1.1 SEÑALES, SECUENCIAS Y SISTEMAS

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1 1.1 SEÑALES, SECUENCIAS Y SISTEMAS SEÑALES CONTINUAS Y SEÑALES DISCRETAS Señal coninua: variable independiene () valores coninuos Señal discrea: variable independiene (n) solo valores eneros Simbología: x() señal coninua x[n] señal discrea Procesamieno analógico de señales (ASP) sisema coninuo x() FILTRO ANALOGICO y() Disconinuidad de un señal coninua x() x( 1 ) 1 + x( 1) x( 1 ) + x( 1) 2 1 REPRESENTACION DE SEÑALES CONTINUAS [L1-1]

2 1.1 SEÑALES, SECUENCIAS Y SISTEMAS SEÑALES CONTINUAS Y SEÑALES MUESTREADAS Muesreo de una señal coninua señal muesreada x(nt) Señal muesreada: variable independiene (nt) valores cada T [s] Procesamieno digial de señales (DSP) sisema discreo o digial ASP x() PrF A D C FILTRO DIGITAL D A C PoF y() Converidor ADC y DAC inerfaz variables coninuas exernas Eapas en DSP: muesreo, procesamieno y reconsrucción ANÁLISIS Y DISEÑO DE SISTEMAS Diagrama de bloques: modelo funcional de un sisema Enrada Causa SISTEMA Salida Efeco Modelo maemáico: formular relación E-S x() y() Diferencia concepual: - análisis: evaluar y() a parir de x(), conociendo el modelo del sisema - diseño: desarrollar el modelo del sisema para una relación x() y() REPRESENTACION DE SEÑALES CONTINUAS [L1-2]

3 1.2 TRANSFORMACIÓN DE SEÑALES CONTINUAS OPERACIÓN DE DESPLAZAMIENTO EN EL TIEMPO Definición de desplazamieno: dada x(τ) obener x( 0 ) x () = x() τ = x( ) m τ= Inerpreación gráfica: adelano o araso 0 0 EJEMPLO 1.1: Obener una señal desplazada en forma analíica y gráfica. Méodo analíico para obener una señal desplazada: 1. Obener la descripción analíica de x(τ) 2. Susiuir τ= 0 en la descripción analíica de x(τ) para obener x( 0 ) 3. Simplificar expresiones del dominio de x( 0 ) Méodo gráfico para obener una señal desplazada: 1. Dibujar la señal original x() en función de τ REPRESENTACION DE SEÑALES CONTINUAS [L1-3]

4 1.2 TRANSFORMACIÓN DE SEÑALES CONTINUAS 2. Calcular valores caracerísicos del eje = τ+ 0 y dibujarlo debajo del eje-τ. 3. Dibujar la señal modificada x m () en función de Aplicación prácica: araso por velocidad de propagación y ransmisión OPERACIÓN DE REFLEXIÓN EN EL TIEMPO Definición de la reflexión: dada x(τ) obener x( ) x () = x() τ = x( ) m τ= Inerpreación gráfica: efeco de espejo EJEMPLO 1.2: Obener una señal reflejada en forma analíica y gráfica. Méodo analíico para obener una señal reflejada: 1. Obener la descripción analíica de x(τ). 2. Susiuir τ = en la descripción analíica de x(τ) para obener x( ). REPRESENTACION DE SEÑALES CONTINUAS [L1-4]

5 1.2 TRANSFORMACIÓN DE SEÑALES CONTINUAS 3. Simplificar expresiones del dominio de x( ). Méodo gráfico para obener la señal reflejada: 1. Dibujar la señal original x() en función de τ. 2. Calcular valores caracerísicos del eje = τ y dibujarlo debajo del eje-τ 3. Dibujar la señal modificada x m () en función de Aplicación prácica: - rebobinado de una señal de video o de audio - análisis de simería de señales OPERACIÓN DE ESCALAMIENTO EN EL TIEMPO Definición del escalamieno: dada x(τ) obener x(a) x () = x() τ = x( a) m τ= a Inerpreación gráfica: señal comprimida (a>1) o señal expandida (a<1) REPRESENTACION DE SEÑALES CONTINUAS [L1-5]

