Modelos Lineales Generalizados

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Juan Francisco Jiménez Peña
hace 5 años
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1 Modelos Lineales Generalizados 1 DefinicióndeunMLG Y1,Y2,...,Yn,conmediasµ1,µ2,...,µn,Yi, i=1,...,n,tienefdpmiembrodela familia exponencial a un parámetro, con las siguientes propiedades: 1.LadistribucióndecadaunodelosYi,paratodoi,estáenlaformacanónica,i.e.: f(yi;θi,φ)=exp{ 1 a(φ) [y iθi b(θi)]+c(yi;φ)} para b(.) y c(.) funciones conocidas. El parámetro θi es llamado de parámetro canónico, o natural, de la familia exponencial, y φ es llamado parámetro de dispersión,paraelcuala(φ)= φ w,dondewsonconsideradospesosapriori. MLG M. P. Díaz 1

2 2. Principales propiedades: E(Yi)=µi=b (θi) Var(Yi)=a(φ)b (θi)=a(φ)v(µi) donde Vi es llamada función de varianza; θi= Ω V 1 dµi=q(µi) con q(.) una función conocida; 3.LasdistribucionesdelosYisondelamismaforma,paratodoi. Únicosparámetrosexplícitos: θi i=1,...,n nosondeinterés,sinounconjunto menor, de β s: g(µi)= p xijβj=x jβ j=1 donde g(.) es una función monótona, diferenciable. MLG M. P. Díaz 2

3 Síntesis Un modelo lineal generalizado se define como: (a) Un componente aleatorio representado por las variables aleatorias independientes Yi s, provenientes de la misma distribución en la familia exponencial; (b) Un componente sistemático lineal en los parámetros, llamado predictor lineal, η=xβ; (c)unafunciónde enlaceg(.)talqueηi=g(µi),dondee(yi)=µi. MLG M. P. Díaz 3

4 Necesidad de un trinomio: distribución de la variable respuesta; matriz del modelo(diseño experimental, situación observacional); función de enlace. MLG M. P. Díaz 4

5 Uno de los componentes 2 Función de Enlace Cada fdp(v.a. respuesta) permite una clase de funciones de enlace, Qué considerar?: interpretación, proceso biológico, buenas propiedades estadísticas. MCGM:E(Y)=µ=η Identidadadesunafunciónapropiadasiempreycuando ηyµpuedantomarcualquiervalorenr. Conteos?Y P(µ),yi R + Identidadadnoesadecuada. MLG M. P. Díaz 5

6 Características Conteos e Hipótesis de independencia en datos de clasificación cruzada? efectos multiplicativos log, η = logµ, µ = e η ; así, efectosaditivosenel nuevomodelo restringen el dominio de µ solamente a los reales positivos. Conteosrestringidos?0<µ<1,g:(0,1) R f. logística, probit,complemento log-log, entre otras. CasoGeneral:funcionesdeenlacedentrodefamiliapotencia,(almenosparaYi>0, Lindsey, 1993): η= µ λ : λ 0, logµ : λ=0. MLG M. P. Díaz 6

7 Resumen Función Binomial Gama Normal Inversa Poisson de enlace Positiva Gaussiana Logística C Probit Complemento log-log Identidad C Recíproca C Logarítmica C Recíproca Cuadrática C Raíz Cuadrada C indica la canónica para esa familia de distribuiciones, θ = η. Luego, T(X) estadístico suficiente con igual dimensión que el vector de parámetros β en el predictor lineal. MLG M. P. Díaz 7

8 Función de enlace 3 Importancia de la Función de Enlace Cordeiro(1986)proponelosiguiente: SiV =V(µ)=b (θ)=dµ/dθ entonces µ= b (θ)dθ, luegosedefinelafamiliadefuncionesdeenlacecomo: η=g(µ)= [b (θ)] δ dθ= [V(µ)] δ dθ= [V(µ)] δ 1 dµ, dondeδ R,b (θ)>0. Cada miembro de la familia exponencial genera una clase de funciones de enlace. Poisson: θ=lnµ,dθ=µ 1 dµ, b(θ)=e θ =µ,b (θ)=e θ =µ,b (θ)=e θ =µ η=g(µ)= [b (θ)] δ dθ= [V(µ)] δ 1 dµ= µδ δ, conδ=0. MLG M. P. Díaz 8

