PRIMERA PRUEBA. 25 de febrero de 2011 INSTRUCCIONES. Esta prueba consiste en la resolución de tres problemas

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1 PRIMERA PRUEBA 5 de ebrero de : INSTRUCCIONES Esta prueba consiste en la resolución de tres probleas Eplea una hoja del cuadernillo de respuestas para cada problea Razona siepre tus planteaientos No olides poner tus apellidos nobre y datos del Centro en la priera hoja! Subenciona:

2 P. Aceleróetro. Un aceleróetro es coo su propio nobre indica un dispositio para edir aceleraciones. Un odelo sencillo consiste en un cilindro cuyo eje coincide con la dirección de la aceleración que se desea edir. Dentro del cilindro hay una bola sujeta a los extreos ediante dos uelles iguales y un líquido iscoso que aortigua las oscilaciones de la bola cuando se produce un cabio en la aceleración. En ausencia de aceleración la bola está en equilibrio en el centro del cilindro coo se representa en la igura a. Sin ebargo cuando el dispositio sure una aceleración en el sentido del eje OX indicado la bola alcanza un nueo estado de equilibrio dináico desplazada una distancia x < coo se indica en la igura b. Esta distancia no cabia ientras la aceleración sea constante x x O Fig. a X O Fig. b X a) El aceleróetro se sujeta horizontalente en un ehículo de ora que el eje del cilindro coincida con la dirección del oiiento (eje OX). En estas condiciones deterina el desplazaiento en equilibrio de la bola x en unción de la aceleración del ehículo a la constante elástica de cada uelle k y la asa de la bola M. b) Mientras el ehículo acelera unioreente de a 4 k/h en s el desplazaiento en equilibrio de la bola es x = c. Sabiendo que la asa de la bola es M = g calcula el alor de la constante k de cada uno de los uelles. c) La gráica de la igura uestra un registro de la posición x de la bola en unción del tiepo t ientras un autoóil se uee desde t = hasta t = s. En esta gráica se obseran claraente tres interalos de tiepo con aceleraciones dierentes. Calcula la aceleración del autoóil en cada uno de estos interalos. d) Si el autoóil del apartado anterior ha partido del reposo en t = representa gráicaente de ora aproxiada su elocidad en unción del tiepo entre t = y t = s. e) Calcula por últio el espacio total que ha recorrido desde t = hasta t = s. x (c) t (s) Fig. OAF PRUEBAS DEL DISTRITO UNIVERSITARIO DE ZARAGOZA

3 Solución P. Aceleróetro. a) Los dos resortes son iguales es decir tienen la isa constante elástica k y la isa longitud natural. Cuando están ontados en el aceleróetro unidos a los extreos del cilindro y a la bola en ausencia de aceleración abos están deorados (estirados o copriidos) la isa distancia x de ora que están ejerciendo uerzas de igual ódulo F = kx sobre la bola pero en sentidos opuestos y ésta peranece en el centro del cilindro. Cuando el sistea se uee con aceleración uniora a tras aortiguarse la oscilación de la bola se alcanza un nueo estado de equilibrio dináico en el que todo el sistea incluida la bola se uee con esta aceleración. Por tanto sobre la bola debe estar actuando una uerza neta Ma en el sentido de la aceleración. Obiaente esta uerza es la debida al cabio de deoración de los dos uelles es decir al desplazaiento de la bola respecto al centro del cilindro Ma = kx () El signo enos indica que de acuerdo con el enunciado cuando la aceleración es en sentido positio ( a > ) el desplazaiento es negatio ( x < ) y iceersa. Despejando en () el desplazaiento en equilibrio de la bola es Ma x = k b) En una aceleración uniore partiendo del reposo la elocidad inal alcanzada en el instante t es = at Con los datos de este apartado y teniendo en cuenta que 4 k/h = a = t = 74 /s 4 /6 s = /s Despejando k de () k = Ma = 67 N/ k = 6 N/ x c) En la gráica de la igura del enunciado se obseran tres interalos de tiepo en los que salo la bree oscilación aortiguada inicial x es constante es decir la aceleración a es constante: < t < 4 s: x = 5 c = kx / M = 864 /s a a = /s 4 s < t < 6 s: x a = 6 s < t < s: x = c a = kx / M = 46 /s = a = /s En resuen el coche se uee con aceleración a durante los cuatro prieros segundos. Entre t = 4 s y t = 6 s se uee con aceleración nula es decir con elocidad constante y desde t = 6 s hasta t = s con aceleración a negatia lo que indica que el coche rena. d) Coo parte del reposo la elocidad del coche auenta linealente con el tiepo durante el prier interalo. t i = 4 = < t < t s : a t = OAF PRUEBAS DEL DISTRITO UNIVERSITARIO DE ZARAGOZA