6 1.2 TRANSFORMACIÓN DE SEÑALES CONTINUAS EJEMPLO 1.3: Obener una señal escalada en iempo en forma analíica y gráfica. Méodo analíico para obener una señal descalada: 1. Obener la descripción analíica de x(τ). 2. Susiuir τ = a en la descripción analíica de x(τ) para obener x(a ). 3. Simplificar expresiones del dominio de x(a ). Méodo gráfico para obener una señal escalada en iempo: 1. Dibujar la señal original en función de τ 2. Calcular valores caracerísicos del eje = τ/a y dibujarlo debajo del eje-τ. 3. Dibujar la señal modificada x m () en función de Reflexión: caso paricular de escalamieno para a = 1. Aplicación: reproducción de señal de audio o video a ala o baja velocidad COMBINACIÓN DE OPERACIONES EN EL TIEMPO CONTINUO Efeco en orden de operaciones: dos casos 1. Escalamieno y desplazamieno: no son conmuaivas - modelo general: x( τ) xa [ ( 0 )] - orden lógico: escalamieno + desplazamieno τ= a = x( τ) xa ( ) xa [ ( )] orden inverso: desplazamieno + escalamieno τ= = a x( τ) x ( ) xa ( ) xa [ ( )] Desplazamieno y reflexión: no son conmuaivas (caso 1 para a = 1) - modelo general: x( τ) x[ ( 0 )] - orden lógico: reflexión + desplazamieno REPRESENTACION DE SEÑALES CONTINUAS [L1-6]

7 1.2 TRANSFORMACIÓN DE SEÑALES CONTINUAS τ= y y = 0 x( τ) x( y) x[ ( )] - orden inverso: desplazamieno + reflexión τ= = x( τ) x ( ) x( ) x[ ( )] Procedimieno analíico general: dada x(τ) obener x(a + b) x () = x() τ = x( a+ b) m τ= a+ b 1. Obener la descripción analíica de x(τ). 2. Susiuir τ = a+b en la descripción analíica de x(τ) para obener x(a+b ). 3. Simplificar expresiones del dominio de x(a+b ). Méodo gráfico general para obener x(a + b) a parir de x() 1. Dibujar la señal original en función de τ 2. Calcular valores caracerísicos del eje = ( τ b)/ a y dibujarlo debajo del eje-τ. 3. Dibujar la señal modificada x m () en función de 0 EJEMPLO 1.4: Aplicar procedimieno general para obener una señal ransformada en iempo. TRANSFORMACIÓN DE AMPLITUD Operaciones: escalamieno y desplazamieno Problema: dada x(τ) obener Ax() + B Inerpreación gráfica: - A > 1 amplificación A < 1 aenuación - A = 1 inversión A = 1 aislamieno - B componene DC REPRESENTACION DE SEÑALES CONTINUAS [L1-7]

8 1.2 TRANSFORMACIÓN DE SEÑALES CONTINUAS EJEMPLO 1.5: Operaciones de ampliud y iempo en una señal. Aplicación prácica de ransformaciones de ampliud - amplificación o aenuación de señales - componene DC en una señal TRANSFORMACIÓN DE SEÑALES USANDO MATLAB Cálculo numérico de la ransformación de ampliud y iempo EJEMPLO 1.6: Solución del ejemplo 1.5 usando MATLAB. Función auxiliar para generar los valores de la función original x() funcion x = xe1p6() % señal base para el ejemplo 1.1 x1=1; x2=; x3=1; x=x1.*(-1< & <0) + x2.*(0< & =<1) + x3.*(1<= & <2); reurn REPRESENTACION DE SEÑALES CONTINUAS [L1-8]

