Probabilitat Lliçons 3 & 4

Transcripción

1 Probabilitat Lliçons 3 & 4 Albert Satorra UPF Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor / 38

2 Probabilitat Lliçons 3 & 4 Albert Satorra UPF Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor / 38

3 Continguts 1 Probabilitat Condicionada, Regla del Producte 2 Llei de la probabilitat total 3 Teorema de Bayes Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor / 38

4 Problema de l accident i matricula de tres zeros Un vianant mort atropellat. El cotxe ha fugit. Un testimoni afirma que la matrícula tenia exactament tres zeros. La fiabilitat del testimoni és un 90%. Emprant aquesta informació del testimoni, calculeu la probabilitat que la matrícula del cotxe de l accident tingui exactament tres zeros. Nota: Sense cap informació de testimoni, la probabilitat que un cotxe tingui la matrícula amb tres zeros és: (matrícula de quatre digits i 3 lletres) Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor / 38

5 Problema de les tres caixes (C1,C2,C3) i boles blanques i negres (B,N) Suposeu tres caixes amb la següent composició de boles blanques i negres: Caixa 1 (C1): NBB Caixa 2 (C2): NNB Caixa 3 (C3): NNN Tirem un dau de sis cares: si surt 1,2,3, triem C1; si surt 4, 5, triem C2; si surt 6, triem C3. De la caixa escollida, triem a l atzar una bola. Considereu l esdeveniment B si el resultat és bola blanca; i N si el resultat és bola negra. Calculeu: 1 Probabilitat de B 2 Probabilitat de C1 quan sabem que la bola escollida és B Veurem: Probabilitat condicionada; T. de la Probabilitat total; T. de Bayes; Probabilitats a priori, a posteriori. També el concepte de independència. Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor / 38

6 Tema: probabilitat intersecció, condicionada,... Hem vist la probabilitat de la unió: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B), regla additiva. Ara estudiarem la probabilitat de la intersecció: P(A B) =?, la regla multiplicativa. Exemple: En una estació de metro, A = escala mecànica 1 avariada, B = escala mecànica 1 avariada. P(A) = P(B) = 1/1000. Interessa calcular la P(A B) =? Veurem que, si A i B són independents, P(A B) = P(A) P(B)... en general: P(A B) = P(A B) P(B), P(A B) = P(B A) P(A) P(A B) = P(A B) P(B) Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor / 38

7 Problemes motivadors Cas i: Cas ii: Tenim dues caixes amb la composició de boles numerades següent: Caixa 1: Caixa 2: Tirem una moneda, si surt cara triem bola de la Caixa 1; si surt creu, triem bola de la Caixa 2. Tenim dues caixes amb la composició de boles numerades següent: Caixa 1: Caixa 2: Tirem una moneda, si surt cara triem bola de la Caixa 1; si surt creu, triem bola de la Caixa 2. En els dos casos considerem els esdeveniments següents: A = la moneda surt cara, B = bola parell. Ens preguntem per P(A) sense informació sobre B. També per P(A) quan se sap que B s ha produït, aquesta última probabilitat, s escriu P(A B). Això porta al concepte de si A i B són independents o no. El concepte de independència s ha d afinar. Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor / 38

8 La probabilitat condicional de l esdeveniment A conegut/donat l esdeveniment B, P(A B), es defineix com, P(A B) = P(A B), sempre que P(B) > 0 P(B) Regla del producte P(A B) = P(A B) P(B) Exemple El 80% dels clients d un Frankfurt fan servir ketchup (K), el 75% fan servir mostassa(m) i el 65% fan servir tots dos (K M). Probabilitat que un consumidor de ketchup faci servir mostassa? P(M K) = P(M K) P(K) = 0, 65 = 0, , 80 Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor / 38

9 Figure : Probabilitat Condicionada amb diagrames de Venn Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor / 38

10 Independència Els esdeveniments A i B són independents si: P(A B) = P(A), o P(B A) = P(B). És equivalent a P(A B) = P(A) P(B) Ex. Pau i Maria seuen en mateix seient a la guarderia. Esdeveniments A = pares del Pau estan divorciats, B = Pares de la Maria estan divorciats. Són A i B independents? Ex. Pau i Maria.... A = Pau porta polls al cap quan arriba a casa, B = Maria porta polls al cap quan arriba a casa. Són A i B independents? Compte que A, B, C poden ser independents a parelles però no mutuament independents. Ex. Dau de 4 cares: A = {1, 2}, B = {1, 3}, C = {1, 4} Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor / 38