4 Durante el segundo interalo la elocidad es constante igual a la alcanzada al inal del prier interalo es decir en t = 4 s ti = 4 s < t < t = 6 s : = cte. = at = 46 /s = k/h En el tercer interalo de tiepo el coche decelera unioreente ( a < ) con lo que su elocidad disinuye linealente partiendo de la elocidad inicial anterior en la ora ti 6 s < t < t = s = : = + a ( t t ) i La elocidad inal en t = s es = 46 /s 46 /s ( 6) s = /s 6667 k/h = En resuen la representación gráica de la elocidad en unción del tiepo sería la siguiente 5 (k/h) t (s) e) El espacio recorrido en cada uno de los tres interalos de tiepo es = s s s a t = 4 69 ( t t ) = 485 = i ( ) t t + a ( t t ) = 9 5 = i i Y el espacio total recorrido es s = s + s + s = 5 s = Nota sobre precisión de resultados: los datos nuéricos de este problea están dados con dos ciras signiicatias por lo que no tiene sentido dar los resultados con ás de dos ciras. Sin ebargo para eitar arrastrar y apliicar errores de redondeo en las operaciones de los sucesios apartados se ha optado por trabajar con cuatro o cinco ciras y redondear únicaente al presentar los resultados que se piden en los diersos apartados del enunciado. OAF PRUEBAS DEL DISTRITO UNIVERSITARIO DE ZARAGOZA

5 P. Tiro con arco. Ante las "necesidades" de la caza y de la guerra la huanidad ha desarrollado a lo largo de su historia el tiro con arco. En la actualidad salo algunos pueblos priitios que siguen utilizándolo para cazar solo se usa coo una odalidad deportia. Los constructores de arcos antiguos no necesitaron conocer las leyes de la ísica pero hoy en día la tecnología basada en detallados estudios ísicos perite ejorar sus prestaciones con diseños que en nada recuerdan a los antiguos arcos edieales. En este problea te proponeos que realices unos cálculos basados en dos odelos ísicos de arco. En una priera aproxiación podeos considerar que un arco edieal tiene un coportaiento análogo a algo que encanta a los ísicos: un uelle de constante K. Con este odelo lineal de arco (ley de Hooke) se supone que la uerza F de tensado del arco es proporcional a la longitud x que se deora (igura ). a) Cuando el arquero ejerce una uerza F la distancia de tensado es x. x F Deterina en unción de F y x el trabajo W que ha realizado el arquero para tensar el arco. Calcula su alor para F = 7 N y x = 58. b) Cuando el arquero eectúa el disparo la ayor parte de la energía potencial alacenada en el arco se transiere a la lecha y el resto se inierte en energía cinética de las partes óiles del propio arco. Si la asa de la lecha es = 6 kg y aditios que recibe el 8% de la energía alacenada Fig. en el arco calcula la elocidad de la lecha cuando abandona el arco. Los odernos arcos copuestos coo el de la igura están dotados de unas coplicadas poleas excéntricas y no tienen un coportaiento lineal; el odelo del uelle no sire para ellos. La uerza F para tensarlo y el desplazaiento x siguen una relación no lineal coo la representada en la gráica de la igura. La uerza que hay que aplicar para antenerlo tensado con su deoración áxia es ucho enor que con un arco tradicional lo que eita teblores usculares del arquero y ejora notableente la puntería. c) Aditiendo que en los arcos copuestos prácticaente toda la energía potencial alacenada se transite a la lecha haz una estiación razonada de la asa que debe tener la lecha para que cuando se tense el arco una distancia áxia x = 5 su elocidad de salida sea igual a la calculada en el apartado b) para el arco edieal. x el área coprendida entre la cura ( x) Ayuda: recuerda que para una distancia áxia de tensado el eje de abscisas hasta x es proporcional al trabajo realizado por F hasta alcanzar esa deoración. F (N) 5 Fig. F y 5 Fig. 5 x () OAF PRUEBAS DEL DISTRITO UNIVERSITARIO DE ZARAGOZA

6 Solución P. Tiro con arco. c) Tal coo se indica en el enunciado el coportaiento del arco edieal es equialente al de un uelle ideal de constante K por lo que la uerza F que ejerce el arquero es proporcional a la longitud que se deora el uelle (el arco en este caso). Por tanto la representación gráica de F en unción de x es la que se uestra en la igura 4. F F El trabajo realizado por una uerza en un desplazaiento puede calcularse coo el área coprendida entre la cura F (x) y el eje de abscisas entre los alores inicial y inal de x. En nuestro caso es el área del triángulo sobreado en la igura 4 W = F x W = J W Fig. 4 x x La pregunta de este apartado puede abordarse de otra ora ísicaente equialente a la anterior: coo suponeos que el arco responde a un odelo elástico para cualquier deoración se cuple F = Kx. Adeás coo la uerza elástica es conseratia el trabajo realizado por el arquero es igual a la energía potencial U alacenada por el arco W = F x = U = Kx d) Cuando se dispara la lecha el 8% de la energía potencial se transora en energía cinética de la lecha. Si llaaos γ = 8 a la eiciencia de esta transoración es inediato deducir la elocidad de la lecha γ U γ U = = = 7 6 /s e) La energía potencial alacenada por el arco copuesto de nueo coincide con el trabajo realizado por el arquero al tensarlo W = U. Coo no se conoce la expresión analítica de F (x) este trabajo sólo puede calcularse de ora aproxiada a partir del área bajo la cura de la igura 5 entre el origen y la deoración áxia x = 5. En concreto la energía potencial del arco será igual al núero de rectángulos bajo la cura ultiplicado por la energía que corresponde a uno de ellos. Cada rectángulo tiene coo base 5 y altura N por lo que su área representa un trabajo de 5 J. Contando cuadros enteros y copensando racciones de cuadro en cada coluna de la igura 5 se obtiene que el área bajo la cura es aproxiadaente la de 5 rectángulos. Por tanto U 5 5 J = 76 5 J Coo se adite que esta energía se transiere íntegraente a la lecha y adeás se quiere que su elocidad de salida sea la isa que la del apartado b) podeos escribir U = F (N) 5 lo que perite calcular la asa de la lecha U = 8 g Fig. 5 x () OAF PRUEBAS DEL DISTRITO UNIVERSITARIO DE ZARAGOZA

