Álgebra Universal. Capítulo 1

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1 Capítulo 1 Álgebra Universal Problema 1 Demuestra que un conjunto G provisto de una operación asociativa (denotada por yuxtaposición) que satisface: Existe e G tal que ex = x para todo x G, y para cada x g existe un único x G tal que x x = e, es necesariamente un grupo. Sol. Observemos en primer lugar que (ab) = b a. Por otra parte xa = xb implica a = b. Por lo tanto la ley de simplificación a izquierda se satisface en G. Ahora bien, si tenemos una igualdad ax = bx se tiene también x a = x b lo que implica a = b. Por otro lado como e = ee = e e se tiene e = e. Dado que e = e e, como e = e se tiene e = e e = (ee) = e. Hemos demostrado arriba que la igualdad ax = bx implica a = b. Veamos ahora que también implica a = b. En efecto, si a = b, de la igualdad a aa = ea = a se deduce b aa = a = ea lo que implica e = (b a) = a b y como también e = a a se tiene la igualdad a b = a a lo que implica a = b. De modo análogo b = a y entonces a = b = a = b. Ya tenemos las leyes de simplificación por dos lados. Ahora bien, como x e = x se tiene que a aa = ea = a = a e y simplificando aa = e. Como consecuencia a = a para todo a y este hecho junto con x e = x (para todo x), implica que e es elemento neutro cuando multiplica por la derecha. Problema 2 Demuéstrese que la siguiente definición de operación derivada inducida por un término es equivalente a la dada en el capítulo I: si t F Ω (X n ) y a 1,..., a n son elementos de una Ω-álgebra A, entonces t A (a 1,..., a n ) = f(t) donde f : F Ω (X n ) A es el único morfismo que extiende a f : X n A dada por f(x i ) = a i para i = 1,..., n. Sol. Si t = x i es un elemento de X n, entonces t A (a 1,..., a n ) = a i = f(x i ) = f(x i ) = f(t). Supongamos ahora que t = ωt 1 t p es un elemento que no es una variable, y ω tiene aridad p. Entonces t A (a 1,..., a n ) = ω A ((t 1 ) A,..., (t p ) A )(a 1,..., a n ) = ω A (, (t i ) A (a 1,..., a n ), ) = = ω A (, f(t i ), ) = f(ωt 1 t p ) = f(t). Problema 3 Para algún tipo fijado Ω, sean s, t y u Ω términos y x i, x j variables distintas. Se denota por s[t, u/x i, x j ] al término obtenido de s por la sustitución simultánea en s de x i por t y de x j por u. Demuéstrese que s[t, u/x i, x j ] no coincide, en general, con s[t/x i ][u/x j ], pero sí con s[t[x n /x j ]/x i ][u/x j ][x j /x n ], donde n es lo suficientemente grande como para que la variable x n no figure ni en s ni en t ni en u. 1

2 2 CAPÍTULO 1. ÁLGEBRA UNIVERSAL Sol. Sea s un Ω-término y x 1,..., x n variables distintas. Sean t 1,..., t n términos cualesquiera. Entonces denotaremos por s[t 1,..., t n /x 1,..., x n ] al término obtenido por la sustitución simultánea en s de cada x i por t i. Para formalizar esta definición consideremos el conjunto de variables X conteniendo a {x 1,..., x n } y la aplicación f : X F Ω (X) tal que f(x i ) = t i para i = 1,..., n. Sea entonces f : F Ω (X) F Ω (X) el único homomorfismo de Ω-álgebras tal que f(x i ) = t i. Entonces definimos s[t 1,..., t n /x 1,..., x n ] := f(s). En consecuencia s[t, u/x i, x j ] = f 1 (s) donde f 1 (x i ) = t, f 1 (x j ) = u y f 1 (x k ) = x k para todo k i, j. El hecho de que en general no se tiene s[t, u/x i, x j ] = s[t/x i ][u/x j ] se pone de manifiesto tomando el tipo Ω = {b} una operación binaria y X un conjunto con al menos dos variables. Tomemos dos variables distintas x i y x j y definamos s = bx i x j, t = bx i x j y u = x i. Entonces s[t, u/x i, x j ] = bbx i x j x i mientras que s[t/x i ][u/x j ] = (bbx i x j x j )[u/x j ] = bbx i x i x i. Ahora queremos demostrar s[t, u/x i, x j ] = s[t[x n /x j ]/x i ][u/x j ][x j /x n ]. Sea α : X F Ω (X) la aplicación tal que α(x i ) = t[x n /x j ] y α(x j ) = x j para j i. Sea β : X F Ω (X) tal que β(x j ) = u y β(x k ) = x k para k j. Sea por último γ : X F Ω (X) tal que γ(x n ) = x j y γ(x p ) = x p para todo p j. Entonces s[t[x n /x j ]/x i ][u/x j ][x j /x n ] = γ( β(ᾱ(s))) pero γβα = f 1 ya que γβα(x i ) = γβ(t[x n /x j ]) = γ(t[x n /x j ]) = t = f 1 (x i ), por otra parte γβα(x j ) = γβ(x j ) = γ(u) = u = f 1 (x j ) y para k i, j se tiene γβα(x k ) = γβ(x k ) = γ(x k ) = x k. En consecuencia γ βᾱ = f 1 lo que resuelve el problema. Problema 4 Sea T una teoría algebraica. Pruébese que el conjunto unitario {0} tiene una única T estructura, así como que el conjunto vacío posee una T estructura si y solo si T no contiene operaciones 0 arias. Sol. El conjunto {0} tiene una única T -estructura, ya que para cada natural n existe una única aplicación {0} n {0} dada trivialmente por (0,..., 0) 0. Por otra parte si T no tiene operaciones 0-arias, para cualquier natural n 1 existe una (única) aplicación : n ya que para n 1 se tiene n =. Para n = 0 se tiene 0 = { } y no existe ninguna aplicación { }. Problema 5 Sean Ω = {m, i, ē} un tipo operacional con α(m) = 2, α(i) = 1, α(ē) = 1 y E el conjunto constituido por las cuatro identidades: i) (m x m y z = m m x y z), ii) (ē x = ē y), iii) (m ē x x = x) y iv) (m i x x = ē x). Demuéstrese que cada grupo es, de forma natural, un (Ω, E) modelo. Es cierto el recíproco? Sol. Si G es un grupo con producto (x, y) xy se demuestra que es un Ω-modelo definiendo m G como el producto del grupo, i G como la aplicación que a cada x G le asocia su inverso para el producto del grupo, y ē G como la aplicación x e donde e es el elemento neutro del grupo. Veamos el recíproco: si G es el conjunto vacío entonces por el problema anterior se tiene que G es un Ω-modelo ya que el tipo Ω no tiene operaciones 0-árias. Evidentemente el conjunto vacío no es un grupo. Pero todos los demás Ω-modelos distintos del conjunto vacío son grupos aplicando lo demostrado en el problema 1. Problema 6 Sea Ω el tipo operacional de un grupo. De un Ω término t se dirá que es reducido si consta del único símbolo e, o bien obedece al patrón mm... mw, donde w es una cadena de símbolos compuesta solo por variables y la operación i, la cual no contiene subcadenas de la forma ii, ixx o xix, y esta última posibilidad no aparece excepto como parte de la subcadena ixix. i) Descríbase un algoritmo capaz de tomar un término cualquiera t y, a partir de él, producir un término reducido t tal que (t = t) sea una identidad derivada de la teoría de grupos.