9 1.2 TRANSFORMACIÓN DE SEÑALES CONTINUAS Procedimieno para crear y graficar la función original x() EDU» =-3:0.001:5; %base de iempo EDU» x=xe1p6(); %valores de x() EDU» subplo(2,1,1) EDU» plo(,x,'b') %gráfica de x() EDU» axis([-1.5,2.5,-0.5,1.5]) %ajusa ejes al domi/rang x() Procedimieno para crear y graficar la función modificada x () = 3 x(1 /2) 1 EDU» xm=3*xe1p6(1-/2)-1; %valores de xm() EDU» subplo(2,1,2) EDU» plo(,xm,'b') %gráfica de xm() EDU» axis([-3,5,-2.5,3.5]) %ajusa ejes al domi/rang de xm() m Procedimieno para aplicar ransformaciones usando MATLAB 1. Crear función auxiliar para generar valores de la señal original x() 2. Esablecer la base de iempo garanizar valores de x() y x m () REPRESENTACION DE SEÑALES CONTINUAS [L1-9]

10 1.2 TRANSFORMACIÓN DE SEÑALES CONTINUAS x() = [, ] x () = Ax( a+ b) + B = [, ] x x x m xm x x b b 1 2 m1 m2 x1 x2 xm =, 0, 1 xm = si a< inercambiar 2 xm 1 xm2 a a = [, ] = min(, ), = max(, ) x1 xm1 2 x2 xm2 3. Desarrollar algorimo para crear y graficar x() y y() 4. Ajusar ejes de las gráficas para mejorar la presenación x() [,, x, x ] x () [,, x, x ] x1 x2 1 2 m 1 2 m1 m2 x = Ax + B x = Ax + B si A < 0 inercambiar x, x m1 1 m2 2 m1 m2 Función especial para calcular base de iempo y rango de señal modificada funcion [dxm,rxm,b]=x2xm(dx,rx,a,b,a,b) % calcular el dominio y rango de la señal xm() % aplicando la siguiene ransformación: xm()= A*x(a*+b)+B % Auor: Carlos Albero Rey Soo - UNET julio 2006 % Parámeros: % dx = dominio de la señal x() como vecor fila [x1,x2] % rx = rango de la señal x() como vecor fila [x1,x2] % a = facor de escalamieno en iempo % b = desplazamieno en iempo % A = facor de escalamieno en magniud % B = desplazamieno en magniud % dxm = dominio de la señal xm() % rxm = rango de la señal xm() % b = base de iempo para simulación EJEMPLO 1.7: Calcular base de iempo y ajuse de ejes del ejemplo 1.6 usando x2xm(). EDU» dx=[-1.5,2.5]; rx=[-0.5,1.5]; EDU» A=3; B=-1; a=-1/2; b=1; EDU» [dxm,rxm,b]=x2xm(dx,rx,a,b,a,b) dxm = -3 5 rxm = b = -3 5 Sugerencias: Esudiar ejemplos a de Soliman Resolver problemas 1.11 y 1.12 de Soliman REPRESENTACION DE SEÑALES CONTINUAS [L1-10]

11 1.3 SEÑALES ELEMENTALES CONTINUAS SEÑAL ESCALÓN UNITARIO Definición u() 1 0, < 0 u () = 1, > 0 En simulación se aplica crierio de disconinuidad u(0)=0.5 Función especial de MATLAB para generar u() u = escau() Aplicación: limiar exisencia de una señal para >0 x() u( ) x() = 0, para< 0 0 Función puera: limiar exisencia de una señal en el inervalo [ 1, 2 ] g() SEÑAL RAMPA UNITARIA Definición r() [ ] g(, ) = u( ) u( ) , < 0 r () = r () = u (), 0 Relación enre la señal rampa y escalón dr() u () = r () = u() d d τ τ inegrador REPRESENTACION DE SEÑALES CONTINUAS [L1-11]

