Validación del modelo.

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1 Capítulo 9 Validación del modelo. En el capítulo anterior hemos seleccionado entre las dos medidas de volatilidad propuestas, la desviación absoluta respecto a la media. La serie construida a partir de ella {w t } ha sido transformada en una nueva serie {y t } donde y t = l(w t ), es decir, la nueva variable y t se puede interpretar como una medida del cambio relativo (tasa de variación relativa) de la volatilidad entre un período t yelanteriort 1. Después de estudiar las características propias de la serie {y t },éstahasidomodelizada utilizando nuestra propuesta metodológica (MIEC) como un proceso SETAR(2; 2, 8) que ahora vamos a validar; para ello comprobaremos que el modelo estimado además de pasar pruebas de diagnóstico basadas en el comportamiento de los residuos, es también capaz de capturar las características más importantes observadas en los datos y se muestra robusto en la predicción, lo que va a hacer posible su aplicación práctica. La formulación del modelo, para el total de los datos del proceso {y t } (período enero diciembre 2000) es la siguiente: 194

2 y t = 0, , 6773 y t 1 0, 2403 y t 2 + ε (1) t si y t 6 0, 3005 (0, 4035) (0, 1899) (0, 1958) (9.1) y t = 0, , 6705 y t 1 0, 7869 y t 2 0, 7988 y t 3 0, 7275 y t 4 0, 6893 y t 5 (0, 1734) (0, 0879) (0, 1155) (0, 1333) (0, 1437) (0, 1438) 0, 1736 y t 6 0, 4505 y t 7 0, 2884 y t 8 + ε (2) t si y t 6 > 0, 3005 (0, 1621) (0, 1375) (0, 1147) var(ε (1) t )=1, ; var(ε (2) t )=1, ; AIC global = 55, ; varianza residual global = 1, Análisis de los parámetros. El modelo SETAR(2; 2, 8) es un modelo no lineal, su definición se basa en el denominado principio del umbral, es decir, en la introducción de regímenes a partir de umbrales, permitiendo así el análisis de sistemas estocásticos complejos a partir de subsistemas simples. En el caso del modelo SETAR estos subsistemas simples son procesos autoregresivos (AR) cuyo cambio de régimen está gobernado por la propia variable retardada d períodos. Ennuestrocasohemosfijado a priori el número de regímenes l =2, lo que determina la existencia de un único valor umbral. Aplicando la metodología MIEC hemos estimado de forma automática el valor de r y d, obteniendo que d b =6y br = 0, 3005; estas estimaciones van a determinar el mecanismo de cambio de régimen, que es en última instancia el responsable de la no linealidad del modelo. La estimación de d b = 6 nos parece razonable pues no se aleja demasiado del período actual, esto permite una visión más completa de la evolución del proceso, pero sin caer en la obsolescencia; también debemos tener en cuenta que este valor va a ser determinante al fijar el horizonte de predicción, por lo que nos garantiza el comportamiento de las predicciones a 6 meses. 195

3 El mecanismo de generación del proceso y t queda determinado por la variación relativa de la volatilidad 6 meses atras, y t 6 ; si el valor del umbral fuera igual a cero podríamos hablar de variaciones de volatilidad positivas o negativas, o más concretamente de un aumento o decremento de la volatilidad respecto el período anterior. Recordemos la definición de y t a partir de w t, entonces y t 6 0, 0 ln µ wt 6 w t 7 0, 0 w t 6 w t 7 1, 0 w t 6 w t 7 ydelamismamanera y t 6 > 0, 0 w t 6 >w t 7 pero en nuestro caso al ser br = 0, 3005 no solo distinguimos al cambiar de régimen entre un aumento o decremento de volatilidad al pasar del período t 7 al t 6, sino también limitamos la proporción del cambio, concretamente: y t 6 0, 3005 ln µ wt 6 w t 7 0, 3005 w t 6 w t 7 0, w t 6 0, 74045w t 7 y cuando y t 6 > 0, 3005 ln µ wt 6 w t 7 > 0, 3005 w t 6 w t 7 > 0, w t 6 > 0, 74045w t 7 es decir, el régimen 1 modeliza la variación relativa de la volatilidad y t cuando seis meses atras se ha producido un descenso de la volatilidad; en cambio el proceso sigue el modelo propuesto en el segundo régimen, si la situación fue de aumento ( w t 6 w t 7 > 1) o de ligero descenso de la volatilidad (0, < w t 6 w t 7 < 1). Realmente nuestro modelo no distingue entre subidas y descensos de volatilidad (hace seis meses) si no entre descensos importantes y, descensos atenuados o subidas de volatilidad. El modelo autoregresivo definido para el primer régimen tiene un orden bajo k 1 =2,taly como ya hemos apuntado en el Capítulo 8, parece que las tendencias muy bajistas del pasado tienden a olvidarse para conseguir la recuperación del mercado. En cambio cuando hace 6 meses 196

