SOLUCIONES A LAS CUESTIONES TIPO TEST

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1 Grado en Economía Facultad de Economía, Empresa y Turismo Matemáticas para la Economía I Curso 01/013 Soluciones del examen de la convocatoria ordinaria celebrado el 09/07/013 IMPORTANTE: Las calificaciones se publicarán el 1/07/13, en el apartado de Evaluación del aula virtual de la asignatura. La revisión será el 1 y el 16 de julio, de 11 a 1 horas en la sala D4.1. SOLUCIONES A LAS CUESTIONES TIPO TEST A B 1 b c c b 3 c a 4 a b b a 6 c a

2 PRIMERA PARTE CUESTIONES TIPO TEST TIPO A 1. La ecuación de la recta tangente de la 3x 1 función f( x) en el punto x 1 es: x 1 a) No puede calcularse porque x 1 Dom( f ). b) x 3 y. c) y x 4. a) Compatible indeterminado, e y se puede expresar a partir de z como y z. b) Compatible indeterminado, e y se puede expresar a partir de z como y 1 z. c) Incompatible. 6. La forma cuadrática Q( x, y, z) x 3y z 4xy yz, restringida a la ecuación z x y, es:. Si y cuando t : 3 ln(x 1) y x t te, entonces dy dt a) Indefinida. b) Semidefinida positiva. c) Definida positiva. a) El resultado de b) 3. lim x e x0 es: a) 0. b) 1. c). 4. El valor del determinante c) a) 3. b) 7. c) 7.. El sistema x yz 1 3x 3y3z 3, es: x y3z 3 es: Marque con una su respuesta en el cuadro siguiente. Cuide que la opción elegida quede clara. Sólo una de las alternativas es correcta. En folio aparte debe justificar la respuesta elegida para puntuar. Cada pregunta tiene una puntuación máxima de 4 puntos. Indique claramente el número de pregunta que corresponda y escriba con bolígrafo y letra clara. 1 a b c a b c 3 a b c 4 a b c a b c 6 a b c

3 SOLUCIONES PRIMERA PARTE JUSTIFICACIÓN DE LAS RESPUESTAS TIPO A ( ) 1, donde la función es continua y derivable, por ello, en x 1 puede calcularse la recta 1. Dom f tangente, y ax b, que cumple: ( x 1) 6 x (3x 1) 1 3x 6x 1 10 La pendiente es a f '( 1), como f '( x) ( x 1) ( x 1) a f '( 1) 4, por tanto, la ecuación queda, y x b. 3 Y pasa por el punto ( 1, f( 1)) ( 1, 1) 1 ( 1) b b, de forma que la ecuación es, 3 x 3 y x.. Aplicando la regla de la cadena y ya que si t x, se tiene que dy dy dx x dt dx dt x 6 t t 4 4 e te 3 1 t t x t 1 x ( ) lim e e ( ) 0 lim lim lim 1 1/ x, x x e e x 0 x 0 x 0 x0 L Hopital una vez conseguida la indeterminación. donde se ha aplicado la regla de 4. Este determinante se ha de calcular desarrollándolo por una fila o una columna. En este caso lo haremos desarrollándolo por la cuarta fila: CC La matriz ampliada del sistema es, Ab , que cumple: rango( A) rango 3 3 3, porque A 0 y Además, rango( A b ), porque A 0 y

4 Por tanto, rango( A) rango( A b ) r n 3, y se trata de un SCI, en el que hay r ecuaciones linealmente independientes (la primera y la tercera), en las que despejaremos r incógnitas (x e y) a partir de las nr 3 1 restantes (z), que actúa como parámetro: x y 1z. x y 3 3z Utilizando cualquier técnica para la resolución de sistemas compatibles determinados se llega a que la solución de este sistema es: x z, y 1 z. 6. La matriz asociada a la forma cuadrática Q es elementos de distinto signo en la diagonal. La forma cuadrática restringida queda: 1 0 A Además, Q es indefinida ya que tiene Qrest ( x, y) Q( x, y, x y) x 3y x y 4xy y x y x xy y, con matriz 1 asociada, B B1 0,, 1 con B B 90. Y se trata de una forma cuadrática definida positiva.