12 1.3 SEÑALES ELEMENTALES CONTINUAS Función especial de MATLAB para generar r() r = rampu() SEÑALES ARBITRARIAS USANDO SEÑALES ELEMENTALES Méodo indireco combinación señales elemenales y función puera Ejemplo 1.8: Señal arbiraria usando señales elemenales y función puera. Ejemplo 1.1 Méodo direco: considerar cambios de magniud y pendiene - cambios de ampliud señales escalón x() a 1 a 0 x() = a u( ), < a x() = ( a 0)( u ) + ( a a)( u ) + ( a a)( u ) cambio a parir de = 0 cambio a parir de = 1 cambio a parir de = 2 x() = a u( ) a : cambioa parir de = i i i i - cambios de pendiene señales rampa x() m 0 m 1 m 2 x( ) = m ( ) u( ), < x2( ) = ( m0 0)( 0) u( 0) + ( m1 m0)( 1) u( 1) + ( m2 m1)( 2) u( 2) cambio a parir de cambio a parir de cambio a parir de x() = m ( )( u ) m : cambioa parir de = k k k k i REPRESENTACION DE SEÑALES CONTINUAS [L1-12]

13 1.3 SEÑALES ELEMENTALES CONTINUAS - algorimo general xa() = ai u( i) x () = xm() + xa() xm( ) = mk( k) u( k) Ejemplo 1.9: Repeir ejemplo 1.8, considerando cambios de ampliud y de pendiene. SEÑAL IMPULSO UNITARIO Tres caracerísicas de la señal impulso δτ ( ) dτ= 1 δ ( ) = 0, 0 δ(0) Represenación gráfica δ() 1 Relación enre la señal impulso y la señal escalón du() δ () = u() = () d d δ τ τ Formas posibles para generar la señal impulso p 1 () p 2 () Área = 1 1/ε 1/ε δ () = lim p () = lim p () ε/2 ε/2 ε ε PROPIEDADES DE LA SEÑAL IMPULSO Propiedad de muesreo x() coninua en = 0 x() x( 0 ) x()( δ ) = x( )( δ ) ε 0 ε 0 0 REPRESENTACION DE SEÑALES CONTINUAS [L1-13]

14 1.3 SEÑALES ELEMENTALES CONTINUAS Propiedad de desplazamieno aplicando propiedad de muesreo x()( δ ) d = x( ) x( )() δ d = x( ) Propiedad de escalado + reflexión δ ( a+ b) = δ ( + b/ a) a Ejemplo 1.10: Para la señal mosrada en la figura, evaluar las siguienes inegrales 4 x() 2 2 a. x()() δ d b. x( 1) δ( ) d c. x()( δ 1) d d. x( 1) δ( 1) d e. x()(4) δ d DERIVADAS DE LA SEÑAL IMPULSO Primera derivada: doblee asumiendo x() coninua para = 0 δ '( ) 1 2 δ 0 = x () '( ) d x'( ), < < 0, oro valor Sugerencias: Esudiar ejemplos 1.6.3, 1.6.4, 1.6.6, 1.67, de Soliman Resolver 1.13, 1.15, 1.16, 1.20, 1.23 de Soliman REPRESENTACION DE SEÑALES CONTINUAS [L1-14]

15 1.4 CARACTERISITCAS DE LAS SEÑALES CONTINUAS SEÑALES PERIÓDICAS Y APERIÓDICAS Definición de una señal periódica x() = x( + T), T>0 - si no es periódica señal aperiódica - cambiando por +T x(+t) = x( +2T) x() = x( + nt) - período fundamenal T 0 mínimo valor de T que saisface definición - frecuencia fundamenal asociada con T 0 1 2π f = [ Hz] ω = [ rad/ s] 0 0 T0 T0 Señal senoidal x() = Asen( ω 0+θ) x() = Asen( ω 0+θ) x( + T0) = Asen[ ω 0( + T0) +θ ] = Asen[ ω 0+ω 0T0 +θ ] = Asen[ ω 0+ 2 π+θ ] 2π x ( + T0) = Asen( ω 0+θ ) = x ( ) T0 = ω j 0 Señal exponencial x() = Ae ω jω 0( + T0) jω0 jω0t0 jω0 j 2π jω 2 0 π x ( + T0 ) = Ae = Ae e = Ae e = Ae = x ( ) T0 = ω Combinación lineal de señales periódicas - combinación lineal x()=a 1 x 1 () + a 2 x 2 () periódica? T 0 - período de cada componene x1() T1 x2() T2 x () = x ( + nt ), x () = x ( + nt ) x() = a x ( + nt ) + a x ( + nt ) asumiendo combinación lineal periódica período T x( ) = x( + T ) = a x ( + T ) + a x ( + T ) T = nt = nt condición para que x() sea periódica: T1 n 2 n 2 = = fracción racional min T = n T T = n T T2 n1 n Ejemplo 1.11: Evaluar varias señales para deerminar si son periódicas. REPRESENTACION DE SEÑALES CONTINUAS [L1-15]

