Espacios de funciones

Transcripción

1 Espacios de funciones Eugenio Borghini Universidad de Buenos Aires, Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Eugenio Borghini Espacios de funciones 1 / 14

2 Durante la materia nos cruzamos con varios ejemplos de espacios métricos cuyos puntos son funciones. Ejemplos prototípicos: Eugenio Borghini Espacios de funciones 2 / 14

3 Durante la materia nos cruzamos con varios ejemplos de espacios métricos cuyos puntos son funciones. Ejemplos prototípicos: B(X) := {f : X R acotadas} con la norma, donde X es un espacio métrico. Eugenio Borghini Espacios de funciones 2 / 14

4 Durante la materia nos cruzamos con varios ejemplos de espacios métricos cuyos puntos son funciones. Ejemplos prototípicos: B(X) := {f : X R acotadas} con la norma, donde X es un espacio métrico. C(X) := {f : X R continuas} con la norma, donde X es un espacio métrico compacto. Eugenio Borghini Espacios de funciones 2 / 14

5 Durante la materia nos cruzamos con varios ejemplos de espacios métricos cuyos puntos son funciones. Ejemplos prototípicos: B(X) := {f : X R acotadas} con la norma, donde X es un espacio métrico. C(X) := {f : X R continuas} con la norma, donde X es un espacio métrico compacto. l := {(a n ) n R acotadas} con la norma. Eugenio Borghini Espacios de funciones 2 / 14

6 Durante la materia nos cruzamos con varios ejemplos de espacios métricos cuyos puntos son funciones. Ejemplos prototípicos: B(X) := {f : X R acotadas} con la norma, donde X es un espacio métrico. C(X) := {f : X R continuas} con la norma, donde X es un espacio métrico compacto. l := {(a n ) n R acotadas} con la norma. En adelante trabajaremos con B(X) C(X) con la norma innito o con C(X) para X compacto. Eugenio Borghini Espacios de funciones 2 / 14

7 Propiedades métricas de espacios de funciones Nuestro objetivo es ver cómo se comportan las propiedades vistas sobre espacios métricos generales (separabilidad, acotación, completitud, compacidad, conexión) y qué relación tienen con el espacio X. Varias de estas propiedades siempre se verican para espacios de funciones. Eugenio Borghini Espacios de funciones 3 / 14

8 Propiedades métricas de espacios de funciones Nuestro objetivo es ver cómo se comportan las propiedades vistas sobre espacios métricos generales (separabilidad, acotación, completitud, compacidad, conexión) y qué relación tienen con el espacio X. Varias de estas propiedades siempre se verican para espacios de funciones. C(X) es completo. Eugenio Borghini Espacios de funciones 3 / 14

9 Propiedades métricas de espacios de funciones Nuestro objetivo es ver cómo se comportan las propiedades vistas sobre espacios métricos generales (separabilidad, acotación, completitud, compacidad, conexión) y qué relación tienen con el espacio X. Varias de estas propiedades siempre se verican para espacios de funciones. C(X) es completo. C(X) es convexo (pues es un espacio normado), y en particular es arcoconexo. Eugenio Borghini Espacios de funciones 3 / 14

10 Propiedades métricas de espacios de funciones Nuestro objetivo es ver cómo se comportan las propiedades vistas sobre espacios métricos generales (separabilidad, acotación, completitud, compacidad, conexión) y qué relación tienen con el espacio X. Varias de estas propiedades siempre se verican para espacios de funciones. C(X) es completo. C(X) es convexo (pues es un espacio normado), y en particular es arcoconexo. C(X) es separable por Stone-Weierstrass. Eugenio Borghini Espacios de funciones 3 / 14

11 Convergencia de sucesiones ¾Cuándo una sucesión de funciones (f n ) n N converge a una función f? Eugenio Borghini Espacios de funciones 4 / 14

12 Convergencia de sucesiones ¾Cuándo una sucesión de funciones (f n ) n N converge a una función f? Por la denición, f n f en C(X) sii f n f, es decir, si dado ε > 0, existe n 0 = n 0 (ε) N tal que f n (x) f(x) < ε para n n 0 y para todo x X. Eugenio Borghini Espacios de funciones 4 / 14

13 Convergencia de sucesiones ¾Cuándo una sucesión de funciones (f n ) n N converge a una función f? Por la denición, f n f en C(X) sii f n f, es decir, si dado ε > 0, existe n 0 = n 0 (ε) N tal que f n (x) f(x) < ε para n n 0 y para todo x X. En particular: Eugenio Borghini Espacios de funciones 4 / 14

