UNIVERSIDAD PONTIFICIA COMILLAS ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA (ICAI)

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1 UNIVERSIDAD PONTIFICIA COMILLAS ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA (ICAI) IIND. 4º CURSO. ESTRUCTURAS EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS DE APLICACIÓN DE LA NORMA NBE-EA 95

2 C.1 En la viga de la figura, el efecto de la carga permanente es despreciable. Actúa, además, una sobrecarga de valor ponderado: q* = 1000 Kg/m ó q* = 0, según proceda. La viga está formada por un IPE 200 de acero A 42 b. Las articulaciones se van a realizar mediante cubrejuntas de alma soldados a una parte de la viga y unidos a la otra mediante un pasador, como se indica en la figura. Como pasador se va a utilizar un tornillo normalizado, como los considerados en la norma NBE-EA-95 (esta es una solución habitual para vigas de pequeña sección). Tras algunos tanteos previos, se ha estimado que la articulación A es la más desfavorable, y es la que se va a considerar a efectos de diseño. Para realizar dicho diseño, se pide: a) Dibujar la línea de influencia del esfuerzo cortante en la articulación A, indicando el criterio de signos y acotando los valores más característicos. b) Valor de la carga para el diseño de la articulación. c) Especificación del tornillo-pasador (hay varias soluciones posibles; basta con que des una de ellas, especificando: clase de tornillo, tipo de acero, diámetro de la caña y longitud del vástago). Considérese que el eje del tornillo coincide con el eje de la articulación. d) Especificación de las soldaduras (debes dar la garganta y la longitud eficaz) NOTAS: Para la resolución de los apartados c) y d) es posible que tengas que decidir el valor de algunos datos que no estén en el enunciado. La NBE-EA-95 establece: las uniones de fuerza deben constar de un mínimo de dos tornillos. No obstante, esto no es aplicable a este caso, puesto que se trata de formar una articulación. Por limitación de tiempo, es suficiente con que hagas únicamente las comprobaciones que implican directamente a las tensiones, prescindiendo de otras de tipo geométrico impuestas por la NBE-EA-95. En los pasos o decisiones en que se use la NBE-EA-95, indíquese el artículo, tabla, etc considerado. A 1 m 1 m 1 m 6 m 6 m Cubrejuntas e=5 6 m soldadur

3 a) Tenemos 5 incógnitas, tres por cada apoyo y dos en el empotramiento. Como tenemos 3 rótulas (que nos dan tres grados de libertad), y dos ecuaciones de equilibrio, estamos ante un caso isostático. La línea de influencia del esfuerzo cortante en la articulación A sería: b) Para calcular el valor de la carga hay que tener en cuenta que se nos da el valor ponderado de la carga, y que el efecto de la carga permanente es despreciable. Asimismo tendremos que ver que hipótesis de carga es la más desfavorable de cara a que nos de el mayor esfuerzo cortante ponderado, para lo cual tendremos que ver también que área de la línea de influencia es mayor. Con todo esto nos queda: El área mayor es aquél sobre el que se encuentra la sobrecarga ponderada q*=1000 Kg/m, éste sería el lado desfavorable. El lado favorable ayudaría a disminuir el esfuerzo cortante, y sobre éste se aplica el valor de la sobrecarga ponderado con un coeficiente de valor 0.00 (esto es q*=0), tal y como indica la norma en la Tabla La carga permanente era despreciable. La carga de diseño de la articulación será la correspondiente al esfuerzo cortante (momento flector no hay por ser una articulación, esfuerzo axial tampoco existe), y su valor es: T* = q* x Área =1000 x [(5x1)/2] = 2500 Kg. c) El esfuerzo cortante ponderado de la estructura se traduce en un esfuerzo cortante en el tornillo que se calculará según el Anejo 3.A5 de la norma. El esfuerzo

