UN ESTUDIO COMPARATIVO DEL ESTIMADOR DE MÍNIMOS CUADRADOS GENERALIZADOS PARA MODELOS DE PANEL*

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1 UN ESTUDIO COMPARATIVO DEL ESTIMADOR DE MÍNIMOS CUADRADOS GENERALIZADOS PARA MODELOS DE PANEL* Elena Casqel y Ezeqiel Uriel** WP-EC Correspondencia a E. Casqel: Universidad Jame I. Dpto. Economía. Camps del Ri Sec, Castellón. Tel.: / casqel@eco.ji.es Editor: Institto Valenciano de Investigaciones Económicas, S.A. Primera Edición Jlio 2000 Depósito Legal: V Los docmentos de trabajo del IVIE ofrecen n avance de los resltados de las investigaciones económicas en crso, con objeto de generar n proceso de discsión previo a s remisión a las revistas cientí cas. * Este trabajo ha sido nanciado por na ayda a la investigación concedida por el Ivie. ** E. Casqel: Universidad Jame I. E. Uriel: Institto Valenciano de Investigaciones Económicas (Ivie) y Universidad de Valencia. 1

2 UN ESTUDIO COMPARATIVO DEL ESTIMADOR DE MÍNIMOS CUADRADOS GENERALIZADOS PARA MODELOS DE PANEL Elena Casqel y Ezeqiel Uriel RESUMEN En este artíclo se realiza n estdio comparativo de los estimadores por Mínimos Cadrados Generalizados y del contraste de Hasman para modelos de datos de panel aplicados por los programas LIMDEP, RATS y TSP. Con este objetivo se han llevado a cabo experimentos de Montecarlo en modelos en los qe no existe correlación entre el componente individal y los regresores y para modelos en los qe sí existe correlación. En la realización de los experimentos de Montecarlo se han tilizado variables control, con el objeto de amentar la e ciencia del experimento con n menor número de iteraciones. Palabras clave: Mínimos Cadrados Generalizados, datos de panel, experimentos de Montecarlo. ABSTRACT In this paper we make a comparative stdy of Generalized Least Sqares Estimators sed by the programs LIMDEP, RATS and TSP for panel data models. In adittion, we analize Hasman test compted by these programs. Monte Carlo experiments are applied in two di erents models: models where it is assmed that individal e ects and explanatory variables are independent and models where this assmption is relaxed. Fthermore, we se control variates in order to improve the precision of the experiment redcing the nmber of replications. Keywords: Generalized Least Sqares Estimators, Panel Data, Monte Carlo Experiments. 2

3 1 INTRODUCCIÓN. La aplicación del método de Mínimos Cadrados Generalizados Factibles (MCGF) a n modelo de efectos aleatorios con datos de panel reqiere estimar previamente las varianzas de los dos componentes aleatorios. Como existen distintos procedimentos para la estimación de estas varianzas [Maddala and Mont (1973)], esto da lgar a estimaciones alternativas del vector de parámetros. Además, como la varianza del efecto individal es obtenida normalmente de forma residal, se presenta el problema de qe ésta pede adoptar valores negativos. No existe acerdo sobre cal sea el procedimiento más adecado de estimación. Así, los programas LIMDEP (7.0), RATS (32) para Windows y TSP (4.4), qe son los más sales en el tratamiento de los modelos de panel, ofrecen diferentes estimaciones de este tipo de modelos. Si en el modelo de datos de panel existe correlación entre las pertrbaciones y el efecto individal, el estimador MCGF no reslta insesgado. En este caso, el estimador within (entre-grpos), obtenido a partir de modelo de efectos jos, tiene mejores propiedades. Para contrastar la presencia de dicho tipo de correlación se sele tilizar el test de Hasman 1. Conviene tener en centa a este respecto qe en el trabajo Mados y Uriel (1995) se han detectado ciertas anomalías en los programas LIMDEP y TSP en la aplicación del test dehasman. El objetivo de este artíclo es estdiar los procedimientos tilizados por los tres programas antes citados del estimador MCGF y el estimador within para modelos en los qe se introdce exogeneidad en las variables explicativas, así como para modelos con correlación entre los regresores y el efecto individal. En este último caso se estdiará el test de Hasman calclado según LIMDEP y TSP para analizar s comportamiento en peqeñas mestras. Con este n se han realizado experimentos de Montecarlo tilizando técnicas de control de la varianza, en concreto, introdciendo variables control. Con estas técnicas, descritas en Hendry (1984), se consige amentar la e ciencia del experimento con n menor número de iteraciones. El artíclo se estrctra de la sigiente forma. En la segnda sección se describen los procedimientos de estimación de los modelos de efectos aleatorios y del cálclo del estadístico del contraste de Hasman qe proponen los programas antes citados. En la tercera sección se presentan los resltados de los experi- 1 Ver Hasman (1978). 3

4 mentos de Monte Carlo. En n primer apartado, tras explicar la técnica de variables control, se mestran los resltados del estimador MCGF tomando como referencia n modelo de variables explicativas exógenas. En n segndo apartado, se realizan los experimentos de Monte Carlo relajando el spesto de exogeneidad, inclyendo el cálclo del test de Hasman. En la sección nal se recogen las conclsiones. 2 ESTIMACIÓN DE MODELOS DE EFECTOS ALEATORIOS YTESTDEHAUSMAN. El modelo de efectos aleatorios se pede expresar de la sigiente forma 2 : y it = + 0x it + v it ; i =1; :::::::; N; (1) t =1; :::::::; T: El valor de la variable dependiente para la i-ésima observación en el momento t, y it ; depende de K variables explicativas, (x 1it ; ::::::::; x Kit ) 0 = x it ; qe di eren entre individos para cada t. 0 es n vector de constantes (1 K) y es n escalar. El término de error se descompone en: v it = i + " it ; (2) donde i es el efecto aleatorio especí co del individo i-ésimo. Las hipótesis estadísticas qe, salmente, se formlan sobre las variables qe integran el término de pertrbación del modelo (1) son las sigientes: 8 9 >< si i = jt= s >= E(" it " js )= >: 0 en otro caso >; 8 9 >< si i = j >= E( i j )= >: 0 si i 6= j >; E(" it j )=0para todo i; j; t: Bajo estos spestos, la matriz de covarianzas del término de pertrbación v it es na matriz no escalar. Si se introdce el spesto adicional de exogeneidad en las variables explicativas, el método 2 Ver Hsiao (1986). 4