5 SEGUNDA PARTE CUESTIONES CORTAS Y EJERCICIOS TIPO A 1. Enuncie o defina los siguientes resultados y conceptos: a) Indique la relación entre la continuidad y la derivabilidad de una función f ( x ). ( puntos) b) Multiplicidades algebraica y geométrica de los valores propios de una matriz An n. ( puntos). Dadas las curvas de demanda y oferta p f( q) q q80 y p g( q) q 40, respectivamente, se pide, a) Obtener los puntos de corte de las dos curvas con el eje OX y los puntos de corte entre ambas. Para * * q, p 0, cuál es el punto de equilibrio ( q, p ) tal que f( q) g( q)? (4 puntos) b) Estudiar el crecimiento y el decrecimiento y calcular los óptimos locales de la función de ingresos, Iq ( ) q f( q). (Nota: realizar el estudio en toda la recta real). (4 puntos) c) Se alcanza el máximo global de Iq ( ) para q 0? Cuánto vale el ingreso máximo? Hay valores de q 0 para los que los ingresos son negativos? (4 puntos) d) Calcular el excedente del consumidor, es decir, calcular la cantidad, geométricamente el área calculada. (4 puntos) * q * ( ( ) ), 0 EC f q p dq y representar 3. Sea el siguiente conjunto de vectores de 3, 0,,, 3,1, 3, a, 1,3, a,,1, a. Se pide: a) Discutir la dependencia o independencia de esto cuatro vectores en función de los posible valores de a. Dar en cada caso un conjunto con el número máximo de vectores linealmente independientes. (4 puntos) Tomar los tres primeros vectores del conjunto anterior y formar una matriz A M3 en la que cada vector se corresponde con una columna de A. t b) Para a 1, calcular 8 AA 1. (4 puntos) c) Para a 3, calcular los valores propios de la matriz A e indicar sus multiplicidades algebraicas. (4 puntos) d) Para a 3, hallar los vectores propios asociados al menor valor propio y decidir si la matriz es diagonalizable. (4 puntos) SOLUCIONES SEGUNDA PARTE TIPO A 1.a) Si una función f ( x ) es derivable en un punto de su dominio, entonces es continua en dicho punto. Esto implica que una función no continua ya no puede ser derivable. 1.b) Dado un valor propio i de una matriz cuadrada, su multiplicidad algebraica, i, es el número de veces que aparece como raíz del polinomio característico y la multiplicidad geométrica, m i, es el número de vectores linealmente independientes a partir de los cuales se pueden generar todos los vectores propios asociados a ese valor propio.

6 .a) gq f q q q q ( ) ,10 puntos ( 8,0) y (10,0). ( ) q 40 0, por lo que no corta al eje OX. f q g q q q q q q q q q * * Como f() g() 6, el punto de equilibrio es el punto ( q, p ) (,6). ( ) ( ) 80 = , b) Iq ( ) q f( q) q q 80 qi'( q) 3q 4q40 0 q 4.4, Y como I'( q ) es una parábola cóncava cuyos puntos de corte son los puntos críticos calculados, se tiene claramente que: I'( q) 0 q 4.4 ó q.87 I es decreciente en (, 4.4) (.87, ), I'( q) q.87 I es creciente en ( 4.4,.87). Del estudio de la monotonía, y como I es continua en todo, se desprende que necesariamente el punto q 4.4 es un mínimo local porque la función pasa de decrecer a crecer, y el punto q.87 es un máximo local porque la función pasa de crecer a decrecer..c) Para q 0 la función Iqtiene ( ) un único cambio de crecimiento a decrecimiento que se produce justamente en el máximo local q.87. Además, se tiene que lim Iq ( ), por lo que necesariamente se trata de un q máximo global. Por tanto, el valor del ingreso máximo es, aproximadamente, I(.87) 336. unidades monetarias. El límite que hemos calculado ya indica que Iq ( ) toma valores negativos para q 0. Calculando los puntos de corte de dicha función con el eje OX, 3 Iq ( ) q q 80q 0 q 8,0,10, observamos que sólo tiene tres cambios de signo, en particular, para q 0, sólo cambia de signo en q 10, y es fácil ver que su signo es: Iq ( ) 00q10, Iq ( ) 0q 10..d) Teniendo en cuenta que * * ( q, p ) (,6), se tiene que, * q 3 * q 1 17 EC ( f( q) p ) dq ( q q80 6) dq ( q q1) dq q 1q Se trata del área comprendida entre la función f ( q ) (que es una parábola cóncava cuyos puntos de corte obtuvimos en el primer apartado), la recta horizontal p 6, y las rectas verticales q 0 y q : 3.a) Para discutir la dependencia de los vectores, formamos una matriz en la que cada vector se corresponde con una columna (o fila) y estudiamos su rango. Estudiemos, por tanto, el siguiente rango