4 cortante de estudio pasa por el centro de gravedad de nuestro tornillo, este caso viene claramente especificado en dicho anejo, así entonces el esfuerzo en el tornillo será: R* = T* / n = 2500 / 1 = 2500 kg. (esto será lo que tenga que aguantar el tornillo) Ahora elegimos un tornillo y comprobamos que cumple con la norma. En el punto de la norma encontramos una regla orientativa para la elección del diámetro: d = 5*e = cm. Tomamos un tornillo ordinario T12. Σespesores = 15.6 mm < 4.5 * d =54 mm (tal y como se dice en es mismo punto) Resistencia de los elementos de unión chapa tornillo 2*σu*A =2600 * 1.2*0.56 = kg. (supuesta chapa de acero A42b) > 2500 ok 0.65* σt * n *A = 0.65 * 2400 * 2 * = kg > 2500 ok Donde hemos supuesto un tornillo en acero 4D. La longitud del vástago la obtenemos de la tabla C entrando con la longitud de apretadura 15.6 mm, por tanto: long. vástago = 40 mm. El tornillo elegido: 1 T 12 x 40 NOTAS: - Se invita al alumno que compruebe la unión con otros tornillos: T10, TC10, TC12. - Se recomienda al alumno que ponga también en práctica el criterio de la norma d) Para diseñar la soldadura empezamos eligiendo una garganta de acuerdo con la Tabla A. Entrando en ella con los espesores de las piezas que se van a soldar, 5 mm y 5.6 mm, elegimos una garganta de valor a = 2.5 mm. Identificamos ahora nuestro caso con el correspondiente en el Anejo 3.A6 de la norma. Estamos en el Caso 11 de torsión y esfuerzo cortante combinados de la tabla 3.A6.1. Ahora bien, hay que identificar los parámetros y tener en cuenta que nosotros tenemos dos cubrejuntas, uno por delante y otro por detrás, y que el caso del anejo es para un solo perfil. De esta manera: F* =T*/2 =1250 kg L = 5 cm (longitud eficaz) e 150/2 =75 mm =7.5 cm h = 100 mm = 10 cm

5 Con estos datos sale : σc = 1146,17 kg/cm 2 < 2600 kg/cm 2 Nos vale con una soldadura de garganta 2.5 mm y longitud eficaz 50 mm. El hecho de haber elegido una garganta que no cumpla con la condición que nos da la norma para el caso 11, no implica que la soldadura no vaya a aguantar. La condición 0.5h < L < 2h, nos indica los valores para los que se recomienda utilizar esa fórmula que da la tensión de comparación. Aplicando los criterios que la norma especifica en el punto 3.7.3, así como los métodos generales de cálculo, se puede comprobar que serían también válidas longitudes eficaces aún menores (incluso del orden de 25 mm) con las que se sigue cumpliendo que σc σu.

6 C.2 Se desea diseñar una unión atornillada a tracción entre una chapa de con otras dos de cada una, dispuestas como se indica en la figura. Tras algunos tanteos previos se ha llegado a la conclusión de que la unión se debe realizar mediante cuatro tornillos, dispuestos como se indica. El material es acero A42b. Los tornillos a emplear son TC de acero 5D. Se seguirán los criterios de la Norma NBE-EA-95. Se pide: a) Dimensionado de los tornillos (diámetro y longitud de vástago) y capacidad resistente de la unión (Se pretende que la limitación de la resistencia a tracción de la unión no venga impuesta por los tornillos, sino por la resistencia a tracción de las chapas; no olvidéis descontar la sección correspondiente a los taladros practicados). b) Todas las comprobaciones necesarias impuestas por la Norma. c) Croquis de la solución adoptada, acotando las distancias entre los ejes de los taladros y las distancias a los bordes de ambas chapas NOTA IMPORTANTE: En cada uno de los pasos o decisiones a tomar para la resolución de este ejercicio indíquese el artículo de la Norma EA-95 considerado.

7 a) Disposiciones constructivas Elección del diámetro: d 5e = cm, donde e = 1.5 cm. Se puede probar con TC 24 y TC 27. Nosotros lo haremos para TC 27. Con un TC 27 el diámetro del agujero será de 28 mm. En la tabla vemos que es admisible en relación con los espesores: 14< a < 36. Calculamos primero el máximo esfuerzo de tracción ponderado que pueden soportar las chapas supuesto que hacemos la unión con estos tornillos. Para ello se descuenta la sección correspondiente a los taladros. Sección neta x2 2x2.8x2 = 38.8 cm 2. Para acero A42b el máximo esfuerzo a tracción ponderado será: 2600 kg/cm 2 x 38.8 cm 2 = kg Sección neta x x2.8x2 =21.6 cm 2. Pero tenemos dos chapas como esta, así que la sección neta será 43.2cm 2. Como la sección neta de la chapa es menor que la de estas dos, el máximo esfuerzo a tracción ponderado será el de antes ( kg) pues limita más Resistencia de los elementos de unión La resistencia de la unión será: 0.80σ t na = = kg > En la tabla B obtenemos la longitud del vástago: e = =50 mm } l = 90 mm TC 27 Por tanto la unión será: 4 TC 27 x 90.

