Capítulo 20. REGRESORES ESTOCASTICOS

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1 Capíulo 20. REGRESORES ESTOCASTICOS 20.. INTRODUCCIÓN CONSECUENCIAS SOBRE LA ESTIMACIÓN MCO DISTRIBUCIÓN CONDICIONADA CASO A. VARIABLE EXPLICATIVA ENDÓGENA CON RETARDO CASO B. VARIABLE EXPLICATIVA NO OBSERVABLE CASO C. VARIABLES EXPLICATIVAS ENDÓGENAS MODELO DE REGRESIÓN LINEAL CON REGRESORES ESTOCÁSTICOS REGRESORES INDEPENDIENTES DE LA PERTURBACIÓN INCORRELACIÓN CONTEMPORÁNEA CORRELACIÓN CONTEMPORÁNEA MÉTODO DE VARIABLES INSTRUMENTALES CONTRASTE DE HAUSMAN CASOS DE ESTUDIO, PREGUNTAS PROBLEMAS CASO 20.. MODELO KENESIANO SIMPLE CASO 20.2 MODELO SIMPLE DE MERCADO PREGUNTAS PROBLEMA 20.. MODELO CON ERRORES DE MEDIDA PROBLEMA MODELO CON ENDÓGENA RETARDADA PROBLEMA 20.3 CÁLCULO DEL ESTIMADOR DE VARIABLE INSTRUMENTAL (VI) BIBLIOGRAFÍA... 90

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3 Capíulo 20. REGRESORES ESTOCÁSTICOS En el modelo de regresión lineal se ha expueso, hasa ahora, que las variables explicaivas eran fijas -o no esocásicas- en muesras repeidas. Ese supueso puede ser apropiado para experimenos de laboraorio, en los que el invesigador iene el conrol sobre las variables explicaivas, puede fijar el valor de las mismas y observar los resulados obenidos para la variable endógena en experimenos repeidos; o para el caso de variables que se consruyen arificialmene, como pueden ser las endencias lineales o las variables ficicias. Pero en el proceso de invesigación economérica descrio hasa ahora, en general, las variables explicaivas no esán sujeas a conrol y ano las variables endógenas como los regresores son el resulado de un deerminado sisema económico-social; por lo ano, ambos ipos de variables, son esocásicos por nauraleza. Si se esá analizando la relación enre consumo y rena, donde el parámero de inerés es la propensión marginal a consumir, no se puede suponer que la variable explicaiva rena sea fija; ya que, ano el consumo como la rena, vienen deerminados por el mismo sisema económico-social y son aleaorias. Bajo esa nueva siuación, se verá si los méodos de inferencia desarrollados aún se pueden aplicar y, en caso conrario, de qué méodos de esimación alernaivos se dispone.

4 Inroducción En el proceso de invesigación economérica se planeó el modelo: =+ ~ (,σ ) donde se supone que los regresores incluidos en son variables deerminisas. Se dice que una variable es deerminisa si sus valores no cambian en disinas muesras. Cuando no puedan repeirse las observaciones - como ocurre a menudo en Economía- no es rivial saber si una variable es o no aleaoria. Por ello es imporane analizar si el posible incumplimieno de esa hipóesis afeca las propiedades de la esimación MCO. Por ora pare, muchos modelos economéricos ienen algunos regresores aleaorios. Por ejemplo: modelos de ecuaciones simuláneas, o modelos dinámicos En el proceso de invesigación economérica sólo se reconoce que exise ese problema cuando la esrucura del modelo implica la exisencia de regresores esocásicos. Los sisemas de ecuaciones simuláneas describen el comporamieno de un vecor de variables endógenas en función de un vecor de variables exógenas.

5 86 Los regresores esocásicos surgen del hecho de que la variable endógena de una ecuación puede enrar en ora como variable explicaiva. Ejemplo 20. El modelo de consumo de Haavelmo se define como: o bien C =PBI +ε PBI =C +I C PBI = 0 I + ε 0 e implica que PBI es un regresor esocásico en la primera ecuación ya que, por la segunda ecuación PBI depende de C y, por la primera ecuación C depende de ε La variable endógena de un modelo de regresión es siempre esocásica. Por ello, en un modelo de regresión dinámico que incluya la variable endógena reardada como variable explicaiva, siempre hay regresores esocásicos. Ejemplo 20.2 El modelo AR() es un modelo de regresión con variables explicaivas esocásicas:! =ρ!#$ +%!

6 862 Hay oras siuaciones en las que es necesario reconocer que el modelo lineal general iene regresores esocásicos; cabe desacar los de variables medidas con error o modelos que incluyen expecaivas como variables explicaivas. Consecuencias sobre la esimación MCO Sea el méodo de regresión lineal general en el que se cumplen los supuesos habiuales, pero donde ahora la mariz de regresores es esocásica. Los coeficienes de regresión se pueden esimar aplicando el crierio MCO: & = ( ' ) #( ' =+( ' ) #( ' Ese esimador ya no es una combinación lineal de las perurbaciones, sino que es una función esocásica no lineal de y, por lo ano, sus propiedades dependerán de la disribución conjuna de esas. Por ejemplo, si se quiere comprobar si el esimador es insesgado: )(&)=+)[( ' ) #( ' ] Para obener )[( ' ) #( ' ] se debe conocer la disribución conjuna de las variables aleaorias y. Bajo el supueso de regresores fijos, el problema se soluciona fácilmene: )[( ' ) #( ' ] = ( ' ) #( ' )() y ese valor medio es cero, dado que )() =.