11 Ex. En el meu trajecte a la UPF amb metro, trobo dues escales mecàniques, a i b. Si A = escala a avariada, B = escala b avariada. Suposeu, P(A) = 0.2, P(B) = 0.3, P(A B) = 0.2. Descriu A B, A B, determina P(A B). És P(A) igual a P(A B)? Ex. En una ciutat hi han dos empreses de taxi, el 80% blaus, el 20% grocs. En el judici d un assassinat hi ha involucrat un taxi; era la nit i el testimoni afirma que el taxi era groc. La probabilitat que el testimoni hagi vist correctament el color del taxi es del 70%. Probabilitat que el taxi fos groc? P(TG G) P(TG G)P(G) P(G TG) = = P(TG) P(TG G)P(G) + P(TG G c )P(G c ) = = Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor / 38

12 Figure : Teorema de les Probabilitats Totals Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor / 38

13 Teorema (llei) de la probabilitat total Siguin 1 E 1,... E k mútuament excloents, col.lectivament exhaustius amb P(E j ) > 0. Sigui A esdeveniment qualsevol. Podem escriure Així, A = (A E 1 ) (A E k ) P(A) = P(A E 1 ) + + P(A E k ) d on es té el Teorema de la probabilitat total P(A) = P(A E 1 ) P(E 1 ) + + P(A E k ) P(E k ) 1 Es tracta d una partició de Ω Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor / 38

14 Exemple Dels articles produïts diàriament per una fàbrica, el 40% prové de la ĺınia de producció I i el 60% prové de la ĺınia II. El percentatge de defectuosos de la ĺınia I és el 8%, mentre que el percentatge de defectuosos de la ĺınia II és el 10%. Es pren un article a l atzar de la producció diària; calculeu la probabilitat que no sigui defectuós. D = L article és defectuós, D = L article no és defectuós L 1 = L article és de la ĺınia 1, L 2 = L article és de la ĺınia 2. P(D) = P(D L 1 ) P(L 1 ) + P(D L 2 ) P(L 2 ) = = = Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor / 38

15 Figure : Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor / 38

16 Figure : Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor / 38

17 Exemple: A = accions es posen a la venda C =Color favorit director és el verd. P(A C) = P(A)!!! A i B són independents si P(A B) = P(A) (si P(B) > 0) Equivalentment, si P(A B) = P(A) P(B) Exemple Tirem dos daus: d 1 i d 2. S:= d 1 + d 2 y D:=d 1 d 2 P({S = 2}) = 1 36, P({D = 4}) = 2 36 P({S = 2} {D = 4}) = 0 {S = 2} i {D = 4} no són independents Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor / 38

18 Exemple S estima que el 48% de les llicenciatures són obtingudes per dones i que el 17,5% de totes les llicenciatures són en Empresarials. El 4,7% de totes les llicenciatures corresponen a les dones que es graduen en Empresarials. Són els esdeveniments El Llicenciat és una dona i El llicenciat ho és en Empresarials independents? A:= El licenciat és una dona ; P(A) = 0, 48 B:= El llicenciat ho és en Empresarials ; P(B) = 0, 175 A B:= Llicenciat en Empresarials i dona ; P(A B) = 0, 047 Possibilitat 1: P(A) P(B) P(A B) (0, 48 0, 175 0, 047) Possibilitat 2: P(A B) = P(A B) P(B) P(A) ( 0,047 0,175 0, 48 ) Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor / 38

19 Regla del producte. P(A B) = P(A B) P(B)... més de dos: Si E 1, E 2,..., E k són esdeveniments tals quel P(E 1 E 2... E k 1 ) > 0 aleshores, P(E 1 E 2... E k ) = P(E 1 ) P(E 2 E 1 ) P(E 3 E 2 E 1 ) P(E k 1 E 1 E 2... E k 2 ) P(E k E 1 E 2... E k 1 ) Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor / 38

20 Exemple Una caixa conté 8 boles vermelles, 3 blanques i 9 blaves. Fem tres extraccions sense reemplaçament de la caixa. Determina la probabilitat de que 1 Totes tres siguin vermelles 2 Es trien en l ordre vermell, blanc i blau 3 Es tria una de cada color Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor / 38

