Métodos de Diseño y Análisis de Experimentos

Transcripción

1 1 / 101 Méodos de Diseño y Análisis de Experimenos Paricia Isabel Romero Mares Deparameno de Probabilidad y Esadísica IIMAS UNAM febrero 2013

2 Diseño compleamene al azar 2 / 101

3 3 / 101 Ejemplo Suponga que enemos 4 dieas diferenes que queremos comparar. Las dieas esán eiqueadas A,B,C y D. Esamos ineresados en esudiar si las dieas afecan la asa de coagulación en conejos. La asa de coagulación es el iempo en segundos que arda una corada en dejar de sangrar. Tenemos 16 conejos para el experimeno, por lo que usaremos 4 en cada diea. Los conejos esán en una jaula grande hasa que se inicie el experimeno, momeno en que se ransferirán a oras jaulas. Cómo asignamos los conejos a los cuaro grupos raamieno?

4 4 / 101 Diseño compleamene al azar, un facor Ejemplo: Disminución del crecimieno de bacerias en carne almacenada. La vida en esane de carne almacenada es el iempo en que el core empacado se maniene bien, nuriivo y vendible. El empaque esándar con aire del medio ambiene iene una vida de 48 horas. Después se deeriora por conaminación bacerial, degradación del color y encogimieno. El empaque al vacío deiene el crecimieno bacerial, sin embargo, se pierde calidad. Esudios recienes sugieren que al conrolar cieros gases de la amósfera se alarga la vida en esane.

5 5 / 101 Diseño compleamene al azar, un facor Hipóesis de invesigación: Algunas formas de gases conrolados pueden mejorar la efecividad del empacamieno para carne. Diseño de raamienos: Un facor con 4 niveles: 1 Aire ambienal con envolura plásica 2 Empacado al vacío 3 Mezcla de gases: 1% CO (monóxido de carbono) 40% O 2 (oxígeno) 59% N (nirógeno) 4 100% CO 2 (bióxido de carbono) Diseño experimenal: Compleamene al azar.

6 6 / 101 Diseño compleamene al azar, un facor Tres biseces de res, aproximadamene del mismo amaño (75 grs.) se asignaron aleaoriamene a cada raamieno. Cada bisec se empaca separadamene con su condición asignada. Variable de respuesa: Se mide el número de bacerias psichnoropicas en la carne después de 9 días de almacenamieno a 4 C. Esas bacerias se encuenran en la superficie de la carne y aparecen cuando la carne se echó a perder. La medición fué el logarimo del número de bacerias por cm 2.

7 7 / 101 Diseño compleamene al azar, un facor Cómo aleaorizar? Se obiene una permuación aleaoria de los números 1 a 12. Para eso se oma una secuencia de números de 2 dígios de una abla de números aleaorios y se les asigna el rango que les corresponda. Por ejemplo: # aleaorio rango ra u.e ra

8 Diseño compleamene al azar, un facor Modelo esadísico para el experimeno El modelo esadísico para esudios comparaivos supone que hay una población de referencia de u.e. En muchos casos la población es concepual. En el ejemplo, es posible imaginar una población de carne empacada. Cada unidad de la población iene un valor de la variable de respuesa, y, la cual iene media µ y varianza σ 2. Se supone una población de referencia para cada raamieno considerado en el esudio, y las variables en el experimeno se suponen seleccionadas aleaoriamene de dicha población de referencia, como resulado de la aleaorización. Noa. Para esudios observacionales, suponemos que las unidades observadas se seleccionaron aleaoriamene de cada una de las poblaciones. 8 / 101

9 9 / 101 Diseño compleamene al azar, un facor

10 10 / 101 Diseño compleamene al azar, un facor Modelo esadísico lineal para un diseño compleamene al azar. Modelo de medias: y ij = µ i + ε ij i = 1,2,..., j = 1,2,...,r donde y ij es la observación de la j-ésima u.e. del i-ésimo raamieno, µ i es la media del i-ésimo raamieno, ε ij es el error experimenal de la unidad ij. Suponemos que hay raamienos y r repeiciones en cada uno. En el ejemplo de la carne empacada, enemos:

11 11 / 101 Diseño compleamene al azar, un facor bisec raa obser log y ij Modelo mieno vación (coneo/cm 2 ) y 11 µ 1 + ε y 12 µ 1 + ε y 13 µ 1 + ε y 21 µ 2 + ε y 22 µ 2 + ε y 23 µ 2 + ε y 31 µ 3 + ε y 32 µ 3 + ε y 33 µ 3 + ε y 41 µ 4 + ε y 42 µ 4 + ε y 43 µ 4 + ε 43

12 12 / 101 Diseño compleamene al azar, un facor El modelo: y ij = µ i + ε ij lo llamaremos modelo compleo ya que incluye una media separada para cada una de las poblaciones definidas por los raamienos. Si no hay diferencia enre las medias de las poblaciones, es decir, µ 1 = µ 2 = µ 3 = µ 4 = µ se genera el modelo reducido y ij = µ + ε ij que esablece que las observaciones provienen de la misma población con media µ.

13 13 / 101 Diseño compleamene al azar, un facor El modelo reducido represena la hipóesis de no diferencia enre las medias H 0 : µ 1 = µ 2 = µ 3 = µ 4 = µ El modelo compleo represena la hipóesis alernaiva: H a : µ i µ k i k El invesigador debe deerminar cuál de los dos modelos describe mejor a los daos en el experimeno.