7 863 Cuando los regresores son esocásicos, esa igualdad ya no se cumple y es preciso conar con la disribución conjuna de y para derivar propiedades de los esimadores &, así como las disribuciones de los esadísicos de conrase habiuales. La consecuencia fundamenal de la presencia de regresores esocásicos en el modelo lineal general, es que resula imposible obener los momenos del esimador mínimo cuadrado ordinario. Por ano, cuando hay regresores esocásicos se desconocen: a) los primeros momenos del esimador mínimo cuadráico ordinario b) sus propiedades en muesras finias. Concreamene, no pueden jusificarse la insesgadez del esimador MCO, su eficiencia y la disribución de los esadísicos de conrase bajo la hipóesis nula. Ello obliga a esudiar propiedades asinóicas, eso es, las que endría el esimador en una muesra con infinias observaciones. La propiedad asinóica fundamenal es la de consisencia. Bajo el supueso de que odas las variables explicaivas esán cenradas. Trivialmene: & =+( ) #( ' plim & =plim +plim #(3 4 ' 56 aplicando sucesivamene los eoremas de Slusky y Kinchine: plim & = +plim3 #(plim ' 5=+Σ #$ Σ

8 864 Donde se pare que los momenos de las variables X convergen en probabilidad a una mariz no singular Σ. Por lo que el esimador MCO es consisene si y sólo si los regresores no esán correlacionados con el érmino de error. Observación: Los siguienes son resulados fundamenales de eoría asinóica. Convergencia en probabilidad: Sea 8b : ; una sucesión de variables aleaorias definida en el conjuno de números reales. Se dice que 8b : ; converge en probabilidad a b si y sólo si δ>0/ lim : A P( b : b )<δ= Ora forma de expresar maemáicamene ese concepo es, plimb : = b expresión que se lee el límie en probabilidad de b : es b. Esimador consisene: Se dice que D : es un esimador consisene de si plimd : = Una condición suficiene (no necesaria) para que D : sea un esimador consisene de, es que lim EF D : G= y lim VarFD : G=0 : A : A Por ora pare, si

9 865 plim αm : = α y plim & : = Enonces, plim γ =γ siendo γ una consane (no depende de n) plim FαM : ± & : G=α± plim FαM :. & : G=α. plim RM S T& S = R T,si & : 0 y 0 plim FWαM : G= α si αm : >0 y α>0 plim φ[αm : ]=φ[α] siendo φ[ ] una función coninua (eorema de Slusky) Si m es un momeno muesral de orden r y μ es el correspondiene momeno poblacional, enonces plimm [ = μ [ (eorema de Kinchine) Esas propiedades se cumplen ano para escalares como para vecores. Es imporane ener en cuena que las propiedades de consisencia e insesgadez son disinas e independienes. Concreamene, es posible que un esimador sea: sesgado y consisene (por ejemplo, la varianza muesral), insesgado e inconsisene (por ejemplo, y \ =] \ +% \ = ^_ ) `_

10 866 sesgado e inconsisene, (por ejemplo, el esimador anerior más un sesgo deliberado), o insesgado y consisene (por ejemplo, el esimador MCO bajo las hipóesis habiuales). Disribución condicionada Una forma de enfocar ese problema es uilizar la disribución de condicionada a las. La función de disribución conjuna a(,;,σ ) se puede escribir como: a(,;,σ )=a( ;,c ) a(,d) Si el inerés se cenra en los parámeros de la disribución condicionada (,σ ) y esos no esán relacionados con los parámeros de la disribución marginal, d, se puede olvidar de ella y considerar solo la disribución de condicionada a uno de los valores fijos de las variables. El modelo de regresión lineal general condicionado a, se puede escribir como: =+ donde: )( )= f )(g ' ) =h i f

11 867 j()=k 4 ~m(,h i f Se obienen los siguienes resulados condicionados: )n& o=+)[( ' ) #( ' ]=+( ' ) #( ' )( p)= (20.) De la misma forma: qn& o = +)[( ' ) #( ' (g ' ) ( ' ) #( ] =( ' ) #( ' )(g ' ) ( ' ) #( =( ' ) #( ' h i f ( ' ) #( =h i ( ' ) #( (20.2) Donde, c se esima a parir de r y se cumple que: )(r ) =c. De modo que r es esimador insesgado de c De esa forma, un esimador insesgado de la varianza condicionada de los esimadores, viene dado por: qdn& o =r ( ' ) #( El esimador & no es un esimador lineal, sino una función esocásica no lineal en e, por lo que esricamene hablando no se puede aplicar el eorema de Gauss-Makov y decir que es ELIO. Sin embargo, si se considera la varianza del esimador como condicional a valores dados de, enonces el esimador es eficiene. Por oro lado, la disribución de & condicionada a los regresores, es: & ~m[,h i ( ' ) #( ]

12 868 y los esadísicos de conrase, condicionados a, siguen una disribución s de Suden y de Snedecor, respecivamene. De esa forma, aunque en principio las variables son variables aleaorias, si se condiciona el análisis a valores fijos de esas, los resulados dependen de los valores concreos que omen en la muesra. El problema se planea en conexos en que los regresores son esocásicos y no iene senido realizar un análisis condicionado a valores fijos de. Esas siuaciones se pueden presenar en los siguienes res casos: Caso A. variables explicaivas con reardo CASO B. variable explicaiva no observable CASO C. variables explicaivas endógenas CASO A. variable explicaiva endógena con reardo Si se iene el siguiene modelo de regresión: u! =v+u!#$ +w! s =,,4 (20.3) En ese modelo aparece como regresor la variable dependiene reardada un período. Dado que u $,...,u f son variables aleaorias, el regresor u!#$ es una variable aleaoria. En esa siuación, la mariz #$ =y { f#$