7 0 3 a a rango Como , 1 se tiene que el rango es como mínimo. Veamos si el rango puede ser 3. Para ello consideramos todas las posibles ampliaciones del determinante anterior: 0 3 a a 0a 3, a 1 48a 0a Si a 3, el rango de la matriz es y por tanto hay como máximo dos vectores independientes. Como se puede asegurar que el conjunto de vectores 0,,, 3,1, 3 está formado por el número máximo de vectores independientes. Obsérvese que cualquier conjunto con dos vectores con los que se pueda formar un determinante de orden también sería válido. Si a 3, el rango de la matriz sería 3 y por tanto habría un máximo de 3 vectores independientes. A partir de los 0,,, 3,1, 3, a, 1,3 y datos obtenidos anteriormente, se puede asegurar que los conjuntos 0,,, 3,1, 3 a,,1, con a 3 independientes., estarían formados por el número máximo de vectores linealmente b) Para a 1, se tiene que A y A 16. Por tanto, aplicando las propiedades de 3 3 determinantes, se tiene: t AA t t AA A A A A ( ) c) Para a 3, A 1 1, por tanto: pa( ) AI3 1 1 (1 )(3 ) 6186(1 ) 3 6(3 ) , con 1, ( 4) 0 4, con 1. 3.d) Se trata de obtener los vectores propios asociados al valor propio 1 0, para lo que habrá que resolver el sistema homogéneo siguiente:

8 0 3 3 x 0 ( A1I3) x y 0, con, 3 3 z r rango( A1I3) rango 1 1, ya que, Por tanto hay r ecuaciones linealmente independientes (primera y segunda), en las que despejaremos r incógnitas (x e y) a partir de las nr 3 1 restantes (z), que actúa como parámetro, lo que permitirá obtener nr 3 1 vector propio linealmente independiente: 3y 3z, con z y z, x 0, z (0, z, z) z(0,1,1) (0,1,1) es un vector propio x y z linealmente independiente asociado al valor propio 1 0. Por último, acabamos de obtener que m 1 nrango( A 1 I 3 ) 31 1 la matriz no es diagonalizable.

9 PRIMERA PARTE CUESTIONES TIPO TEST TIPO B 1. La ecuación de la recta tangente de la 3x 1 función f( x) en el punto x 1 es: x 1 a) No puede calcularse porque x 1 Dom( f ). b) y x 4. c) x 3 y. a) Compatible indeterminado, e y se puede expresar a partir de z como y z. b) Compatible indeterminado, e y se puede expresar a partir de z como y 1 z. c) Incompatible. 6. La forma cuadrática Q( x, y, z) x 3y z 4xy yz, restringida a la ecuación z x y, es:. Si y cuando t 1 : 3 ln(x 1) y x 1 te t, entonces dy dt a) Indefinida. b) Semidefinida positiva. c) Definida positiva. a) El resultado de b) 3. lim x e x0 es: c) 4. a). b) 0. c) El valor del determinante es: a) 3. b) 7. c) 3.. El sistema x yz 1 3x 3y3z 3, es: x y 3z 3 Marque con una su respuesta en el cuadro siguiente. Cuide que la opción elegida quede clara. Sólo una de las alternativas es correcta. En folio aparte debe justificar la respuesta elegida para puntuar. Cada pregunta tiene una puntuación máxima de 4 puntos. Indique claramente el número de pregunta que corresponda y escriba con bolígrafo y letra clara. 1 a b c a b c 3 a b c 4 a b c a b c 6 a b c

