Uso de Análisis de Covarianza (ANCOVA) en investigación científica (Use of covariance analysis (ANCOVA) in scientific research)

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1 InnOvaciOnes de NegOciOs 5(): 5-38, UANL, Impreso en México (ISSN ) Uso de Análisis de Covarianza (ANCOVA) en invesigación cienífica (Use of covariance analysis (ANCOVA) in scienific research) Badii, M.H., J. Casillo & A. Wong UANL, San Nicolás, N.L., México, Key words: ANCOVA, auxiliary variable, error reducion, saisics Absrac. The basics of he ANalisis of COVAriance (ANCOVA) are given. The obecives and he applicaion of ANCOVA are laid ou. Techniques for he esimaion of conrass and for he conrol and reducion of he degree of error are discussed. The applicaion of a simple ANCOVA using real daa is highlighed. The applicaion of his echnique in fixing he auxiliary variable in experimenaion is emphasized. Palabras clave: ANCOVA, sadísica, reducción de error, variable auxiliar Resumen. Se presenan las bases del ANálisis de COVArianza (ANCOVA). Se manean los propósios y la aplicación de ese méodo esadísico. Se discuen las écnicas para la esimación de los conrases, el conrol y la disminución del grado de error. Se presenan un ANCOVA simple mediane un eemplo de daos reales. Se enfaiza el papel de esa écnica esadísica en fiar el efeco de la variable auxiliar en el experimeno. Inroducción l análisis de la covarianza (ANCOVA) se raa de dos o más varianes medidas y donde cualquier variable independiene mesurable no se encuenra a niveles predeerminados, como en un experimeno facorial (Badii & Casillo, 007, Badii e al., 007a). La ANCOVA hace uso de concepos ano del análisis de varianza como de la regresión. se rabao raa la covarianza lineal. A menudo, una relación lineal es una aproximación razonablemene buena para una relación no lineal con al que los valores de las variables independienes no cubran un inervalo muy amplio. ANCOVA

2 6 Obeivos del análisis de la covarianza l análisis de covarianza es apropiado para lograr dos obeivos específicos: a) eliminar cualquier error sisemáico fuera del conrol del invesigador que puede sesgar los resulados, y b) ener en cuena las diferencias en las respuesas debidas a las caracerísicas propias de los encuesados. Un sesgo sisemáico puede ser eliminado por medio de la asignación aleaoria de los encuesados a varios raamienos. Sin embargo, en esudios no experimenales, esos conroles no son posibles. Por eemplo, al conrasar los anuncios publiciarios, los efecos pueden diferir dependiendo del momeno del día o de la composición de la audiencia y de sus reacciones. l obeivo de la covarianza es eliminar cualquiera de los efecos que a) influyen solamene a una pare de los encuesados, b) varían enre los encuesados. Por eemplo, las diferencias personales, ales como aciud u opiniones, pueden afecar a las respuesas, pero el experimeno no las incluye como un facor de raamieno. l invesigador uiliza una covarianza para exraer cualquiera de las diferencias debidas a esos facores anes de que los efecos del experimeno sean calculados. se es el segundo papel del análisis de la covarianza. Usos de análisis de covarianza Los usos más imporanes del análisis de la covarianza son:. Para conrolar el error y aumenar la precisión.. Ausar medias de raamienos de la variable dependiene a las diferencias en conunos de valores de variables independienes correspondienes. 3. Inerpreación de la nauraleza de los efecos de los raamienos. 4. Dividir una covarianza oal o suma de producos cruzados en componenes. Conrol y reducción del error La varianza de una media de raamieno es σ x σ / n. Así, para disminuir esa varianza, sólo enemos dos enfoques: el aumeno del amaño de la muesra o el conrol de la varianza en una población muesreada (Badii e al., 004, Badii e al., 006, Badii e al., 007b). M.H. Badii e al.