13 869 es esocásica. Por oro lado, no se puede realizar el análisis condicionado a valores fijos de u!#$, s = 2,,4, ya que no endría senido porque es el propio modelo esocásico el que indica cómo se generan. CASO B. variable explicaiva no observable Dado el siguiene modelo de regresión: u! =v+]! +w! s =,,4 (20.4) Donde ] es una variable no observable porque es difícil de cuanificar o medir. En su lugar, se observa la variable ], al que: ]! = ]! +%! s =,,4 %! es una variable aleaoria que recoge el error de medida en s. En esa siuación, ]! es una variable aleaoria aunque se considere ] como fija. Por lo ano, el modelo en érminos de ] -susiuyendo ]! por ]! - queda: u! =v+]! +~! s =,,4 (20.5) Donde ~! =w! %! es el érmino de perurbación que recoge, además de w!, el error de medida %!. El modelo (20.5) es equivalene al (20.4), pero donde el regresor ]!, s =,,4, es una variable aleaoria. En ese caso, ampoco se puede hacer un análisis condicionado a valores fijos de ], ya que hipóesis sobre )(~ ]), )(~~ ' ]) no endrían senido, dado que ~ es función de ε y ].

14 870 Observación. Susiuyendo en 20.5 a ]! por su igual ]! +%! u! = v+(]! +%! )+~! u! =v+]! +%! +~! u! =v+]! +w! Donde ~! =w! %!. CASO C. variables explicaivas endógenas Si se quiere esimar los parámeros de la siguiene ecuación de demanda de un bien:! = v+! +w! s =,,4 (20.6) Donde es la canidad demandada y es el precio. Dado que en el momeno s se observa la canidad y precio de equilibrio, ambas variables se deerminan simuláneamene en el mercado, de modo que, ano como son variables endógenas. Por ejemplo, si en s se produce un shock en la demanda de ese bien debido a un cambio en gusos de los consumidores recogido por w!, se generaría un cambio en el momeno s, ano de la canidad demandada! como del precio. En ese conexo, la variable dependiene y el regresor se deerminan simuláneamene; por lo que ambas variables! y! son aleaorias. Ese es oro caso donde la mariz de regresores

15 87 $ =y {! es esocásica. Por oro lado, ampoco iene senido realizar el análisis condicionado a!, s =,,4, dado que! se deermina simuláneamene con! Modelo de regresión lineal con regresores esocásicos En el modelo de regresión lineal: =+ ~N(,σ ƒ ) donde al menos uno de los regresores es una variable aleaoria, siendo, por lo ano, la mariz $ =y {! esocásica. Los esimadores y esadísicos, son función de las variables aleaorias ]! y %! ; = 2,,k; s =,,4, por lo que será imporane conocer las caracerísicas esocásicas de ambos conjunos de variables aleaorias y cómo se relacionan.

16 872 Regresores independienes de la perurbación Cuando las variables aleaorias ]! y %! son independienes, para odo = 2,,k y s =,,4, la función de densidad marginal de (]!,...,]! ) no depende del vecor paramérico (,σˆ) para odo s. Esimador MCO. Bajo los supuesos habiuales sobre las perurbaciones del modelo aún se pueden derivar analíicamene algunas propiedades para muesras finias del esimador MCO de : es insesgado y eficiene dado que su mariz de varianzas y covarianzas alcanza la coa de Cramer-Rao. Si se oma esperanzas sobre ] en las expresiones (20.) y (20.2), se puede demosrar que el esimador MCO es insesgado y obener su mariz de covarianzas. Uilizado el resulado )( )=) Š [)( )]: )n&o=) F)n& og=) [+( ' ) #( ' )( p) ]= qn&o = ) [( ' ) #( ' )(g ' ) ( ' ) #( ]=h i ) ( ' ) #( donde ) ( ' ) #( es la mariz de covarianzas poblacional de los regresores calculada en la disribución marginal de ]. Disribución del esimador. En ese caso, no se conoce la disribución exaca de los esimadores MCO. En paricular, no siguen una disribución normal aun suponiendo que ]! siga una disribución normal para odo =2,,k y s =,,4 Eso se debe a que ese esimador, es una combinación no lineal de las variables aleaorias ]! y %!. Como consecuencia, los esadísicos de conrase no ienen una disribución exaca conocida y, en

17 873 paricular, no se disribuirán como una s de Suden y una de Snedecor, respecivamene. Propiedades asinóicas. Ahora bien, bajo los supuesos habiuales y si además se saisface el supueso adicional de que: Œ Ž f =, s Ž až Ž Œ ŽsŽš (20.7) es posible derivar las siguienes propiedades asinóicas para los esimadores MCO. Uilizando los eoremas de Mann-Wald y Cramer el esimador por MCO de es consisene, es decir:. Œ Ž = =,,k 2. 4n&o m(0,c #$ ) 3. Bajo la hipóesis bula ž Ÿ : =, los esadísicos s y usuales se disribuyen asinóicamene como m(0,) y, respecivamene, donde q es el número de resricciones. Por lo ano, se pueden uilizar esas disribuciones asinóicas para aproximar la disribución exaca de los esadísicos si el amaño de la muesra es grande. El supueso de independencia enre los regresores y el érmino de perurbación, no se saisface en los ejemplos de los Casos A, B y C aneriores. Luego, ese supueso sigue siendo basane resricivo en muchas ocasiones.