16 1.4 CARACTERISITCAS DE LAS SEÑALES CONTINUAS COMPONENTES PAR E IMPAR DE UNA SEÑAL Tipos de simería: par o impar x() señal real Definición e inerpreación gráfica: - simería par x()=x( ) respeco del eje verical - simería impar x()= x( ) respeco del origen - descomposición de x() x() = x () + x() Componenes: x () = 1 [ x() + x( ) ] x() = 1 [ x() x( ) ] 1. Solución gráfica: p i dominio de x p () y x i ( ) dominio de x() y dominio de x( ) - evaluar gráfica por inervalos disconinuidades x( 0 ) y x( + 0 ) 2. Solución analíica: modelo de x() modelo de x( ) p i Ejemplo 1.12: Calcular componenes par e impar de una señal arbiraria. Ejemplo 1.1. REPRESENTACION DE SEÑALES CONTINUAS [L1-16]

17 1.4 CARACTERISITCAS DE LAS SEÑALES CONTINUAS Función especial de MATLAB para calcular componenes par e impar [xp,xi,] = parimpar(x,x) Propiedades de las señales par e impar x () + x () = x () 1. p1 p2 p x () + x () = x() 2. i1 i2 i 3. x () + x() x () x() p i p i x ()* x () = x () 4. p1 p2 p x ()* x () = x () 5. i1 i2 p 6. x ()* x() = x() p i i SEÑALES DE ENERGÍA Y SEÑALES DE POTENCIA Señal de energía energía finia Señal de poencia poencia media finia E = x() d < x 2 T / P = x() d< x T0 T /2 Señal aperiódica E x < señal de energía T 0 = P x =0 Señal periódica P x < señal de poencia E x = 0 Ejemplo 1.13: Energía y poencia media de una señal aperiódica y periódica. Cálculo de energía y poencia media usando MATLAB rapz() Aplicación: - evaluación del especro de frecuencia de una señal - energía real E x - poencia efeciva P x REPRESENTACION DE SEÑALES CONTINUAS [L1-17]

18 1.4 CARACTERISITCAS DE LAS SEÑALES CONTINUAS Ejemplo 1.14: Resolver ejemplo anerior usando MATLAB. EDU» A=4; wo=3*pi; ia=pi/4; T=2*pi/wo T = EDU» =0:0.001:T; EDU» x=a*sin(wo*+ia); x2=x.^2; %señal caso(a) EDU» Pxn=rapz(,x2)/T %poencia media numérica Pxn = EDU» Pxa=A^2/2 %poencia media analíica Pxa = 8 EDU» =-5*a/2:0.001:5*a/2; EDU» x=a*(escau(+a/2)-escau(-a/2)); %señal caso(d) EDU» x2=x.^2; EDU» Exn=rapz(,x2) %energía numérica Exn = EDU» Exa=A^2*a %energía analíica Exa = 50 EDU» A=2, a=0.5, wo=2*pi*a, T=2*pi/wo EDU» =0:0.001:T; EDU» y=a*exp(j*2*pi*a*); EDU» y2=abs(y).^2; EDU» Pxn=rapz(,y2)/T Pxn = EDU» Pxa=A^2 Pxa = 4 %señal caso(d) %poencia media numérica %poencia media analíica Observaciones: - aproximación numérica inervalo de simulación (inegración) - inervalo de simulación variación x() REPRESENTACION DE SEÑALES CONTINUAS [L1-18]