3 3 ii) Pruébese que el conjunto R(X) de todos los términos reducidos en las variables X es un grupo que contiene a X como subconjunto. Considerando el morfismo inducido de F (Ω,E) (X) a R(X), cuya existencia queda asegurada por la propiedad universal del teorema 1.4, demuéstrese que si s y t son términos reducidos tales que (s = t) es una identidad derivada, entonces s y t coinciden. iii) Úsense los apartados anteriores para resolver el problema de las palabras en la teoría de grupos. Sol. La descripción del algoritmo queda como ejercicio para el lector. Sea f : F (Ω,E) (X) R(X) el morfismo de álgebras dado por la propiedad universal del álgebra F (Ω,E) (X). Tomemos dos términos reducidos s, t R(X) tales que s = t es una identidad derivada. Al ser términos reducidos son puntos fijos de f y como s = t es una identidad derivada, entonces f(s) = f(t). Pero siendo s y t puntos fijos de f concluimos que s = t. Problema 7 Sea T una teoría algebraica que contiene una operación ternaria p (posiblemente derivada) para la cual ( ) (p x y y = x) y (p x x y = y) son identidades (bien primitivas, bien derivadas) de T. Supóngase que A es un T modelo tal que cierto subconjunto R de A A es un submodelo que contiene a la diagonal {(a, a) : a A}. (Utilícense las definiciones previsibles de modelo producto y submodelo.) El conjunto R puede ser visto como un relación binaria en A que satisface la propiedad reflexiva. i) Pruébese que R es también simétrica y transitiva. ii) Recíprocamente, si T es una teoría algebraica con la propiedad de que cada submodelo reflexivo del cuadrado de un T modelo es también simétrico, demuéstrese que T contiene alguna operación ternaria p, primitiva o inducida, que satisface las identidades (*). Indicación: con F el T modelo libre engendrado por {x, y}, considérese el submodelo R de F F engendrado por {(x, x), (x, y), (y, y)}. iii) Dese un ejemplo de una operación p verificando (*) cuando T es la teoría de grupos, pero razónese por qué no hay tal operación en la teoría de los semigrupos. Se recuerda que la teoría de los semigrupos se obtiene de la de los grupos borrando la operación i y la identidad primitiva en la que está involucrada. Sol. i) Veamos la propiedad simétrica: si (a, b) R entonces p(b, b)(a, b)(a, a) R pero p(b, b)(a, b)(a, a) = (pbaa, pbba) = (b, a) luego (b, a) R. Para demostrar la propiedad transitiva supondremos (a, b), (b, c) R. Entonces p(a, b)(b, b)(b, c) R pero p(a, b)(b, b)(b, c) = (pabb, pbbc) = (a, c), por lo tanto (a, c) R. ii) Sea T = (Ω, E) la teoría algebraica en cuestión. Sea R el T -submodelo de F F generado por los elementos (x, x), (x, y) y (y, y). Como R es un T -modelo transitivo por hipótesis debe ser entonces simétrico. Por lo tanto (y, x) R lo que quiere decir que existe ω R tal que (y, x) = ω R (a 1, b 1 ) (a n, b n ) siendo n la aridad de ω, y (a i, b i ) siendo algunos de los elementos (x, x), (x, y), o (y, y). Supongamos que (a i, b i ) = (x, x) para i = i 1,..., i p, que (a i, b i ) = (x, y) para i = j 1,..., j q, y (a i, b i ) = (y, y) para i = k 1,... k r. Consideremos entonces la operación derivada pabc = ωx 1 x n donde Se deja al lector demostrar que pxyy = x y pxxy = y. iii) Para el último apartado basta con exhibir una semigrupo S provisto de una relación binaria reflexiva pero no simétrica. Por ejemplo podríamos mencionar el conjunto de los naturales con la relación de orden habitual. Problema 8 Considérense 2 = {0, 1}, con su estructura habitual de álgebra de Boole, y n un número natural. Pruébese que cada función ω : 2 n 2 es (la interpretación) de una operación derivada de la teoría de las álgebras de Boole. Indicación: procédase por inducción sobre n. Dedúzcase de lo anterior que el álgebra de Boole libre engendrada por n variables consta de 2 2n elementos.

4 4 CAPÍTULO 1. ÁLGEBRA UNIVERSAL Sol. Para n = 1 tenemos una función ω : 2 2 y el lector puede ver sin dificultad que cualquiera de las cuatro posibilidades es la interpretación de una operación derivada de la teoría de álgebras de Boole. Supongamos entonces n > 1 y que el resultado es cierto para cualquier aplicación 2 k 2 con k < n y sea ω : 2 n 2. Entonces se demuestra que ω es la interpretación de una operación derivada teniendo en cuenta la igualdad ω(x 1,..., x n ) = (1 + x 1 )ω(0, x 2,..., x n ) + x 1 ω(1, x 2,..., x n ), y aplicando la hipótesis inductiva a las funciones 2 n 1 2 tales que (a 1,..., a n 1 ) ω(0, a 1,..., a n1 ) (a 1,..., a n 1 ) ω(1, a 1,..., a n1 ). Para la última parte del problema téngase en cuenta que el cardinal del conjunto de todas las aplicaciones 2 n 2 es exactamente 2 2n. Problema 9 En la teoría B de las álgebras de Boole, sea la operación binaria derivada de B definida mediante (x y) = (x y). Pruébese que la subteoría B 0 de B engendrada por, es decir, el conjunto de todas las operaciones derivadas de, contiene a todas las operaciones de B salvo a las 0 arias y. Con mayor generalidad, demuéstrese que una única operación no puede generar a todo B. Sol. Para la primera parte del problema téngase en cuenta que x = x x, x y = (x y), x y = ( x y), x y = x y. Una operación de aridad 0 o 1 no puede generar toda la teoría obviamente. Si consideramos una operación ω de aridad mayor o igual a dos, el conjunto de operaciones derivadas de ω no incluiría a las operaciones de aridad 0. Problemas propuestos Problema 1 Sea G un conjunto con una operación binaria (denotada por yuxtaposición), una aplicación i : G G y un elemento e G tal que: (1) La operaciíon binaria es asociativa, (2) ex = x para cada x G, (3) i(x)x = e para cada x G. Demuéstrese que G es un grupo. Sugerencia: partiendo de i(x)x = e multiplíquese por i(x) a la derecha y por i(i(x)) a la izquierda. Se obtendrá tras un poco de cálculo que xi(x) = e. Después xe = xi(x)x =. Problema 2 Demuéstrese que dado un tipo operacional Ω, se puede construir una categoría C cuyos objetos son las Ω-estructuras y cuyos morfismo son los homomorfismos de Ω-estructuras. Fijado un conjunto X definamos ahora la categoría C X cuyos objetos son las parejas (f, A) donde A es una Ω-estructura y f : X A una aplicación. Para dos objetos O 1 = (f, A) y O 2 = (g, B) de C X definimos hom C X (O 1, O 2 ) como el conjunto de todos los morfismos de Ω-estructuras θ : A B tales que θf = g. Sea i : X F Ω (X) la inclusión canónica, demuéstrese que (i, F Ω (X)) es un objeto inicial de C X (un objeto U de una categoría es inicial cuando para cualquier otro objeto V de la misma, solo existe una morfismo de U a V ). Problema 3 Dada una teoría algebraica T = (Ω, E), constrúyase una categoría D cuyos objetos sean los modelos de T (también llamados T -álgebras) definiendo adecuadamente la noción de morfismo de T -álgebras. Para un conjunto fijado X Defínase la categoría D X análogamente a como se hizo en el ejercicio anterior. Probar que F (Ω,E) (X) se puede interpretar como formando parte de un objeto inicial de la categoría D X.

5 5 Problema 4 Demuéstrese que dos objetos iniciales de una categoría son necesariamente isomorfos. Conclúyase que las álgebras universales F Ω (X) y F (Ω,E) (X) son únicas salvo isomorfismo. Problema 5 1. Sea Ω = {e, m} un tipo en el que e es de aridad 0 y m de aridad 2.Supongamos que E está formado por las ecuaciones mex = x y mxe = x. Consideremos un conjunto A que es modelo para dos (Ω, E) estructuras {e i, m i } (i = 1, 2) tales que las operaciones de la segunda estructura son Ω-homomorfismos 1 A y A A A para la primera. Demuéstrese que A satisface las ecuaciones e 1 = e 2 y m 1 m 2 xzm 2 yt = m 2 m 1 xym 1 zt. Deducir que m 1 = m 2 y que m 1 es asociativa y conmutativa. 2. Pídale a un topólogo algebraico que le explique qué tiene lo anterior que ver con el hecho de que el grupo fundamental de un grupo topológico sea abeliano. Sugerencia. El hecho de que las operaciones de la segunda Ω-estructura sean homomorfismos para las de la primera hay que interpretarlo como la conmutatividad de los siguientes diagramas (A A) (A A) A A m 2 A m2 A A A m 1 A A m 1 A A m 2 A e 2 A e2 A A A Hay que tener en cuenta que m 2 A : A2 A solo puede homomorfismo de la Ω-álgebra A 2 a la Ω-álgebra A y análogamente para e 2 A. Para la segunda parte del problema es mejor consultar la referencia [2, p ]. Problema 6 Sea T = (Ω, E) una teoría algebraica tal que el tipo operacional Ω contiene una operación de aridad dos s, otra de orden uno o y otra de orden cero e, tal que E contiene igualdades que nos dicen que: s es conmutativa, posee elemento neutro dado por la operación e y sxoy = soyx = e para x, y X. toda operación w Ω es distributiva respecto a s, es decir E contiene las ecuaciones ωx 1 x i 1 sabx i+1 x n = sωx 1 x i 1 ax i+1 x n ωx 1 x i 1 bx i+1 x n, para a, b, x i X y todo i. Estúdiese entonces la posibilidad de dar una noción de ideal para los modelos de T que permita la construcción de cocientes en dichos modelos. Definir núcleos e imágenes para homomorfismos de T -álgebras y estudiar los teoremas de isomorfía clásicos en el contexto de estas estructuras. Problema 7 Construir el anillo Z[x] mediante un álgebra universal del tipo F (Ω,E) (X). Problema 8 Sea Ω el tipo operacional de la teoría de anillos, es decir, Ω = {m, s, o, 0, 1} donde m y s son de aridad 2 y representan la multiplicación y suma del anillo respectivamente, o es de aridad uno y representa la operación de tomar opuestos, y 0 y 1 son de aridad cero y representan a los elementos neutros de s y m respectivamente. Sea E el conjunto de identidades que se usa para definir el concepto de anillo y consideremos la teoría algebraica R = (Ω, E) de anillos. Sea X = {x, y} un conjunto de cardinal dos y consideremos el ideal I de A := F (Ω,E) (X) generado por smxx1, smyy1, smxymyx. Sea Q := A/I el anillo cociente. Usando una notación estandar en la que s se representa por + y m por la yuxtaposición, demuéstrese que cada clase de equivalencia de Q tiene un representante de la forma n n 2 x + n 3 y + n 4 z donde cada n i es un entero y z := xy. Si denotamos por 1 la clase de equivalencia de 1, por i la de x, por j la de y, y por k la de z, demuéstrese que i 2 = j 2 = ijk = m 1 A A e 2 A.