18 874 Incorrelación conemporánea Si las variables aleaorias ]! y %! no son independienes, aunque esén incorrelacionadas conemporáneamene, eso es, )(]! %! )=0 = 2,,k y s =,,4 No se pueden derivar analíicamene propiedades para muesras finias de los esimadores: )n&o =+)[( ' ) #( ' %] Esimador MCO. En general, )[( ' ) #( ' %] puede ser disino de cero, con lo cual & puede ser sesgado. Por oro lado, el cálculo analíico de la mariz de varianzas y covarianzas es difícil debido a la no linealidad del esimador en. Disribución de esimador. No se conoce su disribución exaca. En paricular, no siguen una disribución normal aun suponiendo que ]! siga una disribución normal para odo =2,,k y s =,,4. Como consecuencia, los esadísicos no ienen una disribución exaca conocida. Propiedades asinóicas. Bajo los supuesos habiuales más el (20.7) y aplicando los eoremas de Mann-Wald, Sluzky y Cramer, se pueden demosrar los resulados asinóicos de la sección anerior. En ese conexo, se enmarcaría el Caso A si %! ŽŽ (,c ). En ese caso, u!#$ no es variable aleaoria independiene de %!. Sin embargo, si )(%! % ) = 0 s, enonces se saisface que )(u!#$ %! )= 0 s. Por lo

19 875 ano, regresor y perurbación esán conemporáneamene incorrelacionados. Correlación conemporánea Sucede cuando algunos de los regresores esán correlacionados conemporáneamene con el érmino de perurbación, es decir, )(]! %! )=0 para al menos algún y para odo. Esimador MCO. En ese caso, por las mismas razones que en el anerior, no es posible derivar ninguna propiedad en muesras finias de los esimadores MCO. Disribución del esimador y propiedades asinóicas. Se pierden las propiedades asinóicas deseables. No se saisface una de las condiciones del eorema de Mann-Wald, por lo que, en general, el esimador MCO no va a ser consisene, ni va a disribuirse asinóicamene como una normal. Eso lleva a que, bajo la hipóesis nula ž Ÿ : =, los esadísicos s y, no se disribuyen asinóicamene como una m(0,) y una, respecivamene. Por lo ano, no se dispone de una disribución asinóica para aproximar la disribución exaca de esos esadísicos, si el amaño de la muesra es grande. Esas graves consecuencias, hacen necesario buscar un méodo de esimación alernaivo al de MCO, con el que se obengan al menos esimadores con propiedades asinóicas deseables y que permia derivar esadísicos con disribuciones asinóicas conocidas para conrasar hipóesis sobre el vecor de coeficiene.

20 876 Ese supueso de correlación conemporánea enre regresor y perurbación, es de gran relevancia en la esimación de muchos modelos economéricos. Por ejemplo, los Casos B y C se enmarcan en ese conexo. En el Caso B, el érmino de perurbación del modelo (20.5) recoge el error de medida %! que esá correlacionado con ]! ; dado que ]! =]! +%!, s =,,4. Aun suponiendo que: )(w! %! )=0 y )(]! %! )=0 )(]! ~! )=)[(]! +%! )(w! %! )]=)(%! )=q(%! ) 0 En el Caso C, la variable! se deermina simuláneamene con! ; por lo que si w! recoge facores que afecan a! esos afecarán simuláneamene a! y )(! w! ) Méodo de Variables Insrumenales El méodo de esimación conocido como méodo de variables insrumenales (VI), raa de obener un esimador consisene de cuando exisen problemas del ipo descripo en la sección anerior; es decir, cuando algunos regresores esán correlacionados con el érmino de perurbación, haciendo que el esimador por MCO no sea consisene. Se quiere esimar el modelo =+

21 877 en donde X es una mariz de variables aleaorias ales que plim 4 El méodo de variables insrumenales se basa en buscar k variables denominadas insrumenos,! = 2,...,k, que esén por su lado, incorrelacionadas con la perurbación %! y por oro, muy correlacionadas con las variables para las que hacen de insrumeno, es decir:. )n! %! o = 0 = 2,...,k; s 2. Œ Ž f = p, až Žs Ž ª Hay que ener en cuena que, para aquellas variables explicaivas que no esán correlacionadas con el érmino de perurbación, los mejores insrumenos son ellas mismas. La mariz de insrumenos (4 k), se puede consruir reemplazando las columnas de ] correspondienes a las variables explicaivas correlacionadas con la perurbación por las 4 observaciones de oras variables que saisfagan las condiciones y 2, de forma que el rango de ' sea compleo; es decir, que ' sea una mariz no singular, ya que el esimador de de variables insrumenales, se define como: & «= ( ') #$ ' En general, es difícil conocer las propiedades del esimador & «para muesras finias, dado que es un esimador no lineal en las variables

22 878 aleaorias,] y %. Sin embargo, si se saisfacen las condiciones y 2 y Œ Ž 4 =, s Ž až Žs až Ž Œ ŽsŽš aplicando el eorema de Mann-Wald y el eorema de Cramer, se pueden demosrar los siguienes resulados asinóicos:. & «es un esimador consisene de 2. 4n& o m(,c #( #( ) De esa manera, sea una mariz (4 k) de variables insrumenales (VI) al que: ) Los insrumenos son independienes del érmino de error: plim 4 '= 2) Los insrumenos esán correlacionados con los regresores: plim 4 '= 3) Lo insrumenos y su covarianza con ± es finia: plim 4 '= en donde 3) es una condición de regularidad que evia resulados absurdos. En esas condiciones, la expresión del esimador de

23 879 mediane variables insrumenales, acuando como mariz de insrumenos de, es: & ² =( ') #( y ese esimador es consisene, ya que: & ² =+( ') #( Por lo que Œ Ž & ² =+plim3 T '5 #( 3 T 5= Por ora pare, la mariz de covarianzas del esimador VI es: covn & «o = \¹! cˆ 4 ( ) #( ( ) #( y puede esimarse mediane la expresión: cov ºn & «o =c»ˆ2 ' #$ ' ' #$ donde c»ˆ = n & ¼½ o ' n& ¼½ o 4 Donde por ser un méodo con propiedades asinóicas, no es relevane el ajuse de grados de liberad en el denominador. La forma de la mariz de covarianzas pone de manifieso que cuano mayor sea la correlación enre los insrumenos y las variables explicaivas, mayor será la eficiencia del esimador VI.