4 la situación era más optimista y cambiante, se hace necesario recoger mucha información del pasado del proceso, k 2 =8, para poder explicar su comportamiento. Sorprende que todos los coeficientes de los procesos autoregresivos del modelo tengan signo negativo, la explicación de este hecho puede hallarse en una autoregulación del mecanismo de generación de la variable, ya que estos coeficientes cambian la tendencia de la variación pasada. Así, si la variación relativa de la volatilidad en un período pasado ha sido negativa y t k < 0, el proceso responde cambiando esta tendencia (a k y t k ) > 0 y de la misma forma cuando y t k > 0 (a k y t k ) < 0. Los términos independientes de ambos procesos a (1) 0 y a (2) 0 son ambos de signo negativo (quizás para amortiguar el crecimiento cuando las variaciones relativas pasadas son negativas), fijémonos finalmente que si y t k =0 cambiaría de régimen (respecto a y t 6 ) por efecto del coeficiente a (i) 0. En la anterior situación: y t = 0, ε (1) t si y t 6 0, 3005 (0, 4035), k 6= 6el valor de la serie y t por lo que y t pasa a ser un valor del régimen 2 (y t > 0, 3005). En el segundo régimen si 0 >y t 6 > 0, 3005 osi y t 6 > 0, entoncesy t pasa a ser un valor del régimen 1 (y t 0, 3005). y t = 0, , 1736 y t 6 + ε (2) t si y t 6 > 0, 3005 (0, 1734) (0, 1621) 9.2 Análisis de los residuos. Con objeto de determinar la idoneidad del modelo 9.1 se realizará un análisis de los residuos tipificados. En la Tabla 9.1 se recogen los parámetros desciptivos más relevantes y a continuación abordaremos otras características que nos informan sobre el comportamiento de la serie. 197

5 Tabla 9.1: Serie {residuos SETAR(2; 2, 8)} Media Varianza Desv.típica Asimetría Curtosis -4,03e-06 1,0081 1,0040-1,0626 2,1491 Mediana Q 1 Q 3 Mínimo Máximo 0, ,5752 0,4995-3,7053 2, No normalidad de los residuos. Los valores de los coeficientes de asimetría y curtosis de los residuos obtenidos al ajustar un modelo SETAR(2; 2, 8) indican un comportamiento alejado del de la distribución Normal (Ver Tabla 9.1). Para verificar este resultado utilizamos el test de normalidad de Lin-Mudholkar, que con un valor del estadístico de prueba de 3, permite rechazar la normalidad de los residuos con una significación del 0, 10. En la Figura 9-1 (d) se observa que son los valores más negativos los responsables de la no normalidad de esta serie, lo que concuerda con la asimetría a la izquierda observada a nivel descriptivo Los residuos como ruido blanco. Si un modelo es capaz de capturar las relaciones existentes entre los diferentes valores de un proceso, el residuo tiene entonces un comportamiento puramente aleatorio, es decir, es un ruido blanco. Para probar que los residuos obtenidos al ajustar el modelo SETAR(2; 2, 8) tienen esta característica utilizamos el test de Ljung-Box. El test asume como hipótesis nula que las innovaciones son independientes (por tanto la serie se comporta como un ruido blanco), el valor obtenido por el estadístico de prueba es 12, 8909 valor muy inferior al valor teórico de la distribución 31, 4 cuando asumimos una significación del 0, 05. Los resultados anteriores no permiten rechazar la hipótesis nula, asegurando así que los residuos son un ruido blanco. 198