9 Función de enlace Luego, las funciones potencia son de la forma Todo para Poisson η= µ δ si δ 0 lnµ c.c. Cuál es su utilidad? contiene varias g(.) importantes: (Poisson) 1.Siδ=0,η=lnµ=θ(linkcanónica), 2.Siδ=1,η=µ= b (θ)dθ=b (θ)=µ(linkidentidad) 3.Siδ=1/2... (Ejerc.: quésucedeconlamatrizdeinf. defisher? vermaterial) 4. Si δ = 1/3... (ejerc.: qué sucede con la log-verosimilitud? ver material) Para otro miembro? MLG M. P. Díaz 9

10 Síntesis de las funciones potencia Miembros importantes de la familia de funciones de enlace η δ [ b θ ] dθ = ''( ) (Hacer cuadro.) MLG M. P. Díaz 10

11 Función de verosimilitud desde la FEU En el caso particular que el parámetro canónico coincida con el predictor lineal, Importancia? MLG M. P. Díaz 11

12 Funciones de enlace canónicas De quiénes? Otras funciones de enlace MLG M. P. Díaz 12

13 Representación de Logística y Valor Extremo MLG M. P. Díaz 13

14 Familia de Funciones Potencia (Transf. Box- Cox) MLG M. P. Díaz 14

15 Familia de Funciones de Enlace Aranda-Ordaz (1981) Casos particulares cuando α es 1 o α 0. MLG M. P. Díaz 15

16 Proceso de Inferencia en MLG Estimación de Parámetros en un MLG (β η µ θ). 1. Método de estimación 2. Algoritmo de estimación (general) 3. Convergencia: problemas y criterios 4. Expresión de la precisión de los estimadores 5. Estimación del parámetro de dispersión 6. Recomendaciones. MLG M. P. Díaz 16

17 Síntesis: Teoría de Máxima Verosimilitud MLG M. P. Díaz 17

18 Ejemplo: Distribución Geométrica Considere una serie de ensayos Bernoulli independientes, con π probabilidad de éxito, constante. La distribución del número de fallas Y i hasta el primer éxito tiene una pdf, Para y i = 0,1,.,. Se demuestra que su valor esperado y la función de verosimilitud para n observaciones es: donde y es la media muestral y se muestra que es un estadístico suficiente para π. MLG M. P. Díaz 18

19 Geométricamente, n=20 y media muestral igual a 3. MLG M. P. Díaz 19

20 Estadístico de escore: La primera derivada de la función log-verosimilitud se denomina función escore (de Fisher), Si la log-verosimilitud es cóncava, el estimador de máxima se logra resolviendo el sistema de ecuaciones Para el ejemplo, MLG M. P. Díaz 20

21 La Matriz de Información: El vector escore es un estadístico con propiedades estadísticas interesantes: 1) evaluado en el vector de parámetros tiene esperanza cero, i.e 2) y matriz de var-cov igual a la matriz de información: 3) bajo condiciones de reg., se puede también obtener según: En ejemplo sería: MLG M. P. Díaz 21

22 Ejemplo: pdf geométrica, Y usando que Resulta, MLG M. P. Díaz 22

23 Newton-Raphson Scoring de Fisher Cálculo del EMV requiere proceso iterativo Expansión en serie de Taylor de la función escore evaluada en θˆ y en un entorno de θ o. L matriz hessiana ( 2 de la log-ver). Reemplazando, resulta: Técnica de Newton Raphson MLG M. P. Díaz 23

24 Proceso alternativo (muy usado): Escore de Fisher Qué hace? reemplaza la (-)matriz hessiana Por su valor esperado, llamada Matriz de Información de Fisher. MLG M. P. Díaz 24

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