24 880 Por ello, si se ienen k regresores y sólo algunos (por ejemplo, los primeros) iene correlación con las perurbaciones, la mariz de insrumenos se consruirá: susiuyendo las primeras columnas de por los correspondienes insrumenos, y maneniendo los resanes regresores, que acuarán como insrumenos de sí mismos. Para conrasar hipóesis del ipo ž Ÿ : =, se uiliza el esadísico: = n D o ' [¾(p ' ) #( ( ' p) #( ¾ ' ] #( n D o c» «Ese esadísico se disribuye asinóicamene como una, donde es el número de resricciones. Ejemplo 20.3 Se considera de nuevo el modelo de consumo de Haavelmo, dado por: () C = PBI +ε (2) PBI =C +I Para ver que ÀÁs es un regresor esocásico de (), correlacionado con el érmino de error, basa susiuir () en (2): (3) PBI =PBI +ε +I PBI = I + ε

25 88 por ano )3PBI I 5ε = σˆ 0 y el esimador MCO de () es inconsisene Para esimar consisenemene () puede usarse el esimador VI, usando Às como insrumeno de ÀÁs. La expresión del esimador quedaría: D ¼½ = I C I PIB Ejemplos 20.4 Sea el modelo dinámico: ()! = j!#$ +]! +%! con los siguienes érminos de error: En ese caso: (2. ) %! =! (2. ) %! =! Ä!#$ (2.Å) %! = Æ%!#$! La esimación del modelo () por MCO es consisene si el error es (2.a) La esimación del modelo () por MCO es inconsisene si el error es (2.b) o (2.c), ya que!#$ iene covarianza no nula con!

26 882 El modelo ()-(2.b) puede esimarse consisenemene usando!#$ como insrumeno de!#$ y la variable! como insrumeno de sí misma. Alernaivamene,!# es un insrumeno válido de!#$. El modelo ()-(2.c) puede esimarse consisenemene usando!#$ como insrumeno de!#$ y la variable! como insrumeno de sí misma. No hay ningún insrumeno válido para esimar por VI el modelo si = Conrase de Hausman Cuando en un modelo de regresión lineal general los regresores son esocásicos, es necesario añadir la siguiene hipóesis complemenaria al modelo para garanizar la consisencia de la esimación MCO de los coeficienes de regresión: Los regresores no esán correlacionados con el érmino de perurbación de forma que, bajo cieras condiciones de regularidad, se cumple que Ç =. Como se ha viso en los aparados aneriores, ese supueso garaniza que el esimador MCO de los coeficienes de regresión, es consisene. Exisen casos en los cuales esa hipóesis no se saisface; por ejemplo, si algún regresor esá medido con error, si se omien variables relevanes, si hay problema de simulaneidad, ec.

27 883 Hausman ha desarrollado un procedimieno para conrasar el cumplimieno de esa hipóesis. Ese conrase se puede inerprear ambién, en érminos generales, como un conrase de mala especificación de la pare sisemáica del modelo. El mecanismo de conrase es el siguiene. La hipóesis nula, es: H Ÿ :plim T = En el modelo de regresión uniecuacional, el esadísico de conrase, se basa en la diferencia de los esimadores de los coeficienes de regresión: & ÉÊË y & «. Bajo la H Ÿ y suponiendo que se cumplen los supuesos básicos sobre la perurbación, se puede demosrar, bajo cieras condiciones de regularidad, que: & ÉÊË y & «son consisenes. & ÉÊË es asinóicamene eficiene. Las disribuciones asinóicas, son: 4n& ÉÊË o m(,² ( ) 4n& o m(,² i ) Donde ² ( y ² i son una marices definidas posiivas. Bajo la hipóesis alernaiva, solo es consisene el esimador & «. Por lo ano, si los regresores y la perurbación esán correlacionados, ambos esimadores enderán a diferir dado que & «es consisene y converge a ; mienras que, & ÉÊË no es consisene y convergerá a un valor disino de.

28 884 El esadísico de conrase es: H=4n& ÉÊË & «o ' n²& i ²& ( o #( n& ÉÊË & «o Donde ²& ( y ²& i son esimadores consisenes de ² ( y ² i, respecivamene. Bajo ž Ÿ el esadísico H se disribuye asinóicamene como una con k grados de liberad. Se rechaza la ž Ÿ con un nivel de significación α, si H> Ì;. CASOS DE ESTUDIO, PREGUNTAS PROBLEMAS Caso 20.. Modelo Keynesiano Simple Hasa ahora se esudió exclusivamene la esimación de relaciones lineales únicas de variables económicas. La mayor pare de los esudios económicos basan sus eorías en modelos con varias ecuaciones, en forma de sisemas de relaciones económicas. Cuando una relación es pare de un sisema, algunos regresores serán esocásicos y no serán independienes de las perurbaciones; enonces la esimación clásica por mínimos cuadrados será

