Entretenciones con Números

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1 10 Sociedad de Matemática de Chile Entretenciones con Números Sergio Plaza 1 Introducción Estas notas constituyen una serie de tópicos que hemos trabajado durante la preparación de los alumnos para las Olimpíadas internacionales de Matemática Una directriz principal en nuestro trabajo con los alumnos es que deben aprender a justificar sus afirmaciones en los desarrollos de sus soluciones Comenzamos tratando un problema numérico Un Problema de Potencias Un alumno estaba jugando con su calculadora, por simple curiosidad, decidimos que calculara las potencias de 2 Esto para la capacidad de la máquina, al ir anotando los resultados obtenidos, observamos un hecho curioso: no aparecía el número 7 como primer digíto (en la expresión decimal) de los resultados de esas potencias Esto nos llevó a plantearnos el siguiente problema: Problema Considere la sucesión a(n) que consiste del primer dígito de las consecutivas potencias de 2 Para conocer la sucesión a(n) escribimos la siguiente tabla: en la primera fila escribimos las potencias de 2 desde 0 hasta 9, y en la segunda fila escribimos el valor que a(n) correspondiente, en la tercera fila escribimos las potencias de 2 desde 10 hasta 19, y en la cuarta fila correspondiente valor de a(n), así sucesivamente Como se observa en la sucesión a(n) han aparecido los número 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, y no han aparecido los números 7 y 9 1 Depto de Matemática, Facultad de Ciencias, Universidad de Santiago de Chile, Casilla 307 Correo 2 Santiago - Chile splaza@fermatusachcl

2 Revista del Profesor de Matemáticas, RPM No 8 (1999) A esta altura de los cálculos comenzamos a sospechar que el 7 no aparecía en la sucesión a(n), y nos planteamos la siguiente pregunta El dígito 7 aparece alguna vez en los términos de la sucesión a(n)? Continuamos con algunos cálculos más, y encontramos que 2 46 = es decir, el número 7 aparece como primer dígito de la potencia 2 46 Más aún, vemos que la sucesión a(n) tiene una periocidad en sus términos, vemos que de hecho, 7 es el primer dígito de 2 56, 2 66, 2 76, 2 86, y 2 96, pero el primer dígito de es 8 y no 7 como esperabamos Ante esta cuestión nos planteamos la pregunta Qué significa que 7 sea el primer dígito de 2 n? La respuesta es simple: 7 es el primer dígito de 2 n si, y sólo si, para algún entero positivo k 7 10 k 2 n < 8 10 k Tomando logarítmo en base 10 en la desigualdad anterior obtenemos que Ahora necesitamos de la siguiente k + log(7) n log 2 < k + log(8) Definición La parte entera de un número real x, denotada [x], es el mayor entero menor o igual que x

3 12 Sociedad de Matemática de Chile Como log(7) y log(8) están entre 0 y 1 concluímos que k es la parte entera de n log(2), lo cual nos lleva a las siguientes desigualdades log(7) n log(2) [ n log(2) ] < log(8) Ahora, es suficiente juntar los dos hechos siguientes: Lema 1 El número log(2) es irracional Demostración Si log(2) es racional entonces log(2) = r, para r, m Z, m con m 0 Luego 10 r/m = 2, de donde 10 r = 2 m Esto es una contradicción dado que cualquier potencia de 10 es divisible por 5 mientras que, ninguna potencia de 2 lo es Lema 2 Si un número x es irracional y c(n) = nx [nx], entonces para cualquier a, b, con 0 < a < 1 y 0 < b < 1 existen infinitos n IN para los cuales a < c(n) < b Antes de probar el Lema 2, veamos como resolveríamos nuestro problema Al aplicar el Lema 2, con x = log(2), a = log(7) y b = log(8), vemos que existe una infinidad de n tal que c(n) = n log(2) [ n log(2) ] pertenece al intervalo ] log(7), log(8) [, es decir, existe una infinidad de n para los cuales 7 es el primer dígito de 2 n Por otra parte, si aplicamos el Lema 2, con x = log(2), a = log(77) 1 y b = log(78) 1, y observando que 1 = [ log(77) ] = [ log(78) ], vemos que 77 aparece como los dos primeros dígitos de 2 n, para una infinidad de números n Un argumento similar muestra que dada una sucesión finita cualquiera de dígitos, ella puede aparecer en el comienzo de una notación decimal de una potencia de 2 por ejemplo, 1997 o 1234 o , etc Basados en la prueba de los lemas anteriores, tenemos el siguiente Corolario Si un entero p > 1 no es una potencia de 10, entonces cualquier sucesión de dígitos puede aparecer en el comienzo de la notación decimal de p n para algún n Demostración Basta observar que log(p) es irracional