6 6 CAPÍTULO 1. ÁLGEBRA UNIVERSAL

7 Capítulo 2 Cálculo proposicional Problema 10 Cuáles de las siguientes expresiones compuestas son tautologías? i) (((p q) p) p) ii) (((p q) p) q) iii) (p ( p q)) iv) (((p q) r) q) v) (((p q) (r s)) ((p r) (q s))) vi) (((p q) (r s)) ((p r) (q s))) Sol. Escríbanse las tablas de veracidad de las diferentes proposiciones. Problema 11 Escríbase una deducción del teorema ( q) y complétese a otra del teorema ( p (p q)). Sol. Sea a la proposición a = ( q q) que como se puede observar es el tercer axioma de nuestra axiomática del cálculo de proposiciones. Entonces: «1. ( a) q) ( q) Axioma 2. a Axioma 3. a ( a) Axioma 4. a «Modus Ponens 2,3 5. q) ( q) Modus Ponens 1,4 6. q Axioma 1 7. q Modus Ponens 5,6. Vamos ahora a completar a una demostración formal de que p (p q)). Para simplificar algo la escritura definamos la proposición b = [( q) ( p ( q) ) ] que es una forma del axioma x (y x). 8. ( q) (p ) ( q) Axioma 9. q (p ) ( q) Modus Ponens 8,9 11. b (p ) b Axioma 12. b Axioma 13. (p ) b Modus Ponens 11,12» 14. (p ) b [(p ) ( q)] [(p F ) (p ( q))] 15. [(p ) ( q)] [(p F ) (p ( q))] M.P. 13, (p F ) (p ( q)) M.P. 10,15. 7

8 8 CAPÍTULO 2. CÁLCULO PROPOSICIONAL Consideremos ahora la proposición c = ( p ( q)] ((p ) (p q)) ) que es una forma del segundo axioma. Si escribimos c 1 = (p ( q)) y c 2 = ((p ) (p q)), tenemos c = (c 1 c 2 ). Entonces Entonces: 17. c Ax. 18. c ((p ) c) Ax. 19. (p ) c M.P. 17, (p ) (c 1 c 2) pues c = (c 1 c 2) 21. (p ) c 1 (p ) c 2 Por 20 y Ax. II 22. (p ) c 2 M.P. 21, (p ) ((p ) (p q)) Sust. c (p ) (p ) (p ) (p q) Por 23 y Ax.II 25. (p ) (p ) Visto en clase 26 (p ) (p q) c.q.d. En clase se ha demostrado p p pero por si hay alguna duda lo repetimos aquí: 1. p (p p) p Ax 2. [p (p p)] (p p) Por 1 y Ax.II 3. p (p p) Ax 4. p p M.P. 2,3. Problema 12 Úsese el teorema de deducción para demostrar que el recíproco del axioma (c), es decir, (p p), es un teorema del cálculo de proposiciones. Sol. Hagamos primero una demostración directa: 1. p [(p ) p] 2. (p ) (p ) 3. ((p ) p) ((p ) ) si hacemos a = ((p ) p) ((p ) ), entonces 4. a (p a) 5. p a 6. [p ((p ) p)] [p ((p ) )]. 7. p ((p ) ) 8. p p Ahora, usando el Teorema de Deducción la cosa es más sencilla. Según el mencionado teorema p p es equivalente a {p} p, o lo que es lo mismo {p} ( (p ) ). De nuevo aplicado el teorema, esto será equivalente a {p, p }. Ahora bien, una demostración formal de esto último es: 1. p Premisa 2. p Premisa 3. Modus Ponens 1,2. Problema 13 Pruébese que (p q) = ((p (q ) ) y escríbase una deducción de (p q) a partir de las premisas {p, q}. Indicación: será necesario recurrir repetidas veces al mecanismo de la demostración del teorema 2.4. Sol. Se define p q := p q y p q := ( p q). Entonces p q = (p q) = (p (q )).

9 9 Vemos entonces que {p, q} (p (q )). 1. p x p para todo x 2. p Premisa 3. x p Para todo x 4. p (q ) p Caso particular 5. [(p (q )) (p (q ))] [(p (q )) p] [(p (q )) (q )] Ax 6. (p (q )) (q ) M.P. 7. (p (q )) (p (q )) x x 8. [(p (q )) p] [(p (q )) (q )] 9. (p (q )) (q ) 10. premisa (p (q )) premisa Ax 11. (p (q )) premisa 12. (p (q )) q Caso particular 13. [(p (q )) (q )] [(p (q )) q] [(p (q )) ] Ax 14. [(p (q )) q] [(p (q )) ] M.P. 9, (p (q )) ] M.P. 12, 14 Problema 14 Sea T el conjunto de las proposiciones compuestas de un conjunto de proposiciones primitivas P. i) Si {C i } i I es una familia de subconjuntos consistentes de T totalmente ordenada por la inclusión, pruébese que i I C i es un conjunto consistente. ii) Recurriendo al lema de Zorn, dedúzcase que cada subconjunto consistente S de T está contenido en un subconjunto consistente maximal. iii) Demuéstrese el lema 2.5 sin utilizar el lema de Zorn y cuando el conjunto de primitivas P es numerable. Sol. Recordemos que un conjunto de proposiciones S no es consistente cuando S. Sea C = i C i, si C no fuera consistente entonces C pero aplicando el Teorema de complitud se tendría C y por el Teorema de compacidad existe un subconjunto finito C de C tal que C. Aplicando de nuevo el Teorema de complitud se tendría C. Pero C C = i C i y siendo C finito y la familia {C i } i totalmente ordenada, debe existir un i I tal que C C i. Ahora bien C implica que C i lo que contradice la suposición de que todos los C i son consistentes. Veamos ahora que casa subconjunto consistente de T está contenido en uno consistente maximal. Sea F el conjunto formado por todos los conjuntos consistentes que contienen a uno dado S. Aplicando el Lema de Zorn bastará demostrar que F, ordenado por inclusión, es un conjunto inductivo (lo cual por definición quiere decir que toda cadena de F posee una mayorante en F). Pero esto es precisamente lo que se ha demostrado en el apartado anterior. Por lo tanto F es inductivo y esto fuerza la existencia de un elemento maximal en F. Por últimos demostremos el Lema 2.5 sin para el caso en que el conjunto P de primitivas es numerable. Partimos de un conjunto de proposiciones S tal que S y queremos ver que S. Supongamos que S es consistente, entonces tenemos que demostrar que existe una valoración v de P tal que v(t) = 1 para todo t S. Al igual que en la demostración ya vista del lema, se tiene que para cada t o bien S {t} es consistente o bien lo es S { t}. Por lo tanto enumeramos las proposiciones compuestas que se puedan construir a partir de P (la numerabilidad de P implica la del conjunto de todas las proposiciones compuestas construibles a partir de P ). Supongamos por lo tanto que las proposiciones compuestas construibles a partir de P son t 1,..., t i,.... Ampliemos entonces el conjunto S de la forma siguiente: si S {t 1 } en consistente entonces S 1 := S {t 1 } en caso contrario S 1 := S { t 1 }. Ahora inductivamente definimos si S i 1 {t i } es consistente, S i := S i 1 {t i } y en caso contrario S i := S i 1 { t i }. Finalmente S = i S i es consistente (igual que en la demostración del lema). Construimos entonces v : T {0, 1} tal que v es identicamente 1 sobre