29 885 inconsisene y se deberán desarrollar procedimienos especiales para esimaciones consisenes. Quizá el modelo más familiar en los libros de economía es el sisema keynesiano simple () (2) C = α + = C + I Donde, C: Consumo; : Rena; I: Inversión : Unidades de observaciones (emporales o ransversales), = K,,T La inerpreación ípica de ese modelo es que () represena la ecuación de comporamieno de los consumidores y que (2) es una condición de equilibrio que iguala el ahorro ( C) a la inversión; y que la inversión es auónoma. Eso es, dada una inversión el modelo deermina los valores de equilibrio del consumo y de la rena. Se ve que ano el consumo como la rena dependen de la inversión. Es decir, si se resuelve el sisema sin ener en cuena los subíndices: α ( 3) C = + I, ( 4) α = + I

30 886 Hasa aquí el modelo es exaco y, por ano, obviamene incongruene con una descripción empírica de la economía. Una formulación economérica del sisema es, ( 5) C = α + + ε ( 6) = C + I Donde ε es el vecor de orden T que represena a la perurbación aleaoria con, (7) 2 2 E( ε ) = 0, E( ε ) = σ, E( ε ε ) = 0para odo s, ; s s Para manener la idea que la inversión es auónoma deerminada fuera del sisema, se supone que, ( 8) I y ε son independienes ( =, K, T; s =, K, T). Se iene ahora la dependencia explícia de C e sobre Iy ε, resolviendo el sisema (9) C α = + I + ε (0) α = + I + ε Dada una muesra de observaciones conjunas sobre C, e I, el inerés se basa en esimar los parámeros de la función consumo (5). Ahora bien, en esa ecuación el regresor y la perurbación no son esadísicamene independienes, ni emporal ni conemporáneamene. Se puede enconrar la covarianza de y ε muliplicando (0) por ε y omando esperanzas:

31 887 y (8). uilizando (7) 0, ) ( ) ( ) ( ) ( () 2 2 = + + = σ ε ε ε α ε E E I E E Así, para la esimación de (5) MCO no produciría esimaciones consisenes. Si se considera eso explíciamene, el esimador clásico de en (5) es + = = + = + = + + = = T T C C b / ) ( ) / ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )( ( ) ( ) )( ( (2) ε ε ε α ε α Ahora bien, T / ) ( ε es la covarianza muesral, así que bajo condiciones generales 2 ) ( ) ( ) ( lim 3) ( σ ε ε = = E T P Similarmene, T / ) ( 2 es la varianza muesral, que bajo condiciones generales yy E E T P σ = = 2 2 )] ( [ ) ( lim 4) ( Enonces, yy b P σ σ 2 ) ( lim (5) + =

32 888 Por lo que el esimador MCO no sería consisene. Realmene esá clara la dirección del sesgo asinóico si se emplea la información económica de que la propensión marginal a consumir esá enre cero y uno: con 0 < <, P lim b >. También es informaiva una expresión disina del sesgo. Como I y ε no esán correlacionados (0) implica (6) Var( ) = σ = E[ E( )] = ( ) 2 2 = ( ) 2 ( σ + σ ) ii { E[ I E( I)] + E( ε ) } Inroduciendo eso para σ yy en (5), se encuenra que (7) P limb 2 2 ( ) σ σ = + ( ) 2 2 ( ) ( σ + σ ) σ + σ = + 2 ii ii Nuevamene con 0 < <, P lim b >. Más aún, P lim b será grande cuando la varianza de las perurbaciones es grande en relación con la varianza de la inversión. Una inerpreación heurísica del resulado es que la regresión clásica MCO del consumo sobre la rena da crédio a la rena debido al efeco de las perurbaciones pueso que ésas esán correlacionadas posiivamene con la rena. Ora forma de mirar el resulado es considerar que MCO puede suminisrar esimaciones consisenes, cuando los parámeros en las relaciones son los de la esperanza condicionada del regresando dados los regresores. Pero no es ese el caso en (5), ya que Pero, E( ε ) E( ε ) = 0 ( 8) E( C ) = α + + E( ε )

33 889 Aunque esa forma de mirar el resulado recuerda que los MCO deberían ser apropiados para resolver las relaciones (9) y (0), porque (9) cae bajo el modelo de regresión lineal esocásico independiene, se observa que (9) α E( C I ) = + I + E ε I = α = + I Esimando por MCO ( 20) C = 0 + π I π + ν Donde α ( 2) π 0 =, π =, ν = ε designando las esimaciones MCO de π,π como p,p 0 0, los cuales son consisenes, ya que α ( 22) P limp0 = π 0 =, Plimp = π = Coninuando con el modelo Keynesiano, (2) sugiere que se denomine a la esimación de por ˆ, definido por p = ˆ ( ˆ), eso es (23) ˆ p = + p

34 890 ˆ es consisene ya que (24) ˆ Plimp /( ) P lim = = = Plim( + p ) + /( ) Igualmene (2) sugiere que se denomine a la esimación de α por αˆ, definido por p = ˆ α ( ˆ), eso es 0 ( 25) ˆ α = p 0 ( ˆ) Por lo ano αˆ es consisene α( ) ( 26) P lim ˆ α = Plim p0plim( ˆ) = = α ( ) Debe observarse que aunque p,p 0 son insesgados ˆ α, ˆ, que son funciones no lineales de p,p 0, no son insesgados. Aunque sí consisenes y, por ano, insesgados asinóicamene. En resumen, el Modelo Keynesiano Simple demuesra que cuando una relación es una de las muchas de un sisema simuláneo, las esimaciones clásicas MCO de sus coeficienes serán generalmene inconsisenes. La razón subyacene es que algunos regresores esán deerminados conjunamene con el regresando y, por ano, son dependienes de la perurbación conemporánea. Se ha viso ambién que se pueden obener esimaciones consisenes mediane una especie de procedimieno indireco mínimo cuadráico. Sin embargo, se verá que esa úlima alernaiva no es por lo general aprovechable. Por supueso que sí es aprovechable el méodo de variables insrumenales; no es difícil demosrar que los esimadores los esimadores de variables insrumenales de ˆ α, ˆ son α, en (5), donde I,