14 Convergencia de sucesiones ¾Cuándo una sucesión de funciones (f n ) n N converge a una función f? Por la denición, f n f en C(X) sii f n f, es decir, si dado ε > 0, existe n 0 = n 0 (ε) N tal que f n (x) f(x) < ε para n n 0 y para todo x X. En particular: Si f n f, entonces f es continua. Eugenio Borghini Espacios de funciones 4 / 14

15 Convergencia de sucesiones ¾Cuándo una sucesión de funciones (f n ) n N converge a una función f? Por la denición, f n f en C(X) sii f n f, es decir, si dado ε > 0, existe n 0 = n 0 (ε) N tal que f n (x) f(x) < ε para n n 0 y para todo x X. En particular: Si f n f, entonces f es continua. Si f n f, para cada x X es lím f n(x) = f(x). n Eugenio Borghini Espacios de funciones 4 / 14

16 Convergencia de sucesiones ¾Cuándo una sucesión de funciones (f n ) n N converge a una función f? Por la denición, f n f en C(X) sii f n f, es decir, si dado ε > 0, existe n 0 = n 0 (ε) N tal que f n (x) f(x) < ε para n n 0 y para todo x X. En particular: Si f n f, entonces f es continua. Si f n f, para cada x X es lím f n(x) = f(x). n ½La vuelta no vale! Pensar X = [0, 1], f n (x) = x n, f = χ {1}. Eugenio Borghini Espacios de funciones 4 / 14

17 Convergencia de sucesiones Ejemplo Sea X = [ 1, 1], f n (x) = n k=1 x k k!. ¾Converge la sucesión (f n) n N? Eugenio Borghini Espacios de funciones 5 / 14

18 Convergencia de sucesiones Ejemplo Sea X = [ 1, 1], f n (x) = n k=1 x k k!. ¾Converge la sucesión (f n) n N? Resolución Por Taylor, sabemos que para cada x [ 1, 1] f n (x) e x. Así que si la sucesión converge, debe ser a la función exponencial. Acotemos la diferencia para un punto x 0 [ 1, 1]. Eugenio Borghini Espacios de funciones 5 / 14

19 Convergencia de sucesiones Ejemplo Sea X = [ 1, 1], f n (x) = n k=1 x k k!. ¾Converge la sucesión (f n) n N? Resolución Por Taylor, sabemos que para cada x [ 1, 1] f n (x) e x. Así que si la sucesión converge, debe ser a la función exponencial. Acotemos la diferencia para un punto x 0 [ 1, 1]. f n (x 0 ) e x n 0 = k=1 x k 0 k! k 1 x k 0 k! = x k 0 k! x k 0 k! k>n k>n k>n 1 k!. Eugenio Borghini Espacios de funciones 5 / 14

20 Convergencia de sucesiones Resolución (Continuación) Como k 1 1 k! = e <, dado ε > 0 existe n 0 N tal que n n 0 implica k>n 1 k! < ε. Luego, vemos que f n converge a la función exponencial sobre [ 1, 1]. Eugenio Borghini Espacios de funciones 6 / 14

21 Convergencia de sucesiones Resolución (Continuación) Como k 1 1 k! = e <, dado ε > 0 existe n 0 N tal que n n 0 implica k>n 1 k! < ε. Luego, vemos que f n converge a la función exponencial sobre [ 1, 1]. Ejemplo Sea X = [ r, r] donde r (0, 1). Analice la convergencia de la sucesión n f n (x) = sin(x k ). k=1 Eugenio Borghini Espacios de funciones 6 / 14

22 Convergencia de sucesiones Resolución Ahora no tenemos un candidato conocido a límite. Sabemos que para cada x [ r, r], f n (x) n sin(x k ) k=1 n x k r k = k 1 k=1 así que el límite puntual de f n (x) existe. r 1 r, Eugenio Borghini Espacios de funciones 7 / 14

23 Convergencia de sucesiones Resolución Ahora no tenemos un candidato conocido a límite. Sabemos que para cada x [ r, r], f n (x) n sin(x k ) k=1 n x k r k = k 1 k=1 r 1 r, así que el límite puntual de f n (x) existe. ¾Cómo hacemos para probar que una sucesión converge sin conocer el límite? Eugenio Borghini Espacios de funciones 7 / 14