7 P. Espectróetro de Bainbridge. Para estudiar la estructura y la coposición de la ateria se utilizan técnicas experientales conocidas Placa F coo espectroscopía de asas consistentes en edir la asa y la abundancia relatia de los iones de una uestra. En la igura se uestra el esquea de un espectróetro de Bainbridge utilizado para estudiar iones que tienen la isa elocidad. Los iones que proienen de una cáara de R ionización atraiesan las rendijas coliadoras S para deliitar su dirección de propagación. A partir de ahí penetran en una región del espacio (selector de V B elocidades) donde coexisten un capo electrostático S uniore E producido por dos placas planoparalelas soetidas a una dierencia de potencial V y un capo B agnetostático uniore B perpendicular al capo eléctrico. Los iones que atraiesan esta región sin desiarse penetran en otra región en la que existe un segundo capo Fig. agnético uniore B paralelo a B y coo consecuencia de ello describen órbitas seicirculares e ipactan sobre una placa otográica F. Considera un espectróetro que opera con E = 5 kv/ B = B = 5 T. a) Sabiendo que la separación entre las placas es d = 4 deterina la dierencia de potencial V entre ellas. b) Deterina la elocidad de los iones que pueden penetrar en la segunda región del espectróetro. c) Deuestra que la relación q / (carga/asa) de los iones que ipactan en la placa F iene dada por q E = R B B donde R es el radio de la trayectoria circular seguida por el ión. d) Si la uente iónica inyecta los tres isótopos del agnesio 4 Mg + 5 Mg + y 6 Mg + que tienen carga +e calcula la separación entre las líneas que aparecen ipresionadas en la placa F por el ipacto de los tres tipos de iones. Considera que las asas atóicas de los isótopos son en unidades de asa atóica iguales a su núero ásico. Datos: unidad de asa atóica u =.66-7 kg ; carga eleental e = 6-9 C. OAF PRUEBAS DEL DISTRITO UNIVERSITARIO DE ZARAGOZA

8 Solución P. Espectróetro de Bainbridge. a) Conocida la relación entre el capo y el potencial electrostático en la región coprendida entre las dos placas planoparalelas podeos calcular la dierencia de potencial V (Nótese que el plano inerior está a potencial nulo). V E = V = E d = 6 V d b) En la región del espectróetro coexisten un capo electrostático uniore E y un capo agnetostático uniore B por tanto las cargas que la atraiesen estarán soetidas a la uerza de Lorentz. r r r r F = q E + B ( ) Para penetrar en la región deben atraesar la región sin desiarse. Consecuenteente la uerza debida al capo electrostático y la debida al capo agnetostático deben ser iguales y de sentido contrario para que la uerza total sea nula. De la igura obseraos que r r B está contenido en el plano del papel y a de abajo hacia arriba; por tanto el capo E r deberá ir de arriba hacia abajo y su ódulo deberá coincidir con el producto B E = B E 4 = = /s B c) En la región los iones se ueen en el seno de un capo agnético B por tanto se en soetidos a una uerza perpendicular a la dirección del oiiento que les proporcionará una aceleración centrípeta y les proocará un oiiento circular de radio R. r r ( B) r F = q F = q B = R Coo en esta región solo entran los iones con elocidad = E / B (apartado b) podeos concluir que q = E R B B d) Despejando el radio R en la expresión anterior E R = q B B q = R B que puede ealuarse para los tres isótopos del agnesio 4 Mg + 5 Mg + y 6 Mg +. Dado que las trayectorias circulares no son concéntricas sino tangentes en la rendija de entrada en la región ) la separación entre las líneas de dos isótopo es el doble de la dierencia de los radios de sus trayectorias. Adeás coo ( 4 Mg + ) = 4 u; ( 5 Mg + ) = 5 u y ( 6 Mg + ) = 6 u obteneos que la separación Δ entre la línea del isótopo 4 Mg + y la del 5 Mg + es u E Δ = q B B = La isa distancia Δ existe entre la línea 6 Mg + y la del 5 Mg +. Consecuenteente la distancia Δ entre la línea 6 Mg + y la del 4 Mg + será Δ' = Δ = 4 OAF PRUEBAS DEL DISTRITO UNIVERSITARIO DE ZARAGOZA