8 c) Disposiciones constructivas Distancias entre centros: S 3.5 a =3.5 x 28 = 98 S 8 a = 224 S 15 e = 15 x 15 = 225 S 15 a = 15 x 2.8 = 420 Por tanto: 98 s 224 Distancias a los bordes: Frontal t1 2 a = 56 Lateral t2 1.5 a = 42 A cualquiera t 6 e = 90 t 3 a = 84 Por lo tanto: 56 t t2 84 La suma de espesores no excederá el valor 6.5d =175.5 e =50 < Agotamiento de un perfil o chapa solicitados a aplastamiento contra la espiga del tornillo: 2.5σ ua = 2.5 x 2600 x 2.7 x 2.0 = kg Supuesto que actúa el máximo esfuerzo de tracción ponderado calculado antes: / 4 = kg cada tornillo, y no supera el límite de aplastamiento ( < 35100).

9 C.3 En el proyecto de una estructura se trata de realizar un empalme en un tirante mediante uniones atornilladas con cubrejuntas de alas y de alma, como se indica en la figura (el número de tornillos que aparecen en la figura lo es sólo a título de ejemplo). El tirante es un HEB140 de acero A 42 b. Siguiendo la recomendación de NBE-EA-95 (3.6.1) En cada estructura los tornillos utilizados serán de 2 ó 3 diámetros bien diferenciados, la estructura está proyectada con tornillos ordinarios de acero 4D, de diámetros 12, 16 y 24. La solución que se adopte para el empalme debe ceñirse a tornillos de estas características. Se pide: a) Número de tornillos necesarios en cada cubrejuntas, a cada lado del empalme, y su especificación según NBE-EA-95. Para el cálculo, supóngase un esfuerzo de tracción ponderado en el tirante de Kg. Además, téngase en cuenta la tabla de NBE-EA-95. b) Determinar el máximo esfuerzo de tracción ponderado que puede soportar el HEB 140 tras realizar el empalme (es una comprobación del valor de Kg. supuesto en el apartado a)). NOTAS: Se supone que las alas y el alma resisten unas porciones de la carga proporcionales a sus secciones. Por razones de limitación de tiempo nada se pide acerca de la disposición geométrica de los agujeros. Sección: Sección: 90 6

10 a) De acuerdo con la nota que da el enunciado y con las dimensiones del perfil, calculamos primero la parte del esfuerzo que tiene que aguantar el alma y la que tienen que aguantar las alas. - Ala: - Alma: x [(12x140)/(2x12x x7)] = kg x [(116x7)/(2x12x x7)] =17205 kg Elegimos tornillos según el punto de la norma: Alma: d = 5*e = 1.53 cm probamos con T16 Alas: d = 5*e = 2.24 cm probamos con T24 Σ espesores alma = 19 mm 4.5d =72 mm espesores ala = 24 mm 4.5d = 108 mm Comprobamos las limitaciones para los agujeros según la Tabla Alma: Ala: Min. 6 Máx. 7 Min. 12 Máx. 12 cualquier agujero hasta 17 mm cualquier agujero hasta 25 mm Esta tabla nos indica que se podrían coger tornillos que precisaran agujeros hasta esos valores para unir espesores comprendidos entre esos valores máximo y mínimo. Con esta tabla se nos viene a decir que no cojamos tornillos muy grandes para unir perfiles demasiados delgados, y al revés, perfiles muy gordos con tornillos demasiado pequeños Resistencia de los elementos de unión Alas: Agotamiento de un tornillo solicitado a esfuerzo cortante: 0.65* σt * n *A = 0.65 x 2400 x 1 x = 7053 kg Donde n =1 y así obtenemos lo que aguantaría un tornillo a esfuerzo cortante. El acero es 4D, y el área es el de la sección de la espiga de un T24. Un ala tenía que aguantar kg, por tanto:

11 35597 / 7053 = 5.04 Por lo tanto cogemos 6 tornillos para cada ala ( 6 para el superior y 6 para el inferior a cada lado de la sección a unir). Agotamiento de una chapa o perfil por aplastamiento contra espiga: 2*σu*A =2 x 2600 x 2.4 x 1.2 = kg Esto es lo que aguanta el cubrejuntas Habíamos puesto 6 tornillos, cada uno de los cuales deberá soportar: / 6 = 5933 kg Como esto es menor que lo que aguanta el cubrejuntas (5933 < 14976), no tendremos agotamiento de la chapa por aplastamiento contra la espiga del tornillo. Ya sabemos que 6 tornillos T24 son suficientes para aguantar la unión, ahora nos queda especificar la longitud del vástago. Para ello entramos en la tabla C de la norma con la longitud de apretadura ( e =24 mm) y obtenemos: Long. Vástago = 60 mm. Por tanto tenemos 6T24 x 60 en cada ala y a cada lado de la sección a unir. Alma: Agotamiento de un tornillo solicitado a esfuerzo cortante: 0.65* σt * n *A = 0.65 x 2400 x 2 x 2.01 = 6273 kg. Donde ahora cada tornillo tiene dos secciones transversales que resisten conjuntamente al es fuerzo cortante y por tanto n = 2, y A es el área de la sección de la espiga de un T16. El alma tenía que soportar kg, necesitaremos entonces: / 6273 = 2.74 Tres tornillos a cada lado de la sección cada uno de los cuales deberá soportar / 3 = 5735 Kg Agotamiento de una chapa o perfil por aplastamiento contra espiga: 2*σu*A =2 x 2600 x 0.7 x 1.6 = 5824 kg 5824 > 5735 La chapa aguanta. La longitud del vástago la obtenemos con la longitud de apretadura y la tabla C de la norma:

