Curso Doctorado Modelos para la Optimización de la Navegación Aérea y el Aeropuerto, profesor Ángel Marín. Clase primera: Introducción a Optimización

Transcripción

1 Curso Doctorado Modelos para la Optimización de la Navegación Aérea y el Aeropuerto, profesor Ángel Marín Clase primera: Introducción a Optimización

2 Temario básico: Programación lineal: Modelos y aplicaciones. Método Simple Primal. Dualidad y Método Simple Dual. Sensibilidad. Programación entera: Modelos, preproceso. Ramificación y acotación. Metaheurísticas: Greedy, Tabu Search, Recocido Simulado, Genéticos Hormigas.

3 Gestión de Aeropuertos: En el Área terminal. En los despegues y aterrizajes Tai Planning. De los aparcamientos. Capacidad Gestión del espacio aéreo. Tráfico aéreo. Sectorización del espacio aéreo.

4 Eperiencia en Aplicaciones de Transporte Transporte urbano: Modelos de asignación de tráfico multimodal y combinado Diseño de redes de transporte público y privado. Diseño de intercambiadores multimodales. Transporte de mercancías por ferrocarril: Planificación táctica de líneas. Planificación de los horarios. Transporte aéreo: Diseño de flota. Tai Planning. Asignación dinámica de los sectores de control aéreo.

5 Eperiencia en Aplicaciones de Diseño de Redes de Telecomunicaciones Fied Networks Design. Transport Networks. Access Network Design. Wireless Network Design. Mobile Network Design. TDMA Network Design, CDMA Network Design.

6 Eperiencia en Aplicaciones de Energía Generación: Epansión de capacidad del sistema. Localización de los equipos. Distribución. Desregulación del sector: Juegos no cooperativos. Mercado de contratos. Subastas.

7 Clasificación de los modelo matemáticos: Simulación numérica y analítica Dimensión finita e infinita Deterministas y Estocásticos Estáticos y Dinámicos

8 Optimización en dimensión infinita Con variable independiente continua: (ecs. diferenciales) Con variable independientediscreta: (ecs. en diferencias) Control óptimo: J ( ( t), u( t)) Ω E, u Λ F. J ( ( t)) Ω E J ( ( ti )) ( t ) Ω E i

9 Optimización en espacios de dimensión finita o Programación Matemática(PM): PM con variables continuas: PM con variables discretas: PM(var.cont.): PM lineal: PM diferenciable, convea y nolineal: f ( ), X f ( ), X PM no diferenciable y/o no convea: Metaheurísticas R diferenciable convea lineal nodiferenciable noconvea nolineal Ζ n n { 0 A b} c T, X : { g( ) 0, h( ) 0} f ( ), X

10 Aplicaciones en Ingeniería Aeronáutica Diseño de aviones: estructuras, perfiles aerodinámicos, etc. Organización de la producción. Mecánica de Vuelo: consumo combustible, máima altura, etc. Aeroelasticidad. Navegación aérea. Aeropuertos. Transporte Aéreo.

11 TRANSPORT MODEL Sets i canning plants / seattle, san-diego / j markets / new-york, chicago, topeka / ; Parameters a(i) capacity of plant i in cases / seattle 350 san-diego 600 / b(j) demand at market j in cases / new-york 35 chicago 300 topeka 75 / ; Table d(i,j) distance in thousands of miles new-york chicago topeka seattle san-diego ; Scalar f freight in dollars per case per thousand miles /90/ ; Parameter c(i,j) transport cost in thousands of dollars per case ; c(i,j) f * d(i,j) / 000 ;

12 Variables (i,j) shipment quantities in cases z total transportation costs in thousands of dollars ; Positive Variable ; Equations cost define objective function supply(i) observe supply limit at plant i demand(j) satisfy demand at market j ; cost.. z e sum((i,j), c(i,j)*(i,j)) ; supply(i).. sum(j, (i,j)) l a(i) ; demand(j).. sum(i, (i,j)) g b(j) ; Model transport /all/ ; Solve transport using lp minimizing z ; Display.l,.m ;

13 PL: 0 c T, sujeto a que : A b 3, 0, 0 sujeto a que : + +. Solución óptima única: acotada.. Infinitas soluciones óptimas. 3. No eiste solución: no acotada.

14 Forma normal: Formulación etendida: Ma. c T, 0 A b c 0 T, R n : A b R c j j ; aij j, i j j n 0,,.., n j n j c 0 T ; m A b,.. m. c T 0, A b Mín. c T ; 0, s 0 A+ s b c T 0 ; A b Mín. c T ; 0, s 0 A s b c T A b Mín. c T ( u v); Au ( v) b, u v R n ; u 0, v 0

15 Conjunto conveo: λ + ( λ), λ 0,,, Ej.: X { 0 : A b} X es PE( X ) int. seg. en X Punto Etremo (PE) de X: Semiespacios: H { n T R a c} : Politopos: Intersección de un # finito de semiespcios. Poliedro: politopo acotado y no vacio. Sols. Básicas (SB) de X: ( B, N ) (B - b,0). PE(X) si y solo si SB(X). [ ] X

16 Problema no determinado: Rango A m<n Matriz básica B: m columnas linealmente independientes de A (B regular) B A (B,N), A (B,N) Una solución básica(sb) se define como: X B B - b, X N 0 Una SB es factible (SBF) si X B >0 Una solución básica es factible no degenerada(sbfnd) si X B >0 (lo que significa que todos los X B > 0). N Forma normal: B B + N N b Forma canónica: I B + B N B N b

17 Paso de FN a FC: Método de eliminación de Gauss(MEG): (B,N) (I,B - N) Cálculo de la inversa B - Son equivalentes las 3 afirmaciones siguientes: PE(X ) Las columnas de las componentes básicas de A son linealmente independientes ( B ) es una SBND Por tanto, el óptimo siempre va a estar relacionado con PE y estos a su vez relacionados con las SBF

18 En forma normal: β 0 { 3,4}, B B - b( 3, 4 ) T (,) T B 0 ℵ {,}, N (, ) T (0,0) T N SBF ya que B >0 B -

19 Para pasar de una base a otra usaremos dos métodos, el MEG (Eliminación de Gauss) y el de la matriz inversa NB- (Inversa de la base en cada iteración): ª iteración: para pasar del punto al punto : a) por MEG: entra p, sale q3, pivoto: β {3,4} ℵ β {,} {,4}, ℵ {,3} 4, b) B - : 0 0 como β {,4}, ℵ {,3} : Si B B a B - N 0 0 b B - b ; 0 (, ) T llegando al mismo resultado: 3 0, b 4

20 ª iteración: para pasar del punto al punto 3: a) por MEG: entra p, sale q4, pivoto: b) Calculando B - : : 3, ; como {3,4}, {,} 3 3 ℵ β : B 3 B N B ; b B b a 3

21 Ejercicio recomendado Mín -3 0, (3) N (, ) T (0,0) T (0,3) () B ( 3, 4 ) T (6,5) T () (5,0)