5 óptimo para estimar el modelo (1) es el de Mínimos Cadrados Generalizados (MCG). Por otro lado, si no se cmple este último spesto, el estimador qe mejores propiedades presenta es el estimador within. El test de Hasman se tiliza para contrastar la existencia de correlación entre el efecto individal ( i ) y los regresores. En los sigientes apartados se van a estdiar de forma scesiva el método de estimación MCGF, bajo el spesto de exogeneidad antes citado, los distintos enfoqes existentes para obtener este estimador, así como el test de Hasman. 2.1 Estimación por Mínimos Generalizados Factibles. El estimador de MCG aplicado al modelo (1) se pede expresar como media ponderada de b W (estimador within) y b B(estimador between) mediante la sigiente expresión: donde : b MCG = b B +(I K ) b W ; b MCG = y b MCG x; " N # 1 X TX NX = T (x it x i )(x it x i ) 0 + T (x i x)(x i x) 0 i=1 t=1 i=1 " X N # (x i x)(x i x) 0 ; i=1 (3) (4) = + T¾ 2 ; (5) b W " N # 1 X TX X N TX = (x it x i )(x it x i ) 0 (x it x i )(y it y i ) 0 ; (6) i=1 t=1 i=1 t=1 " N # 1 X X N b B = (x i x)(x i x) 0 (x i x)(y i y) 0 : (7) i=1 i=1 Si los dos componentes de la varianza feran conocidos, la aplicación de (3) es inmediata. Ahora bien,comoéstenoseráelcasoenelmndoreal,esnecesarioestimarpreviamente y para obtener n estimador de : Cando se tilizan los valores estimados de ; los estimadores no son estrictamente MCG. En este caso a los estimadores obtenidos habrá qe denominarlos MCGF, en concreto b MCGF. En s aplicación se peden presentar problemas ya qe parte de los diferentes procedimientos existentes para la estimación de obtienen la estimación de la de forma residal, lo qe pede provocar qe 5

6 ésta sea negativa. Además, cada método parte de spestos distintos, obtiéndose diferentes estimadores de, yportanto,de b MCGF : En Madós y Uriel (1995) se estdia esta problemática. 2.2 Diferentes enfoqes de la estimación de : A continación se van a examinar los diferentes enfoqes de estimación de aplicados por los programas TSP, LIMDEP y RATS Estimación en el programa TSP. Para la estimación de y programa TSP 3 tiliza como referencia la varianza del modelo de efectos aleatorios (1). Esta varianza viene dada por: ¾ 2 v = + : (8) Para estimar la varianza del primer mienbro de (8) se tiliza la sma de cadrados de los residos generada al estimar por MCO el modelo (1) -a los estimadores obtenidos se les denomina total en la literatra-. A esta sma se le va a llamar SCRT. Por otra parte, dado qe en el modelo de efectos jos la componente aleatoria es únicamente " it, los estimadores within permiten calclar la sma de cadrados de los residos -esta sma se va a denominar SCRW -qe pede ser tilizada para estimar. Por lo tanto, de acerdo con lo anterior, se pede obtener la estimación de de forma residal. Los estimadores de y propestos por TSP (denominados de peqeñas mestras) vienen dados por: b = b = SCRW N T N K ; (9) SCRT N T K 1 SCRW N T N K : (10) El estimador (10) es n estimador insesgado, ya qe se determina como diferencia entre los estimadores insesgados de y ¾ 2 v: Sin embargo, y debido precisamente a la corrección de grados de libertad para obtener estimadores insesgados, la estimación de resltante pede ser negativa. En este caso, el 3 Ver Hall (1997) 6

7 programa TSP propone los sigientes estimadores, qe no son insegados pero sí consistentes. Por esta razón se denominan de mestras grandes. El estimador de para mestras grandes se de ne como: yelestimadorde viene dado por: b = b = SCRW N T ; (11) SCRT SCRW : (12) N T Estimación en el programa LIMDEP. En el programa LIMDEP se tilizan tres procedimientos alternativos para estimar el efecto individal 4. En el primer caso, pede sceder qe sea negativa. Si esto ocrre, se pasa a na segnda forma de estimación de en la qe también pede plantearse el mismo problema. LIMDEP propone n tercer método qe por constrcción la no pede ser negativa. La estimación de en los tres procedimientos qe viene dada por: b¾ 2 SCRW ² = N T N K ; (13) Para estimar el efecto individal en los dos primeros procedimientos, se toma como referencia el modelo (1) expresado en términos de medias del grpo, denominado modelo between, qe es: y i = + 0x i + i + " i : (14) La varianza del modelo anterior toma el sigiente valor: Var( i + ² i )= + ¾2 " T : (15) Por lo tanto, la estimación del modelo between permite obtener na sma de cadrados de los residos, SCRB, qe se de ne como: NX SCRB = i=1 NX be i 2 = hy i (b B + b B 2 x i )i : (16) i=1 4 Ver Greene (1995). 7

8 Obtenida esta sma de cadrados y la estimación dada en (13) se obtiene de forma residal el primer estimador de : b¾ 2 = SCRB N K 1 b¾2 " T : (17) En el caso de qe la expresión (17) reslte negativa, el LIMDEP aplica n segndo procedimiento qe consiste en sstitir SCRB por la sigiente expresión: SCRB Tot N = X i=1 NX h be 2 i = y i (b Tot + b Tot 2 x i )i : (18) i=1 Como pede observarse para el cálclo de SCRB Tot se tiliza el esqema (16) pero sstityendo los estimadores between por los estimadores total. La estimación de en el segndo método es, por tanto la sigiente: b¾ 2 = SCRB Tot N K 1 b¾2 " T ; (19) Dado qe el estimador anterior pede ser negativo, cando se plantea este caso el LIMDEP tiliza como tercer procedimiento el estimador propesto Nerlove (1971), qe consiste en estimar directamente mediante la varianza mestral de los efectos jos estimados en el modelo within, i ; es decir: NP (b i b ) 2 b¾ 2 = i=1 N ; (20) donde: b = PN b i i=1 N : (21) Como es obvio este tercer estimador por constrcción no pede resltar nnca negativo Estimación en el programa RATS. El programa RATS tiliza los residos correspondientes a la estimación total para obtener estimadores de y 5 : Aplicando el análisis de la varianza a estos residos, se obtiene la sigiente descomposición: SCRT=SCRb+SCRw, (22) 5 Ver Doan (1996). 8