21 1 Sigui V i l esdeveniment La i ma extracció és vermella. P(V 1 V 2 V 3 ) = P(V 1 ) P(V 2 V 1 ) P(V 3 V 1 V 2 ) = Sigui W i l esdeveniment La i ma extracció és blanc i B i l esdeveniment La i ma extracció és blava P(V 1 W 2 B 3 ) = P(V 1 ) P(W 2 V 1 ) P(B 3 V 1 W 2 ) = = = L ordenació dels colors correspon a P 3 = 3! = 6 i tots els resultats bàsics favorables tenen la mateixa probabilitat que P(V 1 W 2 B 3 ). Per això la probabilitat demanada és = Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor / 38

22 Thomas Bayes Figure : Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor / 38

23 Exemple S ha desenvolupat un procediment per detectar un tipus particular d artritis en individus de més de 50 anys d edat. Un 10% dels individus d aquest grup d edat pateixen la malaltia. S aplica el procediment a individus amb malaltia confirmada: diagnòstic correcte en el 85% dels casos. El procediment es posa a prova amb individus sans de la mateixa edat: falsos positius del 4%. Probabilitat que un individu pateixi artritis si el procediment ha donat positiu? P(A B): probabilitat a priori; P(B A): probabilitat a posteriori Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor / 38

24 Teorema de Bayes A i B esdeveniments tals que P(A) > 0 i P(B) > 0. Aleshores, P(B A) = P(A B) P(B) P(A) Teorema de Bayes - Expressió alternativa Siguin E 1,... E k partició de Ω i A tal que P(A) > 0. Aleshores, P(E i A) = P(A E i ) P(E i ) P(A E 1 ) P(E 1 ) + + P(A E k ) P(E k ) Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor / 38

25 Teorema de Bayes Figure : Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor / 38

26 Problema de les dues caixes (cont.) Suposem els esdeveniments: A= Bola extreta és bola Negra, B= Caixa escollida éscaixa 1, P(B A) = P(A B)P(B) P(A B)P(B) + P(A B) B Un 75%! = 3/ / /4 0.5 = 3/4 Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor / 38

27 Problema de l accident i matricula de tres zeros (cont.) Suposem els esdeveniments: A = Testimoni diu que la matricula té tres zeros ; B = matricula té tres zeros. P(B A) = P(A B)P(B) P(A B)P(B) + P(A B) B Un 3%! = ( ) = 0.03 Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor / 38

28 Siguin A : L individu pateix artritis ; +:Test positiu ; : Test negatiu Pel teorema de Bayes, P(A +) = P(A +) P(+) = P(+ A) P(A) P(+) El numerador és P(+ A) P(A) = 0, 85 0, 1 = 0, El denominador, segons el teorema de les probabilitats totals, és P(+) = P(+ A) P(A) + P(+ A c ) P(A c ) = = Llavors, P(A +) = = Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor / 38

29 Problema Una agència de qualificació examina les accions d un gran nombre d empreses. Quan es va investigar el comportament d aquestes accions l any passat, es va descobrir que el 25% van experimentar un creixement del seu valor clarament superior a la mitjana, el 25% clarament inferior i el 50% restant es van mantenir al voltant de la mitjana. El 40% de les accions que van créixer clarament per sobre de la mitjana van ser classificades com bones adquisicions per l agència, al igual que el 20% de les que van créixer al voltant de la mitjana i el 10% de les que van tenir un creixement clarament inferior a la mitjana. a) Quina és la probabilitat que una acció triada a l atzar hagi estat classificada com una bona adquisició per part de l agència? b) I de que una acció triada a l atzar d entre les classificades com una bona adquisició hagi crescut clarament per sobre de la mitjana del mercat? Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor / 38

30 Siguin, S = L acció creix superior a la mitjana M = L acció creix al voltant de la mitjana I = L acció creix inferior a la mitjana B = L acció qualificada bona adquisició a) Pel teorema de la probabilitat total, b) P(B) = P(B S) P(S) + P(B M) P(M) + P(B I ) P(I ) = = = P(S B) = P(S B) P(B) = P(B S) P(S) P(B) = = Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor / 38

31 Funcions de R 1 factorial(4); choose(12,3); sample(1:12, 3, replace = T); sum(1:6),... 2 cara i creu: moneda =c( cara, creu ); sample(moneda, 5, replace=t) tirades= sample(moneda, 30, replace=t) table(tirades) Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor / 38