14 14 / 101 Diseño compleamene al azar, un facor y ij = µ + ε ij y ij = µ i + ε ij

15 15 / 101 Diseño compleamene al azar, un facor Preguna de invesigación: Hay más crecimieno bacerial con algunos méodos de empacado que con oros? Preguna esadísica: Cuál modelo describe mejor los resulados del experimeno? Se requiere un méodo para esimar los parámeros de los dos modelos y con base en algun crierio objeivo deerminar cuál modelo o hipóesis esadísica se ajusa mejor a los daos del experimeno.

16 16 / 101 Diseño compleamene el azar, un facor Los esimadores de mínimos cuadrados son aquellos que resulan de minimizar la suma de cuadrados de los errores experimenales. Si los errores experimenales son independienes con media cero y varianzas homogéneas, los esimadores de mínimos cuadrados son insesgados y ienen varianza mínima. Noa. El muesreo aleaorio en los esudios observacionales y la aleaorización en los experimenales aseguran la suposición de independencia.

17 17 / 101 Esimadores para el modelo compleo y ij = µ i + ε ij i = 1,..., j = 1,...,r ε ij = y ij µ i SSE c = r i=1 j=1 ε 2 ij = r i=1 j=1 (y ij µ i ) 2 La SSE c es una medida de qué an bien se ajusa el modelo a los daos. Queremos deerminar los esimadores ˆµ i ales que se minimice esa SSE c. Vamos a ener ecuaciones normales, una para cada raamieno, enconradas a parir de derivar la SSE c con respeco a cada µ i e igualarlas a cero.

18 18 / 101 Esimadores para el modelo compleo Para una i: µ i r j=1 (y ij µ i ) 2 = 2 igualando a cero 2 r j=1 r j=1 (y ij ˆµ i ) = 0 y ij r ˆµ i = 0 r j=1 ˆµ i = r j=1 y ij r (y ij µ i ) = ȳ i.

19 19 / 101 Esimadores para el modelo compleo Por lo ano, Enonces, ˆµ i = ȳ i i = 1,..., SSE c = = = r i=1 j=1 r i=1 j=1 i=1 (y ij ˆµ i ) 2 (y ij ȳ i. ) 2 [ ] r (y ij ȳ i. ) 2 j=1

20 20 / 101 Esimadores para el modelo compleo La varianza muesral del i-ésimo raamieno es: S 2 i = r j=1 (y ij ȳ i. ) 2 r 1 es una esimador de σ 2 de los daos del i-ésimo grupo. S 2 = i=1 [ r j=1 (y ij ȳ i. ) 2] = SSE c (r 1) (r 1) es un esimador combinado (pooled) de σ 2 de odos los daos del experimeno. Es un buen esimador si podemos hacer la suposición de que σ 2 es homogénea en odos los grupos.

21 21 / 101 Esimadores para el modelo compleo Para los daos del ejemplo: raamieno comercial vacío mezcla CO ˆµ i = ȳ i r j=1 (y ij ȳ i. ) SSE c = = S 2 = SSE c (r 1) = = (2)

22 22 / 101 Esimadores para el modelo reducido y ij = µ + ε ij ε ij = y ij µ SSE r = r i=1 j=1 ε 2 ij = r i=1 j=1 (y ij µ) 2 µ r i=1 j=1 (y ij µ) 2 = 2 igualando a cero r i=1 j=1 ˆµ = r i=1 j=1 r y ij i=1 j=1 rµ = y.. ˆµ = y.. r = ȳ.. (y ij µ)

23 23 / 101 Esimadores para el modelo reducido Enonces, SSE r = r i=1 j=1 (y ij ˆµ) 2 = r i=1 j=1 (y ij ȳ.. ) 2 Para el ejemplo, ˆµ = ȳ.. = = 5.90

24 24 / 101 Modelo reducido Modelo compleo y ij = µ + ε ij y ij = µ i + ε ij Observado Esimado Diferencia Esimado Diferencia Traamieno y ˆµ (y ij ˆµ) ˆµ i (y ij ˆµ i ) Comercial Vacío Mezcla CO SSE r = SSE c =

25 25 / 101 Diseño compleamene al azar, un facor Siguiendo con el ejemplo: Modelo compleo y ij = µ i + ε ij SSE c = i j (y ij ȳ i. ) 2 = Modelo reducido y ij = µ + ε ij SSE r = i j (y ij ȳ.. ) 2 = Diferencia: SSE r SSE c = i haciendo álgebra = i j j (y ij ȳ.. ) 2 (ȳ i. ȳ.. ) 2 = r i (y ij ȳ i. ) 2 j i (ȳ i. ȳ.. ) 2 En el ejemplo: SSE r SSE c =

26 Diseño compleamene al azar, un facor SSE r SSE c = SS suma de cuadrados de raamienos. Represena la reducción en SSE al haber incluido raamienos en el modelo, ambién se le conoce como reducción en suma de cuadrados debida a raamienos. Llamaremos SS oal = SSE r ya que es la suma de cuadrados de las diferencias de cada observación y la media general ȳ.. Enonces, enemos la parición: i j SS oal = SS + SSE c (y ij ȳ.. ) 2 = i j (ȳ i. ȳ.. ) 2 + i (y ij ȳ i. ) 2 j desviación de la desviación de la desviación de la observación ij media del grupo observación ij con respeco a con respeco a con respeco a la media general la media general la media de su grupo 26 / 101

27 27 / 101 Diseño compleamene al azar, un facor i j (y ij ȳ.. ) 2 = i = i [(y ij ȳ i. ) + (ȳ i. ȳ.. )] 2 j j +2 i (y ij ȳ i. ) 2 + (y ij ȳ i. )(ȳ i. ȳ.. ) j i (ȳ i. ȳ.. ) 2 j i j (y ij ȳ i. )(ȳ i. ȳ.. ) = i (ȳ i. ȳ.. ) j (y ij ȳ i. ) = (ȳ i. ȳ.. )(y i. rȳ i. ) = 0 i

28 28 / 101 Diseño compleamene al azar, un facor Grados de liberad. Represenan el número de piezas de información independienes en las sumas de cuadrados. En general, es el número de observaciones menos el número de parámeros esimados de los daos. Sea n = r, el amaño de muesra oal. Así, SS oal = i r j (y ij ȳ.. ) 2 donde ȳ.. es el esimador de µ, iene n 1 g.l. SSE = i r j (y ij ȳ i. ) 2 se esimaron parámeros (µ 1, µ 2,..., µ ) por lo ano iene n g.l. SS = SS oal SSE = (n 1) (n ) = 1 g.l.