9 donde SCRb es la sma de cadrados de los residos between-grop y SCRw es la sma de los cadrados de los residos within-grop. Consecentemente, las estimaciones de y vienen dadas por: b = SCRw N T N ; (23) b = SCRb N 1 : (24) Anqe estos estimadores son sesgados para mestras peqeñas, la ventaja qe tiene el método propesto por el programa RATS es qe siempre se obtienen estimaciones de no negativas. 2.3 Test de Hasman. Como ya se ha comentado, si existe correlación entre regresores y variables explicativas el estimador MCGF sería sesgado. En ese caso, el estimador más adecado es el estimador within. Para contrastar la ortogonalidad entre regresores y efectos individales aleatorios se sele tilizar el contrastedehasman. Éstesebasaenlaideadeqe,bajolahipótesisnladeortogonalidadelestimador obtenido por MCGF es consistente y e ciente. Bajo la hipótesis alternativa, este estimador es sesgado. Encambio,elestimadorwithin es consistente bajo la hipótesis nla y la hipótesis alternativa: Las hipótesis nla y alternativa se peden formlar de la sigiente forma: H 0 : E( i X i )=0; H 1 : E( i X i ) 6= 0: (25) El estadístico propesto por Hasman es: H =( b W b MCGF ) 0 [V bar( b W ) V bar( b MCGF )] 1 ( b W b MCGF ); (26) donde: y " N # 1 V bar( b W X TX )=b (x it x i )(x it x i ) 0 (27) i=1 t=1 " N # 1 V bar(b MCGF X TX NX )=b (x it x i )(x it x i ) 0 + b T (x i x)(x i x) 0 : (28) i=1 t=1 i=1 9

10 El cálclo de este test pede plantear problemas. Teóricamente, la diferencia entre las dos matrices de varianzas siempre es na matriz semide nida positiva. A nivel empírico pede resltar qe no se cmpla esta propiedad debido a problemas de precisión con los qe trabajan los ordenadores Cálclo del test de Hasman en los programas LIMDEP y TSP. Tanto LIMDEP como TSP tilizan (27) y (28) para estimar las varianzas de los estimadores b W y b MCGF : Sin embargo, los resltados obtenidos di eren entre los dos programas. Una primera diferencia entre ambos viene dada por la distinta estimación qe hacen de ; qe ha sido descrita en el segndo apartado de esta sección. Otra diferencia viene dada por el hecho de qe LIMDEP para estimar las varianzas (27) y (28) tiliza siempre el mismo estimador de la ; en concreto, el estimador de nido en (13). En cambio, el programa TSP no tiliza en todos los casos el mismo estimador. Cando se tiliza (12)-el segndo procedimiento para estimar la -el programa TSP tiliza como estimador de en (27) el estimador denominado de mestras peqeñas, (9), mientras qe para estimarlo en (28) tiliza el estimador de mestras grandes, recogido en (11). El test de Hasman obtenido tanto por TSP como por LIMDEP presenta en ocasiones resltados anómalos. Se ha comprobado qe en modelos en los qe se introdce na tendencia lineal el resltado es erróneo. Al introdcir na tendencia lineal, la diferencia entre las dos matrices de varianzas es na matriz singlar. TSP solciona el problema calclando la inversa generalizada, con lo qe elimina las las y colmnas qe son cero, mientras qe LIMDEP asigna el valor cero al estadístico de contrastes del test de Hasman. 3 EXPERIMENTOS DE MONTECARLO. En esta sección se van a comparar, mediante experimentos de Montecarlo los procedimientos de estimación y el contraste de Hasman qe ofrecen los programas LIMDEP, TSP y RATS en mestras nitas. En el primer apartado se explica en primer lgar la técnica de variables control. A continación se obtiene el ECM y el sesgo del estimador MCGF proporcionado por los programas antes citados, así como 10

11 del estimador within, tomando como referencia n modelo con variables explicativas exógenas. Estos resltados se analizan para distintos tamaños mestrales, bondad del ajste y proporción relativa de la varianza. En el segndo apartado se obtiene además de los resltados anteriores, el test de Hasman ofrecido por LIMDEP y TSP a partir de n modelo con correlación entre las variables explicativas y el efecto aleatorio individal. 3.1 Experimentos de Montecarlo para modelos sin correlación Método de redcción de la varianza: Variables Control. Los experimentos de Monte Carlo 6 se san frecentemente para estdiar las propiedades de los estimadores en mestras nitas. Los resltados de estos experimentos tienen inevitablemente n componente aleatorio, en el sentido de qe dependen de las mestras generadas en n experimento. Para redcir la aleatoriedad a niveles aceptables es necesario llevar a cabo n gran número de iteraciones. Ahora bién, tilizando variables control se pede obtener n incremento sbstancial en la e ciencia del experimento. En la aplicación de esta técnica se eligen como variables control a variables de las qe se conocen ciertas propiedades de s distribción, concretamente la media poblacional, y qé además están my correlacionadas con el estimador o test estadístico estdiado. La divergencia entre s media poblacional y s media mestral es sada precisamente para mejorar la estimación obtenida en el experimento de Monte Carlo. Conviene señalar qe las variables control sólo se san en el contexto de los experimentos de Monte Carlo porqe se calclan tilizando parámetros qe no peden ser observados en las investigaciones estadísticas. Hendry (1984) proporciona algnos ejemplos de variables control en problemas econométricos. Regresión basada en variables control. Sponiendo qe µ es n parámetro qe se qiere estimar 7 sando los resltados del experimento de Monte Carlo. En cada iteración se obtiene na estimación de µ, a la qe se denomina t j y na variable control, j : 6 Ver Davidson and Mackinnon (1992). 7 Ver Dadvison and Mackinnon (1993). 11