10 10 CAPÍTULO 2. CÁLCULO PROPOSICIONAL S y 0 fuera de S. Se demuestra que v es un {, }-homomorfismo de la misma forma que en la demostración del lema. Problema 15 Sea T un conjunto de proposiciones compuestas en un conjunto de proposiciones primitivas P. Para cada t T se define U(t) = {v V : v(t) = 1}, donde V es el conjunto de todas las valoraciones de P en 2. i) Demuéstrese que {U(t)} t T es base de una topología en V, o, con mayor concreción, que para cualesquiera t 1, t 2 T se tiene U(t 1 ) U(t 2 ) = U(t 1 t 2 ). ii) Si S T, pruébese que S = si y solo si {U( t)} t S es un recubrimiento abierto de V. iii) Dedúzcase la equivalencia entre el teorema de compacidad y la afirmación de que el espacio V es compacto. Sol. Para el primer apartado téngase en cuenta que para toda valoración v : P {0, 1} se tiene v(t 1 t 2 ) = v(t 1 ) v(t 2 ) para cualesquiera t 1, t 2 T. Entonces v U(t 1 ) U(t 2 ), si y sólo si v(t 1 ) = v(t 2 ) = 1 lo cual es equivalente a v(t 1 t 2 ) = 1, o lo que es lo mismo v U(t 1 t 2 ). Para el segundo apartado supongamos primero que S. Tenemos que demostrar que V t S U( t). Sea pues v V, es decir una aplicación v : P {0, 1}. Como S, debe existir algun t S tal que v(t) = 0. Entonces v( t) = 1 y por lo tanto v U( t). Recíprocamente si V t S U( t) toda aplicación P {0, 1} está en algún U( t) con t S, pero esto quiere decir que la valoración se anula en t. Para el tercer apartado hay que notar primero, que un espacio topológico con una base B, es compacto si y sólo si para cualquier recubrimiento del espacio por abierto de B, existe un subrecubrimiento finito. Veamos entonces la equivalencia de las siguientes afirmaciones: 1. Si S t existe un subconjunto finito S S tal que S t (T. de compacidad). 2. V es compacto Si V i I U(t i ) para un cierto conjunto de índices I tal que t i T, entonces definamos S := { t i : i I}. Se comprueba que S ya que toda valoración v pertence a algún U(t i ) y por lo tanto se anula sobre el elemento t i S. Aplicando 1. se tiene la existencia de S S con S finito tal que S. Si S = { t i1,..., t ik }, entonces aplicando lo demostrado en el segundo apartado se tiene que V U(t i1 ) U(t ik ) Si S t entonces V s S U( s) U( t) y aplicando la hipótesis de compacidad de V se tiene V U( t 1 ) U( t k ) U( t) para cierto subconjunto finito S := {t 1,..., t k } de S. Por lo tanto S { t} y a partir de esto se tiene S ( t ) de donde S t. Problemas propuestos Problema 9 Compruébese que las proposiciones p (q p), [p (q r)] [(p q) (p r)], y p p, son tautologías. Problema 10 En el conjunto 2 = {0, 1} se definen las operaciones a = 1 a, a b := mín(a, b), a b = máx(a, b) y a b := 0 si y sólo si a = 1 y b = 0. Escríbanse estas operaciones en términos de la multiplicación que dota a 2 de estructura de cuerpo (isomorfo al de los enteros módulo dos).

11 11 Problema 11 Demuestrese que {p, q p} q para cualesquiera proposiciones p y q. Problema 12 Sea P (X) el álgebra de las proposiciones construidad sobre el conjunto de variables X. Para cada subconjunto A P (X) definamos Demuéstrese que: 1. A Con(A) para todo A. Con(A) := {p P (X): A p}. 2. A 1 A 2 Con(A 1 ) Con(A 2 ) para cualesquiera A 1 y A Con(Con(A)) = Con(A), para todo A. Problema 13 Encuéntrese una demostración de p r a partir del conjunto de premisas {p q, q r}. Problema 14 Sea P (X) el álgebra de proposiciones sobre el conjunto de variables X. Consideremos la inclusión canónica i X : X P (X). Demuéstrese que si φ : X Y es una aplicación, entonces existe un único homomorfismo de álgebras φ: P (X) P (Y ) que hace conmutativo el diagrama i X X P (X) φ i Y φ P (Y ) Sea A P (X) y ω P (X). Demuéstrese que 1. A ω implica φ(a) φ(ω). 2. A ω implica φ(a) φ(ω). Problema 15 Definamos para cada A P (X) (notaciones como en el problema anterior). Sea A el conjunto de axiomas del cálculo proposicional, es decir, el conjunto de todas las proposiciones que aparecen en el Problema 9. Definamos Ded(A) := {p P (X): A p}. Demuéstrese que Ded(A) es el menor subconjunto D de P (X) tal que D A A y tal que si p y p q son elementos de D, entonces también q D.

12 12 CAPÍTULO 2. CÁLCULO PROPOSICIONAL

13 Capítulo 3 Teorías de primer orden En este capítulo usaremos eventualmente la notación f n para denotar una operación f n Ω de aridad n en un tipo operacional Ω de un lenguaje de primer orden L = (Ω, Π). También usaremos la notación A m para denotar un predicado A m Π de aridad m. Problema 16 Cuáles de las siguientes son fórmulas de un lenguaje L = (Ω, Π) de primer orden? 1. A 2 (f 1 (x), x), A 2 Π, f 1 Ω. 2. f 3 (x, y, z), f 3 Ω. 3. A 1 (x 2 ) A 1 (x 1, x 2 ), A 1 Π. 4. ( x 2 )A 2 (x 1, x 2 ), A 2 Π. 5. (( x 2 )A 1 (x 1 )) A 1 (x 2 ), A 1 Π. 6. A 3 (f 3 (x, y, z)), f 3 Ω, A 3 Π. 7. A 1 (x 1 ) A 1 (x 2 ), A 1 Π. 8. ( x 1 )A 3 (a 1, a 2, f 1 (a 3 )), A 3 Π, f 1 Ω. Sol. No son fórmulas la tercera ni la sexta por un problema de incompatibilidad de aridades. Problema 17 Sea L el lenguaje de primer orden con Ω = (f 2, a 1 ) donde f 2 es de aridad dos, a 1 es una constante y Π = {A 2 } donde el predicado A 2 es de aridad dos. Consideremos la fórmula A = ( x 1 )( x 2 )[A 2 (f 2 (x 1, x 2 ), a 1 ) A 2 (x 1, x 2 )]. Sea I la interpretación I = Z con f 2 I (n, m) := n m, (a 1) I = 0, A 2 I (n, m) := (n < m). Es A I verdadera?. Búsquese una interpretación J tal que A J resulte ser falsa. Sol. La interpretación de A en I es el subconjunto [A] I (2) formado por las parejas (n, m) Z Z tales que n m < 0 implique n < m. Obviamente [A] I (2) = Z Z por lo que la A es verdadera en la interpretación I. Una interpretación en la que A resulte ser falsa puede ser por ejemplo J = Z con (a 1 ) J = 0, A 2 J (n, m) := (n < m) y f 2 (n, m) = nm. Problema 18 Existe una interpretación para un lenguaje de primer orden L tal que la siguiente fórmula ( ) ( x 1 ) A 1 (x 1 ) A 1 (f 1 (x 1 )), se interprete comno un enunciado falso? 13