12 e = 19 mm sección a unir. b) Long. Vast. = 45 mm, por tanto 3T16 x 45 a cada lado de la Máximo esfuerzo a tracción que puede soportar el HEB 140: Hay que descontar los agujeros en la sección transversal del perfil: Sección neta : 43 4 x 2.5 x x 0.7 x 1.7 = 29.81cm 2 El máximo esfuerzo que soportará a tracción: σu x A neta = 2600 x =77506 kg.

13 C.4 En las figuras se representa la unión de una barra a una cartela y la disposición de las presillas, en una viga de celosía. El material empleado es acero A42b. A efectos de cálculo, la barra tiene una longitud de 3,20 m. Consideradas las distintas hipótesis de carga, dicha barra ha de soportar solicitaciones comprendidas entre N*= Kg (tracción) y N*= Kg (compresión). En un prediseño se ha dimensionado la barra con 2L y la cartela con chapa de 12 mm de espesor. Se trata ahora de comprobar esta solución y completar el diseño de la barra, todo ello de acuerdo con la Norma EA- 95. Se pide: a) Separación de las presillas a disponer, l 1. b) Comprobación de la sección. (Para la determinación de longitudes de pandeo téngase en cuenta la tabla de la Norma y considérese que la barra no está en el contorno de la figura). c) Dimensionado de las soldaduras de unión a la cartela. Cartela e = 12 mm Barra 2L Soldaduras l 1 presilla

14 a) La separación de las presillas se recoge en el apartado de la norma : l 1 50i El menor radio de giro de la pieza simple considerada (L ) se obtiene de las tablas de perfiles: i = 1.95 cm. l 1 50 x 1.95 = 97.5 cm. 320 / 97.5 = 3.28 ; tomamos 4 tramos; 320 / 4 = 80 cm. l 1 = 80 cm. b) Para la comprobación de la sección hay que determinar primero las longitudes de pandeo según la tabla de la norma tal y como indica el enunciado. Esta tabla nos da los coeficientes de esbeltez β en barras de estructuras triangulares. l k =βl Según la condición del enunciado de que la barra no está en el contorno de la figura, obtenemos de la tabla: Pandeo en el plano de la estructura, caso 3; β = 0.8 En el plano de la estructura la longitud de pandeo es l k = 3.20 x 0.8 = 2.56 m. Pandeo perpendicular al plano de la estructura, caso 3; β = 1 En el plano perpendicular a la estructura la longitud de pandeo es l k = 3.20 x 1 =3.20 m. Ahora calculamos las esbelteces según el apartado de la norma: Para el pandeo en el plano de la estructura, esto es, entorno a un eje de inercia material (por la colocación que nos dan de los perfiles), tenemos que : λ = l k / i = 256 / 3.04 = (i se obtiene de la tabla de perfiles) Con este dato ya podemos calcular el pandeo de piezas sometidas a compresión centrada según el apartado de la norma. De la tabla obtenemos el coeficiente de pandeo ω del acero A42b, que es ω =1.60. Ahora calculamos σ*: σ* = N* (ω/a) = (1.60 / 219.2) = kg/cm 2. Donde N* se toma la compresión puesto que el pandeo es a compresión y no a tracción, y el área es dos veces la del perfil simple puesto que tenemos dos perfiles.