12 Sin tilizar variables control, se toma como estimador de ; la media de las estimaciones obtenidas en las M iteraciones, es decir, µ = 1 M MX t j ; (29) j=1 con varianza V (µ) = M V ; qe pede ser estimada por: bv (µ) = 1 M 1 M 1 MX (t j µ) 2 : (30) Si es posible obtener variables control, (29) en la mayoría de los casos no es el estimador óptimo. Entonces el estimador apropiado sería: j=1 µ ( ) =µ ( E( )); (31) donde es la media mestral de j y es n parámetro qe debe ser determinado. La elección de es crcial. Parece natral elegir el valor de éste qe minimize la varianza del estimador anterior. La varianza de (31) es: V (µ ( )) = V (µ)+ 2V ( ) 2 Cov( ;µ): (32) Es fácil minimizar la ecación anterior con respecto a : El valor óptimo de sería entonces: = Sstityendo en (32), la varianza de µ ( ) se pede de nir como: V (µ ( )) = V (µ) Cov( ;µ) : (33) V ( ) 2 Cov( ;µ) =(1 ½ 2 )V (µ); (34) V ( ) donde ½ es el coe ciente de correlación entre j y t j. En (34), se observa qe si ½ no es nlo hay n amento de la e ciencia sando variables control. Cando el número de observaciones amente, la correlación entre la variable control y el parámetro objetivo debe amentar, ya qe entonces la distribción nita se aproxima a la distribción asintótica. Como consecencia, la e ciencia ganada con el so de variables control es mayor a mayor tamaño mestral n: Como el coste de n experimento de Monte Carlo es proporcional a n, el incremento de e ciencia de la estimación cando n amenta permite redcir M al mismo tiempo. En la mayoría de literatra de variables control [Henry(1984)], se hace igal a 1. Esta opción parece razonable si j y t j están altamente correlacionados y tienen similares varianzas. Pero en general no es la 12

13 mejor elección. Por ello, es preferible estimar. La forma más fácil de hacerlo es realizar la regresión: t j = µ + j + j : (35) El estimador MCO de obtenido al regresar (35) es: b = P M j=1 (t j t)( j ) P M j=1 ( j ) 2 (36) Sstityendo en (32) por b se pede obtener n estimador de µ, qe no es insesgado pero qe veri ca: p M(µ b ( E( )) E(µ)) a! N(0;V): (37) Diseño del Experimento. El modelo tomado como referencia en el experimento de Monte Carlo ha sido el sigiente: y it = + x it + " it + i ; (38) donde =4, =1y: " it» N(0;); (39) i» N(0; ): Las x it se han mantenido jas en cada no de los experimentos realizados. En cada experimento se comptan el ECM y el sesgo del estimador MCGF obtenido por los programas antes citados, así como del estimador within. Así mismo, se realiza el recento en cada iteración de los procedimientos propestos por LIMDEP y TSP para el calclo de. Constrcción de la variable control. Para realizar el experimento se han tilizado variables control. La variable control elegida para diseñar el experimento es: j = b B +(I K ) b W ; (40) 13

14 y donde : " N # 1 X TX NX = 0 T (x it x i )(x it x i ) T (x i x)(x i x) 0 i=1 t=1 i=1 " X N # (x i x)(x i x) 0 i=1 (41) ¾ 2 0" 0 = ¾ 2 0" + ; (42) T¾2 0 siendo ¾ 2 0" y ¾ 2 0 los verdaderos valores de la varianza. La variable j de nida en (40) tiene na media conocida e igal a, varianza nita y está correlacionada con los estimadores estdiados, por lo qe cmple las propiedades descritas en el apartado anterior. Utilizando la variable control, el estimador nal se obtiene a partir de la sigiente formla: ( ) = ( E( )); (43) donde: = 1 M La estimación de se ha tilizado aplicando (36). MX t j ; (44) j= Resltados del Experimento de Montecarlo. El experimento se ha realizado para catro tamaños mestrales. Por na parte, con T =5; se han tomado distintos tamaños de individos N =20; 40; 100: Asimismo, para T =10; se ha considerado N =20: El número de iteraciones aplicado a estos catro casos ha sido de 200, 150, 100 y 150 respectivamente. Anqe estas cifras peden parecer no my elevadas, hay qe tener en centa qe la tilización de variables control eleva más de 100 veces la e ciencia del experimento. Para cada no de los tamaños mestrales se han considerado distintos coe cientes de determinación, R 2 Pob =0:99; 0:95; 0:9; 0:8: Dado n R 2 Pob ; y para completar la especi cación, se han tomado distintas ratios entre ¾2 " y ; concretamente: ¾ 2 = 1 20 ; 1 10 ; 1 ; 1; 5; 10; 20: (45) 5 14