24 Convergencia de sucesiones Resolución Ahora no tenemos un candidato conocido a límite. Sabemos que para cada x [ r, r], f n (x) n sin(x k ) k=1 n x k r k = k 1 k=1 r 1 r, así que el límite puntual de f n (x) existe. ¾Cómo hacemos para probar que una sucesión converge sin conocer el límite? ½Usamos completitud y Cauchy! Eugenio Borghini Espacios de funciones 7 / 14

25 Convergencia de sucesiones Cauchy Una sucesión de funciones (f n ) n N es de Cauchy sii dado ε > 0, existe n 0 N tal que n, m n 0 implica f n (x) f m (x) < ε siempre que n, m n 0, para todo x X. Eugenio Borghini Espacios de funciones 8 / 14

26 Convergencia de sucesiones Cauchy Una sucesión de funciones (f n ) n N es de Cauchy sii dado ε > 0, existe n 0 N tal que n, m n 0 implica f n (x) f m (x) < ε siempre que n, m n 0, para todo x X. Con gusto dudoso, una sucesión que cumple esto se dice uniformemente de Cauchy. Eugenio Borghini Espacios de funciones 8 / 14

27 Convergencia de sucesiones Cauchy Una sucesión de funciones (f n ) n N es de Cauchy sii dado ε > 0, existe n 0 N tal que n, m n 0 implica f n (x) f m (x) < ε siempre que n, m n 0, para todo x X. Con gusto dudoso, una sucesión que cumple esto se dice uniformemente de Cauchy. Resolución (Continuación) Veamos que f n es de Cauchy. Sea ε > 0. f n (x) f m (x) n k=m+1 que es menor a ε si m es sucientemente grande. r k rm+1 1 r, Eugenio Borghini Espacios de funciones 8 / 14

28 Conjuntos acotados, equicontinuos Sea H C(X). H es acotado si existe M > 0 tal que f(x) M para todo x X, f H (a veces esto se llama equiacotado). Eugenio Borghini Espacios de funciones 9 / 14

29 Conjuntos acotados, equicontinuos Sea H C(X). H es acotado si existe M > 0 tal que f(x) M para todo x X, f H (a veces esto se llama equiacotado). H se dice equicontinuo en x 0 X si dado ε > 0, existe δ > 0 tal que f(x) f(x 0 ) < ε para toda f H siempre que x x 0 < δ. H se dice equicontinuo si lo es en todos sus puntos. Ejemplo Todo conjunto nito es equicontinuo. Eugenio Borghini Espacios de funciones 9 / 14

30 Teorema de Arzelá-Ascoli ¾Qué dice el Teorema de Arzelá-Ascoli? Eugenio Borghini Espacios de funciones 10 / 14

31 Teorema de Arzelá-Ascoli ¾Qué dice el Teorema de Arzelá-Ascoli? Importante El Teorema de Arzelá- Ascoli caracteriza los compactos de C(X). Eugenio Borghini Espacios de funciones 10 / 14

32 Teorema de Arzelá-Ascoli ¾Qué dice el Teorema de Arzelá-Ascoli? Importante El Teorema de Arzelá- Ascoli caracteriza los compactos de C(X). Teorema Sean X compacto, H C(X). Entonces H es relativamente compacto sii es acotado y equicontinuo. Eugenio Borghini Espacios de funciones 10 / 14

33 Teorema de Arzelá-Ascoli ¾Qué dice el Teorema de Arzelá-Ascoli? Importante El Teorema de Arzelá- Ascoli caracteriza los compactos de C(X). Teorema Sean X compacto, H C(X). Entonces H es relativamente compacto sii es acotado y equicontinuo. Veamos algunas aplicaciones. Eugenio Borghini Espacios de funciones 10 / 14

34 Teorema de Arzelá-Ascoli Ejemplo Sea X = [a, b]. Para M > 0, denimos: Lip M [a, b] := {f : [a, b] R : f(x) f(y) M x y x, y [a, b]} H[a, b] := {f : [a, b] R : f(a) = 0}. Mostrar que Lip 0 M [a, b] := Lip M[a, b] H[a, b] es compacto. Eugenio Borghini Espacios de funciones 11 / 14