15 Para el pandeo perpendicular al plano de la estructura, esto es, entorno al eje de inercia libre tenemos que: λ = ( l k /i) (m/2)λ 1 ( ) donde: m = 2 l k = 3.20m λ 1 = l 1 /i 1 = 80 / 1.95 = ( ) i se calcula según el teorema de Steiner: I Y = I y + A d 2 ; i = (I Y /A) = i y +d 2 d = c + e/2 = = 3.42 cm c se ha obtenido de la tabla de perfiles y e es el espesor de la cartela. Con todo esto queda que: i = cm. λ toma un valor de 81. Entrando en la tabla se obtiene que ω vale 1.53, este valor es menor aún que el anterior con lo que cumplirá también que σ* σ u. c) Para la soldadura tomamos como esfuerzo ponderado el mayor de los dos N*=42750kg. Por la disposición del centro de gravedad del perfil (no centrado) dicho esfuerzo se repartirá de forma distinta en cada soldadura. F1* = x (2.82/10) = kg F2* = x [( )/10] = kg Esto se ha calculado teniendo en cuenta que: F1*+F2* = F1*a = F2*b ( M cdg =0) a y b se obtienen de la tabla de perfiles. El espesor de la garganta lo determinamos según la tabla A: Perfil e =10 mm; 4 a 7 Chapa e = 12mm; 4 a 8 Probamos con a = 4 mm, que cumple los dos intervalos.

16 Puesto que estamos en un caso de esfuerzo axial, la longitud eficaz la podemos elegir según el apartado de la norma: Valor mínimo: l 15a = 60 mm l b = 100 mm Valor máximo: l 60a = 240 mm l 12b =1200 mm Probamos con una l = 100 mm que cumple las cuatro condiciones. En la tabla 3.A6.1 vemos que estamos en el caso 1; Para la soldadura que soporta F1*: / ( ) = kg/cm 2 Esta soldadura sí que aguanta. Para la soldadura que soporta F2*: / ( ) = kg/cm 2 ; supera el límite elástico del acero, luego esta soldadura no aguanta y tendremos que aumentar l y a. Probando con l = 115 mm y a = 7mm / ( ) = kg/cm 2 Esta sí que aguanta. Finalmente:

17 C.5 En el diseño de un pilar de 5 25 m. de altura se ha adoptado la solución de 2IPE220 unidos con presillas. Acero A42b. Las condiciones de contorno son de empotramiento en un extremo y articulación (sin posibilidad de desplazamiento lateral) en el opuesto, iguales en los dos planos de simetría. En la resolución se tendrá en cuenta cuanto dispone la Norma NBE-AE-95. Se pide: a) Máxima compresión centrada (ponderada) que puede soportar el pilar. b) Disposición más adecuada de las presillas. c) Separación entre ejes de los perfiles IPE. d) Valor del momento flector ponderado a soportar por las presillas. e) Diseño de las presillas (dimensiones) y de las soldaduras de unión a los IPE. Dibujar la solución. a) ************************************************* Dadas las condiciones de contorno del pilar calculamos la longitud de pandeo a partir del coeficiente de esbeltez. Esto lo encontramos en el apartado de la norma. β = 0.7 ; l k = 0.7 x 5.25 =3.675 m λ = l k /i = / 9.11 = De la tabla obtenemos el coeficiente de pandeo ω del acero: ω =1.07 Según el apartado en las piezas sometidas a compresión centrada ha de verificarse que: σ* = N* (ω/a) σ u ; Despejando N* queda : N* = kg Donde i y A se sacan de la tabla de perfiles del anejo 2.A1 (i = 9.11cm, A = 33.4 cm 2 ), y el área es dos veces el del perfil simple porque tenemos perfiles formando el pilar entre los cuales se reparte la compresión. b) Elementos de enlace de una pieza compuesta. l 1 50i ; i menor radio de giro del perfil simple: i = 2.48 cm. l cm 525 /124 = 4.23 ; tomamos 5 tramos. 525 /5 =105 cm; l 1 = 105 cm. ( 50i, cumple la condición) c) Del apartado : λ = (l k /i) 2 + (m/2)λ 1 2 ; pandeo en un plano perpendicular al eje de inercia libre. De esta expresión debemos despejar la i. El valor de los parámetros de la misma son: λ = l k =3.675m

18 m = 2 λ 1 = l 1 /i 1 =105 / 2.48 = ( Esbeltez complementaria) Despejando queda: l k /i = λ 2 (m/2)λ 2 1 = Como se puede observar esto no es aplicable porque sale una raíz negativa. Para arreglar esto tenemos que disminuir el sustrayendo de la raíz, Cómo?, disminuyendo λ 1, para lo cual habrá que disminuir l 1, esto es, aumentar el número de tramos. Tomando 6 tramos: 525/6 = 87.5 cm =l 1 ; λ 1 = l 1 /i 1 =87.5 / 2.48 = l k /i = λ 2 (m/2)λ 2 1 = = ; i = 367.5/19.55 =18.79 cm s 2i ; s 38 cm. Esta separación es bastante considerable, aumentaremos el número de tramos para que no salgan tan separados los perfiles: Con 8 tramos: l 1 = 525/8 = ; λ 1 = / 2.48 = 26.5; l k /i = = 30.4 i = 367.5/30.4 =12.09 s = 25cm. d) Cálculo de los enlaces de las piezas compuestas. En el punto se definen todos los parámetros de las siguientes expresiones que también se recogen en él. T i * = A( σ u /80) η = 2 x 33.4 x (2600/80) x 1 =2171 kg η = s/20i 1 < 1, luego tomamos η =1 (si fuera mayor que 1 se toma el número que diera) Tp* = T i * (l 1 /ns) = 2171 x ( / 225) = kg. Mp* = T i * (l 1 /2n) = 2171 x ( / 22) = kg cm.