14 14 CAPÍTULO 3. TEORÍAS DE PRIMER ORDEN Sol. Por ejemplo I = Z con A 1 I (n) := (n < 0) y f 1 I (n) := n2 para cada entero n. Problema 19 Sea p una fórmula con V L(p) = {x}. Calcular el enunciado de [( x)p] A ( ) en cualquier interpretación A. Calcular también la interpretación de ( x)p. Sol. Hay que tener en cuenta que para todo conjunto S se tiene S 0 := { }. Por otra parte cuando p es una fórmula con V L(p) = {x 1,..., x n+1 } entonces (( x)p) A : A n {0, 1} siendo { (( x)p) A (a 1,..., a n ) := 1 si para todo an+1 A se tiene p A (a 1,..., a n+1 ) = 1, 0 en caso contrario. En el caso n = 0 se tiene entonces (( x)p) A : { } {0, 1} tal que { (( x)p) A ( ) := 1 si para todo a1 A se tiene p A (a 1 ) = 1, 0 en caso contrario. Por lo tanto [( x)p] A ( ) = 1 si para cada a 1 A se tiene p A (a 1 ) = 1 y [( x)p] A ( ) = 0 en caso contrario. Siguiendo razonamientos similares se llega a que [( x)p] A ( ) = 1 si existe algún a 1 A tal que p A (a 1 ) = 1. En caso contrario [( x)p] A ( ) = 1. Problema 20 Uno de los axiomas del cálculo de predicados establece que ( x, y)[(x = y) (p p[y/x])] siempre que x V L(p) e y no esté ligada en p. Sea p una fórmula de un lenguaje de primer orden L, con una única variable x que es libre en p. Demostrar que para dos términos cualesquiera t 1 y t 2 se tiene (t 1 = t 2 ) [ p(t 1 /x) p(t 2 /x) ] Sol. Sea q = ( y)((x = y) (p p(y/x))) de tal modo que ( x)q es un axioma del cálculo de predicados (en las condiciones estipuladas arriba). Otro axioma establece que (( x)p p(t/x) siempre que x V L(p) y las variables del término t no aparezcan ligadas en p. Por lo tanto a partir de ( x)q podemos deducir q(t/x) siempre que las variables de t sean distintas de y. Así hemos demostrado que ( y) ( (t = y) (p(t/x) p(y/x)) ) siempre que y no sea una variable de t. Si ahora s es otro término se tendrá (t = s) (p(t/x) p(y/x)(s/y) y como p(y/x)(s/y) = p(s/x) tenemos lo que se requería. Problema 21 Descríbase la teoría de primer orden T de los grupos abelianos totalmente ordenados(es decir grupos abelianos con una relación de orden total compatible con la operación del grupo). Sol. Empezaremos por definir el lenguaje L = (Ω, Π). El tipo operacional Ω deberá ser Ω = {+,, 0} donde + es de aridad dos, de aridad uno y 0 de aridad cero. Para la operación binaria + utilizaremos notación infija. Por otra parte Π = {R} donde R es de aridad dos y usaremos también notación infija para R. Como axiomas de la teoría tomaremos los siguientes: A1: ( x, y)(x + y = y + x) A2: ( x, y, z)(x + (y + z) = (x + y) + z). A3: ( x)(x + 0 = 0). A4: ( x)(x + ( x) = 0). Hasta aquí tenemos descrita la teoría de primer orden de grupos abelianos. Para cubrir nuestro objetivo debemos seguir axiomatizando: A5: ( x)(xrx). A6: ( x, y) ( (xry yrx) (x = y) ). A7: ( x, y, z) ( (xry) (yrz) xrz ). A8: ( x, y) ( (xry) (yrx) ). Por último axiomatizamos la compatibilidad de R con la operación +: A9: ( x, y, z) ( xry (x + z)r(y + z) ).

15 15 Problema 22 En la teoría de primer orden T descrita en el problema anterior, se consideran la fórmulas P = ( (x = 0) 0Rx ) y N = ( (x = 0) xr0 ). Demuéstrese que (1) T ( x) ( x = 0 P N ), (2) T ( x) ( 0Rx xr0). Sol. Para el primer apartado podemos demostrar que T (x = 0) P N y después aplicar generalización. Para demostrar esto aplicamos el axioma (( x)p p[t/x] del cálculo de predicados a A8 definiendo p = ( y)(xry yrx) y t = x. Observemos que x no aparece ligada en p por lo que podemos deducir p[x/x] = ( y)(xry yrx). Ahora podemos repetir el argument para obtener xr0 0Rx. Abreviemos S := (xr0 0Rx) y entonces tenemos S ( (x 0) S ) y como hemos demostrado S podemos concluir (x 0) (xr0 0Rx). Ahora podemos utilizar el siguiente resultado de cálculo proposicional ( p (a b) ) [ p (a p) (b p) ] que dejamos como ejercicio al lector, para concluir que (x 0) [ (xr0 x 0) (0Rx x 0) ]. Así hemos demostrado (x 0) P N o lo que es lo mismo (x = 0) P N, y aplicando generalización ( x)(x = 0 P N) como pretendíamos. Para el segundo apartado usaremos de nuevo el axioma ( x)p p(t/x) (cuando las variables de t no estén ligadas en p). Aplicando dicho axioma a A9 (véase problema anterior) se tiene 0Ry yr(y + ( y)) pero por A4 y + ( y) = 0 y aplicando lo establecido en el Problema 20 se tendrá 0Ry yr0. Usando ahora generalización tendremos ( y)(0ry yr0) y ahora podemos hacer un cambio de variable para obtener ( x)(0rx xr0). Problema 23 Se dirá que dos teorías de primer orden son equivalentes cuando tienen los mismos modelos. Consideremos el lenguaje L = (Ω, Π ) tal que Ω = (+,, 0) como en el problema anterior, y Π = {P } donde P tiene aridad uno. Consideramos entonces la teoría T de primer orden cuyo conjunto de axiomas es: A1, A2, A3, A4 y A5 : ( x, y) ( P (x) P (y) P (x + y) ). A6 : ( x) ( (x = 0) P (x) ). A7 : ( x) ( (x = 0) P (x) P ( x) ). Demuéstrese que para todo modelo A de la teoría T de grupos abelianos totalmente ordenados (véase Problema 21), A es también un T -modelo definiendo P A (x) := [(0R A x) x 0] para cada x A. Recíprocamente, si A es un T -modelo, demuéstrese que A es un T -modelo defininiendo para cualesquiera x, y A la relación xr A y si y sólo si x = y o P A (y x). Sol. Sea A un modelo de la teoría de primer orden de grupos abelianos totalmente ordenados. Si la relación de orden R A la denotamos por, Definamos P A como la relación unaria P A (x) = [(0 x) x 0], es decir, P A (x) = 1 si y solo si 0 x y x 0. Vamos a usar la notación 0 < x o equivalentemente x > 0 para denotar que P A (x) = 1. Entonces tenemos que demostrar que la interpretación de A1-A4 y A5 -A7 en A proporciona enunciados verdaderos. Como A es un grupo abeliano, los axiomas A1-A4 dan automáticamente enunciados verdaderos en A. Ahora, la interpretación de A5 en el modelo A es: x, y A, x, y > 0 implica x + y > 0. Para demostrar esto tengamos en cuenta que como 0 x entonces y x + y por la propiedad de compatibilidad de la relación con la operación del grupo. Como además 0 y la transitividad implica 0 x + y. Si tuviéramos x + y = 0 entonces x = y y como 0 x entonces 0 y lo que implica y 0 en un grupo abeliano ordenado (véase el Problema 22). Pero entonces 0 y 0 implica y = 0 en contra de la hipótesis y > 0. Vayamos ahora con la interpretación de A6. Tenemos que demostrar que si x A es nulo, entonces no se tiene x > 0. Esto es evidente dada la interpretación de < en nuestro modelo. En cuanto a A7, habría que demostrar que para cada x A se tiene x = 0 o x > 0 o 0 < x. Como A es totalmente ordenado se tiene 0 x o x 0 pero si x no es nulo entonces o x > 0 o x < 0. La última parte del problema nos pide demostrar que si A es un T -modelo, entonces definiendo xr A y por x = y o P A (y x) = 1, tenemos una relación de orden total R A compatible con la operación binaria del grupo. La relación R A es obviamente reflexiva. Para ver que es antisimétrica supongamos xr A y, yr A x. Entonces si x y tenemos P A (x y) = 1

