Programación Declarativa Universidad de Málaga

Transcripción

1 Programación Declarativa Universidad de Málaga 3. o de Ingeniería Informática E.T.S.I. Informática Enero de 2008 Tema 5. Programación lógica con árboles Ejercicios Ejercicio 1. Dada la siguiente representación de árbol binario: ArbolB ::= vaciob nodob(arbolb,raiz,arbolb) define los siguientes predicados sobre árboles binarios: es_arbolb(a) A es un árbol binario bien formado es_arbolb_nat(a) A es un árbol binario de naturales raiz(r,a) R es la raíz de A hoja(h,a) H es una hoja de A miembro(x,a) X es elemento de A padre(x,y,a) X es padre de Y en A hijo(x,y,a) X es hijo de Y en A descendiente(x,y,a) X es descendiente de Y en A ascendiente(x,y,a) X es ascendiente de Y en A rama(rs,a) la lista Rs es una rama de A sustituye(x,y,ax,ay) AY es AX sustituyendo todas las X por Y Ejercicio 2. Define las siguientes relaciones sobre árboles binarios: subarbol(a,b) simetricos(a,b) isomorfos_estruc(a,b) isomorfos_ramas(a,b) A es subárbol de B A y B son simétricos A y B tienen la misma estructura A y B tienen las mismas ramas Ejercicio 3. Define versiones recursivas (con y sin acumulador) de los siguientes predicados sobre árboles binarios: num_nodos(a,n) profundidad(a,p) maximo(a,m) suma(a,s) frontera(a,fs) A tiene N nodos P es la profundidad de A M es el máximo de A S es la suma de los nodos de A Fs es la frontera de A Ejercicio 4. Define los siguientes predicados de recorrido sobre árboles binarios: 1

2 miembro_preorden(x,a) preorden(rs,a) miembro_inorden(x,a) inorden(rs,a) miembro_postorden(x,a) postorden(rs,a) miembro_anchura(x,a) anchura(rs,a) generador de elementos de A en preorden Rs es una lista con el recorrido en preorden de A generador de elementos de A en inorden Rs es una lista con el recorrido en inorden de A generador de elementos de A en postorden Rs es una lista con el recorrido en postorden de A generador de elementos de A en anchura Rs es una lista con el recorrido en anchura de A Ejercicio 5. Define un predicado arbol_inorden(rs,a) tal que, dada una lista Rs, genere todos los árboles binarios A tales que su recorrido en inorden es Rs. Ejercicio 6. Define un predicado construye_arbol(ps,is,a) que reconstruya un árbol binario A a partir de sus recorridos en preorden Ps e inorden Is. Ejercicio 7. Define un predicado genera_arbolb(a) que se comporte como un generador no acotado de árboles binarios. Asegúrate de que no se trate de un generador anómalo. Ejercicio 8. Define un predicado camino(x,a,cs) que, dado un árbol binario A, se satisfaga si la lista Cs contiene un camino desde la raíz de A hasta un nodo X. El camino debe almacenar las raices de los nodos que lo componen, así como los lados del árbol por los que se desciende. Por ejemplo:?- arbol_ejemplo(_a), camino(5,_a,cs). Cs = [ (4->der), (6->izq), 5] ; significa que hay un camino en el árbol A que parte de la raíz 4, desciende por la derecha visitando 6 y desciende por la izquierda hasta llegar al nodo destino 5. Ejercicio 9. Define un predicado camino_entre(x,y,a,cs) que, dado un árbol binario A, se satisfaga si la lista Cs contiene un camino desde un nodo X hasta un nodo Y. El camino debe almacenar las raices de los nodos que lo componen, así como los lados del árbol por los que se desciende. Por ejemplo:?- arbol_ejemplo(_a), camino_entre(6,5,_a,cs). Cs = [(6->izq), 5] ; significa que hay un camino en el árbol A que parte del nodo 6 y desciende por la izquierda hasta llegar al nodo destino 5. Ejercicio 10. Define un predicado nodos_prof_i(i,a,is) que, dados un árbol binario A y un entero positivo I, devuelva una lista Is con los nodos de A situados a profundidad I. Ejercicio 11. Define un predicado por_profundidad(a,iss) que, dado un árbol binario A, devuelva una lista de listas Iss tal que la lista i-ésima contenga los nodos de A situados a profundidad i-ésima. Escribe dos versiones: una que haga uso del predicado nodos_prof_i(i,a,is) y otra que no. Ejercicio 12. Se desea representar en Prolog árboles de búsqueda mediante términos de la forma: ArbolBB ::= vaciobb nodobb(arbolbb,clave,arbolbb) 2

