales ordinarias son fácilmene resuelas usando esquemas numéricos como el méodo Runge Kua aunque procedimienos más simples son saisfacorios en muchos casos.

36 Problemas bien planeados en una dimensión espacial Como una ilusración de ese resulado general consideraremos un caso cuando una solución analíica exaca puede ser obenida. Para ese fin se asume que ninguna fuene de soluos esá presene g (cx) = 0 y que v es una consane. Enonces la ecuación se reduce al caso: dc X 0 d

37 Caso : es Problemas bien planeados en una dimensión espacial cx= 0 v es una consane dc X 0 d La cual puede ser inegrada para obener : C X g d d una X CX función de la exclusivamene; es decir cada valor de concenración a posición X de la ravés del parícula de fluido conserva su iempo. parícula de fluido

38 Problemas bien planeados en una dimensión espacial Para ese simple caso lasolución del problema de valores iniciales y de fronera de las ecuaciones de ranspore puede ser obenida como se explica a coninuación. ea x [ ab] [0 T ] y asúmase v 0; para cualquier parícula de fluido hay solo dos 1. Ya esaba en el inervalo[a b] en 0; o 2. Enró al inervalo[ ab] a ravés de su fronera izquierda x a en 0. posibilidades :

39 Problemas bien planeados en una dimensión espacial En el primer caso la posición de cada parícula en 0 es dada por : x X v Aquí X es la posición de la parícula de fluido en Además la concenración es : c x c x v 0 = 0.

40 x c c Problemas bien planeados en una dimensión espacial En el segundo caso cada por el iempo al cual enró al inervalo[a b] el cual va de cero a T y ese iempo será denoado por '.La iempo > 0 al que ' X x a cx c v Dada cualquier x y ales que v x c x v ' La concenración de la 0 x a v a x c seaplica cuando x a v parícula de fluido puede ser idenificada T esdado por parícula esdada x b seaplica cuando posición de la por y 0 x : a T enonces : parícula en el v

41 Problemas bien planeados en una dimensión espacial Comenario. El modelo del mismo problema físico cuando el sisema es difusivo y las condiciones de fronera ipo Dirichle esgobernada por la ecuación diferencial c c cv c D g c x x x x Y saisface las mismas condiciones iniciales. Las condiciones de fronera Dirichle son : a c y cb c T 1 2 0

42 Problemas bien planeados en varias dimensiones espaciales Las ideas precedenes mulidimensionales de ranspore no difusivo. La ecuación diferencial parcial de primer orden puede ser escria como : c dc d v c vc g c x pueden ser fácilmene exendidas a Usando la represenación Lagrangiana de la concenración del soluo : v x X c px vpx g c px px modelos

43 Problemas bien planeados en varias dimensiones espaciales La función de posición puede ser obenida cuando la definición de la un sisema de ecuaciones diferenciales ordinarias. d p d Para dp d velocidad de la i X v px un modelo ridimensional X v px i parícula de fluido esinerpreada una i 12 3 como forma más explícia :

44 Problemas bien planeados para modelos de esado esacionario Cuando la solución buscada esindependiene del la ecuación se reduce a : cv g c x iempo