15 Las tablas 1 a 4 del anexo recogen el porcentaje de casos en los qe se aplican cada no de los procedimientos descritos en la sección anterior de los programas LIMDEP y TSP para la estimación de, para los diferentes tamaños de N y T considerados Como se pede observar en las tablas 1 a 4, el porcentaje qe tilizan los estimadores de la varianza del efecto individal según (10) en TSP (T1) y según (17) en el LIMDEP (L1), depende fndamentalmente de la ratio =: Cando éste es mayor o igal a 5, tanto TSP como LIMDEP obtienen porcentajes sstanciales de resltados negativos para : Para na proporción menor no se observan resltados negativos en ningno de los casos estdiados. Conviene señalar qe en todos los casos estdiados el segndoprocedimientopropestoporellimdep(l2)seaplicaannúmeroredcidodecasos. Al amentar N (ver tablas 1; 2; 3) y al amentar T (ver Tablas 2; 4), el porcentaje de los casos en los qe (10) y (17) ofrecen resltados negativos disminye, acentándose este hecho cando =¾2 =5. En los cadros 1 a 4 se recogen los resltados del experimento. A los estimadores MCGF se les denomina según el procedimiento por el qe han sido obtenidos qe hace referencia al programa tilizado. Al estimador de efectos jos para el qe se aplica la misma formla en los tres programas se le denomina WITHIN. En los cadros 1 y 2 se mestra na clasi cación de los estimadores, ordenados de mejores a peores resltados para N =20; 40; 100 y T =5; considerando RPob 2 =0:99: Esta ordenación se mantiene para todos los R 2 Pob ; pes se ha observado qe el cambio en la bondad del ajste afecta al nivel de sesgo y de ECM pero no a la clasi cación relativa de los estimadores. De los datos se desprende qe los estimadores qe proporcionan n menor sesgo y n mayor ECM son TSP y LIMDEP. El estimador proporcionado por RATS presenta n mayor sesgo y mayor ECM qe los estimadores obtenidos en LIMDEP y TSP, mientrás qe el estimador WITHIN es el qe peores resltados ofrece. Para tamaños peqeños de la mestra, N =20, el estimador qe ofrece n menor sesgo y n menor ECM es el obtenido en TSP, anqe cabe destacar qe las diferencias entre los estimadores son my peqeñas. Conforme amenta N, el programa qe ofrece mejores resltados es el LIMDEP, sobre todo para N =40. Amayorratio =¾2 se acentúan las diferencias de LIMDEP y TSP con respecto a RATS y WITHIN. Asimismo, TSP ofrece mejores resltados qe LIMDEP. 15

16 Cadro 1. Clasi cación de los estimadores obtenidos por los programas TSP, LIMDEP y RATS según s sesgo para T = 5 y N = 20; 40; 100: RPob 2 =0:99: T =5 N =20 N =40 N =100 RAT S;LIMDEP; RAT S;W IT HIN; = 1 20 (3: )(3: ) WITHIN;RATS: (4: )(4: ) TSP;WITHIN: ( 3:410 8 )( 4:110 8 ) LIMDEP;T SP: (4: )(7: ) (4: )(4: ) ( 4:310 8 )( 4:410 8 ) LIMDEP;T SP = 1 10 (7: )(7: ) (7: )(7:610 8 ) ( 6:110 7 )( 6:210 7 ) (8: )(8: ) ( 8:510 8 )( 1:110 7 ) ( 6:510 7 )( 6:710 7 ) = 1 5 (1: )(1: ) ( 8:910 7 )( 9:110 7 ) ( 3:210 7 )( 3:310 7 ) (1: )(1: ) ( 1:110 6 )( 1:110 6 ) ( 4:010 7 )( 4:110 7 ) RAT S;W IT HIN; ¾ 2 =1 ( 1:310 6 )( 1:510 6 ) ( 4:210 7 )( 6:610 7 ) ( 3:410 7 )( 3:910 7 ) WITHIN;RATS: ( 2:510 6 )( 2:610 6 ) ( 6:110 6 )( 7:210 6 ) ( 1:110 6 )( 1:210 6 ) ¾ 2 =5 ( 1:310 6 )( 1:810 6 ) (4:910 7 )( 2:210 6 ) ( 7:110 7 )( 1:810 6 ) (5: )(7: ) ( 6:310 6 )( 8:910 6 ) ( 2:610 6 )( 2:810 6 ) TSP;RATS; LIMDEP;RAT S; ¾ 2 =10 ( 1:010 6 )( 1:510 6 ) WITHIN;LIMDEP: ( 6:310 9 )( 1:010 7 ) WITHIN;TSP: ( 5:110 7 )( 8:910 7 ) ( 2:510 6 )( 2:710 6 ) ( 1:610 6 )(2:410 6 ) (5: )(7:310 6 ) ¾ 2 =20 ( 1:210 6 )( 3:410 6 ) (1: )(2:910 7 ) LIMDEP;T SP: ( 2:70 6 )( 2:910 6 ) ( 001)( 002) ( 2:210 6 )( 3:210 6 ) (0012)(0014) 16

17 Cadro 2. Clasi cación de los estimadores obtenidos por los programas TSP, LIMDEP y RATSsegúnsECMparaT = 5 y N = 20; 40; 100: RPob 2 =0:99: T =5 N =20 N =40 N =100 RAT S;LIMDEP; RAT S;LIMDEP; = 1 20 (1: )(1: ) TSP;WITHIN: (3: )(3: ) TSP;WITHIN: (5: )(5: ) (1: )(1: ) (3: )(3: ) (5: )(5: ) = 1 10 (1: )(1: ) (4: )(4: ) (5: )(5: ) (1: )(1: ) (4: )(5: ) (6: )(6: ) = 1 5 (3: )(3: ) (1: )(1: ) (5: )(5: ) (3: )(4: ) (2: )(2: ) (8: )(8: ) ¾ 2 =1 (9: )(1: ) (1: )(1: ) (3: )(3: ) (1: )(2: ) (8: )(1: ) (5: )(8: ) ¾ 2 =5 (1: )(2: ) (1: )(1: ) (5: )(9: ) (4: )(9: ) (4: )(7: ) (1: )(2: ) ¾ 2 =10 (7: )(1: ) (7: )(1: ) (3: )(3: ) (7:30 11 )(1: ) (7: )(1: ) (2: )(4: ) ¾ 2 =20 (9: )(2: ) (1: )(1: ) (1: )(1: ) (1: )(2: ) (1: )(1: ) (5: )(8: ) 17