35 89 que es independiene de las perurbaciones, se uiliza como insrumeno para. Sin embargo, no siempre será an simple enconrar una variable insrumenal legíima. Alernaivamene, se podría haber mirado (0) y observado que: (27) E( α I ) = + I α = + I + E ε I = esimado por MCO ( 28) = 0 + δi δ + ω Donde α ( 29) δ 0 =, δ =, ω = ε Enonces las esimaciones MCO designadas por d,d serán 0 consisenes: α ( 30) P limd0 = δ 0 =, Plimd = δ =. Enonces se podría haber considerado los esimadores ~ ~ por d = ( ) y d = ~ α ( ) eso es, 0 ~ α, ~ definidos (3) ~, ~ d = α = d d 0

36 892 ver que eran consisenes; ( 32) P lim ~ =, P lim ~ α = α. Sin embargo, no hay por qué hacer eso en el presene modelo; ~ uilizando (6) se puede demosrar que = ˆ y que ~ α = ˆ α. Con algunos daos de Haavelmo para la economía de Esados Unidos referidos a consumo, rena e inversión, se calculan los siguienes momenos alrededor de la media: C I C I 5.70 La esimación mínimo cuadráica clásica inconsisene de en (5) es enonces m ˆ cy ( 33) = = = 0,732 m yy La esimación mínimo cuadráica clásica consisene para Í $ en (20) es m ci.698 ( 34) p = = = m ii ,048 De eso se puede deducir una esimación consisene de a ravés de (23)

37 893 ( 35) ˆ = p 2,048 = = 0,672 + p 3,048 Se observa para esa muesra que >, lo que no es sorprendene pueso que Ž > = Ž. De esa forma se puede omar la esimación mínimo cuadráica clásica de Î $ en (28): m yi ( 36) d = = = 3,048 m ii 5.70 de eso deducir una esimación consisene de a ravés de (3) ( 37) ~ = = = 0,672 = ˆ d 3,048 ambién, para la esimación de la variable insrumenal de en (5) se ve que ( 38) m b = ic.698 = = 0,672 = ˆ. m iy Caso 20.2 Modelo simple de mercado Para una segunda demosración, se considera el modelo de la Ofera y Demanda para una mercancía en paricular -con una perurbación que permie desplazamienos aleaorios en las curvas de ofera y demanda-.

38 894 (39) Demanda q = α + p + ε (40) Ofera q = γ + δp + ε * Si en la ecuación de demanda, un regresor Œ! fuera independiene de la perurbación %!, enonces cuando la ecuación de demanda recibe una perurbación posiiva! en (39) debería elevarse en la canidad de la perurbación. Enonces, en (40), eso haría a! independiene de Œ! y %! dando lugar a que %! =%!. Aunque las perurbaciones de la demanda y de la ofera pueden esar correlacionadas, sin embargo, es absurdo pensar que sean idénicas. Se concluye que Œ! y %! no son independienes, el precio esá deerminado conjunamene por la canidad y por los desplazamienos aleaorios de la ecuación de demanda. Pregunas -El méodo de variables insrumenales se uiliza: a) cuando hay heerocedasicidad b) cuando además de heerocedasicidad hay auocorrelación c) se puede aplicar cuando esimamos una ecuación esrucural aislada de un modelo de ecuaciones simuláneas d) se aplica cuando se ienen insrumenos esadísicos adecuados: medias, covarianzas, límies de probabilidad, ec. 2 -El esimador de variables insrumenales:

39 895 a) es consisene b) los residuos se pueden expresar como X ¼½ =ε+x(z ' X) #$ Z ' ε c) para obener la mariz de varianzas-covarianzas de los esimadores hay que esimar previamene el esimador de la varianza de las perurbaciones d) ninguna de las aneriores 3.- El méodo de variables insrumenales: a) Se debe emplear para solucionar los problemas de mulicolinealidad, empleando insrumenos de las exógenas correlacionadas b) Se debe emplear cuando hay exógenas reardadas en el segundo miembro de la ecuación de regresión c) Se debe emplear cuando el coeficiene de deerminación no es un buen insrumeno para medir la bondad del ajuse. d) Se debe emplear como alernaiva consisene a MCO cuando se piensa que alguna/s explicaiva/s de la ecuación son endógenas y por ano no independienes de la perurbación 4.- Si una de las variables explicaivas del modelo de regresión es la propia endógena reardada y las perurbaciones presenan auocorrelación, es un caso de: a) Regresores esocásicos dependienes de las perurbaciones a lo largo de oda la muesra b) Regresares esocásicos dependienes de las perurbaciones pasadas, pero no de las conemporáneas ni fuuras c) Regresores esocásicos, pero no se sabe si dependienes o independienes de las perurbaciones d) Regresores correlacionados enre sí. Un caso, por ano, de mulicolinealidad 5.- Si hay variables endógenas reardadas como explicaivas en un modelo de regresión cuyas perurbaciones son ruido blanco

40 896 a) Los esimadores MCO son sesgados e inconsisenes b) Œ Ž Ò` ˆ f Ó=0 c) Œ Ž Ò` ` f Ó#$ = 0 d) Ninguna de las aneriores Problema 20.. Modelo con errores de medida Dada el siguiene modelo experimenal con errores de medida de las dos variables que inervienen, u y ] : u! = v+]! +w! Con v = y = 0.5 u! =u! +%! %! ~m(0; ) ]! = ]! +~! ~! ~m(0; 2.25) Ese es el Caso B de la pare eórica, es decir hay dependencia conemporánea y no conemporánea enre ] y w. En la simulación se miden con error ano u y ]. Sin embargo, los errores de medida de la endógena no afecan a la aleaoriedad de los regresores.

