ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO FIZ 1300 FIS 1532 (11)

Transcripción

1 ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO FIZ 1300 FIS 1532 (11) Ricardo Ramírez Facultad de Física, Pontificia Universidad Católica, Chile 1er. Semestre 2006

2 MAGNETISMO EN LA MATERIA Momento dipolar de electrones y átomos

3 MAGNETISMO EN LA MATERIA Momento dipolar de electrones y átomos Espin S de los electrones y momento angular L de los átomos µ s = e m S µ o = e 2m L (de la Mecanica Cuantica)

4 MAGNETISMO EN LA MATERIA Momento dipolar de electrones y átomos Espin S de los electrones y momento angular L de los átomos µ s = e m S µ o = e 2m L (de la Mecanica Cuantica) Modelo orbital de los electrones en un átomo µ o = ia = q T πr 2 = qπr 2 2πr/v = erv 2 = e(mrv) 2m = el 2m

5 Diamagnetismo Un material diamagnético es repelido por cualquier campo B v v v F v F B B El tamaño de la órbita de los electrones se mantiene constante. Esto implica que en ambos casos el cambio en el momento magnético es contrario al campo aplicado B.

6 Para los dos átomos de la figura anterior los momentos magnéticos están dirigidos en sentidos opuestos y se cancelan. En presencia de del campo magnético que se muestra en la figura, los electrones sienten una fuerza adicional e v B, en la dirección radial. Como los átomos mantienen el radio de su órbita, la velocidad debe cambiar a fin de cambiar la fuerza centrípeta mv 2 /r que cancela la fuerza magnética. Nótese que los cambios de velocidad v tienen el mismo sentido para ambos átomos de la figura. Luego para ambos átomos se produce un cambio de momento magnético en la dirección opuesta al campo B aplicado. Ya que los momentos originales se cancelan, este momento inducido es el momento magnético neto de los dos átomos.

7 Paramagnetismo En estos materiales los momentos angulares de spin y orbital se suman para dar al átomo un momento magnético neto µ. En ausencia de campo magnético estos momentos µ se encuentran en direcciones aleatorias y el momento magnético total es nulo. Al aplicar un campo magnético los momentos magnéticos tiende a alinearse en la dirección de campo B, produciendo un momento magnético total diferente de cero.

8 Paramagnetismo. Magnetización de saturación

9 Paramagnetismo. Magnetización de saturación M M S B

10 Ferromagnetismo

11 Ferromagnetismo Dominios magnéticos

12 Curvas de histeresis B B Aplic. B = B Aplic. + µ o M

13 Tratamiento formal del magnetismo Empezamos con una definición de magnetización. Consideremos un material donde cada átomo tiene un momento dipolar magnético µ i y consideramos un pequeño volumen del material dv, ubicado en la posición definida por r. Dentro de este volumen hay una gran cantidad de átomos, entonces definimos la magnetización en r como: M( r ) = lím dv 0 Ahora utilizamos la expresión para el potencial vectorial magnético en el punto r debido a un momento dipolar magnético ubicado en r : i µ i dv A( r) = µ o µ ( r r ) 4π r r 3 Entonces si volvemos a nuestro material y queremos calcular el potencial A debido a todos los momentos magnéticos de este material, primero calculamos el potencial debido a los momentos magnéticos en el pequeño volumen dv, i.e. µ i.

14 Entonces podemos decir que la contribución a A debido al punto r, donde está ubicado dv, es: da = µ o µi ( r r ) = µ o M( r ) ( r r )d 3 r 4π r r 3 4π r r 3 Ya que µi = M( r )dv = M( r )d 3 r y por lo tanto el potencial A debido a todo el material es: A = µ o M( r ) ( r r ) d 3 r 4π r r 3 Esta integral puede se extendida a todo el espacio y por lo tanto incluir regiones con M = 0 Ahora utilizamos la relación vectorial: ( r r ) r r 3 = 1 r r y luego integramos por parte para obtener:

15 A = µ o 4π M( r ) d 3 r r r Nótese que esta expresión es similar a la del potencial vectorial magnético debido a una densidad de corriente J. En realidad si en el punto r hay una densidad de corriente J( r), el potencial A total es: A = µ o 4π J( r ) + M( r ) d 3 r r r Esto implica que en presencia de materiales magn ticos, la relación de Ampère B = µ o J debe ser modificada y escrita así: B = µ o ( J + M) o sea: ( ) 1 B M = µ J o

16 Nótese que el vector entre paréntesis no depende de la magnetización. Sólo depende de la corriente J. Este vector lleva el nombre de campo magnético H : H = 1 µ o B M H = J En analogía con el vector desplazamiento del campo eléctrico. En un número muy grande de materiales es posible de utilizar una aproximación para la relación entre M y H: M = χ m H La cantidad χ m se llama la suscetibilidad magnética del material. Si el material es paramagnético χ m es positiva, mientras que si es diamagnético χ m es negativa. Su valor absoluto para estos materiales es muy pequeño, típicamente < 10 5.