29 29 / 101 Tabla de Análisis de Varianza ANOVA F.V. g.l. SS CM Traamienos 1 SS CM = SS / 1 Error n SSE CME = SSE/n = ˆσ 2 Toal n 1 SS oal Se puede demosrar que: E (CME) = σ 2 E (CM ) = σ i=1 r(µ i µ) 2 ; µ = µ i / i

30 30 / 101 Tabla de Análisis de Varianza Si suponemos ε ij NID(0,σ 2 ) i = 1,..., j = 1,...,r en el modelo compleo y ij = µ i + ε ij Enonces, y ij NID(µ i,σ 2 ). Se puede demosrar que: SS oal σ 2 = i j (y ij ȳ.. ) 2 σ 2 χn 1 2 SSE σ 2 = i j (y ij ȳ i. ) 2 σ 2 χn 2 Cuando H 0 : µ 1 = µ 2 =... = µ es ciera SS σ 2 = i r(ȳ i. ȳ.. ) 2 σ 2 χ 1 2

31 31 / 101 Tabla de Análisis de Varianza Por el Teorema de Cochran (Mongomery, 2001, pág. 69), SS y SSE son independienes, por lo ano cuando H 0 es ciera, F 0 = SS /σ 2 ( 1) SSE/σ 2 (n ) = CM CME F 1,n Además, E (CM ) = σ 2 + θ 2 = σ 2 cuando θ 2 = 0 que es cuando H 0 es ciera. Es decir, E (CM ) = E (CME) cuando H 0 es ciera E (CM ) > E (CME) cuando H 0 no es ciera Enonces, si CM > CME, o sea, valores grandes de F 0 llevan a rechazar la hipóesis nula H 0 : µ 1 = µ 2 =... = µ. Por lo ano, la región de rechazo es: F 0 > F α 1,n

32 32 / 101 Tabla de Análisis de Varianza ANOVA F.V. g.l. SS CM F E(CM) Traamienos 1 SS CM = SS CM 1 CME σ 2 + θ 2 Error n SSE CME = SSE n σ 2 Toal n 1 SS oal SS = SSE = SS oal = i=1 r i=1 j=1 i=1 j=1 r (ȳ i. ȳ.. ) 2 r (y ij ȳ i. ) 2 (y ij ȳ.. ) 2

33 33 / 101 Tabla de Análisis de Varianza En el ejemplo de empacado de carne: F.V. g.l. SS CM F Pr > F ra error oal Por lo ano, se rechaza la hipóesis H 0 : µ 1 = µ 2 =... = µ 4, es decir, hay algún méodo de empaque que iene diferene comporamieno en promedio.

34 Diseño compleamene al azar, un facor Se quieren comparar niveles de un facor, lo que implica raamienos y se dispone de n i u.e. para el raamieno i, i = 1,...,. Hay dos siuaciones: 1 Los raamienos son escogidos específicamene por el invesigador. En esa siuación deseamos probar hipóesis acerca de las medias de los raamienos y nuesras conclusiones se aplicarán solamene a los niveles del facor considerados en el análisis. Las conclusiones no se pueden exender a raamienos similares que no fueron explíciamene considerados. Ese es el modelo de efecos fijos. 2 Los raamienos son una muesra aleaoria de una población de raamienos. En esa siuación nos gusaría poder exender las conclusiones (las cuales esán basadas en la muesra de raamienos considerada) a odos los raamienos de la población. Ese es el modelo de efecos aleaorios. 34 / 101

35 35 / 101 Diseño compleamene al azar, un facor A las canidades n 1,n 2,...,n se les llama repeiciones de cada raamieno. Si n i = r i se dice que el diseño es balanceado. y ij es la respuesa de la u.e. j del raamieno i, i = 1,..., j = 1,...,n i.

36 36 / 101 Diseño compleamene al azar Esrucura de los daos. raamienos y 11 y 21 y y 1 y 12 y 22 y y 2 y 13 y 23 y y y 1n1 y 2n2 y 3n3... y n y 1. y 2. y y. oales ȳ 1. ȳ 2. ȳ ȳ. medias

37 37 / 101 Diseño compleamene al azar n = y i. = n i i=1 n i y ij j=1 ȳ i. = n i j=1 y ij y.. = ȳ.. = y.. n n i n i i=1 j=1 i = 1,..., oal raamieno i y ij = i = 1,..., media raamieno i i=1 media general y i. oal de las observaciones

38 38 / 101 Diseño compleamene al azar Se ienen muesras aleaorias independienes de amaños n 1,n 2,...,n respecivamene. y 11,y 12,...,y 1n1 es una muesra aleaoria de N(µ 1,σ 2 ) y 21,y 22,...,y 2n2 es una muesra aleaoria de N(µ 2,σ 2 ) y 1,y 2,...,y n es una muesra aleaoria de N(µ,σ 2 )

39 39 / 101 Diseño compleamene al azar Las observaciones en cada una de esas muesras se pueden represenar por el modelo lineal simple y ij = µ i + ε ij i = 1,..., j = 1,...,n i con ε ij error experimenal en la observación j-ésima del raamieno i-ésimo. Esamos suponiendo independencia enre y denro de las muesras, es decir, ε ij son independienes y ε ij N(0,σ 2 ).