41 897 Los daos de ambas variables endógena y exógena conienen errores aleaorios de medida, disribuidos normalmene. A parir de valores fijados de ] y de simulaciones de ambos errores, se han obenido valores de u y de u, y se ha esimado el modelo de regresión de u en función de ], con 00 replicaciones para cada amaño muesral enre 4 = 0 y 4 = 00. La abla siguiene proporciona los resulados de las esimaciones 4 )(v») c» ÌM )ÕÖ(v») )( ) c» & )ÕÖ( ) Tamaño muesral )(v) valor medio del esimador de v obenido con las 00 muesras de amaño 4 c Ì Varianza de las 00 esimaciones de v obenidas con las muesras de amaño 4 )ÕÖ(v) Error cuadráico medio de las 00 esimaciones de v obenidas con las muesras de amaño 4 Los resulados para ienen la misma inerpreación. Se pide:. Calcular el error cuadráico medio 2. Los esimadores de los parámeros son insesgados o sesgados. El sesgo se maniene aun en muesras grandes? 3. Cuando aumena el amaño de la muesra los esimadores son más precisos? Por qué? 4. El ECM de los esimadores iende a cero cuando aumena el amaño de la muesra? Enonces los esimadores MCO, en el caso de errores de medida son consisenes o inconsienes?

42 898 Problema Modelo con endógena reardada Se realiza la simulación de un modelo que coniene la variable endógena rezagada como explicaiva. Los errores del modelo son homocedásicos y no auocorrelacionados. El diseño del experimeno es el siguiene: u! =v+ $ ]! + u!#$ +w! ; con v = $ = 0.5 = 0.5 w~m(0;0.05) Los resulados se muesran en la abla siguiene: 4 )(v») c» ÌM )ÕÖ(v») )( $ ) c» & Ø )ÕÖ( $ ) )( ) c» & Ù )ÕÖ( ) Con las mismas consignas del problema anerior, cómo inerprea los resulados en ese caso.

43 899 Problema 20.3 Cálculo del esimador de variable insrumenal (VI) Suponga el siguiene modelo de dos ecuaciones simuláneas: u! = v Ÿ +v $ u2! +v ]! +v Ú ]2! +w $! u2! = Ÿ + $ u! + ]3! +w! u e u2 son las dos variables endógenas del modelo y por ano, esocásicas (dependen de las perurbaciones). Las ] se suponen exógenas, o al menos independienes de las perurbaciones para odas las observaciones. Se esá ineresado en esimar consisenemene la primera ecuación. Como uno de los regresares es u2, que es endógena del modelo, los esimadores de MCO son inconsisenes. Emplear VI, omando como insrumeno de u2 a ]3, ya que esa úlima variable causa a u2. La muesra es de amaño 4 se encuenra en la abla 20. El esimador de por variables insrumenales es =( ) #( Û La mariz coniene las variables Ûi, ( y i

44 900 84, , =Ü â 35, y la mariz las variables ã, ( y i =Ü â Donde ã es el insrumeno de Ûi, siendo ( y i insrumenos de sí mismas. Tabla X X2 X3 52,00 84, ,468 47, ,65 73, ,687 30, ,366 0, , , , , , , ,075 07, , , , , ,2074 7, ,6246 0, , , Cómo elegir adecuadamene los insrumenos: Para aplicar el méodo de VI. la elección de los insrumenos es una decisión clave. En el ejemplo anerior, se omó como insrumeno de u2 a ]3, porque esa

45 90 variable explica a u2. Los oros dos regresares ] y ]2, y la consane, jugaron el papel de insrumenos de sí mismos. En un modelo de ecuaciones simuláneas, hay una posibilidad sensaa de elegir insrumenos. Consise en hacer primero una regresión de la variable explicaiva que es endógena de ora ecuación (en el ejemplo, u2) conra odas las variables predeerminadas del modelo en su conjuno, es decir, conra odas las exógenas y las endógenas reardadas que aparecen en cualquier ecuación del modelo. Se calculan y se guardan en memoria los valores ajusados de esa primera regresión, la que se llama primera eapa. En una segunda fase, se aplica el méodo de VI, uilizando como insrumeno ese valor ajusado. Ese méodo de esimación es el llamado de mínimos cuadrados en dos eapas (MC2E). Con los daos del problema realice la esimación por MC2E uilizando Eviews. Bibliografía Creel, Michael. Economerics Barcelona: Dep. of Economics and Economic Hisory, Universia Auònoma de Barcelona, Fernandez Sainz, A.I - Gonzalez Casimiro, P - Regules Casillo, M - Moral Zuazo, M.P - Eseban Gonzalez, MV. Ejercicios De Economería McGraw Hill, Jerez, Miguel. Economería Ii Madrid: Universidad Compluense de Madrid, 2004.

46 902 Murillo For, C. - González López-Valcárcel, B. "Manual De Economería," Universidad Pompeu Fabra Universidad de Las Palmas de GC