19 C.6 La estructura representada consta de una viga continua articulada montada sobre tres pilares. El pilar central se une a la viga mediante una articulación, y los pilares laterales mediante apoyos móviles (de forma que es posible el giro y el desplazamiento de las cabezas de dichos pilares en el plano de la figura con independencia del giro de la viga). Para el movimiento en el plano perpendicular al de la figura, existen arriostramientos que impiden el desplazamiento de las cabezas de los tres pilares, pero no su giro. Sobre la viga actúa una carga permanente de 3000 Kg/m en toda su longitud. Además puede actuar o no una sobrecarga de Kg/m en cualquier lugar de la misma. Se trata de diseñar los pilares laterales, con el mismo diseño para ambos, con una disposición de dos IPE unidos por presillas. Acero A42b (garantizado). Se hará de forma que se cumpla lo establecido en la Norma EA-95, y con el criterio de aprovechamiento óptimo del material. Se pide: a) Elige la disposición en planta más adecuada, de las dos representadas en la figura. b) Línea de influencia de la reacción en cada uno de los pilares laterales. c) Carga de cálculo (ponderada). d) Dimensionado de los perfiles IPE. e) Separación entre presillas (de forma que sea máxima). f) Separación entre los ejes de los perfiles. g) Esfuerzos en las presillas. 7,50 7,50 6,00 1,50

20 a) La disposición más adecuada es: La longitud de pandeo en el plano perpendicular al papel dadas las condiciones que nos dicen es 0.7L. Este caso es menos desfavorable que el que tenemos en el plano del papel donde la longitud de pandeo es 2L. Con el caso menos desfavorable diseñaremos los perfiles, mientras que en el caso más desfavorable dejaremos la libertad de poder separar los perfiles para manipular el radio de giro. b) La línea de influencia de la reacción del pilar izquierdo (L.I. 1): 1 La línea de influencia de la reacción del pilar derecho (L.I. 2): c) Para la carga de cálculo ponderada, primero planteamos las hipótesis de carga para cada línea de influencia anterior. Para ello tenemos que tener en cuenta los coeficientes de ponderación de la Tabla de la norma. Para el pilar izquierdo: q s *+q p * q s * = 1.5 x =15000 q p * = 1.33 x 3000 = 3990 El valor de la reacción ponderada se obtiene multiplicando el área bajo la línea de influencia por la carga ponderada:

21 R1*= (q s *+q p *) x A1 = kg donde A1= 3 Para el pilar derecho: q s *+q p * = 1.5 x x 3000 = q p * = 1.00 x 3000 = 3000 En la zona donde el área de la línea de influencia es mayor (zona desfavorable) tenemos aplicadas la carga permanente y la sobrecarga ambas ponderadas con el mayor de los coeficientes. En el resto de la viga la reacción tiene signo opuesto y ayuda a disminuir la reacción por eso es la zona favorable y se aplica la carga permanente ponderada con el menor de los coeficientes (1.00) y la sobrecarga se pondera con el coeficiente De esta manera la reacción ponderada será la mayor posible y por tanto lo más desfavorable, estando así lo más cerca posible del lado de la seguridad. De esta manera: R2* = (q s *+q p *) x A3 - q p * x A2 = = Kg. Donde A3=3.75 y A2=0.75. Como los pilares se van a diseñar igual cogemos la reacción mayor para que aguanten los dos pilares, por tanto la carga de cálculo ponderada será: R* = kg. d) Para dimensionar los perfiles tomamos la situación menos desfavorable, esto es, la de longitud de pandeo menor. Esta situación es la que tenemos en el plano perpendicular al papel. La longitud de pandeo la obtenemos en el apartado de la norma: l k = β l con β = 0.7 tenemos que l k = 4.20 m. La esbeltez mecánica de una pieza compuesta de sección constante la obtenemos en el apartado de la norma. Hay que tener en cuenta que estamos en el caso de pandeo en el plano perpendicular al eje de inercia material por la disposición en planta que habíamos elegido en el apartado a). λ= l k / i Primero tendremos que probar con un perfil del que tomaremos el valor de i según la tabla 2.A1.2 para obtener así el valor de λ. Con este valor entraremos en la tabla 3.2.7