3 donde no hay claves repetidas, los elementos menores que Clave están a la izquierda, y los mayores (@>) a la derecha. Define los siguientes predicados sobre árboles de búsqueda: es_arbolbb(a) A es un árbol de búsqueda bien formado inserta(x,a,ax) AX es el árbol que resulta de insertar X en A borra(x,ax,a) A es el árbol que resulta de borrar X de AX miembro_inorden(x,a) generador de elementos de A en inorden inorden(rs,a) Rs es la lista con el recorrido en inorden de A Ejercicio 13. Define un predicado ordenar(xs,ys) que dada una lista Xs devuelva su ordenación en Ys. Utiliza un árbol de búsqueda para ordenar los elementos. Ejercicio 14. Un árbol hoja es un árbol binario no vacío que almacena información sólo en las hojas. Los árboles hoja pueden representarse en Prolog por términos de la forma: ArbolH ::= hoja(dato) nodoh(arbolh,arbolh) define los siguientes predicados sobre árboles hoja: es_arbolh(a) A es un árbol hoja bien formado es_arbolh_nat(a) A es un árbol hoja de naturales miembro(x,a) X es elemento de A sustituye(x,y,ax,ay) AY es AX sustituyendo todas las X por Y subarbol(a,b) A es subárbol de B simetricos(a,b) A y B son simétricos isomorfos_estruc(a,b) A y B tienen la misma estructura isomorfos_ramas(a,b) A y B tienen las mismas ramas num_hojas(a,n) A tiene N hojas profundidad(a,p) P es la profundidad de A maximo(a,m) M es el máximo de A suma(a,s) S es la suma de las hojas de A frontera(a,fs) Fs es la frontera de A Ejercicio 15. Define un predicado camino(x,a,cs) que, dado un árbol hoja A, se satisfaga si la lista Cs contiene un camino desde la raíz de A hasta una hoja X. El camino debe almacenar los lados del árbol por los que se desciende hasta llegar a la hoja X. Por ejemplo:?- arbol_hoja_ejemplo(_a), camino(5,_a,cs). Cs = [ der, izq, 5] ; significa que hay un camino en el árbol A que parte de la raíz y desciende por la derecha y por la izquierda hasta llegar a la hoja destino 5. Ejercicio 16. Define un predicado arbolh_frontera(fs,a) que dada una lista Fs genere todos los árboles hoja A tales que Fs es su frontera Ejercicio 17. Define un predicado genera_arbolh(a) que se comporte como un generador no acotado de árboles hoja. Asegúrate de que no se trate de un generador anómalo. Ejercicio 18. Un árbol genérico puede ser vacío, lo que representaremos en Prolog mediante la constante 3