3 l conrol de varianza se logra mediane el diseño experimenal o mediane el uso de una o más covariables. Ambos méodos pueden usarse simuláneamene. Cuando se usa la covarianza como méodo para reducir el error, eso es, de conrolar σ, se hace reconociendo el hecho de que la variación observada de la variable dependiene Y es parcialmene aribuible a la variación de la variable independiene. l uso de la covarianza para conrolar el error es un medio de aumenar la precisión con la cual los efecos de los raamienos pueden medirse eliminando, por regresión, cieros efecos reconocidos que no pueden ser o no han sido conrolados efecivamene por el diseño experimenal. Por eemplo, en un experimeno de nurición animal para comparar el efeco de varías raciones en el momeno de peso, los animales asignados a un bloque varían en peso inicial. Ahora, si el peso inicial esá correlacionado con la ganancia de peso, una porción del error experimenal en la ganancia puede deberse a diferencias en el peso inicial. Mediane el análisis de la covarianza, esa porción, una conribución que puede aribuirse a diferencias en el peso inicial puede calcularse y eliminarse del error experimenal para ganancia. Ause de medias de raamienos Con ciera frecuencia, en la invesigación ocurre que, simuláneamene con los valores de la caracerísica en esudio (sobre cada unidad experimenal), los valores de una o más variables no aleaorias, cuya medida se realiza sin error y cuyo efeco sobre la caracerísica de inerés, es imporane deerminar. Análisis de covarianza simple n un experimeno de bloques compleos al azar (Tabla ), los valores caracerísicas de inerés son y i y x i. l x i es la variable compañera (covariable), si se desea que x i eerza alguna influencia sobre y i se aplica el análisis de covarianza; el modelo lineal es: 7 y µ + β + T + γ + e i i i i () ANCOVA

4 8 Donde, i,.,r;,., ; y i valor observado; µ efeco general, β efeco de bloque; T efeco de raamieno; γ i coeficiene de covarianza, & e i error aleaorio de manera que: (e i ) (e i ) δ, l valor de la respuesa observada sobre las unidades experimenales, mediane esimación de conrases enre efecos de raamienos, quiere decir probar la significancia de los mismos y de la covariable. simación de conrases. Ignorando la covariable en la expresión (): Y µ + β + T + e i i i () se ause produce el mínimo de la de los errores :. oal ra bloque oal Y y i r i Y F c donde r n r Y. r ra. Y r bloques Yi Y. r de los errores para Yi : i Y. Yi. yi r i i Y + r M.H. Badii e al.

5 l meor esimador lineal no sesgado de un conrase enre efecos de raamienos es: i λ Y. λ Ti r i r (3). Operando de forma análoga, se calculan y : errores para covariane: 9. i. i (4) i r r r i r rror Muliplicado : ( )( Y ). Y. i. Yi iyi Fc i r r i. F c (5) Facor de corrección muliplicado ( )( Y ) F c (6) r de Bloques : de Traamienos : bloque ra B r i i. (7) r. T (8). r r de Traamienos para : oal r i i (9) r ANCOVA

6 30 de Bloques Muliplicado Y : bloque B r i i. Yi. F (0) c Traamienos Muliplicados :. Y. ra T F (). c r Toal Muliplicado : oal r i i Y i ( )( Y ) r () Tabla. Análisis de varianza de producos cruzados. FV gl y de producos cruzados..y Y.Y Bloques (repeiciones) r - B B B Traamienos - T T T rror (r-)(-) Toal r - o. o. o. 3. Cálculo de coeficienes de covariane l Coeficiene de covarianes: ˆ ˆ γ (3) γ Donde el calculo de error Y es igual a ˆ γ La Suma de los Cuadrados de rror se calcula como error (4) M.H. Badii e al.

7 Al dividir la suma de los cuadrados de error enre el grado de liberad correspondiene, se obiene el Cuadrado medio del error o la varianza: 3 CM S ( r ) / ( ) ( r ) ( ) (5) Pueso que, en general, esamos ineresados en la esimación de conrases, la expresión para esimar a λ Τ con λ no esá dada por la ecuación anerior sino que esa canidad debe ausarse por la presencia de la covariable; l meor esimador no sesgado para λ Τ : ( y $ $ γx) λ Y. λ Y. λ Τˆ ˆ γ λ ( yˆ ˆ γx ) (6) r r medidas de raamienos corregidos por i. y Y. / r La varianza de Τ x. / r λ ˆ se compone de pares: y γˆ a) Una pare debida a la varianza de la λ ŷ. b) Ora pare debida al efeco de covariable: Var. δ δ λ ˆ Τ λ + λ (7). r r 4. Significancia de los efecos de los raamienos. H H A :Τ Τ L Τ :Τ Τ L Τ 0 ANCOVA