19 1.5 OTRAS SEÑALES CONTINUAS DE UTILIDAD PRACTICA SEÑAL SIGNO Definición y represenación gráfica sign() 1 1 1, < 0 sign() = = 2() u 1 1, > 0 Función de MATLAB para generar la señal signo x = sign() SEÑAL PULSO RECTANGULAR Definición y represenación gráfica rec(/a) 1 a/2 a/2 0, > a/2 rec(/ a) = 1, > a/2 Similiud con función puera rec(/a)=u(+a/2) u( a/2) Función especial de MATLAB para generar el pulso recangular x=rec(,a) Uilidad prácica de pulso recangular simular filro pasa-bajo ideal SEÑAL PULSO TRIANGULAR Definición y represenación gráfica ria(/a) 1 0, a/2 ria(/ a) = 1 2 / a, < a/2 a/2 a/2 Función especial de MATLAB para generar el pulso riangular x=ria(,a) REPRESENTACION DE SEÑALES CONTINUAS [L1-19]

20 1.5 OTRAS SEÑALES CONTINUAS DE UTILIDAD PRACTICA FUNCIÓN DE MUESTREO () ( ) Definición () sen () sen π Sa = sinc = π Relación enre Sa() y sinc() Sa( ) versión expandida de sinc( ) Función de MATLAB para generar la función de muesreo Sa=sinc(/pi) Represenación gráfica y valores caracerísicos sinc(0) = 1 ceros: ± 1, ± 2, ± 3, Sa(0) = 1 ceros: ±π, ± 2 π, ± 3 π, Uilidad prácica respuesa impulso de filro pasa-bajo ideal FUNCIÓN SENO INTEGRAL Definición sen( τ) Si() = dτ= Sa() τ dτ τ 0 0 del límie superior REPRESENTACION DE SEÑALES CONTINUAS [L1-20]

21 1.5 OTRAS SEÑALES CONTINUAS DE UTILIDAD PRACTICA Represenación gráfica y valores caracerísicos Si(0) = 0 Si( ) = π/2 Si( ) =π /2 Función de MATLAB para generar el seno inegral TBMS x=sinin() Uilidad prácica respuesa escalón de filro pasa-bajo ideal OTRAS FUNCIONES DE MATLAB PARA GENERAR SEÑALES x = chirp(,fo,1,f1) x = diric(,n) x = gauspuls(,fc,bw) x = pulsran(,d,'func') x = recpuls(,a) x = sawooh(,p) x = square(,duy) x = ripuls(,a) coseno chirriado función de Dirichle pulso gausiano ren de pulsos pulso recangular diene de sierra periódico onda cuadrada periódica pulso riangular Ejemplo 1.15: Funciones periódicas y aperiódicas usando MATLAB. EDU» =-20:0.01:20; EDU» x1=chirp(,1/20,20,1/3); %coseno chirriado EDU» x2=diric(,5); %función de Dirichle EDU» x3=sawooh(); %señal diene de sierra periódica EDU» x4=square(,30); %señal recangular periódica EDU» fc=50e3; bw=0.6; EDU» c=gauspuls('cuoff',fc,bw,[],-40); EDU» =-c:1e-6:c; REPRESENTACION DE SEÑALES CONTINUAS [L1-21]

22 1.5 OTRAS SEÑALES CONTINUAS DE UTILIDAD PRACTICA EDU» x5=gauspuls(,fc,bw); EDU» =-10:0.01:10; EDU» x6=recpuls(,5); EDU» x7=ripuls(,5); EDU» x8=sinc(/pi); %pulso gausiano %pulso recangular %pulso riangular %función de muesreo REPRESENTACION DE SEÑALES CONTINUAS [L1-22]