6 x x x Quantiles of Standard Normal Figura 9-1: Serie de residuos tipificados: (a) Histograma, (b) diagrama de caja, (c) aproximación por continuidad y (d) gráfico de cuantiles Dependencia serial de los residuos. El test de Mc Leod y Li se utiliza para detectar dependencia serial en los residuos. El valor obtenido por el estadístico de prueba es de 10, 3185, como este valor es muy inferior al valor teórico 31, 4 (significación del 0, 05), podemos asumir que no existe dependencia serial Función de autocorrelación estimada y Función de autocorrelación parcial estimada. Otra manera de analizar la independencia de los residuoseslautilización de la función de autocorrelación estimada (ACF) y la función de autocorrelación parcial estimada (PACF); si una serie de residuos se asemeja a una serie ruido blanco, los coeficientes de dichas funciones no deben ser significativamente distintos de cero. Podemos observar en la Figura 9-2 ninguno de los coeficientes de la ACF y de la PACF para las serie de los residuos tipificados obtenidos del ajuste del SETAR(2; 2, 8) es significativamente distinto de

7 Series : rd1lv01[, 1] ACF Lag Series : residuos.rts Partial ACF Lag Figura 9-2: Función de autocorrelación estimada (ACF) y función autocorrelación parcial estimada (PACF) de la serie de residuos tipificados modelo SETAR(2; 2, 8). 9.3 Robustez de los parámetros estructurales. Estudiamos la robustez de la estimación de los parámetros estructurales considerando la modelización del proceso en muestras de diferente tamaño. En primer lugar reducimos nuestro conjunto de datos eliminando las doce observaciones correspondientes al año 2000 y a partir de las 120 observaciones restantes, que corresponden a los meses que van desde enero de 1990 hasta diciembre de 1999 (ambos inclusives), estimamos nuevamente un modelo SETAR. La elección de esta muestra más reducida nos permite reservar una parte de las observaciones para comprobar la bondad del ajuste del modelo fuera de muestra (disponemos de todo el año 2000 y el primer semestre del año 2001). El modelo estimado con MIEC para la muestra de 120 observaciones, SETAR (2; 3, 8) es muy similar al obtenido para el conjunto total de datos. En la siguiente tabla recogemos las características estructurales de ambos modelos. 200

8 Tabla 9.2: Modelo n l br d b b k1 b k2 n 1 n 2 AIC NAIC SETAR (2; 2, 8) , , , 4455 SETAR (2; 3, 8) , , , 519 Como podemos observar en la tabla 9-2 los parámetros estructurales responsables del cambio de régimen d b y br son idénticos para los dos modelos, esto nos asegura que el mecanismo que determina la no linealidad del modelo es estable en el tiempo. La única diferencia la observamos en el orden del primer régimen que varía de 2 a 3, el efecto de este cambio puede observarse a partir del valor de los coeficientes de cada uno de los procesos autoregresivos. La expresión completa del modelo SETAR (2; 3, 8) es la siguiente: y t = 0, , 6998 y t 1 0, 2891 y t 2 0, 2385 y t 3 + ε (1) t si y t 6 0, 3005 (0, 5545) (0, 2172) (0, 2385) (0, 2638) y t = 0, , 6449 y t 1 0, 7611 y t 2 0, 7425 y t 3 0, 6738 y t 4 0, 6486 y t 5 (0, 230) (0, 1077) (0, 1463) (0, 1632) (0, 1952) (0, 1953) 0, 1830 y t 6 0, 4405 y t 7 0, 2840 y t 8 + ε (2) t si y t 6 > 0, 3005 (0, 3039) (0, 2307) (0, 2172) var(ε (1) t )=1, ; var(ε (2) t )=1, ; AIC global = 54, Varianza residual global = 1, (9.2) Las diferencias entre el modelo 9.1 y el anterior, 9.2, son reducidas y esencialmente se localizan en el primer régimen donde el modelo 9.2 sigue un AR(3) mientras que el 9.1 se modeliza por un AR(2). Si nos fijamos detenidamente vemos que la variación se concentra principalmente en el valor del témino constante, ya que en el SETAR (2; 2, 8) el valor de a 1 0 = 0, 2195 mientras que en el SETAR (2; 3, 8) el valor de a1 0 = 0, 0098, y en cambio aparece el término a 1 3 inexistende en el modelo 9.1. Finalmente en el segundo régimen podemos comprobar que las estimaciones de los coeficientes presentan valores muy similares, por lo que en este caso el comportamiento del modelo será prácticamente idéntico. 201