8 3 Bao la H 0 : y µ + β + γ + e (8) i i i i a) Ignorando i : y µ + β + e i i i (9) Bao el diseño de bloques al azar, bloques y raamienos son orogonales enonces, de los errores en el (9): + Τ + Τ x + Τ b) l coeficiene de covariación γ correspondiene a la ecuación (8): γ γ Noaciones inroducidas γ ( ) ( ) (0) () c) debida a raamienos, ausados por el efeco de la covariable ( ΤΑ ) ( ΤΑ) () ( ) ( ) M.H. Badii e al.

9 CM ( ΤΑ) (3) [ ( ) / ] ( ) [ / ] [ ( ) ] ( ) / / CM ( ΤΑ) F (4) c S / ( r )( ) l Grado de Liberad para F c (-), (r-)(-)- [ ] d) Si se desea probar la hipóesis H 0 : γ vs. H A : γ : / F con y (r-)(-)- gl. c S Una caracerísica fundamenal de oda covariable es su independencia de los efecos de los raamienos. σ ( ) Τ Var d + Varianza promedio de la diferencia enre dos r ( ) medias ausadas de raamienos. s * I ficiencia de la covarianza en la reducción de la Τ s + ( ) varianza del error. emplo. Un experimeno de ferilizanes con el diseño San Crisóbal ( raamienos en cuaro bloques compleos al azar), realizado por el IMPA en la zona de abasecimieno del ingenio Mozorongo, en el esado de Veracruz, cosechado en planilla durane la zafra , produo los resulados de la Tabla. n esa abla la Y es el rendimieno de caña en oneladas por hecárea, y es el número observado de allos molederos por parcela experimenal. Se propone examinar el efeco de los nurienes sobre el 33 ANCOVA

10 34 rendimieno de caña, eliminando a ravés de la écnica de covarianza, el efeco del número de allos molederos (Marínez-Garza, 988). Tabla. Análisis de covarianza en un experimeno cañero. Traamienos I II III IV Sumas Y Y Y Y Y , , , , , , , , , , , ,46 Sumas Se realizan los cálculos para consruir la Tabla 3 de sumas de cuadrados y producos cruzados. Tabla 3. Suma de cuadrados y de producos cruzados. Fuene de variación Grados de liberad Bloques (B) Traamienos (T) rror () Toal Sumas de cuadrados y de producos cruzados.. Y Y. Y,9. -,043.9,57.5 4,33.7, , , ,780.86, , É T ,898.4, ,83.3 Como regla general para decidir sobre el empleo de la covarianza, el invesigador debiera ener la cereza de que sus covariables no esan influenciadas por los raamienos esudiados. s común que en la prácica, para probar la significancia del efeco de los raamienos sobre los valores de la propia covariable, se realice el análisis de varianza sobre los valores observados de la covariable. sa manera de proceder, de acuerdo con Anderson y Bancrof (95), no es muy adecuada, y recomiendan que los invesigadores basen su écnica de análisis en un uicio riguroso de su M.H. Badii e al.

11 experimeno, para bien deecar la exisencia de dependencia o no de las covariables para con los raamienos. Por ano endríamos los siguienes. Toal (477) /48, B T Toal [ ] (54.8) /48 7, B YY T YY SP Toal 07.5 x x 30 (54.8 x 477)/ B 74.5x x x T 4.x x x Por ano, Toal B - T Toal B - T ANCOVA

12 36 SPToal B - T (-043.9) Pueso que γˆ, se obiene: ˆ γ Donde: - γˆ ( ) x (-404.6) S ( r )( ) 3x De manera similar, ya que base de la 5., se obiene: ˆ γ ' ', haciendo uso de los daos en la ' ˆ γ ' ˆ' γ x Usando los resulados aneriores, la suma de cuadrados debida a raamienos ausados, (TA), es: Donde: (TA) (TA) (TA) 85.6 ( TA) 85.6 CM (TA) M.H. Badii e al.