4 Revista del Profesor de Matemáticas, RPM No 8 (1999) 13 Ahora veamos por qué 7 no aparece como primer dígito de 2 n para n 45, y por qué inicialmente parecía que los n para los cuales 7 aparece como primer dígito es uniformemente distribuida, pero no se mantiene al pasar de 96 a 106 La razón es simple El número log(2) = puede ser bien aproximado por el número racional 03, y para todo racional x la sucesión c(n) = nx [nx] es periódica Esto explica porqué considerando sólo los primeros términos iniciales de la sucesión a(n) somos llevados a la conclusión errónea de que la sucesión tiene período 10 y 7 no es un término de esta sucesión, mientras que 8 aparece con frecuencia Nota histórica En 1910 Waclaw Sierpinski, Hermann Weyl y P Bohl prueban, independientemente cada uno de ellos, que para un número irracional la sucesión c(n) = nx [nx] es homogéneamente distribuida sobre el intervalo [0, 1] Más precisamente, si tomamos a y b, con a < b, cualesquieras en [0, 1] y si k(a, b, n) denota el número de elementos en el conjunto {c(i) : 1 i n, c(i) ]a, b[}, entonces k(a, b, n) lim = b a n n Ahora sean a(7, n) y a(8, n) el número de sietes y ochos, correspondientemente, entre los primeros elementos de la sucesión a(n) Tenemos consecuentemente, a(7, n) lim n n a(8, n) lim n n = log(8) log(7) = log(9) log(8) a(7, n) lim n a(8, n) = log(8) log(7) log(9) log(8) = > 1 esto significa que en un segmento suficientemente largo de la sucesión a(n) veremos aparecer, levemente, más sietes que ochos Nota: El resultado de Bohl, Sierpinski y Weyl que hemos recordado arriba, y el hecho sobre los sietes y ochos, son una consecuencia bastante simple de un

5 14 Sociedad de Matemática de Chile teorema más general y profundo, se trata del Teorema Ergódico de Birkhoff (1931) Prueba del Lema 2 Primero notemos que todos los términos de la sucesión c(n) son distintos, pues si c(n) = c(m) para algún m > n, entonces (m n)x = [mx] [nx], que es un entero, los cual es una contradicción pues x es irracional y un múltiplo entero de un irracional no puede ser entero Consideremos n tal que 1 < b a Los números c(1), c(2),, c(n + n 1) siendo todos distintos y pertenecientes al intervalo [0, 1] Aplicando el Principio de los casilleros de Dirichlet (cf [1], pp 50) que existen enteros positivos i, i + s entre 1 y n + 1 tales que la siguiente desigualdad vale 0 < ε = c(i) c(i + s) 1 n < b a Principio de Buena Ordenación (PBO): Algunas consecuencias Comenzamos esta sección recordando el siguiente principio relativo a los números enteros positivos Principio de Buena Ordenación (PBO) Cada conjunto no vacío de enteros positivos tiene un primer elemento Esto es, si S IN es un subconjunto no vacío entonces existe s S con s t para cada t S A continuación aplicamos el PBO para obtener algunos resultados básicos Aplicación 1 2 es irracional Supongamos que 2 es racional entonces deben existir enteros positivos a y b con 2 = a b, es decir, a = b 2 es entero Ahora, sea S = {k 2 : k y k 2 son enteros positivos } Como b 2 S, el conjunto S es no vacío Por lo tanto por el PBO existe un menor elemento, digamos s = t 2 en S