16 16 CAPÍTULO 3. TEORÍAS DE PRIMER ORDEN y P A (y x) = 1. Por el axioma A5 se tiene entonces P A (0) = 1 cosa imposible por el A5. De forma análoga se demuestra la transitividad de R A. Para acabar, tenemos que demostrar que si xr A y entonces para cada z (x+z)r A (y +z). Ahora bien, esto es trivial si x = y. En caso contrario P A (y x) = 1 lo que trivialmente implica P A ((y + z) (x + z)) = 1, es decir (x + z)r A (y + z) como queríamos ver. Problema 24 Sea L un lenguaje de primer orden que contiene un predicado binario φ r para cada real positivo r. En L se define la teoría T por medio de los axiomas: ( x, y)(φ 0 (x, y) (x = y)), ( x, y)(φ r (x, y) φ s (y, x)), para cada par de reales positivos (r, s) con r s. ( x, y, z)((φ r (x, y) φ s (y, z)) φ r+s (x, z)), para cada r, s R +. Demuéstrese que cada espacio métrico (X, d) constituye un T modelo si se interpreta φ r (a, b) como d(a, b) r. Cada T modelo proviene de un espacio métrico en el sentido anterior? Sol. Que cada espacio métrico es un modelo de la teoría es fácil de demostrar. El primer axioma de T se cumple en la interpretación gracias a que en un espacio métrico (E, d) se cumple d(a, b) = 0 a = b. El segundo axioma es consecuecia de que d(a, b) = d(b, a) para cualesquiera elementos a, b E. Análogamente la desigualdad triangular de los espacios métricos implica que el tercer axioma proporcionará un enunciado verdadero en la interpretación. Por último, no cada T -modelo proviene de un espacio métrico en el sentido anterior. Sea X un conjunto con al menos dos elementos. Para cada real positivo r interpretemos φ r (x, y) como x = y. Obtenemos así un T -modelo. Si este modelo proviniera de un espacio métrico quería decir que existe una métrica en X tal que para todos x, y X se tiene d(x, y) r x = y. Ahora bien si existen x, y X con x y entonces 0 < r = d(x, y) por lo que x = y lo cual es un absurdo. Problema 25 Sea A una interpretación de un lenguaje de primer orden L. Demuéstrese que si A = p, entonces A = p donde p denota la clausura universal de la fórmula p. Sol. Bastará demostrar que si x es una variable libre de p, entonces A = ( x)p. Con este fin tenemos que demostrar que la interpretación de ( x)p en A es un enunciado verdadero. Supongamos que V L(p) {x, y 1,... y n }. Entonces la interpretación de ( x)p en A viene dada por la función (( x)p) A : A n {0, 1} tal que (( x)p) A (a 1,..., a n ) = 1 si y solo si p A (a, a 1,..., a n ) = 1 para cada a A. Pero este es precisamente el caso, dado que A = p. Problema 26 Sea L un lenguaje de primer orden. Demuéstrese que si t es un término cuyas variables no aparecen ligadas en la fórmula p, entonces la fórmula ( x)p p(t/x) es una tautología. Recuérdese que p(t/x) o p[t/x] denotan la fórmula que se obtiene sustituyendo todas las ocurrencias de la variable x por el término t. Sol. Sea A una interpretación de L y supongamos V L(p) {x, y 1,..., y n } siendo t = ωy 1 y k con k n. Tenemos que demostrar que en caso de ser (( x)p) A (a 1,..., a n ) = 1 entonces también p(t/x) A (a 1,..., a n ) = 1. Pero el hecho de ser (( x)p) A (a 1,..., a n ) = 1 quiere decir que para cada a A se tiene p A (a, a 1,..., a n ) = 1. En consequencia: p(t/x) A (a 1,..., a n ) = p(t A (a 1,..., a k ), a 1,..., a n ) = 1. Problema 27 Sea L = (Ω, Π) un lenguaje de primer orden y A y B dos L-estructuras. Se dirá entonces que una aplicación f : A B es un homomorfismo de L-estructuras cuando para cada ω Ω de aridad n, y para cada R Π de aridad m, los siguientes diagramas son conmutativos: A n ω A R A A An {0, 1} f n f f n B n ω B B B n R B

17 17 donde f n : A n B n es la aplicación tal que f n (a 1,..., a n ) = (f(a 1 ),..., f(a n )) para cada n-upla (a 1,..., a n ) A n. Defínase el concepto de L-subestructura usando la aplicación de inclusión. Demuéstrese que si B es una L-subestructura de A, entonces para cada término t cuyas variables (libres) están contenidas en el conjunto de variables {x 1,..., x n } se tiene para cada (b 1,..., b n ) B n que t B (b 1,..., b n ) = t A (b 1,..., b n ). Sol. La noción de L-subestructura puede enunciarse así: dadas dos L-estructuras A y B con B A, diremos que B es una L-subestructura de A cuando la inclusión es un homomorfismo de L-estructuras. Respecto a la segunda parte del problema, el asunto es trivial para términos del tipo t = ωx 1 x n donde las x i son variables. Para términos más generales t = ωt 1 t k podemos suponer que la propiedad es cierta para cada término t i y que las variables de cada t i están contenidas en {x 1,..., x n }. Entonces para cada (b 1,..., b n ) B n se tiene t B (b 1,..., b n ) = ω B ((t 1 ) B (b 1,... b n ),..., (t n ) B (b 1,..., b n )) = ω A ((t 1 ) A (b 1,... b n ),..., (t n ) A (b 1,..., b n )) = t A (b 1,..., b n ). Problemas propuestos Problema 16 Sean s y t términos de un lenguaje de primer orden L tal que las variables de ambos están contenidas en el conjunto de variables {x 1,..., x n }. Supongamos que A es una L- subestructura de B siendo i: A B la inclusión. Demuéstrese la conmutatividad del diagrama: (s=t) A A n {0, 1} (s=t) B B n i n Problema 17 Sea L = (Ω, Π) un lenguaje de primer orden y sea φ Π de aridad n y t 1,..., t n términos tales que V L(t i ) {x 1,..., x m }. Supongamos que A es una L-subestructura de B siendo i: A B la inclusión. Demuéstrese la conmutatividad de los diagramas φ(t 1,...,t n) A A A m {0, 1} A 0 {0, 1} i m i φ(t 1,...,t n) B B m 0 B (p q) A Problema 18 Sea L un lenguaje de primer orden y p, q fórmulas del mismo tales que V L(p) V L(q) {x 1,..., x n }. Si A es una L-subestructura de B, demuéstrese la conmutatividad del diagrama A n {0, 1} i n (p q) B B n Problema 19 Formúlense conjuntos de axiomas en convenientes lenguajes de primer orden (especifíquense estos) para cada una de las siguientes teorías: i) La teoría de los dominios de integridad. ii) La teoría de los cuerpos algebraicamente cerrados de característica 0. iii) La teoría de los conjuntos parcialmente ordenados. iv) La teoría de los conjuntos parcialmente ordenados con elemento máximo y elemento mínimo. B 0

18 18 CAPÍTULO 3. TEORÍAS DE PRIMER ORDEN v) La teoría de los cuerpos ordenados. vi) La teoría de los cuerpos ordenados completos. vii) La teoría de los grupos de orden 168. viii) La teoría de los grupos simples de orden 168. ix) La teoría de los planos afines (rudimentarios). Problema 20 Sea L un lenguaje de primer orden que contiene un predicado binario φ r para cada real positivo r. El L se define la teoría T por medio de los axiomas: ( x, y)(φ 0 (x, y) (x = y)), ( x, y)(φ r (x, y) φ s (y, x)), para cada par de reales positivos (r, s) con r s. ( x, y, z)((φ r (x, y) φ s (y, z)) φ r+s (x, z)), para cada r, s R +. Demuéstrese que cada espacio métrico (X, d) constituye un T modelo si se interpreta φ r (a, b) como d(a, b) r. Cada T modelo proviene de un espacio métrico en el sentido anterior? Problema 21 a) Defínase la noción de subestructura de una L estructura. b) Demuéstrese que si B es una subestructura de una L estructura A y p es una fórmula del lenguaje sin cuantificadores en n variables libres, entonces [p] B = [p] A B n. Indicación: si no se resuelve esto con facilidad, es porque uno se ha complicado la vida en el apartado (a). c) Considerando el centro de un grupo, o el de un álgebra, o de cualquier otra manera, pruébese que la conclusión de (b) puede fallar si p tiene cuantificadores. Problema 22 a) Por teoría de primer orden universal se entiende a aquella cuyos axiomas cobran la forma ( x)p, con p una fórmula sin cuantificadores y x una cadena finita (tal vez vacía) de nombres de variables separados por comas. Pruébese que las teorías universales tienen la gracia de que cada subestructura de un T modelo es, así mismo, un T modelo. b) De una teoría de primer orden T se dice que es inductiva si sus postulados responden al esquema ( x)( y)p, con p una fórmula libre de cuantificadores. Para una teoría inductiva T, supóngase que una estructura A del lenguaje se obtiene como unión de una cadena {B i } i I de subestructuras. Demuéstrese que A es un T modelo si cada B i es un T modelo. c) Cuáles de las teorías del ejercicio 3.1 son universales?, Cuáles inductivas? Problema 23 a) Dado un lenguaje de primer orden L = (Ω, Π), denótese por L = (, Π ) el lenguaje obtenido de L mediante la supresión de los símbolos de operación de Ω y el añadido de un símbolo de predicado ω por cada ω Ω, haciendo α(ω ) = α(ω) + 1. Si T es una teoría de primer orden escrita en el lenguaje L, explíquese cómo construir una teoría T en L equivalente a T en el sentido de tener los mismos modelos. b) Aplíquese el método anterior a la teoría de primer orden de los grupos y a la de los conjuntos ordenados con elemento mínimo. Problema 24 a) Demuéstrese que las sentencias ( x, y)((x = y) (y = x)) y ( x, y, z)((x = y) ((y = z) (x = z))) son teoremas del cálculo de predicados con igualdades. b) Compruébese que s t si y solo si S = (s = t) define una relación de equivalencia en el conjunto A de los términos constantes de una teoría completa, consistente y con certificados S. Problema 25 Demuéstrese que la teoría de primer orden T cuyo único axioma consiste en ( x) (x = x) es consistente si y solo si el lenguaje L en que está escrita no tiene constantes. Bajo la suposición de que T es consisente y L no contenga predicados primitivos 0 arios, pruébese que T es completa y posee certificados.