13 37 Para probar la hipóesis H 0 : r r. r conra la alernaiva H : por lo menos r i r, con i, la esadísica de prueba, F, esá dada por: CM ( TA) F.99 s la cual, si H 0 es ciera, se disribuye como una F con y 3 grados de liberad. Para una prueba al % de significancia, el valor abulado de esa disribución es de.87. Pueso que el valor calculado de la F es mayor que la abulada, se rechaza la hipóesis nula. Conclusiones l mundo es mulifacorial, mulidimencional y con un enfoque muliangular. Las cosas en el universo, incluyendo los procesos, fenómenos, obeos y/o evenos, no ocurren de forma aislada. Hay una inerconexión naural enre odos esos, ya que odas y cada una de las cosas iene su lugar propio en el universo y uegan un papel, aunque sea de diferenes magniudes, relevane y precisa para manener el orden denro del cosmos. Debido a esa inerrelación duradera enre los diferenes íems, es necesario ener disponible écnicas que puedan analizar el efeco y la manifesación de cada facor como si fuera sucediendo de forma individual y aislada y por ano libre del efeco de cualquier oro facor auxiliar. Anes del nacimieno de herramienas analíicas (por eemplo esadísicas) en el apoyo a la invesigación cienífica, exisía una pérdida enorme en lo que se refiere a la descripción, medición, explicación e incluso los planes del maneo de las cosas que ocurrían y/o se manifesaban de forma simulánea y conuna. l análisis de covarianza es una de esas écnicas que puede esimar el efeco de un facor cuando esá en uego de manera simulánea, el efeco de oro facor auxiliar, en oras palabras, por medio de ANCOVA, el invesigador fia el efeco del facor auxiliar a ravés de odos los raamienos y eso significa como que si el facor auxiliar no exisiera. Además, esa écnica ambién es úil para inerprear la nauraleza de los efecos de los raamienos, cuanificar los efecos de los mismos, ausar las medias de los raamienos y finalmene, para reducir el grado de error experimenal que forma una pare esencial de la experimenación, del muesreo y de la inferencia como base de la lógica induciva. ANCOVA

14 38 Referencias Badii, M.H., A.R. Pazhakh, J.L. Abreu & R. Foroughbakhch Fundamenos del méodo cienífico. InnOvaciOnes de NegOciOs (): Badii, M.H., J. Casillo & A. Wong Diseños de disribución libre. InnOvaciOnes de NegOciOs, 3(): Badii, M.H. & J. Casillo (eds.) Técnicas Cuaniaivas en la Invesigación. UANL, Monerrey. Badii, M.H., R. Ramírez & J. Casillo. 007a. Papel de esadísica en la invesigación cienífica. InnOvaciOnes de NegOciOs, 4(): Badii, M.H., J. Casillo, R. Rosias & G. Ponce. 007b. xperimenal designs. Pp In: M.H. Badii & J. Casillo (eds.). Técnicas Cuaniaivas en la Invesigación. UANL, Monerrey. Cochran, W.G. & G.M. Cox, 957. xperimenal designs. nd d. John Wiley & Sons, New York. Delury, D.B The Analysis of Co-variance. Biomerics, 4: Federer, W.T. Y C.S. Schlofeld, 954. The use of covariance o conrol gradiens in experimens. Biomerics, 0: Finney, D.J Sandard errors of yields adused for regression on an independen measuremen. Biomerics Bull. : Marínez-Garza, A Diseños experimenales, méodos y elemenos de eoría. d. Trillas, 756. Ouhwaie, A.D. & A. Ruherford, 955. Covariance analysis as alernaive o sraificaion in he conrol of gradiens. Biomerics, : Seel, R.G.D Which dependen variae? Y or Y-? Mimeo Series BU-54-M, Biomerics Uni. Cornell Univ. Ihaca, N.Y. Wishar, J Tes of significance in he analysis of covariance. J. Roy. Sa. Soc. Suppl. 3: M.H. Badii e al.