10 SOLUCIONES PRIMERA PARTE JUSTIFICACIÓN DE LAS RESPUESTAS TIPO B ( ) 1, donde la función es continua y derivable, por ello, en x 1 puede calcularse la 1. Dom f recta tangente, y ax b, que cumple: ( x 1) 6 x (3x 1) 1 3x 6x 1 10 La pendiente es a f '(1), como f '( x) a f '(1), ( x 1) ( x 1) 4 por tanto, la ecuación queda, y x b. 3 Y pasa por el punto (1, f(1)) (1,1) 1 1 bb, de forma que la ecuación es, 3 x 3 y x.. Aplicando la regla de la cadena y ya que si t 1x, se tiene que dy dy dx x dt dx dt x 6 t t 4 3 e te t t x t 1 x ( ) lim e e ( ) 0 lim lim lim 1 1/ x, x x e e x 0 x 0 x 0 x0 de L Hopital una vez conseguida la indeterminación. donde se ha aplicado la regla 4. Este determinante se ha de calcular desarrollándolo por una fila o una columna. En este caso lo haremos desarrollándolo por la cuarta fila: CC La matriz ampliada del sistema es, Ab , que cumple: rango( A) rango 3 3 3, porque A 0 y Además, rango( A b ), porque A 0 y

11 Por tanto, rango( A) rango( A b ) r n 3, y se trata de un SCI, en el que hay r ecuaciones linealmente independientes (la primera y la tercera), en las que despejaremos r incógnitas (x e y) a partir de las nr 3 1 restantes (z), que actúa como parámetro: x y 1z. x y 3 3z Utilizando cualquier técnica para la resolución de sistemas compatibles determinados se llega a que la solución de este sistema es: x 1 z, y z. 6. La matriz asociada a la forma cuadrática Q es tiene elementos de distinto signo en la diagonal. La forma cuadrática restringida queda: 1 0 A 3 1. Además, Q es indefinida ya que Q x y Q x y x y x y x y xy y x y x xy y con matriz rest (, ) (,, ) , 3 asociada, B, 3 3 que vuelve a ser indefinida ya que tiene elementos de distinto signo en la diagonal.

12 SEGUNDA PARTE CUESTIONES CORTAS Y EJERCICIOS TIPO B 4. Enuncie o defina los siguientes resultados y conceptos: a) Indique la relación entre la continuidad y la derivabilidad de una función f ( x ). ( puntos) b) Multiplicidades algebraica y geométrica de los valores propios de una matriz An n. ( puntos). Dadas las curvas de demanda y oferta p f( q) q q80 y p g( q) q 40, respectivamente, se pide, a) Obtener los puntos de corte de las dos curvas con el eje OX y los puntos de corte entre ambas. * * Para q, p 0, cuál es el punto de equilibrio ( q, p ) tal que f( q) g( q)? (4 puntos) b) Estudiar el crecimiento y el decrecimiento y calcular los óptimos locales de la función de ingresos, Iq ( ) q f( q). (Nota: realizar el estudio en toda la recta real). (4 puntos) c) Se alcanza el máximo global de Iq ( ) para q 0? Cuánto vale el ingreso máximo? Hay valores de q 0 para los que los ingresos son negativos? (4 puntos) d) Calcular el excedente del consumidor, es decir, calcular la cantidad, representar geométricamente el área calculada. (4 puntos) * q * ( ( ) ), 0 EC f q p dq y 6. Sea el siguiente conjunto de vectores de 3, 0,,, 3,1, 3, a, 1,3, a,,1, a. Se pide: a) Discutir la dependencia o independencia de esto cuatro vectores en función de los posible valores de a. Dar en cada caso un conjunto con el número máximo de vectores linealmente independientes. (4 puntos) Tomar los tres primeros vectores del conjunto anterior y formar una matriz A M3 en la que cada vector se corresponde con una columna de A. t b) Para a 1, calcular 8 AA 1. (4 puntos) c) Para a 3, calcular los valores propios de la matriz A e indicar sus multiplicidades algebraicas. (4 puntos) d) Para a 3, hallar los vectores propios asociados al menor valor propio y decidir si la matriz es diagonalizable. (4 puntos) SOLUCIONES SEGUNDA PARTE TIPO B 1.a) Si una función f ( x ) es derivable en un punto de su dominio, entonces es continua en dicho punto. Esto implica que una función no continua ya no puede ser derivable. 1.b) Dado un valor propio i de una matriz cuadrada, su multiplicidad algebraica, veces que aparece como raíz del polinomio característico y la multiplicidad geométrica, i, es el número de m i, es el número de vectores linealmente independientes a partir de los cuales se pueden generar todos los vectores propios asociados a ese valor propio.