9 Tabla 9.3: Coef. modelo 9.1 modelo 9.2 modelo 9.3 modelo 9.4 a 0 0, 2195 (0, 4035) 0, 0098 (0, 5545) 0, 2144 (0, 3895) 0, 1957 (0, 3866) a 1 0, 6773 (0, 1899) 0, 6998 (0, 2172) 0, 6940 (0, 1868) 0, 6927 (0, 1858) a 2 0, 2403 (0, 1958) 0, 2891 (0, 2385) 0, 2479 (0, 1884) 0, 2445 (0, 1873) a 3-0, 2385 (0, 2638) - - σ 2 1 1, , , , n b 0 0, 3215 (0, 1734) 0, 3281 (0, 2320) 0, 3168 (0, 1717) 0, 3061 (0, 1680) b 1 0, 6705 (0, 0879) 0, 6449 (0, 1077) 0, 6674 (0, 0869) 0, 6663 (0, 0850) b 2 0, 7869 (0, 1155) 0, 7611 (0, 1463) 0, 7862 (0, 1148) 0, 7878 (0, 1134) b 3 0, 7988 (0, 1333) 0, 7425 (0, 1632) 0, 7941 (0, 1316) 0, 7990 (0, 1296) b 4 0, 7275 (0, 1437) 0, 6738 (0, 1952) 0, 7179 (0, 1394) 0, 7078 (0, 1358) b 5 0, 6893 (0, 1438) 0, 6486 (0, 1953) 0, 6909 (0, 1429) 0, 6872 (0, 1405) b 6 0, 1736 (0, 1621) 0, 1830 (0, 3039) 0, 1760 (0, 1609) 0, 1832 (0, 1495) b 7 0, 4505 (0, 1375) 0, 4405 (0, 2307) 0, 4535 (0, 1363) 0, 4379 (0, 1279) b 8 0, 2884 (0, 1147) 0, 2840 (0, 2172) 0, 2933 (0, 1130) 0, 2935 (0, 1117) σ 2 1, , , , n AIC 55, , , , br 0, , , , 3005 También hemos realizado la estimación de dos modelos (9.3 y 9.4) basandonos en dos conjuntos de observaciones de diferente tamaño: el primero, que denominamos modelo 9.3, corresponde a los valores de la serie entre enero de 1990 y marzo del 2001 (135 observaciones) y el segundo (modelo 9.4) recoge 138 observaciones (01/ /2001). En ambos casos los modelos obtenidos coinciden con el modelo 9.1 en los parámetros estructurales: en todos ellos el orden máximo de los procesos autoregresivos es b k 1 =2y b k 2 =8, el valor de retardo estimado por el test TAR-F es d b =6yelvalordelumbralbr = 0, Como podemos observar en la Tabla 9.3 las diferencias entre los coeficientes de los procesos autoregresivos son muy pequeñas, 202

10 lo que supone una garantía de la estabilidad del modelo. En todos los casos estudiados las estimaciones del parámetro umbral r ydelavariablederetardod no varían, lo que corrobora la bondad del modelo 9.1; queremos destacar la importancia que una correcta estimación del parámetro umbral tiene para obtener unas buenas predicciones (Dacco y Satchell, 1999) Extensión a tres regímenes. Al identificar y estimar los anteriores modelos, hemos asumido como hipótesis que el número de regímenes, l, es igual a 2, pero utilizando la metodología de Tong hemos estimado los umbrales que determinan un modelo de tres regímenes, obteniendo las siguientes estimaciones: br 1 = 0, 3005 y br 2 =+0, El modelo estimado para el conjunto de 132 observaciones mensuales (01/90-12/00) considerando los anteriores umbrales y, utilizando los valores estimados de bp =8y b d =6,esun modelo SETAR(3; 2, 5, 8) con la siguiente formulación: y t = 0, , 6773 y t 1 0, 2403 y t 2 + ε (1) t si y t 6 0, 3005 (0, 4035) (0, 1899) (0, 1958) y t = 0, , 8363 y t 1 1, 0807 y t 2 0, 9819 y t 3 0, 8160 y t 4 (0, 2835) (0, 1729) (0, 2707) (0, 2712) (0, 2636) 0, 7384 y t 5 + ε (2) t si 0, 3005 <y t 6 +0, 2003 (0, 3077) y t = 0, , 5762 y t 1 0, 7111 y t 2 0, 7734 y t 3 0, 6421 y t 4 0, 6074 y t 5 (0, 2692) (0, 1073) (0, 1241) (0, 1574) (0, 1846) (0, 1777) 0, 0451 y t 6 0, 4136 y t 7 0, 2872 y t 8 + ε (3) t si y t 6 > +0, 2003 (0, 2054) (0, 1508) (0, 1206) (9.5) var(ε (1) t )=1, ; var(ε (2) t )=1, ; var(ε (3) t )=0,