19 19 Problema 26 Sea T una teoría de primer orden en un lenguaje numerable que solo tiene modelos infinitos. Demuéstrese que T es completa si T es categórica en cardinal ℵ 0. Problema 27 De un conjunto se dice que es totalmente ordenado denso si hay definida en él una relación binaria < tal que se dan las siguientes condiciones: i) Para todo x, y se verifica una y solo una de las relaciones x < y, x = y o y < x. ii) Si x < y, y < z, entonces x < z. iii) Si x < y, existe un z tal que x < z, y z < y. iv) Para cada x existen y, z con y < x y x < z. a) Descríbase la teoría de primer orden T de los conjuntos totalmente ordenados densos. b) Demuéstrese que cualesquiera dos conjuntos totalmente ordenados densos de cardinal ℵ 0 son isomorfos. Indicación: numérense los conjuntos y establézcase entre ellos de forma inductiva una aplicación que conserve el orden. La sobreyectividad se probará usando la propiedad de que toda parte no vacía de N tiene un primer elemento. c) Pruébese que T es consistente. Bastará con encontrar un modelo. d) Es T completa? El ejercicio anterior puede proporcionar la respuesta. Problema 28 Supóngase que una teoría de primer orden T en un lenguaje (Ω, Π) tiene una teoría algebraica subyacente (Ω, E), esto es, la clausura universal de cada identidad primitiva (s = t) E es un axioma de T. Pruébese que la clausura universal de las identidades derivadas de Ẽ (teorema 1.4) son demostrables en la teoría T. Problema 29 Demuéstrese que las sentencias ( x, y, z)(a x a y z = a a x y z) y ( x, y)(a x y = a y x) son deducibles de la aritmética de Peano. Indicación: la conmutatividad requiere de más trabajo que la asociatividad. Recúrrase a la conclusión del ejercicio anterior cada vez que haga falta. Problema 30 Sea T la teoría de primer orden de los cuerpos ordenados completos (ejercicio 3.1.vi)). Demuéstrese que cada T modelo es un cuerpo cerrado real, esto es, un cuerpo ordenado en el que cada elemento positivo tiene raíz cuadrada.

20 20 CAPÍTULO 3. TEORÍAS DE PRIMER ORDEN

21 Capítulo 4 Funciones recursivas En esta sección se utilizará reiteradamente el hecho de que si α: N k N, β: N k+2 N son funciones recursivas primitivas, entonces la función h: N k+1 N tal que { h(n1,..., n k, 0) = α(n 1,..., n k ) y h(n 1,..., n k, n + 1) = β(n 1,..., n k, n, h(n 1,..., n k, n) para cualesquiera n 1,..., n k, n N, es primitiva recursiva. Problema 28 Describir una máquina de registros que inicialize el registro R i, es decir, que le asigne el valor 0. Sol. Usaremos como es habitual la notación S 1 para el estado inicial (o de comienzo) de la maquina y S 0 para el estado de parada. Entonces la maquina se puede describir como en el diagrama de abajo. S 1 R i 1 S 0 Problema 29 Demuéstrese que la función f: N N tal que f(0) = 1 y f(n) = 0 para cada n 0 es recursiva primitiva. Sol. Apliquemos el resultado mencionado en el primer párrafo de este capítulo. Tomemos α: N N dada por α(n) = n + 1. Por otra parte sea β: N 3 N la proyección en la primera componente, es decir, β(n 1, n 2, n 3 ) = n 1. Entonces h: N 2 N satisface h(n, 0) = n + 1 y h(n, m + 1) = β(n, m, h(n, m)) = n y es recursiva primitiva. Definamos ahora la función f: N N tal que f(n) := h(0, n) para cada n. Esta función es recursiva primitiva al ser composición de recursivas primitivas. Se tiene además f(0) = h(0, 0) = 1 y f(n + 1) = h(0, n + 1) = β(0, n, h(0, n)) = 0. Problema 30 Prefijemos a N y denotemos por σ: N N la aplicación tal que σ(n) = n + 1. Demuéstrese que dada una función recursiva primitiva γ: N N existe otra función recursiva primitiva g: N N tal que g(0) = a y g(σ(n)) = γ(g(n)) para cada n > 0. Sol. Apliquemos lo mencionado al principio del capítulo tomando como α la función constante de valor a y β: N 3 N la función dada por β(x, y, z) = γ(z) que es recursiva primitiva. Entonces la función h: N 2 N tal que h(n, 0) = a y h(n, m + 1) = β(n, m, h(n, m)) es recursiva primitiva. Definamos g: N N por g(n) := h(0, n). Claramente g es recursiva primitiva y además g(0) = h(0, 0) = a y g(σ(n)) = h(0, σ(n)) = β(0, n, h(0, n)) = β(0, n, g(n)) = γ(g(n)). 21

22 22 CAPÍTULO 4. FUNCIONES RECURSIVAS Problema 31 Demostrar que la función r: N N tal que r(n) es el resto de dividir n entre dos es recursiva primitiva. Sol. Sabemos que la función γ: N N tal que γ(0) = 1 y γ(n) = 0 para n 0 es recursiva primitiva (véase el problema 29). Entonces dada esta función, el problema 30 asegura la existencia de otra función recursiva primitiva g tal que g(0) = 0 y g(n + 1) = γ(g(n)). Ahora bien g(1) = γ(g(0)) = γ(0) = 1. Veamos ahora inductivamente que si n es par g(n) = 0 mientras que si n es impar entonces g(n) = 1. Lo hemos demostrado para n = 0 y n = 1. Supongámoslo demostrado para todos los naturales menores que n. Entonces si n > 1 es par g(n) = g(σ(n 1)) = γ(g(n 1)) = γ(1) = 0 mientras que si n es impar un razonamiento similar demuestra que g(n) = 1. Problema 32 Un subconjunto M de un conjunto parcialmente ordenado D se dice que es dirigido si cada subconjunto finito de M tiene una cota superior (en M). Un conjunto parcialmente ordenado D se dice que es completo (abreviado cpo) si: Cada subconjunto dirigido M tiene una mínima cota superior M. Hay un elemento mínimo en D. Demuéstrese que cada conjunto parcialemente ordenado finito con un elemento mínimo es un cpo. Sea N = N { } y consideremos la relación definida por (1) n para cada n N; y (2) n m n = m para n, m N. Demuéstrese que N es un cpo. Sol. Si (D, ) es un conjunto finito parcialmente ordenado con un elemento mínimo entonces cada subconjunto dirigido M de D (necesariamente finito) es una cadena finita M = {m 1,..., m k } con m 1 m i m i+1 m k. Por lo tanto m k es una mínima cota superior de M. Para la segunda parte el lector debe mostrar que los subconjuntos dirigidos M de N son de cardinal uno o dos. En el primer caso M = { } o bien M = {n} con n N. En el segundo caso M = {, n} para cierto n N. Problema 33 Dados dos cpos D y E y una aplicación f: D E, diremos que f es monótona cuando x y f(x) f(y) para cualesquiera x, y D. Demuéstrese que la imagen por una función monótona de un conjunto dirigido es un conjunto dirigido. Diremos que f es continua cuando f( M) = f(m) para cada subconjunto dirigido M de D. Diremos que f es estricta si f( ) =. Dadas dos funciones f, g: D E definimos en el conjunto D E de todas las funciones continuas de D en E la relación f g si y solo si f(x) g(x) para cada x. Demuéstrese que con esta relación el conjunto D E es un cpo. Compruébese que el subconjunto de aplicaciones estrictas de D a E es también un cpo. Sol. Si f es monotona y M dirigido, para demostrar que f(m) es un subconjunto dirigido de E tomemos un subconjunto finito X = {f(m 1 ),..., f(m k )} de f(m). Entonces S = {m 1,..., m k } es un subconjunto finito de M por lo que existe algún m S tal que m i m para todo i. Pero entonces f(m i ) f(m) lo que implica que f(m) f(m) es una cota superior de X. Veamos ahora que D E es un cpo. La relación definida en dicho conjunto se comprueba de inmediato que es de orden parcial. Podemos definir la aplicación : D E como la aplicación constante de valor. Entonces claramente es un elemento mínimo de D E. Veamos ahora que cada conjunto dirigido M D E tiene un mínima cota superior. Fijemos d D y consideremos el conjunto M(d) := {m(d): m M}. Este subconjunto de E es dirigido como puede comprobarse de inmediato. Por lo tanto tiene sentido M(d) = m M m(d). Definamos ahora la aplicación f: D E tal que f(d) = M(d). Tenemos entonces que para cualesquiera m M, d D se da la relación m(d) f(d). Consecuentemente m f. Ahora se deja al lector la tarea de demostrar que f es continua con lo que f es un elemento de D E que acota a M. Veamos que si otro elemento g D E es tal que m g para todo m M, entonces f g. En efecto: fijado d D se tiene que m(d) g(d) para cada m M. Por lo tanto M(d) g(d) o lo que es lo mismo f(d) g(d). Como esto ocurre para cualquier d D se tiene f g. También se deja como ejercicio al lector comprobar que el subconjunto de D E de aplicaciones estrictas es un subcpo de D E.