18 En los Cadros 3 y 4 los resltados para N =20y T =10; considerando RPob 2 =0:99. Se pede observar qe los estimadores presentan n menos sesgo y n menor ECM con respecto a los obtenidos paraelmismotamañomestral,perocont =5y N =40. Al igal qe en los casos anteriores, LIMDEP y TSP ofrecen mejores resltados. Cando la ratio =¾2 es menor qe 1, LIMDEP presenta n menor ECM. Los resltados ofrecidos por el programa RATS y el estimador WITHIN mejoran sensiblemente en términos absoltos pero no relativos con respecto a los otros dos tipos de estimadores si se comparan estos resltados con los obtenidos para T =5. Cadro 3. Clasi cación de los estimadores obtenidos por los programas TSP, LIMDEP y RATSsegúnssesgoparaT = 10 y N = 20. RPob 2 =0:99: T =10 N =20 = 1 20 ( 1:310 8 )( 1:410 8 )( 2:110 8 )( 2:210 8 ) = 1 10 ( 4:910 7 )( 5:010 7 )( 5:710 7 )( 5:910 7 ) = 1 5 WITHIN;RATS: (2:210 7 )(2:310 7 )(2:710 7 )(2:910 7 ) ¾ 2 =1 RATS;WITHIN: ( 9:010 7 )(1:010 6 )(1:110 6 )(1:310 6 ) ¾ 2 =5 RATS;LIMDEP;WITHIN;TSP: (2:110 7 )( 6:510 7 )( 8:010 7 )( 9:610 7 ) ¾ 2 =10 WITHIN;RATS: (9:910 7 )(3:110 6 )( 4:510 6 )( 4:710 6 ) ¾ 2 =20 ( 2:510 7 )( 1:910 6 )( 8:710 6 )( 9:210 6 ) 18

19 Cadro 4. Clasi cación de los estimadores obtenidos por los programas TSP, LIMDEP y RATSsegúnsECMparaT = 10 y N = 20: RPob 2 =0:99: T =10 N =20 = 1 20 (3: )(3: )(3: )(3: ) = 1 10 (3: )(3: )(3: )(3: ) = 1 5 (2: )(2: )(4: )(4: ) ¾ 2 =1 RATS;WITHIN: (1: )(1: )(3: )(4: ) ¾ 2 =5 RATS;WITHIN; (8: )(1: )(1: )(1: ) ¾ 2 =10 RATS;WITHIN: (7: )(1: )(2: )(4: ) ¾ 2 =20 (3: )(6: )(4: )(6: ) Conclyendo este apartado, se pede decir qe el programa LIMDEP es el qe mejores resltados globales ofrece. Estos resltados mejoran con respecto a los obtenidos en TSP cando amenta el número de observaciones individales. TSP proporciona benos resltados tanto en sesgo como en ECM cando la ratio =¾2 es mayor qe 1. El programa RATS parece mejorar al amentar el tamaño mestral. 3.2 Experimentos de Montecarlo en modelos con correlación Diseño del Experimento. La variable endógena sige la sigiente modelización: y it = + x it + " it + i ; (46) i = ax i + b i; (47) 19

20 donde ¹ =4, =10, a =2y: " it» N(0; ); b i» N(0;¾ 2 b ): (48) Las x it están correlacionadas con el efecto individal i ; según la formlación propesta por Mndlak (1978). El experimento se ha realizado para distintos niveles de correlación, en concreto, para ½ = 0:1; 0:15; 0:2; 0:25; 0:3; 0:35: En cada experimento se han comptado los valores del ECM y el sesgo del estimador b MCGF obtenido a partir de los distintos programas antes citados, así como de b W. Adicionalmente, se recoge el resltado del test de Hasman ofrecido por LIMDEP y TSP. El objetivo de este experimento es observar si los resltados obtenidos en el apartado anterior se mantienen para niveles de correlación relativamente bajos. Además, se recoge el test de Hasman. En estos experimentos no se ha tilizado la técnica de variables control, ya qe la variable control (40) es sesgada en este caso Resltados del Experimento de Montecarlo. El experimento se ha realizado para dos tamaños mestrales. Los resltados se presentan manteniendo jo el número de observaciones temporales, T =5y variando el número de individos, N =20; 40: Al no tilizar variables control se han comptado 1000 y 900 iteraciones respectivamente. Para cada no de los tamaños mestrales se han considerado diferentes niveles de correlación, ½ =0:1; 0:15; 0:2; 0:25; 0:3; 0:35: Para cada valor de ½; se han considerado las sigientes proporciones: ¾ 2 = 1 ; 1; 5: (49) 5 En este experimento se ha calclado el test de Hasman, así como las estimaciones del modelo aplicadas en la sección anterior. El Cadro 5 mestra el porcentaje de aceptación de H 0 ; de nida en (25) en el test de Hasman para N =20y T =5y para N =40. 20

21 Cadro 5. Porcentaje de aceptación de la H 0 obtenido en el test de Hasman en LIMDEP y TSP para N = 20; 40 y T = 5 para n nivel de signi catividad de ½ =0; 0:1; 0:15; 0:2; 0:25; 0:3; 0:35: (Porcentaje). ½=0 ½=0:1 ½=0:15 ½=0:20 ½=0:25 ½=0:3 ½=0:35 HT 1 HL 2 HT HL HT HL HT HL HT HL HT HL HT HL = :6 93:3 81:0 78:4 62:6 59:7 36:7 33:7 13:9 12:5 1:2 1:0 0:0 0:0 N=20 =1 94:2 93:3 84:9 82:6 68:4 66:4 46:0 42:2 19:8 17:7 4:1 3:7 0:0 0:0 =5 93:6 92:5 89:1 86:0 79:6 77:1 66:6 63:3 45:4 41:0 22:7 19:4 5:4 3:2 = :5 94:0 72:4 71:1 44:3 42:1 14:4 13:8 2:0 1:7 0:0 0:0 0:0 0:0 N=40 =1 94:5 94:0 76:0 74:5 53:1 51:5 24:1 23:1 5:2 4:7 0:1 0:1 0:0 0:0 =5 94:6 94:4 84:5 83:3 69:6 68:1 47:5 44:5 20:4 18:8 5:2 4:7 0:0 0:0 1 HT se re ere a los resltados del test de Hasman según los procedimientos tilizados en el programa TSP. 2 HL se re ere a los resltados del test de Hasman según los procedimientos tilizados en el programa LIMDEP. Como se pede observar, conforme amenta ½, el porcentaje de aceptación de la H 0 ; es decir, de la hipótesis nla de no correlación entre el regresor y las pertrbaciones, es mayor. A partir de ½ =0:25 cando N =20y ½ =0:2 si N =40el test de Hasman rechaza en más de n 50 por 100 de los casos la H 0.Caberesaltarqesi =¾2 =5,laH 0 se acepta en más casos qe para =¾2 =1=5; 1: Cando N amenta, el porcentaje de aceptación de H 0 disminye para cada nivel de correlación y tamaño de la varianza. Con respecto a las estimaciones del modelo por distintos procedimientos, en los cadros 6 y 7, se mestraelsesgoyelecmparat =5, N =20y T =5, N =40, considerando ½ =0; 0:1; 0:15 y 0:2: Al igal qe en el apartado anterior a los estimadores MCGF se les denomina por el procedimiento qe han sido obtenidos y al estimador de efectos jos se le denomina WITHIN. No se han recogido los resltados de los estimadores para valores de ½ sperioresa0.2,pescomoyaseharesaltado,eltestdehasman rechaza de forma abrmadora la H 0 y el mejor estimador es siempre el WITHIN. 21