22 para obtener el coeficiente de pandeo ω del acero. Finalmente según el apartado de la norma obtendremos σ* y comprobaremos que no supera el límite elástico del acero. Podemos empezar a tantear un perfil con un área de valor : A = R*/ σ u = / 2600 =26.52 cm 2. Probamos con un IPE 200 (A = 28.5 cm 2 ) y nos sale : λ= l k / i = 420 / 8.26 = ; ω = 1.14 ; σ* = R* x (ω/a) = kg / cm 2 Para calcular σ* se divide por 2A ya que R* se reparte entre dos perfiles. Habrá que reducir el área de los perfiles para acercarnos lo más posible a 2600 pero siempre por debajo, así ahorraremos material. Si vamos probando vemos que el óptimo está en IPE 160 (A = cm 2 ) : λ= l k / i = 420 /6.58 =63.82 ; ω = 1.26 ; σ* = R* x (ω/a) = kg / cm 2 Por tanto tendremos 2 IPE 160. e) La separación entre presillas la obtenemos según el apartado de la norma: l 1 50i, el I mínimo de la pieza simple considerada es 1.84 cm. Por tanto: l 1 92 cm. Nº de tramos = 600 / 92 = 6.52; tomamos 7 para que sea la máxima tal y como dice el enunciado y para que se cumpla siempre que l 1 92 cm. La separación de las presillas final será: l 1 = 600 / 7 = cm. Con un número de tramos superior a 7 también se cumple que l 1 92 cm, pero no que la separación sea máxima. f) Para la separación de los perfiles tendremos en cuenta la situación más desfavorable de pandeo, que era la del plano del papel, donde l k = β l =2l. En el apartado de la norma obtenemos la esbeltez mecánica ideal, puesto que estamos en un caso de pandeo en el plano perpendicular al eje de inercia libre por la disposición de los perfiles que habíamos elegido según el apartado a). λ = ( l k /i) 2 + (m/2)λ 1 2 donde: l k = 12m. m = 2 λ 1 se obtiene según : λ 1 = l 1 /i 1 =85.71 /1.84 = λ tiene el mismo valor que la que tenía en el otro plano de pandeo, Con esta condición de igualdad de esbelteces en los dos plano de pandeo podemos despejar el valor de i. De forma muy aproximada se cumple que s 2i, si no habría que aplicar el

23 teorema de Steiner para calcular el radio de giro respecto del eje de inercia libre. (s es la separación entre los centros de gravedad de los perfiles). Despejando sale i = cm y por tanto s 55 cm. g) Los esfuerzos en las presillas se calculan según T i * = A( σ u /80) η = 2 x 20.1 x (2600/80) x =1953 kg η = s/20i 1 =1.495 Tp* = T i * (l 1 /ns) = 1953 x (85.7 / 110) =1553 kg. Mp* = T i * (l 1 /2n) = 1953 x (85.7 / 4) = kg cm.

24 C.7 Diseño del pórtico representado en la figura Debe ser conforme con los criterios establecidos por la norma EA-95. Acero A42-b (límite elástico garantizado). Descripción: Dos pilares, BF y DG, empotrados en F y G, y con articulaciones en B y D. Viga horizontal ABCDE apoyada sobre los pilares a través de las dos articulaciones, en B y D, y con dos ligaduras, en A y E, que impiden posibles movimientos laterales. Con excepción de los dos empotramientos, el conjunto de la estructura no dispone de ninguna ligadura que impida posibles movimientos en dirección perpendicular al plano de la figura. Cargas (valores característicos): Carga permanente, en toda la viga: 2 t/m. Sobrecarga uniforme, que puede actuar o no en cualquier punto de la viga: 5 t/m. Tren de cargas móviles: P = 20 t. ; a = 2.00 m. P P A B C a D E Y Y 5.75 Z X Z X F G