40 40 / 101 Diseño compleamene al azar Ora forma de verlo Como suponemos que las u.e. son homogéneas, es decir, el promedio de respuesa de odas las u.e. es el mismo (µ) anes de aplicar los raamienos, y si se observan en condiciones similares, las respuesas las podemos modelar como y ij = µ + ε ij

41 41 / 101 Modelo de efecos Enonces al aplicar el raamieno i-ésimo a un grupo (de amaño n i ) de u.e. se inroduce un efeco (τ i ) de ese raamieno en las variables por observar. El modelo se puede escribir como: Modelo de efecos donde y ij = µ + τ i + ε ij i = 1,..., j = 1,...,n i µ es la media general, común a odas las u.e. τ i es el efeco del raamieno i-ésimo

42 Modelo de efecos 42 / 101

43 43 / 101 Modelo de efecos El modelo de efecos implica que se empieza el experimeno con u.e. con la misma capacidad de respuesa (µ) y con la misma varianza (σ 2 ). La aplicación de los raamienos iene el efeco de alerar las medias, que ahora son µ i = µ + τ i, pero supone que no se modifican las varianzas. En ese caso, la hipóesis a probar es: H 0 : τ 1 = τ 2 =... = τ = 0 H a : τ i 0 para al menos una i

44 44 / 101 Modelo de efecos Esimadores de mínimos cuadrados: y ij = µ + τ i + ε ij i = 1,..., j = 1,...,n i µ τ i i=1 j=1 SSE = n i n i i=1 j=1 n i i=1 j=1 ε 2 ij = n i i=1 j=1 (y ij µ τ i ) 2 = 2 (y ij µ τ i ) 2 = 2 (y ij µ τ i ) 2 n i i=1 j=1 n i j=1 (y ij µ τ i ) (y ij µ τ i ) i = 1,...,

45 45 / 101 Modelo de efecos Igualando a cero: n i i=1 j=1 n 1 j=1 n 2 j=1 n j=1 y ij = n ˆµ + i=1 n i ˆτ i y 1j = n 1 ˆµ + n 1 ˆτ 1 y 2j = n 2 ˆµ + n 2 ˆτ y j = n ˆµ + n ˆτ Las ecuaciones normales no son linealmene independienes, por lo ano no hay una solución única. Eso ocurre porque el modelo de efecos esá sobreparamerizado.

46 Modelo de efecos Se añade una ecuación linealmene independiene: a) i=1 ˆτ i = 0 ˆµ = ȳ.. ˆτ i = ȳ i. ȳ.. i = 1,..., b) ˆµ = 0 ˆµ = 0 ˆτ i = ȳ i. i = 1,..., c) ˆτ 1 = 0 ˆµ = ȳ 1. ˆτ i = ȳ i. ȳ 1. i = 2,..., 46 / 101

47 47 / 101 Modelo de efecos Hay un número infinio de posibles resricciones que se pueden usar para resolver las ecuaciones normales. Enonces Cuál usar? No impora ya que en cualquier caso µ + τ i = ȳ i. Aunque no podemos obener esimadores únicos de los parámeros del modelo de efecos, podemos obener esimadores únicos de funciones de esos parámeros. A esas funciones se les llama funciones lineales linealmene esimables.

48 48 / 101 Diseño compleamene al azar, Tabla de ANOVA F.V. g.l. SS CM F E(CM) Traamienos 1 SS CM = SS 1 Error n SSE CME = SSE n σ 2 Toal n 1 SS oal CM CME σ 2 + i n i (τ i τ) 2 1 SS = SSE = SS oal = i=1 n i i=1 j=1 n i (ȳ i. ȳ.. ) 2 = n i i=1 j=1 (y ij ȳ i. ) 2 = (y ij ȳ.. ) 2 = n = i=1 i=1 j=1 y 2 i. y2.. n i n n i n i i=1 j=1 n i i=1 y 2 ij i=1 y 2 ij y2.. n y 2 i. n i

49 49 / 101 Inervalos de confianza ˆµ i = ȳ i. Sȳ 2 i. = S2 CME con S 2 = CME = ˆσ 2 Sȳi. = n i n i Como suponemos que y ij N ( µ i,σ 2) enonces ȳ i. N ( µ i,σ 2 /n i ) como esimamos la varianza: ȳ i. µ i Sȳi. n Por lo ano, un inervalo del (1 α)100% de confianza para µ i es ȳ i. ± 1 α/2 n (Sȳi. )

50 50 / 101 Conrases En el ejemplo del empacado de carne eníamos: Comercial Al vacío CO,O2,N CO2 ˆµ i = ȳ i S 2 = CME = con 8 g.l. Una vez que rechazamos la hipóesis H 0 : µ 1 = µ 2 = µ 3 = µ 4 Qué sigue?

