Universidad de Sonora Departamento de Matemáticas Área Económico Administrativa

Transcripción

1 Universidad de Sonora Departamento de Matemáticas Área Económico Administrativa Materia: Estadística I Maestro: Dr. Francisco Javier Tapia Moreno Semestre: Hermosillo, Sonora. Febrero 3 de 016.

2 Introducción Una de las aplicaciones más importantes de la estadística, implica la estimación del valor medio de una variable de respuesta y o, la predicción de algún valor futuro de y con base en el conocimiento de un conjunto de variables independientes relacionadas, x 1, x,..., x k. En esta ocasión estudiaremos el modelo de predicción más sencillo, donde se usa una sola variable independiente x para predecir la variable dependiente y. Este modelo recibe el nombre de modelo de regresión lineal simple. Aprenderemos a ajustar este modelo a un conjunto de datos mediante el método de los mínimos cuadrados.

3 Aplicación o uso Con el modelo de regresión lineal simple podemos por ejemplo: 1. Estudiar cómo influye la estatura del padre sobre la estatura del hijo.. Estimar el precio de una vivienda en función de su superficie. 3. Predecir la tasa de desempleo para cada edad. 4. Aproximar la calificación obtenida en una materia según el número de horas de estudio semanal. 5. Prever el tiempo de computación de un programa en función de la velocidad del procesador.

4 Tipos de relación entre dos variables Fuerte correlación lineal positiva. Correlación lineal positiva intermedia. Fuerte correlación lineal negativa. Ninguna correlación lineal. Correlación no lineal intermedia. Fuerte correlación no lineal. El primer acercamiento con el tipo de correlación entre dos variables se logra mediante un diagrama de dispersión.

5 Coeficiente de correlación lineal. El coeficiente de correlación, r, nos indica qué tan cerca están los datos de la línea de ajuste, éste se puede calcular mediante la relación: r n* n* XY X * Y X X n* Y Y Esta fórmula, desarrollada por Karl Pearson, está diseñada para que 1 r 1. Con un valor cercano a +1 significa que las dos variables crecerán o decrecerán juntas, y existirá una fuerte relación matemática entre ellas. Similarmente, con un valor cercano a -1 significa que las variables son inversamente proporcionales. Es decir, cuando la variable x crece la variable y decrece y viceversa, y existirá una fuerte relación matemática entre ellas.

6 Coeficiente de determinación de Pearson. La fórmula para calcular el coeficiente de determinación de Pearson es: r n* n* XY X * Y * X X n Y Y 100% El coeficiente de determinación r mide la proporción de variabilidad total de la variable dependiente y respecto a su media que es explicada por el modelo de regresión. En otras palabras, r mide la proporción de la variación total en la variable dependiente y que está explicada por la variable independiente x, o que se debe a la variación de la variable independiente x. Es usual expresar esta medida en tanto por ciento, multiplicándola por 100%.

7 Modelo lineal simple El modelo de regresión lineal simple toma la forma y = a + bx Donde y = variable dependiente; x = variable independiente. Los valores de la pendiente (b) y la intersección con el eje y (a), se obtienen usando las ecuaciones siguientes: b X Y n* X Y X n* X a Y b * X Este método de calcular el modelo lineal simple recibe el nombre de método de mínimos cuadrados.

8 Ejemplo práctico. El gerente general de una empresa desea saber si existe alguna relación entre la rentabilidad de la empresa y la inversión en publicidad promoción realizada por ésta. El gerente cuenta con los datos del volumen de ventas (x) y del gasto en publicidad y promoción (y) que se realizaron en los últimos 1 meses expresados en millones de pesos. Los datos recopilados aparecen en la Tabla 1 siguiente. Año 014 Año 015 Mes Jul Ago Sept Oct Nov Dic Ene Feb Mar Abr May Jun x y Además, si existe una buena relación entre las variables, desea realizar el pronóstico del mes de julio de 015.

9 Gasto en publicidad y promoción (mdp). Primer acercamiento con los datos Monto de las ventas (mdp) Con el diagrama de dispersión, el gerente pudo observar que existe una relación creciente entre las dos variables involucradas, y que ambas variables son directamente proporcionales. Además, el gerente se dio cuenta que la relación existente entre las dos variables se comporta como una línea recta con pendiente positiva y que dicha relación entre ambas variables parece ser muy fuerte. Para verificar esta aseveración, el gerente debe calcular el coeficiente de correlación.

10 Para facilitar el cálculo del valor de r, el gerente elaboró la Tabla siguiente: Mes X Y XY X Y Jul Ago Sept Oct Nov Dic , Ene ,500 5 Feb ,5 36 Mar , Abr ,65 49 May , Jun , Totales ,4 35, r 1 13, , , , ,139 10, Con el valor calculado, el gerente nota que la relación existente entre las dos variables involucradas es muy fuerte y que puede utilizar el modelo de regresión lineal para predecir una de las variables conociendo la otra.

11 El gerente calculó el coeficiente de determinación de Pearson para calcular la proporción de variabilidad existente entre las dos variables, para ello, elevó al cuadrado el valor del coeficiente de regresión. Esto es, r = % =99.173% Con este resultado el gerente descubre que un % de los casos las variaciones en el gasto mensual en publicidad y promoción pueden ser explicadas por las ventas mensuales realizadas por la empresa, y que sólo un % de las variaciones en el gasto en publicidad y promoción (y), no pueden ser explicadas por las ventas mensuales de la empresa.

12 Para finalizar y dados los resultados anteriores, el gerente general decide determinar el modelo de regresión lineal simple, basándose en los resultados obtenidos en la Tabla y usando las fórmulas dadas anteriormente. b 3,4 1 ( ) ( ) (35,000) (1) ( ) a ( ) ( )*( ) Por lo tanto, el modelo de regresión lineal para los datos de la Tabla 1 es: y = x En donde x representa el monto de las ventas mensuales y, y el gasto mensual en publicidad y promoción.

13 Para el mes de julio de 015, la empresa desea realizar ventas por 100 millones de pesos. El gerente general usa el modelo de regresión lineal simple para determinar el gasto que debe hacerse ese mes en publicidad y promoción de la empresa, como sigue: y = (100) = mdp. El gerente descubre que para lograr las ventas deseadas en el mes de julio de 015, la empresa debe realizar un gasto aproximado de 9 millones de pesos en publicidad y promoción.

14 El gerente sabe que para el mes de agosto de 015, la gerencia de publicidad y promoción de la empresa cuenta con un presupuesto de 11.5 millones de pesos. El gerente general pronostica las ventas esperadas para este mes, usando el modelo de regresión simple de la manera siguiente: 11.5 = *x Despejando el valor de x se tiene que: x = = Con el resultado obtenido el gerente general espera que las ventas de agosto de 015 serán aproximadamente del orden de los 18.6 millones de pesos.

15 Bibliografía. Notas de clase del Tema II. Fin del tema II. Las raíces de la educación son amargas, pero la fruta es dulce. -Aristóteles.