25 Se pide: 4.1. Diseño de la viga. No se establece limitación de flecha. Se prevé una sección con perfil IPN; si no fuera posible con un sólo IPN, se pueden disponer dos IPN adosados. a) Secciones críticas (es decir, aquellas en que es previsible que el momento flector tome el valor máximo). b) Líneas de influencia del momento flector en las secciones críticas (supóngase una carga vertical unidad dirigida hacia abajo), acotando los valores más característicos con expresión de su signo. c) Dibujo de los estados de carga a considerar para la determinación del momento flector máximo. d) Valor del momento flector ponderado de cálculo (coeficientes de ponderación EA- 95) y solución para la sección de la viga. Como es habitual en perfiles IPN se puede despreciar el efecto de las tensiones de cortadura Diseño de los pilares. Se prevé una disposición de dos UPN unidos por presillas. a) Cuál de las dos disposiciones representadas consideras más conveniente? por qué? X X b) Línea de influencia de la carga en un pilar. c) Dibujo del estado de carga a considerar en Z Z la estructura y determinación de la carga máxima ponderada en el pilar. d) Elección de los UPN (para la disposición elegida en a), estudiar el pandeo en el plano perpendicular al eje de inercia material de la sección). e) Disposición de presillas (número mínimo). f) Separación entre ejes de los perfiles U de forma que se tenga la misma esbeltez en los dos ejes de inercia y valor del momento flector ponderado a soportar por las presillas. Qué ventaja tiene la igualdad de esbelteces en los dos ejes de inercia?

26 4.1 a y b) Calculamos la línea de influencia del momento flector en las secciones críticas que son el centro de vano y el apoyo: c) d) El cálculo de las cargas ponderadas se hace de acuerdo con los coeficientes de la tabla de la norma. La carga permanente tiene un coeficiente de ponderación de 1.33 en el lado desfavorable y 1.00 en el favorable. La sobrecarga se pondera con un coeficiente de 1.50 en el lado desfavorable y de 0.00 en el favorable. El tren de cargas se coloca donde mayor momento flector puede producir, y este será donde mayor cota tenga la línea de influencia y actuando en el lado desfavorable. qp* = 1.33 x 2000 =2660 kg/m (desfavorable) qp* = 1.00 x 2000 =2000 kg/m (favorable) qs* = 1.50 x 5000 =7500 kg/m (desfavorable) qs* = 0.00 x 5000 = 0 kg/m (favorable) Para el caso de la L.I. del momento flector en el centro de vano, el momento vale: Mf* = 2 x [(3.5 x1.75)/2] x x x 1.25 [(1.25 x 1.25)/2] x 2000 = kg m Para el caso del momento flector en el apoyo: Mf* = [(2.5 x 2.5)/10160] x x 0.5 = kg m

27 Las cotas correspondientes al tren de cargas se calculan fácilmente aplicando el teorema de Thales. El caso más desfavorable es el momento flector en el centro de vano. σu = Mf* / W ; W = Mf* / σu = ( x 100) / 2600 = 5037,69 cm^3 Con un solo perfil IPN no se llega a es módulo resistente El (IPN 600 es el máximo y sólo llega a 4630 cm^3). Cogemos dos perfiles iguales que lleguen a ese módulo: 2 IPN 500 = 2 x 2750 = 5500 cm^3 4.2 a) Porque la longitud de pandeo es mayor en el plano perpendicular al papel, y por tanto más desfavorable. b y c) Donde qp* y qs* toma los valores del apartado anterior. Rb* = [(1.357 x 9.5)/2] x x x [(2.5 x 0.357)/2] x 2000 = kg d) El plano de pandeo menos desfavorable es el del papel. Tomamos esta longitud de pandeo (lk = 0.7 L, según punto de la norma) para determinar el perfil. lk = 0.7 L = 0.7 x 5.75 = m

28 Para un primer tanteo de perfil: A = N* / σu = cm^2 ; A/2 = cm^2 UPN 180: UPN 200: A = 28.0 cm^2 i = 6.95 cm λ = / 6.95 = ω = 1.20 σ* = x (1.2/ 56) = kg/cm^2 A = 32.2 cm^2 i = 7.70 cm λ = / 7.70 = ω = 1.14 σ* = x (1.14/ 64.4) = kg/cm^2 < 2600 kg/cm^2 Los coeficientes de pandeo se sacan de la tabla de la norma y la esbeltez mecánica viene definida en el punto de la norma. La solución final será: 2UPN 200 e) Del punto de la norma: l1 50 i i = 2.14 cm (mínimo momento de inercia de la sección) l1 107 cm 5.75x100 / 107 = 5.37 ; tomamos 6 tramos de manera que la separación de las presillas será: l1 = cm f) Del punto de la norma sacamos la esbeltez mecánica ideal una pieza compuesta en un plano perpendicular a un eje de inercia libre: λ = (lk /i) 2 + m/2 (λ1) 2 (igualdad de esbelteces) Según el punto la longitud de pandeo será: lk =2x5.75 =11.5 m = (11.5/i) 2 + (44.78) 2 donde : m=2 λ1 = l1 / i1 = / 2.14 = (punto ) Despejando la i se obtiene que: i = 42.6 cm s 2i =85.2 cm