11 AIC global = 64, Varianza residual global = 1, El número de observaciones en cada región es respectivamente: 48, 21 y 55. Aunque este modelo parece no compartir muchas características con el modelo 9.1, podemos comprobar que su comportamiento en muestra es muy similar (ver Figura 9-3); el e- rror cuadrático medio de los residuos en muestra (ECM) es para el modelo de 3 regímenes ECM(mod.9.5) = 1, y para el de 2 regímenes ECM(mod.9.1) = 1, Si consideramos el comportamiento predictivo fuera de muestra, durante los meses que van de enero a junio del 2001, podemos afirmar que la inclusión de un nuevo régimen no supone mejorar la capacidad predictiva del modelo (ver Figura 9-4) y sin embargo, significa una mayor complejidad en la formulación del modelo; por tanto, siguiendo el principio de parsimonia optamos por el modelo de dos regímenes SETAR (2; 2, 8) (o modelo 9.1). 5,0000 4,0000 3,0000 2,0000 1,0000 0,0000-1,0000 ene-90 mar-90 may-90 jul-90 sep-90 nov-90 ene-91 mar-91 may-91 jul-91 sep-91 nov-91 ene-92 mar-92 may-92 jul-92 sep-92 nov-92 ene-93 mar-93 may-93 jul-93 sep-93 nov-93 ene-94 mar-94 may-94 jul-94 sep-94 nov-94 ene-95 mar-95 may-95 jul-95 sep-95 nov-95 ene-96 mar-96 may-96 jul-96 sep-96 nov-96 ene-97 mar-97 may-97 jul-97 sep-97 nov-97 ene-98 mar-98 may-98 jul-98 sep-98 nov-98 ene-99 mar-99 may-99 jul-99 sep-99 nov-99 ene-00 mar-00 may-00 jul-00 sep-00 nov-00-2,0000-3,0000 predicción 1 paso mod. 9.5 predicción 1 paso mod. 9.1 Figura 9-3: Comparativa del comportamiento predictivo en muestra de los modelos SETAR (2; 2, 8) (modelo 9.1) y SETAR (3; 2, 5, 8) (modelo 9.5). 9.4 Comportamiento predictivo en muestra y fuera de muestra. El estudio de la bondad de un modelo no debe limitarse, al menos en nuestro caso, al comportamiento de los residuos pues esto sólo supone comprobar que el modelo se ajusta a los datos 204

12 1,8 1,7 1,6 1,5 1,4 1,3 1,2 1,1 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0-0,1-0,2-0,3-0,4-0,5-0,6-0,7-0,8-0,9-1 ene-01 feb-01 mar-01 abr-01 may-01 jun-01 pred. M mod. 9.1 y(t) pred. M mod. 9.5 Figura 9-4: Comparativa del comportamiento predictivo fuera de muestra de los modelos SETAR (2; 2, 8) (modelo 9.1) y SETAR (3; 2, 5, 8) (modelo 9.5). a partir de los cuales ha sido generado; es también habitual comprobar la bondad del modelo propuesto a partir de la comparación de las predicciones obtenidas con las observaciones reales para el período considerado 1. En muchas ocasiones se observa que modelos que se ajustan bien en muestra no funcionan de la misma manera cuando realizamos la predicción fuera de muestra: las características propias de los mercados financieros, con una estructura subyacente muy cambiante, hace que los modelos puedan tener un comportamiento muy diferente cuando trabajamos en muestra o fuera de muestra. Con el fin de estudiar la bondad de nuestro modelo vamos a estudiar su comportamiento predictivo utilizando métodos de predicción puntual. La predicción a 1-paso puede obtenerse facilmente gracias al método de mínimos cuadrados no lineales, pues supone realizar la predicción para el modelo AR lineal de un régimen determinado. Cuando deseamos realizar predicciones a más de 1-paso, el proceso de predicción recursiva debe realizarse tomando esperanzas condicionadas, se obtiene así una ecuación integral que establece una fórmula recursiva para esperanzas y varianzas. La resolución de esta ecuación integral no admite, en general, una solu- 1 Figlewski sugiere limitar la validez del modelo a su poder predictivo (Figlewski 1997). 205