32 Probabilitats a la vida real... 1 Ex. Suposeu una malaltia amb probabilitat (prevalència) molt baixa. Si ajuntem molta gen, la probabilitat que ningú la tingui pot ser molt baixa. Per exemple, suposeu que la maltia la té 1 de cada En un grup de , la probabilitat que ningú la tingui serà: P( A i ) c = ( A c i ) = (999/1.000) Aquí A i = individu i té la malatia. 2 Probabilitat de coincidència (el cap de setmana) amb un estudiant concret de la classe és baixa, posem... P(A i ) = 0.01, A i és l esdeveniment coincideixo amb l estudiant i concret. La probabilitat que no coincideixi amb cap estudiant pot arribar a ser molt baixa: P(Ā 1... Ā 1 ) = 0.99 n on n és el nombre d estudiants. Si n = 350, = , de manera que la probabilitat que coincideixi amb almenys un és: , molt alta! Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor / 38

33 Probabilitats a la vida real..., que n opines? 1 En una tirada repetida d una moneda observem seqüència: cara, cara, cara, cara, cara; en la tirada següent, cara i creu són igualment provables? 2 En la tirada repetida de un moneda, la probabilitat que el no. de cares sigui igual al no. de creus tendeix a 1 quan el número de tirades n creix cap a infinit? 3 En la tirada repetida de un moneda ens interessa la seqüència: cara, cara, cara. La probabilitat d aquesta seqüència és la mateixa que la: cara, creu, cara? 4 A la loteria nacional, el no té la mateixa probabilitat que el 79250? 5... Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor / 38

34 Hem vist 1 probabilitat condicionada, P(A B) 2 probabilitat P(A B), regla multiplicativa, 3 Teorema de les probabilitats totals 4 Teorema de Bayes, de la probabilitat inversa 5 Algunes funcions de R 6 Exemples Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor / 38

35 Deures de la setmana 1 Exercicis 1 a a 10 de la llista 1 d exercicis de seminari 2 Lectura: Cap. 4 del llibre NCT2008 Exploreu el material de NCT2008, primer capit., a les referències del Pla Docent de Probabilitat i Estadística 3 petita excursió a R: materialdivers/apendixonr.pdfbreu introducció. També, les Comandes Bàsiques de R que teniu a la web del curs. Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor / 38

36 Problema del sopar i l al.lèrgia Un estudiant convida a una amiga a casa. A la nevera només i té 6 productes diferents i abans que arribi l amiga s afanya a fer un pizza amb 4 dels 6 productes triats a l atzar. Després s oblida dels productes que hi ha posat. Abans del sopar l amiga obra la nevera per agafar una beguda i comenta que té al.lèrgia a dos dels sis productes que hi ha a la nevera. Probabilitat que l amiga pugui tenir problemes d al.lèrgia amb la pizza que estan a punt de menjar. Les combinacions de pizza possibles són choose(6,4)... Hi ha una combinació solament que no té al.lergent, de manera que la probabilitat que la pizza sigui al.lergent és =1-1/choose(6,4) = Si a la nevera hi haguèssin 8 productes, aleshores la probabilitat buscada seria: 1- choose(6,4)/choose(8,4) = Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor / 38

37 Problema de les caixes P(B), emprem la Llei de les Probabilitats Totals P(B) = P(B C1)P(C1) + P(B C2)P(C2) + P(B C3)P(C3) = 2/3 1/2 + 1/3 1/ /6 P(C1 B), emprem el T. de Bayes = 4/ P(C1 B) = fracp(p C1)P(C1)P(B C1)P(C1) + P(B C2)P(C2) + = 2/3 1/2 2/3 1/2 + 1/3 1/ /6 = /3 = 3/4 Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor / 38

38 Probabilitat de protocol t Suposem un protocol de molts items A 1, A 2,..., A K,cada un d ells té probabilitat molt alta de no tenir falla (podem pensar en una operació que es descomposa en molts items, cada un dels quals cal que no falli, per exemple, molts individus, i repeticions de posar-se o treure s una vestit de protecció sense contaminar-se,... (. Representem per A i el item i no falla. I suposem una probabilitat alta per A k, P(A k ) = Quina és la probabilitat que la operació conjunta no falli?. Interessa la probabailitat de la intersecció: P(A 1 A 2 A 3 A K. Una hipòtesi raonable és independència entre els A i de manera que PExit = P(A 1 A 2 A 3 A K ) = P(A k ) K = 0.99 K El gràfic de la probabiltat de Exit depen de K, mireu: http: // de probabilitats Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor / 38