6 Revista del Profesor de Matemáticas, RPM No 8 (1999) 15 Tenemos que s 2 = 2t, luego s 2 y s son enteros positivos Además, como s 2 s = (s t) 2, se sigue que s 2 s S Afirmamos que este entero es positivo Tenemos que s 2 s = s ( 2 1) es positivo puesto que 2 > 1 Por otra parte s 2 s es menor que s, puesto que s = t 2 y s 2 = 2t, y 2 < 2 Tenemos entonces s 2 s < s si y sólo si s 2 < 2s si y sólo si 2t < 2t 2 si y sólo si 1 < 2, lo cual es conocido Esto contradice la minimalidad de s Aplicación 2 Divisibilidad y el Algoritmo de División de Euclides Definición Sean a y b enteros, con a 0 Decimos que a divide a b si existe un entero c tal que b = ac Si a divide a b, también decimos que a es un divisor o un factor de b Si a divide a b escribimos a b, y si a no divide a b, escribimos a/ b Propiedades de la divisivilidad 1 Sean a, b, y c enteros con a b y b c entonces a c 2 Si a, b, c, m, y n son enteros y si c a y c b entonces c (na + mb) Teorema ( Algoritmo de la División) Si a y b son enteros tales que b > 0, entonces existen enteros q y r, únicos, tales que a = bq + r, con 0 r < b Demostración Consideremos el conjunto S de todos los enteros de la forma a bk donde k es un entero, esto es, S = {a bk : k Z} Sea T el conjunto de todos los enteros no negativos en S Es claro que T es no vacío, puesto que a bk es positivo cuando k es un entero con k < a Por el PBO b T tiene un menor elemento r, luego existe un entero q tal que r = a bq (estos son los valores para q y r especificados en el teorema) Como r 0 por construcción, probaremos que r < b En efecto, si r b entonces r r b = a bq b = a b(q + 1) 0, lo cual contradice el hecho que r = a bq es el menor entero no negativo de la forma a bk Luego 0 r < b Resumiendo, tenemos probada la existencia de los enteros q y r requeridos en el enunciado

7 16 Sociedad de Matemática de Chile Para mostrar que esos valores de q y de r son únicos, supongamos que a = bq 1 + r 1 y a = bq 2 + r 2, con 0 r 1 < b y 0 r 2 < b Restando la segunda ecuación a la primera obtenemos 0 = b(q 1 q 2 ) + (r 1 r 2 ) Luego vemos que r 2 r 1 = b(q 1 q 2 ), es decir, b divide a r 2 r 1 Como 0 r 1 < b y 0 r 2 < b tenemos que b < r 2 r 1 < b, y por lo tanto b divide a r 2 r 1 si, y sólo si, r 2 r 1 = 0 en otras palabras, r 1 = r 2 Ahora, como bq 1 + r 1 = bq 2 + r 2 y r 1 = r 2, vemos ahora que q 1 = q 2 Esto muestra que el cuociente q y el resto r son únicos Aplicación 3 Existencia de infinitos números primos Primero probemos el siguiente lema Lema Cada número entero mayor que uno tiene un divisor primo Demostración Probaremos el resultado por contradicción Supongamos que existe un entero mayor que 1 que no tiene divisores primos Entonces el conjunto de los enteros positivos mayores que 1 que no tienen divisores primos es no vacío, y el PBO nos dice que existe un menor entero positivo mayor que 1, digamos n, que no tiene divisores primos Como n no tiene divisores primos y n divide a n, vemos que n no es primo Luego, podemos escribir n = a b con 1 < a < n, y 1 < b < n Ahora como a < n, se sigue que a tiene un divisor primo Pero, como cualquier divisor de a es también un divisor de n, luego n tiene un divisor primo, contradiciendo el hecho que n no tiene divisores primos Por lo tanto cada entero positivo mayor que 1 tiene al menos un divisor primo Teorema Existe una cantidad infinita de números primos Demostración Consideremos el entero Q n = n! + 1, con n 1 Por el Lema anterior Q n tiene al menos un divisor primo, el cual denotamos por q n Se tiene que q n debe ser mayor que n, pues si q n n, se tendría que q n n! y entonces q n (Q n n!), lo cual es imposible ya que Q n n! = 1 Como hemos encontrado un primo mayor que n para cada entero positivo n debe existir una cantidad infinita de números primos Como una aplicación del teorema anterior probaremos el siguiente