13 ción analítica (sólo en el caso de que el modelo sea lineal) y por tanto se debe optar por métodos de integración numérica. Un método alternativo y especialmente útil cuando trabajamos con modelos autoregresivos de orden elevado es el método de Montecarlo que nos permite simular un gran número de datos de acuerdo con el modelo y estimar la solución de la ecuación integral (Tong y Monneadin,1988); también se puede realizar la predicción a m-pasos utilizando técnicas boostrap. Tanto el método de predicción a 1 - paso como la aplicación del método de Montecarlo o las técnicas bootstrap proporcionan aproximaciones razonables. Otra posibilidad es la de aproximar el valor mínimo del error cuadrático medio de predicción a h-pasos, de Gooijer y de Bruin (1998) proponen el método Normal Forecasting Errors method (NFE) con el que obtienen estimaciones tan precisas como las obtenidas con los métodos antes mencionados. La predicción por intervalos no está por el momento completada, a diferencia de los modelos lineales donde un intervalo de predicción simétrico alrededor del valor de la predicción puntual es correcto, en el caso no lineal la simetría del intervalo es cuestionada. Hyndman (1995) ha propuesto varios métodos para construir lo que él denomina regiones de predicción, estas regiones pueden estar formadas por un conjunto disjunto de segmentos y su cálculo supone obtener la predicción puntual utilizando el método de Montecarlo o técnicas bootstrap y estimar la distribución condicionada de {y t } por métodos de función kernel Ajuste del modelo en muestra. Como ya hemos comentado, al realizar el estudio de la capacidad predictiva del modelo vamos a restringirnos a los valores de la serie {y t } en el período comprendido entre enero de 1990 y diciembre de 1999; de esta manera nos reservamos para comprobar el poder predictivo del modelo fuera de muestra un total de 18 observaciones correspondientes a los 12 meses del año 2000, más el primer semestre del año El modelo que vamos a considerar es el modelo 9.2, que habíamos obtenido aplicando la metodología MIEC a las 120 primeras observaciones. Este modelo SETAR (2; 3, 8), como ya hemos comentado, presenta pocas diferencias con el modelo SETAR (2; 2, 8) obtenido a partir de la totalidad de los datos. Para validar el modelo hemos analizado el comportamiento de los residuos, los valores de los principales parámetros descriptivos para la serie de los residuos obtenidos al ajustar el modelo SETAR(2; 3, 8) se recogen en la tabla 9.4. También, a partir de pruebas de contraste 206

14 Series : r[, 1] ACF Lag Series : r.rts Partial ACF Lag Figura 9-5: Función de autocorrelación estimada (ACF) y función autocorrelación parcial estimada (PACF) de la serie de los residuos tipificados, modelo SETAR(2; 3, 8). de hipótesis hemos verificado características que son deseables en este tipo de series: Normalidad de la serie: El test de Lin - Mudholkar con un valor del estadístico de prueba de 3, impide rechazar la normalidad si suponemos una significación del 0, 10. Los residuos se comportan como un ruido blanco: El test de Ljung-Box con un valor del estadístico de prueba de 12, 2612 y una significación del 0, 05, no nos permite rechazar que los residuos son un ruido blanco. No existe dependencia serial en los residuos: El estadístico de prueba del test de Mc Leod y Li obtiene un valor de 14, 3451, que es muy inferior al valor teórico (31, 4) obtenido con una significación del 0, 05; por tanto tampoco podemos rechazar la hipótesis de independencia serial. Ninguno de los retardos de la función de autocorrelación estimada (ACF) ni de la función de autocorrelación parcial estimada (PACF) són significativamente diferentes de 0, ver Figura