17 Esta relación lineal implica que B y H son proporcionales: B = µ H donde µ se llama permeabilidad del material. Podemos deducir que: µ = µ o (1 + χ m ) La permeabilidad relativa se define como: K m = µ µ o = 1 + χ m Para los materiales paramagnéticos y diamagnéticos K m es muy cercano a 1. Sin embargo para los materiales ferromagnéticos puede tomas valores muy elevados, como para el Permalloy y para el Mumetal.

18 CONDICIONES DE BORDE PARA B Y H Consideremos una superficie de separación de dos medios magnéticos con permeabilidades µ 1 y µ 2. Partiendo de la segunda ley de Maxwell, i.e. B = 0 e integrando esta expresión en el pequeño cilindro que se muestra en la figura, cuyas bases son paralelas a la superficie y el manto tiene dimensiones despreciables, obtenemos: µ 1 H1 B 1 C H2 S B 2 µ 2 Z Z Bd 3 r = B ˆnd 2 r = B 2 ˆn 2 B 1 ˆn 1 = 0 S

19 Similarmente si la densidad de corriente J es cero, entonces H = 0. Ahora consideramos el pequeño circuito C de la figura y aplicamos el teorema de Stokes, para obtener: Z Z Hd 2 r = H d l = H 2 ˆT 2 H 1 ˆT 1 = 0 C donde los vectores ˆT 1 y ˆT 2 son vectores unitarios tangenciales a la superficie. Como conclusión tenemos que en la superficie de separación de dos medios magnéticos se mantiene le componente normal de B y si no hay corrientes verdaderas, se mantiene la componente tangencial de H.

20 ECUACIONES DE MAXWELL Ley de Ampere y continuidad de la carga eléctrica. B = µ o J J + ρ t = 0 Ya que de la primera ecuación J = 0, las dos ecuaciones son contradictorias. J. C. Maxwell corrigió este error notando que D = ρ y por lo tanto: [ ] D J + = 0 t Esto le permitió reescribir la ley de Ampere como: B = µ o J + µo JD JD = D t donde J D se llama corriente de desplazamiento por razones históricas

21 LAS CUATROS LEYES DE MAXWELL En el vacío: D = ρ B = 0 E = B t B = µ o J + µo D t

22 Si J = 0 en la cuarta ecuación anterior, tenemos: B = ɛ o µ o E t Integrando sobre una superficie S limitada por el circuito C y usando el teorema de Stokes: i.e. S B ˆndS = C C B d l = B d l = ɛ o µ o dφ E dt Compare con la Ley de Faraday: E = E d l = dφ B dt C S ɛ o µ o E t d ˆndS = ɛ o µ o E ˆndS dt S donde Φ E = S donde Φ B = S E ˆndS B ˆndS

23 Cambio de B Cambio de E E B

24 GENERADORES Y MOTORES Motor de corriente contínua. En la figura se muestra una espira que se encuentra conectada a una anillo bipartido y una batería. El campo magnético produce un torque en la espira y la hace girar. N z y x I S

25 En la posición que se muestra en la figura la espira gira en la dirección de los punteros del reloj como se indica. Tan pronto la espira pasa por el plano y z el torque cambia de signo y por lo tanto la espira tenderá a girar contra los punteros del reloj. Sin embargo en ese momento la corriente cambia de sentido debido al anillo bipartido y la espira seguirá girando en el sentido de los punteros del reloj. Esta es la base del motor de corriente contínua.

26 Generador de corriente alterna En la figura se muestra una espira que se encuentra en presencia de un campo magnético constante B. B a b

27 Al girar la espira se genera una fuerza electromotriz entre los puntos a y b: dφ dt = ABω sin(ωt) donde A es el área de la espira y ω su velocidad angular alrededor del eje. Si hacemos trabajar el generador en forma inversa, es decir si colocamos una FEM alterna entre a y b, la espira girará y tendremos el motor de corriente alterna

28 Ejemplo: Condensador de caras paralelas S B ˆndS = C B d l = µ o I + µ o S D t ds A La corriente de desplazamiento entre las placas del condensador es: Z Z I D = JD ˆndS = S S D t ds = ɛa E t = ɛa d V t = C 1 C q t = I

29 Problema 1. A R ε=ε o sin ω t Un condensador circular de radio R = 18 cm está conectado a una fuente E = E o sin(ωt), donde E o = 220 V y ω = 130 rad/s. El máximo valor de la corriente de desplazamiento es I D = 7.60 µa. Calcular: a) Máximo valor de la corriente. b) Máximo valor de dφ e/dt donde Φ e = R E ˆndS c) Separación de la placas del condensador. d) Máximo valor de campo B inducido entre las placas para r = 11 cm.