22 Cadro 6. Clasi cación de los estimadores obtenidos por los programas TSP, LIMDEP y RATSsegúnssesgoparaT = 5; N = 20 y N = 40. (Porcentaje). ½ =0; 0:1; 0:15; 0:2: ½=0 ½=0:1 ½=0:15 ½=0:2 RAT S;W IT HIN; N =20 ¾2 " = 1 5 ( 10)( 11) ( 22)( 4) ( 26)(39) ( 18)(51) ( 13)( 14) (0:021)(0:023) (0:0219)(0:0256) (0:0202)(0:0226) ¾ 2 =1 (53)(55) (0:0260)(4) (0:0161)(0:0385) (0:0114)(0:0332) (62)(64) (0:1315)(0:1405) (0:1186)(0:1330) (0:1070)(0:1291) ¾ 2 =5 (56)(57) WITHIN;RATS: (0:0260)(0:0857) (0:0160)(0:0760) (0:0119)(0:0697) (62)(66) (0:3014)(0:3297) (0:2802)(0:3232) (0:2757)(0:3197) N =40 ¾2 " = 1 5 (8: )(002) ( 06)(35) ( 04)(37) ( 03)(39) ( 01)( 02) ( 0:0178)(0:0196) (0:0169)(0:0191) (0:0156)(0:0191) RAT S;W IT HIN; RAT S;W IT HIN; RAT S;W IT HIN; RAT S;W IT HIN; ¾ 2 =1 ( 59)( 60) ( 7)( 0:023) (025)( 0:014) ( 40)(0:0120) ( 62)( 63) (0:0522)(0:0569) (0:0574)(0:0656) (0:0576)(0:0701) ¾ 2 =5 ( 7)( 8) (0:0298)(0:0746) (0:0192)(0:0625) ( 0:0136)(0:055) ( 0:0102)( 0:0104) ( 0:2517)( 0:2633) (0:2323)( 0:2488) (0:2172)(0:2414) 22

23 Cadro 7. Clasi cación de los estimadores obtenidos por los programas TSP, LIMDEP y RATSsegúnsECMparaT =5;N =20y N =40: (Porcentaje). ½ =0; 0:1; 0:15; 0:2: ½=0 ½=0:1 ½=0:15 ½=0:2 RAT S;W IT HIN; N =20 ¾2 " = 1 5 (4: )(4: ) (004)(006) (002)(003) (001)(003) (4: )(5: ) (05)(06) (04)(06) (04)(07) ¾ 2 =1 (004)(004) (08)(2) (03)(15) (01)(11) (005)(006) (0:0175)(0:0199) (0:0141)(0:0177) (0:011)(0:016) ¾ 2 =5 (009)(01) (16)(82) (06)(6) (034)(49) (010)(011) (0:091)(0:1096) (0:083)(0:104) (0:0762)(0:1024) RAT S;W IT HIN; N =40 ¾2 " = 1 5 (1: )(1: ) (002)(003) (9:110 6 )(01) (4:010 6 )(001) (1:510 6 )(1:610 6 ) (034)(039) (03)(03) (02)(03) RAT S;W IT HIN; RAT S;W IT HIN RAT S;W IT HIN ¾ 2 =1 (004)(004) (01)(06) (004)(02) (003)(012) (005)(005) (28)(33) (33)(43) (33)(49) ¾ 2 =5 (008)(01) (1)(59) (05)(4) (02)(3) (010)(011) (0:0638)(0:0698) (0:054)(0:0622) (0:047)(0:058) Como se pede observar, anqe ½ tome valores peqeños y el test de Hasman acepte la H 0,el estimador qe presenta en la mayoria de los casos menor sesgo y menor ECM es el estimador WITHIN. El estimador proporcionado por el RATS es siempre más robsto qe los estimadores obtenidos en LIMDEP y TSP. Además, ofrece mejores resltados qe el estimador WITHIN cando amenta el tamaño de la mestra. Los estimadores propestos por LIMDEP y TSP presentan siempre peores resltados. 23

24 Las diferencias de sesgo y ECM del estimador WITHIN con respecto a LIMDEP y TSP amentan para N =40; y se acentúan conforme amenta el nivel de correlación. Este hecho también se observa en los resltados del test de Hasman, pes conforme amenta N se obtiene n porcentaje más alto de rechazo de la H 0 : Conclyendo, se pede a mar qe cando existe correlación entre la variable explicativa y el efecto individal los resltados son totalmente distintos a los qe se obtienen en caso de qe se presente dicha correlación. Si se analizan los resltados para ½ =0; se observa qe los mejores estimadores son los tilizados por LIMDEP y TSP, como ya se vió en el apartado anterior. 4 CONCLUSIONES. En este artíclo se ha realizado n estdio comparativo mediante tilización de experimentos de Montecarlo de los distintos estimadores MCGF propestos por los programas más tilizados en el contexto de datos de panel, (LIMDEP, RATS y TSP), así como del estimador WITHIN. En primer lgar se han realizado experimentos de Montecarlo tomando como referencia modelos en los qe el regresor es no estocástico. En segndo lgar la variable endógena se ha generado a partir de modelos con correlación entre el efecto individal y los regresores. Adicionalmente, en este segndo caso se ha calclado el test de Hasman propesto por LIMDEP y TSP con na doble nalidad: detectar a partir de qe niveles de correlación se rechaza la hipótesis nla y por lo tanto, el estimador de MCGF no sería el más adecado y observar si estos programas ofrecen resltados anómalos del citado contraste. Los experimentos de Montecarlo se han realizado tilizando variables control, con el fín de incrementar la e ciencia del experimento. Si no existe correlación entre los regresores y el efecto individal, se observa qe LIMDEP ofrece estimadores con n menor sesgo y ECM en casi todos los casos estdiados. Los resltados mejoran cando amenta el tamaño de la mestra, acentándose este hecho si se incrementa el número de observaciones por individos. El estimador propesto por TSP es especi camente mejor, cando la ratio =¾2. El estimador ofrecido por RATS y el WITHIN ofrece peores resltados qe los anteriores, anqe mejoran relativamente al amentar el tamaño de la mestra. Cando se relaja el spesto de exogeneidad, cabe destacar qe a partir de ½ =0:25 cando N =20 24