51 51 / 101 Conrases Se podrían conesar pregunas como: Es más efeciva la creación de una amósfera arificial que el aire ambiene con plásico para reducir el crecimieno de bacerias? Son más efecivos los gases que el vacío? Es más efecivo el raamieno de CO2 puro que la mezcla CO,O2 y N? Un conrase es una función lineal de los parámeros µ i definido como C = donde i=1 k i = 0. i=1 k i µ i = k 1 µ 1 + k 2 µ k µ

52 52 / 101 Conrases Los conrases para las pregunas aneriores son: comercial vs. amósfera arificial C 1 = µ (µ 2 + µ 3 + µ 4 ) vacío vs. gases C 2 = µ (µ 3 + µ 4 ) mezcla de gases vs. CO2 puro C 3 = µ 3 µ 4

53 53 / 101 Conrases El esimador del conrase C = i=1 Si suponemos que enonces Por lo ano, Ĉ = k i µ i es Ĉ = i=1 i=1 y ij N ( µ i,σ 2) ȳ i. N ( µ i,σ 2 /n i ) k i ˆµ i = ( k i ȳ i. N k i µ i,σ 2 i=1 i=1 i=1 k 2 i n i k i ȳ i. )

54 54 / 101 Conrases Ya que: V ( i=1 ( ) E k i ȳ i. = i=1 k i ȳ i. ) = }{{} m.indep i=1 ˆV ( Ĉ ) = ˆσ 2 i=1 k i E (ȳ i. ) = k 2 i V (ȳ i. ) = i=1 k 2 i n i = CME i=1 k 2 σ 2 i i=1 i=1 k i µ i n i = σ 2 k 2 i n i i=1 k 2 i n i

55 55 / 101 Conrases Enonces, i=1 k iȳ i. i=1 k iµ i CME i=1 k2 i /n i g.l.error De aquí un inervalo del 100(1 α)% de confianza para el conrase C es: Ĉ ± 1 α/2 g.l.error CME i=1 k 2 i /n i

56 56 / 101 Conrases Además, Ĉ C N (0,1) σ 2 i=1 k2 i /n i Si H 0 : i=1 k iµ i = 0, es decir, H 0 : C = 0 es ciera, enonces, Ĉ 2 σ 2 i=1 k2 i /n i χ 2 1 Sea enonces Ĉ 2 SS c = i=1 k2 i /n i SS c /σ 2 SSE/σ 2 (n ) = Ĉ2 / i=1 k2 i /n i F 1,n CME Por lo ano, para probar H 0 : C = 0 se rechaza si F c > F α 1,n

57 57 / 101 Conrases El número de conrases que se pueden hacer es muy grande, sin embargo, esa écnica iene su mayor uilidad cuando se aplica a comparaciones planeadas anes de realizar el experimeno. Una clase de conrases, conocida como Conrases orogonales (como son los del ejemplo anerior) ienen propiedades especiales con respeco a la parición de sumas de cuadrados y grados de liberad y con respeco a su relación enre ellos. La orogonalidad implica que un conrase no apora información acerca de oro. Dos conrases, con coeficienes {k i },{l i } son orogonales si k i l i = 0 i=1 n i

58 58 / 101 Conrases Para raamienos exise un conjuno de 1 conrases orogonales, los cuales hacen una parición de la suma de cuadrados de raamienos en 1 componenes independienes, cada uno con 1 g.l. Por lo ano las pruebas realizadas con conrases orogonales son independienes. En el ejemplo anerior, los conrases son orogonales. k 1 k 2 k 3 k 4 C 1 1-1/3-1/3-1/3 C /2-1/2 C

59 59 / 101 ANOVA La abla de ANOVA incorporando las pruebas de hipóesis de los 3 conrases es: F.V. g.l. SS CM F Pr > F ra C C C error oal Se rechaza H 0 : µ 1 = µ 2 = µ 3 = µ 4 Se rechaza H 01 : µ 1 = 1 3 (µ 2 + µ 3 + µ 4 ) No se rechaza H 02 : µ 2 = 1 2 (µ 3 + µ 4 ) Se rechaza H 03 : µ 3 = µ 4 SS C1 = 2 Cˆ 1 1 r 4 i=1 k2 i = (2.11) ( 1/3) 2 3 = = 10.01

60 60 / 101 Oro ejemplo Los siguienes daos son los iempos de coagulación de sangre para 24 animales que fueron aleaoriamene asignados a una de cuaro dieas (A,B,C,D) Diea A Diea B Diea C Diea D

61 61 / 101 Oro ejemplo Pruebe la hipóesis de igualdad de medias H 0 : µ 1 = µ 2 = µ 3 = µ 4. Pruebe el siguiene conrase: El promedio de la diea A y B es igual al promedio de la C y D El análisis en R: Los daos esán en el archivo coag.x El programa esá en anova coag.x

62 62 / 101 Comparaciones múliples En muchas siuaciones prácicas, se desea comparar pares de medias. Podemos deerminar cuáles medias difieren probando las diferencias enre odos los pares de medias de raamienos. Es decir, esamos ineresados en conrases de la forma Γ = µ i µ j i j Lo primero que se nos viene a la mene es hacer una prueba para cada par de medias, es decir, probar H 0 : µ i = µ j H a : µ i µ j i j

63 63 / 101 Comparaciones múliples Si suponemos varianzas iguales, se iene la esadísica de prueba c = ȳi. ȳ j. s p 1 n i + 1 n j y se rechaza H 0 al nivel de significancia α si c α/2 n i +n j 2 ó c 1 α/2 n i +n j 2 Eso es equivalene a decir que se rechaza H 0 si c = ȳ i. ȳ j. s p 1 n i + 1 n j > 1 α/2 n i +n j 2 o equivalene a ȳ i. ȳ j. > 1 α/2 n i +n j 2 s p 1 n i + 1 n j

64 64 / 101 Comparaciones múliples Esa prueba conocida como Diferencia Mínima Significaiva (DMS ó LSD) en el conexo de ANOVA, lo que hace es comparar el valor absoluo de la diferencia de cada par de medias con DMS: Si ȳ i. ȳ j. > DMS = 1 α/2 glerror se rechaza H 0 : µ i = µ j. ( 1 CME + 1 ) n i n j CME es el cuadrado medio del error que es una esimación ponderada de la varianza basada en esimaciones de la varianza. El uilizar ese procedimieno no es conveniene por que el nivel de significancia global, es decir, para el conjuno de odas las pruebas, resula muy superior al nivel de significancia (α) planeado.