30 a) La máxima corriente de la fuente es I = 7.6µA b) El máximo valor de dφ E /dt es: dφ E = d Z EdS = I D = dt dt ɛ o c) El área de las placas es A = π(0.18) 2 = 0.1 m 2, pero: Luego: I D = ɛ oa de dt max = ɛoa d dv ɛoaωeo max = dt d d = ɛoaωeo = [m] I D d) El campo magnético B en r = 11 cm se calcula de: B2πr = µ o r 2 R 2 I D B = T

31 Problema 2. Una fuente radioactiva puntual emite partículas cargadas a razón de λ C por segundo en forma esféricamente simétrica. Esta emisión constituye una corriente eléctrica radial. Calcule: a) Valor de la corriente. b) Valor del campo eléctrico E c) Corriente de desplazamiento. d) Valor del campo magnético B en cualquier punto del espacio.

32 Problema 3. Un electrón de masa m y carga e se mueve en un círculo de radio r alrededor de un núcleo. Hay un campo B perpendicular al plano del círculo. Suponga que el radio de la órbita no cambia pero que la velocidad del electrón cambia debido a B. Encuentre el cambio del momento magnético dipolar del electrón. Antes de establecer el campo magnético se cumple: mvo 2 = F N y el momento magnetico : µ = e ω r 2π πr 2 = evor 2 donde F N es la fuerza de interacción del electrón con el núcleo. Si el radio de la órbita no cambia, al establecer B tenemos, para la nueva velocidad v: mv 2 = F N ± evb = mv o 2 ± ebv r r donde el signo ± indica los dos posibles sentidos de rotación. Por lo tanto: v = ebr r 2m + ( ebr 2m )2 + vo 2 y el nuevo momento magnético es: µ = er r ebr [ 2 2m + ( ebr 2m )2 + vo 2 ]

33 q De aquí podemos ver que µ = µ 2 o 2µa, donde a = (er) 2 B/4m Vemos que el valor de µ aumenta para el signo + y disminuye para.

34 Problem 4. Un electrón con energía cinética K e viaja en una órbita cicular en un plano perpendicular a un campo magnético B a) Demuestre que el momento magnético del electrón tiene una magnitud µ = K e/b y es opuesto a B. b) Cómo cambia µ si la partícula es un ion positivo? c) Considere un gas ionizado con n = electrones/cm 3 e igual densidad de iones. Tomando como [J] la energía cinética promedio de los electrones y [J] para los iones. Cuál es la magnetización del gas en un campo magnético B = 1.2[T]? El período de órbita es T = 2πr/v y la corriente I es: I = e T = ev 2πr y el momento magnético es: µ = Iπr 2 = ev 2πr πr 2 = evr 2 Pero el balance de fuerzas nos da el valor del radio r: mv 2 = evb r = mv r eb Por lo tanto: µ = 1 mv ev 2 eb = 1 1 B 2 mv 2 = Ke B

35 b) En la relación anterior se cancela la carga, por lo tanto el resultado anterior es igualmente válido para iones positivos, i.e. el momento para iones es K i /B. c) En la figura se ve que el campo magnético B e producido por el electrón orbitando alrededor de B se opone a B. B d) La magnetización es: B e e M = n B (Ke + K i ) = 310 [A/m]

36 Problema 5. La magnetización de saturación del Ni es [A/m]. Dado que su densidad es 8.9 g/cm 3 y su masa molar g/mol, encuentre el momento magnético de un átomo de níquel. La magnetización de saturación es M S = nµ, donde n es el número de átomos por unidad de volumen y µ el momento magnético de un átomo de níquel. Pero: densidad n = N A masa molar donde N A es el número de Avogadro. Luego = = atomos/m 3 µ = M S n = = Am 2 /atom

37 Problema 6. Los átomos de una barra de fierro cilíndrica, de 5 cm de largo y 1 cm 2 de sección transversal, tienen un momento magnético de [J/T]. Suponga que todos los momentos magnéticos están alineados. Cuál es el dipolo magnético de la barra? y Cuál es su magnetización de saturación? Si la barra se mantiene perpendicular a un campo magnético B de 1.5 [T], cuál es el torque que se ejerce sobre ella? La densidad de fierro es 7.9 g/cm 3 y su masa molar El momento magnético de la barra es: µ barra = Nµ donde N = N A masa(barra) masa molar masa(barra) = 5[cm 3 ] 7.9 = 39.5 g N = = [atomos] µ barra = = 8.9 [J/T] El torque es τ = µ barra B = = [Nm].

38 Problema 7. Un condensador de placas paralelas tiene un campo eléctrico perpendicular a las placas de valor: E = (20 3t) [V/m], donde t se mide en segundos. La placas tienen un área de.04[m 2 ]. Para t 0 a) Cuál es la magnitud de la corriente de dezplazamiento entre las placas? b) Cuál es la dirección del campo magnético inducido alrededor de las placas? La densidad de corriente de desplazamiento es: J D = ɛ o E t = = I D = = A E E B