35 Teorema de Arzelá-Ascoli Ejemplo Sea X = [a, b]. Para M > 0, denimos: Lip M [a, b] := {f : [a, b] R : f(x) f(y) M x y x, y [a, b]} H[a, b] := {f : [a, b] R : f(a) = 0}. Mostrar que Lip 0 M [a, b] := Lip M[a, b] H[a, b] es compacto. Resolución Como Lip 0 M [a, b] es cerrado en C([a, b]), por el Teorema de Arzelá-Ascoli, alcanza con ver que es acotado y equicontinuo. Eugenio Borghini Espacios de funciones 11 / 14

36 Teorema de Arzelá-Ascoli Ejemplo Sea X = [a, b]. Para M > 0, denimos: Lip M [a, b] := {f : [a, b] R : f(x) f(y) M x y x, y [a, b]} H[a, b] := {f : [a, b] R : f(a) = 0}. Mostrar que Lip 0 M [a, b] := Lip M[a, b] H[a, b] es compacto. Resolución Como Lip 0 M [a, b] es cerrado en C([a, b]), por el Teorema de Arzelá-Ascoli, alcanza con ver que es acotado y equicontinuo. Lip 0 M [a, b] es acotado porque toda función esta acotada por M(b a). Eugenio Borghini Espacios de funciones 11 / 14

37 Teorema de Arzelá-Ascoli Resolución (Continuación) Eugenio Borghini Espacios de funciones 12 / 14

38 Teorema de Arzelá-Ascoli Resolución (Continuación) Veamos que Lip 0 M [a, b] es equicontinuo. Sean ε > 0, f Lip0 M [a, b] y x 0 [a, b]. f(x) f(x 0 ) M x x 0 < ε si x x 0 < ε M. Eugenio Borghini Espacios de funciones 12 / 14

39 Teorema de Arzelá-Ascoli Algún tiempo atrás... Eugenio Borghini Espacios de funciones 13 / 14

40 Teorema de Arzelá-Ascoli Algún tiempo atrás... Ejemplo Probar que las normas y 1 son equivalentes sobre Lip 0 M [a, b]. Eugenio Borghini Espacios de funciones 13 / 14

41 Teorema de Arzelá-Ascoli Algún tiempo atrás... Ejemplo Probar que las normas y 1 son equivalentes sobre Lip 0 M [a, b]. Resolución Como f 1 (b a) f, alcanza con probar que si (f n ) n N Lip 0 M [a, b] es tal que f n f, entonces f n f. 1 Eugenio Borghini Espacios de funciones 13 / 14

42 Teorema de Arzelá-Ascoli Algún tiempo atrás... Ejemplo Probar que las normas y 1 son equivalentes sobre Lip 0 M [a, b]. Resolución Como f 1 (b a) f, alcanza con probar que si (f n ) n N Lip 0 M [a, b] es tal que f n 1 Si fuera f n f, entonces f n f. g, tendríamos f n 1 g y luego g = f. Eugenio Borghini Espacios de funciones 13 / 14

43 Teorema de Arzelá-Ascoli Algún tiempo atrás... Ejemplo Probar que las normas y 1 son equivalentes sobre Lip 0 M [a, b]. Resolución Como f 1 (b a) f, alcanza con probar que si (f n ) n N Lip 0 M [a, b] es tal que f n 1 Si fuera f n f, entonces f n f. g, tendríamos f n 1 g y luego g = f. Como Lip 0 M [a, b] es compacto, f n tiene alguna subsucesión convergente a g Lip 0 M [a, b]. Eugenio Borghini Espacios de funciones 13 / 14

44 Teorema de Arzelá-Ascoli Estamos cerca pero nos falta algo. Eugenio Borghini Espacios de funciones 14 / 14

45 Teorema de Arzelá-Ascoli Estamos cerca pero nos falta algo. Ejercicio importante de la guía Sea (x n ) n N una sucesión en un espacio métrico X. Entonces x n converge a x sii toda subsucesión de x n posee una subsucesión que converge a x. Eugenio Borghini Espacios de funciones 14 / 14

46 Teorema de Arzelá-Ascoli Estamos cerca pero nos falta algo. Ejercicio importante de la guía Sea (x n ) n N una sucesión en un espacio métrico X. Entonces x n converge a x sii toda subsucesión de x n posee una subsucesión que converge a x. Ahora sí: Resolución (Continuación) Sea (f nk ) k N una subsucesión. Por compacidad podemos extraer una subsucesión convergente a g Lip 0 M [a, b]. Por lo visto antes, debe ser f = g y luego f n f, como queríamos mostrar. Eugenio Borghini Espacios de funciones 14 / 14