65 65 / 101 Comparaciones múliples Por ejemplo, si se ienen 4 medias de raamienos, enonces se ienen ( ) 4 = 4! 2 2!2! = 6 pares a comparar, es decir, 6 pruebas de hipóesis a realizar, con lo que se pueden comeer 0,1,2,3,4,5, ó 6 errores Tipo I, si odas las medias son iguales. Se define ora forma de error ipo I basado en los riesgos acumulados asociados a la familia de pruebas bajo consideración. Ese es el error ipo I del experimeno α E que es el riesgo de comeer el error ipo I al menos una vez. La probabilidad de error ipo I del experimeno puede evaluarse para una familia de pruebas independienes.

66 66 / 101 Comparaciones múliples Sin embargo, odas las pruebas a pares usando la DMS no son independienes, pueso que el CME es el mismo en cada una de las esadísicas de prueba y el numerador coniene las mismas medias en varias de las esadísicas de prueba. Aún así, se puede evaluar el límie superior de la probabilidad de error ipo I del experimeno, suponiendo n pruebas independienes. Suponga que la H 0 es ciera para cada una de las n = ( ) 2 pruebas y que son independienes. Sea α c = P(error ipo I) en una sola prueba (comparación) con (1 α c ) = P(decisión correca).

67 67 / 101 Comparaciones múliples La probabilidad de comeer x errores ipo I esá dada por la disribución binomial como: P(X = x) = ( ) n αc x (1 α c ) n x x P(X = x) = n! (n x)!x! αx c (1 α c ) n x x = 0,1,2,...,n La probabilidad de no comeer ningún error ipo I es P(X = 0) = (1 α c ) n

68 68 / 101 Comparaciones múliples La probabilidad de comeer al menos 1 error ipo I es P(X 1) = 1 P(X = 0) = 1 (1 α c ) n es decir, la máxima probabilidad de comeer al menos un error ipo I enre las n comparaciones es: α E = 1 (1 α c ) n de aquí α c = 1 (1 α E ) 1/n

69 69 / 101 Comparaciones múliples # de pruebas α E cuando α c cuando indep. n α c = 0.05 α E = Por el razonamieno anerior es que han surgido una serie de pruebas de diferenes auores para hacer comparaciones múliples raando de manener la P(error ipo I del experimeno) = α

70 70 / 101 Bonferroni α E nα c n comparaciones, la igualdad se dá cuando las pruebas son independienes. Enonces, α c = α E /n Si queremos α E = 0.05 enonces, α c = 0.05/n y se hacen las pruebas para los pares de medias con un nivel de significancia α c en cada una de ellas.

71 71 / 101 Tukey Conocida como la prueba de la Diferencia Mínima Significaiva Honesa (DMSH) CME DMSH = q α,glerror si n i = r r ( DMSH = q α CME 1,glerror + 1 ) 2 n i n j i Si ȳ i. ȳ j. > DMSH se rechaza H 0 : µ i = µ j. q α ν 1,ν 2 se obiene de las ablas de rangos esudenizados.

72 72 / 101 Tukey Para el ejemplo del empaque de carne: Comercial Al vacío CO,O2,N CO2 ȳ i S 2 = CME = con 8g.l. = 4, r = DMSH = q ,8 = (4.53)(0.197) = ȳ 1. ȳ 2. = 1.98 ȳ 1. ȳ 3. = 0.22 ȳ 1. ȳ 4. = 4.12 ȳ 2. ȳ 3. = 1.76 ȳ 2. ȳ 4. = 2.14 ȳ 3. ȳ 4. = 3.90

73 73 / 101 Suden-Newman-Keuls (SNK) Se calcula un conjuno de valores críicos k p = q α p,f S ȳ i. p = 2,3,..., donde q α p,f es el percenil 1 α de la disribución del rango esudenizado para el número p de medias involucradas en la comparación y f g.l. del error, y Sȳi. = Para el ejemplo de la carne empacada: CME r p q.05 p, k p

74 74 / 101 Suden-Newman-Keuls (SNK) Comercial Al vacío CO,O2,N CO2 ȳ i Medias ordenadas: ȳ 4. = 3.36 ȳ 2. = 5.50 ȳ 3. = 7.26 ȳ 1. = 7.48 ȳ 4. ȳ 1. = 4.12 > k4 ȳ 4. ȳ 3. = 3.90 > k3 ȳ 4. ȳ 2. = 2.14 > k2 ȳ 2. ȳ 1. = 1.98 > k3 ȳ 2. ȳ 3. = 1.76 > k2 ȳ 3. ȳ 1. = 0.22 < k 2 (N.S.)

75 75 / 101 Duncan Es similar a la de SNK. Los promedios de los raamienos se ordenan en forma ascendene y el error esándar de cada promedio se deermina con Sȳi. = CME r si n i = r i Para muesras de diferene amaño, se reemplaza la r por la media armónica (n h ) de los {n i } n h = i=1 ( 1 n i )

76 76 / 101 Duncan De las ablas de Duncan de rangos significaivos se obienen los valores de r α p,f para p = 2,3,...,. p es el número de medias involucradas en la comparación, α es el nivel de significancia y f los grados de liberad del error. Se calculan R p = r α p,f S ȳ i. p = 2,3,..., Para el ejemplo de la carne empacada: p r p, R p

77 77 / 101 Duncan Comercial Al vacío CO,O2,N CO2 ȳ i Medias ordenadas: ȳ 4. = 3.36 ȳ 2. = 5.50 ȳ 3. = 7.26 ȳ 1. = 7.48 ȳ 4. ȳ 1. = 4.12 > R 4 ȳ 4. ȳ 3. = 3.90 > R 3 ȳ 4. ȳ 2. = 2.14 > R 2 ȳ 2. ȳ 1. = 1.98 > R 3 ȳ 2. ȳ 3. = 1.76 > R 2 ȳ 3. ȳ 1. = 0.22 < R 2 (N.S.)