13 .a) gq f q q q q ( ) ,10 puntos ( 8,0) y (10,0). ( ) q 40 0, por lo que no corta al eje OX. f q g q q q q q q q q q * * Como f() g() 6, el punto de equilibrio es el punto ( q, p ) (,6). ( ) ( ) 80 = , b) Iq ( ) q f( q) q q 80 qi'( q) 3q 4q40 0 q 4.4, Y como I'( q ) es una parábola cóncava cuyos puntos de corte son los puntos críticos calculados, se tiene claramente que: I'( q) 0 q 4.4 ó q.87 I es decreciente en (, 4.4) (.87, ), I'( q) q.87 I es creciente en ( 4.4,.87). Del estudio de la monotonía se desprende que necesariamente el punto q 4.4 es un mínimo local porque la función pasa de decrecer a crecer, y el punto q.87 es un máximo local porque la función pasa de crecer a decrecer..c) Para q 0 la función Iqtiene ( ) un único cambio de crecimiento a decrecimiento que se produce justamente en el máximo local q.87. Además, se tiene que lim Iq ( ), por lo que necesariamente se trata de un máximo global. Por tanto, el valor del ingreso máximo es, aproximadamente, I(.87) 336. unidades monetarias. El límite que hemos calculado ya indica que Iq ( ) toma valores negativos para q 0. Calculando los puntos de corte de dicha función con el eje OX, 3 Iq ( ) q q 80q0q 8,0,10, observamos que sólo tiene tres cambios de signo, en particular, para q 0, sólo cambia de signo en q 10, y es fácil ver que su signo es: Iq ( ) 0 0 q10, Iq ( ) 0 q 10. q.d) Teniendo en cuenta que * * ( q, p ) (,6), se tiene que, * q 3 * q 1 17 EC ( f( q) p ) dq ( q q80 6) dq ( q q1) dq q 1q Se trata del área comprendida entre la función f ( q ) (que es una parábola cóncava cuyos puntos de corte obtuvimos en el primer apartado), la recta horizontal p 6, y las rectas verticales q 0 y q :

14 3.a) Para discutir la dependencia de los vectores, formamos una matriz en la que cada vector se corresponde con una columna (o fila) y estudiamos su rango. Estudiemos, por tanto, el siguiente rango 0 3 a a rango Como , 1 se tiene que el rango es como mínimo. Veamos si el rango puede ser 3. Para ello consideramos todas las posibles ampliaciones del determinante anterior: 0 3 a a 0a 3, a 1 48a 0a Por tanto, si a 3, el rango de la matriz es y por lo tanto hay como máximo dos vectores 0 3 independientes. Como 0 se puede asegurar que el conjunto de vectores 1 0,,, 3,1, 3 está formado por el número máximo de vectores independientes en ese caso (Obsérvese que cualquier conjunto con dos vectores con los que se pueda formar un determinante de orden también sería válido) Si a 3, el rango de la matriz sería 3 y por tanto habría un máximo de 3 vectores independientes. A partir de los datos obtenidos anteriormente, se puede asegurar que los conjuntos 0,,, 3,1, 3, a, 1,3 y 0,,, 3,1, 3 a,,1, con a 3, estarían formados por el número máximo de vectores linealmente independienes b) Para a 1, se tiene que A y A 16. Por tanto, aplicando las propiedades 3 3 de determinantes, se tiene: t AA t t AA A A A A c) Para a 3, A 1 1, por tanto: pa( ) AI3 1 1 (1 )(3 ) 6186(1 ) 3 6(3 ) , con 1, ( 4) 0 4, con 1.

15 3.d) Se trata de obtener los vectores propios asociados al valor propio 1 0, para lo que habrá que resolver el sistema homogéneo siguiente: x 0 ( A1I3) x y 0, con, 3 3 z r rango( A1I3) rango 1 1, ya que, 6 0, Por tanto hay r ecuaciones linealmente independientes, en las que despejaremos r incógnitas (x e y) a partir de las nr 3 1 restantes (z), que actúa como parámetro, lo que permitirá obtener nr 3 1 vector propio linealmente independiente: 3y 3z, con z y z, x 0, z (0, z, z) z(0,1,1) (0,1,1) es un vector propio x y z linealmente independiente asociado al valor propio 1 0. Por último, acabamos de obtener que m 1 nrango( A 1 I 3 ) 31 1 la matriz no es diagonalizable.