23 23 Problema 34 Sean D y E cpos. Demuéstrese que si f: D E es monotona y D finito, entonces f es continua. Sol. Cada subconjunto dirigido finito es una cadena. Cualquier aplicación monótona transforma el máximo de la cadena en el máximo de la cadena imagen. Problema 35 Sea D un cpo y f: D D continua. Demuéstrese que f tiene puntos fijos. Más aún, demuéstrese que existe un punto fijo mínimo. Sol. Partiendo de que f( ) y usando inducción se tiene que f n ( ) f n+1 ( ). Definamos x 0 := n f n ( ). Entonces f(x 0 ) = f( n f n ( )) = n f n+1 ( ) = n f n ( ) = x 0 por lo tanto x 0 es un punto fijo de f. Sea ahora otro punto fijo x D de f. Como x se tiene f n ( ) x luego x 0 x. Así hemos demostrado que f tiene un mínimo punto fijo. Problema 36 Demostrar que existe una única función estricta f : N N que satisface: f(n) = { 1 si n = 0 n f(n-1) si n > 0 Sol. Sea D el cpo de todas las funciones estrictas del cpo N en si mismo. Por comodidad vamos a extender la multiplicación de N a una operación conmutativa N N N que denotaremos también por yuxtaposición, definiendo = y n = n = para cada natural n. Definamos la función F : D D tal que para cada f D se tiene F (f) : N N (estricta) dada por F (f)(0) = 1 y F (f)(n) = nf(n 1) para cada n > 0. Demostremos primero que F es monótona. Si f g entonces F (f)(0) = 1 = F (g)(0) y por otra parte, para n > 0 se tiene F (f)(n) = nf(n 1) ng(n 1) = F (g)(n). En consecuencia F (f) F (g). Sea ahora M D un subconjunto dirigido. Entonces para cada m M se tiene m M luego F (m) F ( M) implicando F (M) F ( M). La otra relación, F ( M) F (M) se deja como ejercicio al lector. Se tiene entonces que F es continua y aplicando lo demostrado en el ejercicio 35 existe un punto fijo para F que será la aplicación factorial. Conviene notar que la aplicación que acabamos de ver que existe f: N N se puede restringir a f: N N por su propia definición. Problema 37 Fijada una función r: N N, demuéstrese que existe una única aplicación f: N N tal que f(0) = 0 y f(n) = f(n 1) + [1 r(n)] para n > 0. Sol. Definamos D como el cpo de aplicaciones estrictas del cpo N en si mismo. Fijemos Consideremos ahora F : D D dada por F (f)(0) = 0 y F (f)(n) = f(n 1) + [1 r(n)] para n > 0. Tenemos que demostrar que F posee un punto fijo. En virtud de lo demostrado en el problema 35, bastará demostrar que F es continua. Empezaremos viendo que es monótona. Si f, g D son tales que f g entonces F (f) F (g) ya que F (f)(0) = F (g)(0) = 0 y para n > 0 F (f)(n) = f(n 1) + [1 r(n)] g(n 1) + [1 r(n)] = F (g)(n). El resto de la demostración de que F es continua es similar a la del problema 36. Se tiene entonces la existencia de un punto fijo mínimo de F. Ahora falta demostrar que f es única pero esto también se deja como ejercicio al lector. Problema 38 En el problema anterior cuando r(n) = resto de dividor n entre dos, comprobar que la función f dada por las relaciones f(0) = 0 y f(n) = f(n 1) + [1 r(n)] para n > 0, es la función parte entera de n/2, es decir, f(n) = E(n/2) siendo E( ) la función parte entera. Sol. El lector puede comprobar que para cada natural n se tiene E(n/2) = E( n 1 2 ) + [1 r(n)]. Aplicando lo demostrado en el problema anterior tendremos que f(n) = E(n/2). Problema 39 Demostrar que la función f(n) = E(n/2) es recursive primitiva.

24 24 CAPÍTULO 4. FUNCIONES RECURSIVAS Sol. Definamos g: N 3 N como g(n, m, k) := k +[1 r(m+1)] que es recursiva primitiva. Fijemos α: N N recursiva primitiva cualquiera tal que α(0) = 0. Aplicando el resultado del principio del capítulo, la función h: N 2 N tal que h(n, 0) = α(n) y h(n, m + 1) = g(n, m, h(n, m)) es recursiva primitiva. Pero entonces la aplicación f: N N tal que f(n) := h(0, n) es recursiva primitiva. Además f(0) = h(0, 0) = α(0) = 0 y para todo n se tiene f(n + 1) = h(0, n + 1) = g(0, n, h(0, n)) = g(0, n, f(n)) = f(n) + [1 r(n + 1)]. Aplicando entonces el problema 38 se tiene que f coincide con E(n/2). Problemas propuestos Problema 31 Descríbase el funcionamiento del programa: (1, -, 2, 4), (3, +, 3), (4, +, 1), (2,-,5, 7), (5, +, 6), (6, +, 4), (3, -, 8, 9), (5, -, 7, 16), (5, -, 10, 18), (5, +, 11), (4, -, 12, 14), (7, +, 13), (3, +, 11), (7, -, 15, 17), (4, +, 14), (6, -, 17, 0), (2, +, 16), (4, -, 19, 20), (1, +, 18), (1, +, 16), con datos de entrada (n 1, n 2, 0, 0,...). Problema 32 Escríbanse sendos programas para máquina de registros los cuales, dada la entrada (n, 0, 0,...), devuelvan los siguientes resultados: (a) n 2 5n + 2 si este polinomio toma un valor no negativo. El programa debe no finalizar en otro caso. (b) El (n + 1) ésimo número primo p n. Problema 33 Demuéstrese sucesivamente que las siguientes funciones son recursivas primitivas: { 1 si n = 0, (a) f 1 (n) = 0 en otro caso. (b) f 2 (n) = resto de dividir n entre 2. (c) f 3 (n) = parte entera de n/2. { (d) f 4 (n) = n/2 si n es par 0 en otro caso. (e) f 5 (n, m) = { n/2 m si este valor es un entero 0 en otro caso. (f) f 6 (n) = exponente de la mayor potencia de 2 que divide a n, si n > 0, y f 6 (0) = 0. Recuérdese que este ejercicio se dio por válido a fin de apoyar la demostración del teorema 4.2, por lo que está prohibido recurrir a tal resultado para resolverlo. Problema 34 Si E N es un conjunto no vacío recursivamente enumerable, pruébese que existe una función recursiva globalmente definida con E como rango de valores. Indicación: Es crucial la hipótesis de que E contenga al menos un elemento. Problema 35 Demuéstrese que un subconjunto infinito E de N es recursivo si y solo si existe una función recursiva f : N N globalmente definida y estrictamente creciente que tiene a E como conjunto de valores. Problema 36 Pruébese que la inversa f 1 de una biyección f : N N recursiva es también recursiva. EJERCICIOS DEL CAPÍTULO V Problema 37 Pruébese que la suma y el producto de números naturales de von-neumann son funciones ZF definibles en un modelo V de ZF.

25 Bibliografía [1] P. T. Johnstone. Notes on logic and set theory. Cambridge Mathematical Textbooks. Cambridge University Press [2] E. H. Spanier. Algebraic Topology. McGraw Hill