8 Revista del Profesor de Matemáticas, RPM No 8 (1999) 17 Teorema Si n es un número entero compuesto, entonces n tiene un factor primo que no excede a n Demostración Como n es compuesto, podemos escribir n = a b, donde a y b son enteros, digamos con 1 < a b < n Debemos tener que a n, pues de otro modo b a > n, y de ahí a b > n n = n Ahora, por el Lema, a debe tener un divisor primo, el cual también es un divisor de n y el cual claramente es menor o igual que n Sobre la distribución de los números primos se tiene el siguiente Teorema Para cada entero positivo n, existen al menos n enteros compuestos consecutivos Demostración Consideremos los n enteros positivos consecutivos, (n + 1)! + 2, (n + 1)! + 3,, (n + 1)! + n + 1 Cuando 2 j n + 1, sabemos que j (n + 1)!, y por lo tanto j ((n + 1)! + j) Luego, esos n enteros consecutivos son compuestos Nota La construcción anterior, nos da que los siete enteros consecutivos comenzando con 8! + 2 = son todos compuestos, pero claramente, existen mucho más que siete enteros consecutivos compuestos para un primo bastante menor Terminamos esta sección con un problema sobre números primos y la Conjetura de Goldbach Problema Recordemos que dos números primos p y q, digamos con p < q, son primos gemelos si q p = 2, por ejemplo, 3 y 5, 5 y 7, 17 y 19, son primos gemelos Tenemos la siguiente pregunta: Existen infinitos primos gemelos? Conjetura de Goldbach Cada entero positivo mayor que dos puede ser escrito como la suma de dos primos (Christian Goldbach planteó esta conjetura en una carta a Leonhard Euler en 1742) Ejemplos: 10 = = = = =

9 18 Sociedad de Matemática de Chile Fracciones Continuas, Números de Fibonacci y Razón Áurea En esta sección veremos una relación simple entre fracciones continuas, números de Fibonacci y la Razón Áurea de la Geometría Consideremos la ecuación cuadrática x 2 = ax + 1, donde a es un número entero positivo Tenemos x = a + 1 x = a + 1 = a + a + 1 x a a + 1 a + 1 x es decir, x = [a; a, a, a, ] Para a = 1 se tiene x = 1 + 5, y por lo tanto se obtiene que = [1; 1, 1, 1, 1, ] 2 Ahora, si escribimos las fracciones parciales asociadas, tenemos 1; = 2 1 ; = 3 2 ; los siguientes términos de esta sucesión son 8 5, 13 8, 21, Observemos que 13 los denominadores de la sucesión anterior vienen dados 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,, es decir, la sucesión arriba es definida por la fórmula de recurrencia siguiente x 0 = 1, x 1 = 1, y x n+1 = x n + x n 1, n 2, la cual es conocida con el nombre de sucesión de Fibonacci = 5 3

10 Revista del Profesor de Matemáticas, RPM No 8 (1999) 19 Referencias [1] Barriga O, Cortés V, Plaza S, Riera G Matemáticas y Olimpíadas Sociedad de Matemática de Chile, 1994 [2] Corless R M, Frank G W, Monroe, J G Chaos and Continued Fractions Physica D 46 (1990), [3] Khintchin A Continued Fractions Noordhoff, Groningen, 1963 [4] Hardy G H, Wright E M An Introduction to the Theory of Numbers Oxford Univ Press, 1971 [5] Jones WB, Thron W J Continued Fractions: Analytic Theory and Applications Addison Wesley, Reading, 1980