78 78 / 101 Dunne Para comparar las medias de los raamienos con la media del raamieno conrol. Suponga que el raamieno es el conrol, queremos probar las hipóesis H 0 : µ i = µ H a : µ i µ i = 1,2,..., 1 H 0 : µ i = µ se rechaza si ȳ i. ȳ. > D = d α ( 1,glerror) CME con d α (k,ν) es el percenil 1 α de las ablas de Dunne. Para el ejemplo de la carne empacada, el raamieno 1 es el conrol. Comercial Al vacío CO,O2,N CO2 ȳ i r

79 79 / 101 Dunne d 0.05,3,8 = 2.42 ( ) CME D = 2.42 = r ȳ 2. ȳ 1. = 1.98 > D ȳ 3. ȳ 1. = 0.22 < D(N.S.) ȳ 4. ȳ 1. = 4.12 > D

80 80 / 101 Scheffé Scheffé (1953) propuso un méodo para probar odos los posibles conrases. Considere cualquier conrase C = con error esándar i=1 k i µ i esimado con Ĉ = S C = CME [ i=1 k 2 i n i ] i=1 k i ȳ i. La hipóesis nula pra el conrase H 0 : C = 0 se rechaza si C > S(α E ) donde S(α E ) = S C ( 1)F α E 1,g.l.error

81 81 / 101 Análisis de residuales Tenemos el modelo Suposiciones: errores normales independienes varianza consane y ij = µ i + ε ij ó y ij = µ + τ i + ε ij ε ij NID ( 0,σ 2) La prueba F del análisis de varianza es robusa a fala de normalidad.

82 82 / 101 Análisis de residuales Si los errores experimenales esán correlacionados, el error esándar esará mal esimado. La independencia se jusifica aleaorizando las u.e. a los raamienos en experimenos y seleccionando muesras aleaorias en esudios observacionales. Si no hay homogeneidad de varianzas el esimador de σ 2 es malo, aunque se ha viso en esudios que si el diseño es balanceado no efeca mucho. También si los amaños de muesra mayores corresponden a las poblaciones con mayor varianza.

83 83 / 101 Análisis de residuales, Normalidad Residuales e ij = y ij ŷ ij ŷ ij = µ + τ i = ˆµ i = ȳ i. e ij = y ij ȳ i. Hisograma (muesras grandes) gráfica en papel normal análisis de residuales esandarizados para deecar ouliers. Si ε ij N(0,σ 2 ) enonces ε ij 0 σ N(0,1). Sean d ij = e ij CME, esperamos que: 68% de los residuales esandarizados esén enre -1 y 1 95% esén enre -2 y 2 Virualmene odos esén enre -3 y 3.

84 Análisis de residuales, Homogeneidad de varianzas Prueba de Barle H 0 : σ1 2 = σ2 2 =... = σ 2 H a : no H 0 Esadísica de Prueba: [ donde U = 1 C (n )ln( ˆσ 2 ) (n i 1)ln( ˆσ i 2 ) i ˆσ 2 = i C = 1 + (n i 1) ˆσ i 2 n 1 3( 1) ( i ] ˆσ i 2 (y ij ȳ i. ) = 2 j n i 1 ) 1 n i 1 1 n H 0 se rechaza si U > χα, 1 2 (prueba sensible a fala de normalidad) 84 / 101

85 85 / 101 Análisis de residuales, Homogeneidad de varianzas Prueba de Levene Se calcula d ij = y ij ỹ i. i = 1,..., j = 1,...,n i donde ỹ i. es la mediana de las observaciones en el raamieno i. Se evalúa si el promedio de esas observaciones d ij es igual para odos los raamienos, es decir, se hace un ANOVA para probar igualdad de medias de d ij.

86 86 / 101 Prueba de Welch La prueba F usual es robusa ane heeroscedasicidad (varianzas diferenes) si los amaños de muesra son muy parecidos o, si los amaños de muesra más grandes corresponden a las poblaciones con varianzas más grandes. Sin embargo, se han consruído algunas procedimienos de prueba de igualdad de medias (H 0 : µ 1 = µ 2 =... = µ ) como por ejemplo el desarrollado por Welch, conocido como la prueba de Welch, uilizada cuando no hay homoscedasicidad. Sean W i = n i / ˆσ 2 i ȳ = i W i ȳ i. / i W i y donde W. = i W i. (1 W i /W. ) Λ = 2 i n i 1

87 87 / 101 Prueba de Welch Enonces F c = i W i (ȳ i. ȳ ) ( 2)Λ/( 2 1) iene aproximadamene una disribución F con ν 1 = 1 y ν 2 = ( 2 1)/3Λ grados de liberad. H 0 : µ 1 = µ 2 =... = µ se rechaza al nivel de significancia α si F c > F α ν 1,ν 2.

88 88 / 101 Transformaciones Se uilizan las ransformaciones para cambiar la escala de las observaciones para que se cumplan las suposiciones del modelo lineal y dar inferencias válidas del análisis de varianza. Cuando las ransformaciones son necesarias, se hace el análisis y se hacen las inferencias en la escala ransformada. 1. Disribución Poisson. Mediciones que son coneos (número de planas en ciera área, insecos en planas, accidenes por unidad de iempo) ienen disribución Poisson. La ransformación x = y + a, a R es la adecuada.