4 vaciog o bien tener una raíz y un número arbitrario n de hijos (n 0), representado en Prolog por términos de la forma: ArbolG ::= nodog(raiz,[arbolg]) es decir, cada nodo tiene una raíz y una lista con sus hijos (los nodos hoja se representarán por términos de la forma nodog(raiz,[])). Define los siguientes predicados sobre árboles genéricos: es_arbolg(a) A es un árbol genérico bien formado es_arbolg_nat(a) A es un árbol genérico de naturales miembro(x,a) X es elemento de A sustituye(x,y,ax,ay) AY es AX sustituyendo todas las X por Y subarbol(a,b) A es subárbol de B simetricos(a,b) A y B son simétricos isomorfos_estruc(a,b) A y B tienen la misma estructura num_nodos(a,n) A tiene N hojas profundidad(a,p) P es la profundidad de A maximo(a,m) M es el máximo de A suma(a,s) S es la suma de los nodos de A frontera(a,fs) Fs es la frontera de A Ejercicio 19. Las fórmulas bien formadas (fbfs) de la lógica proposicional pueden representarse en Prolog por términos de la forma: FBF ::= at(a) o(fbf,fbf) y(fbf,fbf) imp(fbf,fbf) no(fbf) es decir; cada conectiva lógica (,,, ) se representa por una estructura con el functor y la aridad apropiadas, y las fórmulas atómicas por estructuras de la forma at(a), donde A es cualquier término Prolog (para simplificar, puedes suponer que siempre serán letras minúsculas). Por ejemplo, las fbfs: a (b c) se representarán por los términos Prolog: a b a b y(at(a),o(at(b),at(c))) imp(y(at(a),at(b)),o(at(a),at(b))) Define los siguientes predicados sobre fbfs: es_fbf(a) atomo(a,at) atomos(a,ats) subformula(a,b) A es una fórmula bien formada At es un átomo (formula atómica) de A Ats es la lista de átomos (fórmulas atómicas) de A B es una subfórmula de A Ejercicio 20. Define un predicado tamanyo(a,n) que dada una fbf A devuelva en N su tamaño (número de conectivas que aparecen en A). Por ejemplo: 4

5 ?- tamanyo(y(at(a), o(at(b), at(c))),n). N = 2 ; Ejercicio 21. Define un predicado conectivas(a,cs) que dada una fbf A devuelva en Cs una lista con el número de veces que aparece cada conectiva en A. Por ejemplo:?- conectivas(y(y(at(a),at(d)),o(at(b),at(c))),cs). Cs = [veces(y,2),veces(o,1)] ; Ejercicio 22. Define un predicado elimina_imp(a,b) que dada una fbf A devuelva la fbf B resultado de reemplazar todas las implicaciones de A por disyunciones, aplicando la equivalencia: A B A B. Por ejemplo:?- elimina_imp(imp(at(a),at(b)),b). B = o(no(at(a)),at(b)) ;?- elimina_imp(imp(y(at(a), at(b)), o(at(a), at(b))),b). B = o(no(y(at(a), at(b))), o(at(a), at(b))) ; Ejercicio 23. Define un predicado no_atomico(a,b) que dada una fbf A devuelva la fbf B resultado de aplicar las leyes de De Morgan hasta que las negaciones sólo afecten a los átomos. Por ejemplo:?- no_atomico(no(y(at(a),at(b))),b). B = o(no(at(a)), no(at(b))) ;?- no_atomico(no(no(no(at(a)))),b). B = no(at(a)) ;?- no_atomico(no(no(at(a))),b). B = at(a) ; Recuerda que la implicación material ( ) contiene una negación implícita que debe ser tratada como las demás:?- no_atomico(no(imp(at(a),at(b))),b). B = y(at(a), no(at(b))) ;?- no_atomico(y(imp(at(a),at(b)),at(c)),b). B = y(o(no(at(a)), at(b)), at(c)) ; Ejercicio 24. Define un predicado evalua(f,i,v) que evalúe la fbf F respecto a la interpretación I, devolviendo el valor en V (0 o 1). La interpretación I puede representarse mediante una lista que contiene sólo las fórmulas atómicas ciertas (es decir, los átomos no presentes en la lista I se consideran falsos). Por ejemplo: 5

6 ?- evalua(y(at(p),at(q)), [p],v). V = 0;?- evalua(y(at(p),at(q)), [p,q],v). V = 1; 6