15 Tabla 9.4: Serie {residuos SETAR(2; 3, 8)} Media Varianza Desv.típica Asimetría Curtosis -9,52e-07 1,0096 1,0048-1,1103 2,3751 Mediana Q 1 Q 3 Mínimo Máximo 0,1047-0,4541 0,6224-3,5599 2,4784 A partir de las observaciones de la serie {y t }, y sin tener en cuenta la parte no determinista del modelo, hemos realizado predicciones a un paso con el modelo estimado; podemos observar como el ajuste es bastante bueno para todo el período sobre todo cuando la tasa de variación relativa tiene signo positivo, en la Figura 9-6 podemos comparar el resultado obtenido por la predicción, con los valores observados. 6,0000 5,0000 4,0000 3,0000 2,0000 1,0000 0,0000-1,0000 ene-90 mar-90 may-90 jul-90 sep-90 nov-90 ene-91 mar-91 may-91 jul-91 sep-91 nov-91 ene-92 mar-92 may-92 jul-92 sep-92 nov-92 ene-93 mar-93 may-93 jul-93 sep-93 nov-93 ene-94 mar-94 may-94 jul-94 sep-94 nov-94 ene-95 mar-95 may-95 jul-95 sep-95 nov-95 ene-96 mar-96 may-96 jul-96 sep-96 nov-96 ene-97 mar-97 may-97 jul-97 sep-97 nov-97 ene-98 mar-98 may-98 jul-98 sep-98 nov-98 ene-99 mar-99 may-99 jul-99 sep-99 nov-99-2,0000-3,0000-4,0000-5,0000 y(t) pred. y(t) Figura 9-6: Comportamiento predictivo en muestra del modelo SETAR (2; 3, 8). Habitualmente los modelos se comparan en base a su verosimilitud, para los modelos ARIMA Gaussianos esta comparación equivale a evaluar el error cuadrático medio de los residuos, es 208

16 decir, realizar una valoración del modelo de acuerdo con el resultado de la predicción a un paso en muestra. Para nuestra serie el valor del error cuadrático medio es de ECM(mod.9.2) = 1, pero, cuando no conocemos si se cumple la hipótesis de normalidad, es más adecuado (Montgomery, Zarnowitz, Tsay and Tiao, 1998) utilizar como criterio de valoración el error cuadrático medio de las previsiones a varios pasos y fuera de muestra Ajuste del modelo fuera de muestra. La construcción de un modelo matemático que explique el comportamiento de una serie temporal no tiene únicamente una finalidad descriptiva, el modelo nos va a permitir analizar la dinámica que rige la evolución del proceso y realizar predicciones. Así Tong (1990) califica de predicción genuina aquella que se realiza cuando los datos reales no pueden ser conocidos en el momento que se realiza la predicción ene-00 feb-00 mar-00 abr-00 may- jun-00 jul-00 ago-00 sep-00 oct-00 nov-00 dic-00 ene-01 feb-01 mar-01 abr-01 may- jun-01 jul-01 ag-01 sep apredición(1) m-pasos-a observaciones Figura 9-7: Comportamiento predictivo fuera de muestra del modelo SETAR (2; 3, 8). Hemos realizado la predicción a un paso utilizando mínimos cuadrados no lineales, y también generando por el método de Montecarlo 1000 réplicas de la serie de datos. En ambos casos 209

17 hemos alimentado la serie a partir del valor en el período actual(t) para realizar la predicción del próximo período (t +1). Los resultados obtenidos con los diferentes métodos de predicción para el año 2000 y los 6 primeros meses del año 2001 quedan recogidos en la Figura 9-7 y en la Tabla 9.5. Tabla 9.5: Mes/ Valores Predicc. Predicc. Desviac. Error Error Año Observ. 1-paso m-pasos típica pred-1 pred-m Enero-00 0, , , , , , 7937 Febr.-00 0, , , , , , 1253 Marzo-00 0, , , , , , 6043 Abril-00 0, , , , , , 5352 Mayo-00 0, , , , , , 3132 Junio-00 1, , , , , , 4019 Julio-00 0, , , , , , 7364 Agos.-00 0, , , , , , 5524 Sept.-00 3, , , , , , 4904 Oct.-00 4, , , , , , 8093 Nov.-00 0, , , , , , 2894 Dici.-00 1, , , , , , 0045 Enero-01 1, , , , , , 5828 Febr.-01 0, , , , , , 2957 Marzo-01 0, , , , , , 8684 Abril-01 0, , , , , , 2560 Mayo-01 0, , , , , , 4314 Junio-01 0, , , , , , 5151 A la vista de la Figura 9-7 podemos comentar que, como era de esperar debido a la alimentación mensual que hacemos de los valores de la serie, la predicción a 1 - paso y a m - pasos (m=1) coinciden prácticamente. También vemos que aunque la predicción obtenida a partir del modelo no siempre es próxima al valor observado, sí que el modelo es muy fiable en la predicción de la tendencia que la serie va a seguir (crecimiento o decrecimiento), sólo falla 210