89 89 / 101 Transformaciones 2. Disribución binomial. Observaciones del número de éxios en n ensayos independienes iene disribución binomial (proporción de semillas germinadas, proporción de planas con flores en un ranseco). ˆπ = y/n La ransformación x = sin 1 ˆπ es la adecuada. Las ransformaciones del ipo poencia aleran la simería o asimería de las disribuciones de las observaciones. Si suponemos que la desviación esándar de y es proporcional a alguna poencia de la media, es decir, σ y µ β Una ransformación de las observaciones, del esilo: x = y p

90 Transformaciones Da una relación σ x µ p+β 1 Si p = 1 β enonces la desviación esándar de la variable ransformada x será consane, ya que p + β 1 = 0 y σ x µ 0. La ransformación de Box-Cox x = (y p 1)/p p 1 x = log e y p = 1 El esimador de p se encuenra maximizando L(p) = 1 2 log e [CME(p)] donde CME(p) es el cuadrado medio del error del análisis de varianza usando la ransformación x = (y p 1)/p para el valor dado p. 90 / 101

91 91 / 101 Transformaciones Se deermina CME(p) para un conjuno de valores de p, se grafica CME(p) vs. p y se oma el valor de p que corresponde al valor mínimo de CME(p). JMP calcula la ransformación de Box-Cox, da una gráfica de p vs. CME y da la opción de guardar los daos ransformados en el archivo. La dificulad de uilizar esa ransformación es la inerpreación.

92 92 / 101 Ejemplo Los siguienes daos son el número de errores en un examen de sujeos bajo la influencia de dos drogas. El grupo 1 es un grupo conrol (sin droga), a los sujeos del grupo 2 se les dió la droga 1, a los del grupo 3 la droga 2 y a los del grupo 4 las dos drogas. Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3 Grupo 4 (sin droga) (droga 1) (droga 2) (dos drogas)

93 93 / 101 Ejemplo Correr el ejemplo con R y JMP. 1 Probar homogeneidad de varianzas. (Barle y Levene) 2 Hacer prueba de Welch 3 Probar con algunas ransformaciones, checando normalidad y homogeneidad de varianzas ej2 1 messy.jmp ej2 1 messy.x

94 94 / 101 Relación enre Regresión y ANOVA Cualquier modelo de ANOVA se puede escribir como un modelo de regresión lineal. Suponga el ejemplo de la carne empacada raamieno comercial vacío mezcla CO Un diseño compleamene al azar con un solo facor (méodo de empacado) con 4 niveles (4 raamienos) y 3 repeiciones en cada raamieno (diseño balanceado).

95 95 / 101 Relación enre Regresión y ANOVA Modelo ANOVA compleamene al azar un solo facor balanceado: y ij = µ i + ε ij = µ + τ i + ε ij { i = 1,2,3,4 j = 1,2,3 El modelo de regresión equivalene es: y ij = β 0 + β 1 x 1j + β 2 x 2j + β 3 x 3j + ε ij { i = 1,2,3,4 j = 1,2,3

96 96 / 101 Relación enre Regresión y ANOVA Donde las variables x 1j,x 2j,x 3j esán definidas como: { 1 si la observación j es del raamieno 1 x 1j = 0 en oro caso { 1 si la observación j es del raamieno 2 x 2j = 0 en oro caso { 1 si la observación j es del raamieno 3 x 3j = 0 en oro caso

97 Relación enre Regresión y ANOVA La relación enre los parámeros del modelo ANOVA y el modelo de regresión es: Si la observación viene del raamieno 1, enonces x 1j = 1,x 2j = 0,x 3j = 0 y el modelo de regresión es y 1j = β 0 + β 1 (1) + β 2 (0) + β 3 (0) + ε 1j = β 0 + β 1 + ε 1j y el modelo ANOVA es: Por lo ano: y 1j = µ 1 + ε 1j = µ + τ 1 + ε 1j β 0 + β 1 = µ 1 = µ + τ 1 97 / 101

98 Relación enre Regresión y ANOVA Similarmene, para las observaciones del raamieno 2 y 2j = β 0 + β 1 (0) + β 2 (1) + β 3 (0) + ε 2j = β 0 + β 2 + ε 2j y la relación enre los parámeros es: β o + β 2 = µ 2 = µ + τ 2 Lo mismo para las observaciones del raamieno 3 y 3j = β 0 + β 1 (0) + β 2 (0) + β 3 (1) + ε 3j = β 0 + β 3 + ε 3j y la relación enre los parámeros es: β o + β 3 = µ 3 = µ + τ 3 98 / 101

99 Relación enre Regresión y ANOVA Finalmene, considere las observaciones del raamieno 4, para las cuales el modelo de regresión es: y 4j = β 0 + β 1 (0) + β 2 (0) + β 3 (0) + ε 4j = β 0 + ε 4j enonces β 0 = µ 4 = µ + τ 4 Por lo ano, β 0 = µ 4 β 1 = µ 1 µ 4 β 2 = µ 2 µ 4 β 3 = µ 3 µ 4 99 / 101

100 100 / 101 Relación enre Regresión y ANOVA Enonces, para probar la hipóesis H 0 : µ 1 = µ 2 = µ 3 = µ 4 endríamos que probar H 0 : β 1 = β 2 = β 3 = 0, lo cual se puede hacer con cualquier paquee de cómpuo esadísico. Para el ejemplo de la carne empacada: raamieno y x 1 x 2 x

101 101 / 101 Relación enre Regresión y ANOVA Si pedimos una regresión y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + β 3 x 3 + ε y pedimos una abla de análisis de varianza del modelo y ij = µ + τ i + ε ij las dos ablas ANOVA son idénicas.