25 y ½ =0:2 si N =40el test de Hasman rechaza en más de n 50 por 100 de los casos la H 0. Anqe el coe ciente de correlación ½ tome valores más peqeños qe los anteriormente citados y el test de Hasman acepte la H 0, el estimador qe presenta en la mayoria de los casos menor sesgo y ECM es el estimador WITHIN. El estimador proporcionado por el RATS es siempre más robsto qe los estimadores obtenidos en LIMDEP y TSP. Además, ofrece mejores resltados qe el estimador WITHIN cando amenta el tamaño de la mestra. Los estimadores propestos por LIMDEP y TSP presentan siempre peores resltados. Cabe destacar qe en ningno de los experimentos realizados se han detectado anomalías en el cálclo del contraste de Hasman. Sin embargo se ha comprobado qe la introdcción de la tendencia lineal en el modelo provoca resltados anómalos en los dos programas. 25

26 ANEXO Tabla 1. Porcentajes de tilización en el TSP y el LIMDEP de los procedimientos de estimación de para N = 20 y T = 5: (Porcentaje). N =20 T =5 = 1 20 = 1 10 = 1 5 =1 ¾2 " =5 ¾2 " =10 ¾2 " ¾ 2 =20 T :00 51:50 46:00 T 2 33:00 48:50 54:00 L :50 54:00 45:50 L2 3:50 5:00 4:00 L3 3 41:00 50:50 1 T 1 y T 2 indican el porcentaje de los experimentos qe tilizan (10) y (12) respectivamente. 2 L1;L2 y L3 indican el porcentaje de los experimentos qe tilizan (17), (19) y (20). Tabla 2. Porcentajes de tilización en el TSP y el LIMDEP de los procedimientos de estimación de para N = 40 y T = 5: (Porcentaje). N =40 T =5 = 1 20 = 1 10 = 1 5 =1 ¾2 " ¾ 2 =5 =10 ¾2 " ¾ 2 =20 T :00 48:66 T :00 51:33 L :33 56:66 49:33 L2 5:33 4:00 2:66 L3 25:33 39:33 48:00 26

27 Tabla 3. Porcentajes de tilización en el TSP y el LIMDEP de los procedimientos de estimación de N = 100 y T = 5: (Porcentaje). N =100T =5 = 1 20 = 1 10 = 1 5 ¾ 2 =1 ¾ 2 =5 ¾ 2 =10 ¾ 2 =20 T : T 2 14: L :00 59:00 59:00 L2 2:00 2:00 1:00 L3 11:00 39:00 4 Tabla 4. Porcentajes de tilización en el TSP y el LIMDEP de los procedimientos de estimación de N = 20 y T = 10: (Porcentaje). N =20T =10 = 1 20 = 1 10 = 1 5 ¾ 2 =1 =5 ¾2 " ¾ 2 =10 ¾2 " ¾ 2 =20 T :00 52:00 45:33 T 2 18:00 48:00 54:66 L :00 55:33 46:00 L2 3:33 5:33 8:66 L3 12:66 39:33 45:33 27

28 4.1 REFERENCIAS. Arellano, M. and Bond, S. (1991), Some Test of Especi cation for Panel Data: Monte carlo Evidence and a Application to Employment Eqations. TheReviewofEconomicStdiesLimited, 58, Borlange, D. and Doz, C. (1988), Psedo-maximm de vraisenblance: experiénces de simlations dans le cadre d n modéle de Poisson. Annales d Economie et Statistiqe, 10, Cornwell, C., Schmidt, P. and Wyhowski, D.(1990), Simltanes eqations and panel data. Elservier Science Pblishers B.V. Davidson, R. and Mackinnon, J.G. (1992), Regresion-based methods for sing control variates in Monte Carlo experiments. Jornal of Econometrics 54, Davidson, R. and Mackinnon, J.G. (1993), Estimation and Inference in Econometrics. Oxford University Press. Doan,T.A.(1996),RATS, User s Manal Version 4.0. Estima. Greene, W. H. (1993), Econometric Analysis. MacMillan. Greene, W. H. (1995), LIMDEP version 7.0 User s Manal. Econometric Software Inc. Bell Port. Hall, B. H. (1997), Time Series Processor. Version 4.4. TSPInternational. Hasman, J.A. (1978), Speci cation Test in Econometrics. Econometrica 46, 6, Hendry, D.F (1984), Monte Carlo experimentation in econometrics, Handbook of econometrics, Vol. II., Ch.16. Hisao, C. (1986), Analysis of Panel Data. Cambrigde University Press. New York. Maddala, G.S. and Mont,T.D., A comparative stdy of alternative estimators for variance components sed in econometric applications. Jornal of the American Statistical Asotiation, 68, 342, Madós, J. and Uriel, E. (1995), Análisis comparativo de las estimaciones de modelos de panel en los programas LIMDEP, TSP, RATS. Revista de Economía Aplicada, 11, Molton., B.R. (1986), Random grop e ects and the precision of regresion estimates. Jornal of Econometrics 32, Molton., B.R. (1987), Diagnostic for grop e ects in Regresion Analysis. Jornal of Bsiness and Economic Statistics, 5,2, Mndlak, Y. (1978), On the pooling of time series and cross section data. Econometrica 46, 1, 28

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