18 en el período abril - mayo del año Si recordamos que la serie y t está definida como la variación relativa de la volatilidad entre un período t y el anterior t 1, entonces podemos decir que el modelo SETAR(2; 3, 8) es capaz de predecir la dirección del cambio de la volatilidad (si va a aumentar o disminuir respecto al mes anterior) y esta información es sin duda muy valiosa para un operador financiero, pues le va a permitir el diseño de sus estrategias Skeleton. Tong (1983) denomina a la parte determinista del modelo skeleton, es decir, al resultado de eliminar de todas las ecuaciones autoregresivas la perturbación aleatoria. La solución de este sistema determinista F (y t ) permite conocer el comportamiento límite del sistema, se dice que el modelo tiene un punto de equilibrio si es un punto fijo del sistema F (yt )=yt. El equilibrio se denomina estable si la serie converge a yt (suponiento que ε (j) t =0 t, j). Lossistemaslineales (estacionarios) tienen un único punto de equilibrio yt que coincide con la media; en cambio en los sistemas no lineales podemos observar un único punto de equilibrio (estable o inestable), múltiples puntos de equilibrio que dan lugar a dinámicas cíclicas o no existir equilibrio. La convergencia del sistema a un punto límite, un ciclo límite estable o a una solución inestable es una información valiosa de cara a determinar el comportamiento a muy largo plazo del proceso. Si determinamos el comportamiento del skeleton para los diferentes modelos considerados 9.1, 9.2, 9.3 y 9.4, todos ellos coinciden en tender hacia un punto límite. Para cada modelo obtenemos un punto límite diferente, pero podemos observar en la tabla 9.6 como todos ellos son muy próximos entre sí lo que corrobora la estabilidad del modelo aún con muestras de diferente tamaño; destacamos también que en todos los casos el punto límite es negativo, esto se puede interpretar como una tendencia hacia la estabilidad del proceso. Podemos comprobar para la serie y t que en los modelos no lineales, aunque sólo exista un punto de equilibrio estable, éste no tiene por qué coincidir con el valor de la media ( 0, 00511). Tabla 9.6: Modelo Punto límite 0, , , , 0550 En la Figura 9.8 se muestra la tendencia del skeleton del modelo 9.2 (SETAR (2; 3, 8)) hacia el punto límite 0,

19 2,0000 1,5000 1,0000 0,5000 0,0000-0, /01/90 31/03/90 31/05/90 31/07/90 30/09/90 30/11/90 31/01/91 31/03/91 31/05/91 31/07/91 30/09/91 30/11/91 31/01/92 31/03/92 31/05/92 31/07/92 30/09/92 30/11/92 31/01/93 31/03/93 31/05/93 31/07/93 30/09/93 30/11/93 31/01/94 31/03/94 31/05/94 31/07/94 30/09/94 30/11/94 31/01/95 31/03/95 31/05/95 31/07/95 30/09/95 30/11/95 31/01/96 31/03/96 31/05/96 31/07/96 30/09/96 30/11/96 31/01/97 31/03/97 31/05/97 31/07/97 30/09/97 30/11/97 31/01/98 31/03/98 31/05/98 31/07/98 30/09/98 30/11/98 31/01/99 31/03/99 31/05/99 31/07/99 30/09/99 30/11/99 31/01/00 31/03/00 31/05/00 31/07/00 30/09/00 30/11/00 31/01/01 31/03/01 31/05/01 31/07/01-1,0000-1,5000 skeleton Figura 9-8: Skeleton del modelo SETAR(2; 3, 8). Los diferentes comportamientos que puede tener el skeleton de un modelo SETAR ponen de manifiesto que incluso en ausencia de perturbación, ε (j) t =0 t, j, los modelos no lineales pueden mostrar unas dinámicas puramente endógenas, a diferencia con las series lineales donde las fluctuaciones son causadas por las perturbaciones. El estudio del skeleton puede realizarse de manera analítica si consideramos un proceso SETAR(2; 1, 1), perocuandolosórdenesdelosprocesosautoregresivosesmayor(comoen los modelos 9.1, 9.2, 9.3 y 9.4) se utilizan técnicas de simulación determinista (Teräsvirta y Anderson, 1992, y, Peel y Speight, 1996). Para un modelo SETAR(l; k 1,k 2,,k l ), estas técnicas parten de unos valores iniciales, y 1,y 2,,y m donde m =max(k 1,k 2,,k l ); repitiendo el proceso de simulación para diferentes valores iniciales podemos conocer las características del skeleton y verificar (de una manera no muy elaborada) la estacionariedad del modelo SE- TAR; intuitivamente cuando el skeleton no es estable, la serie temporal tiene un comportamieto explosivo y entonces el modelo no es estacionario. 212