ELECTRODINÁMICA CLÁSICA FIM 8650 (3)

Transcripción

1 ELECTRODINÁMICA CLÁSICA FIM 8650 (3) Ricardo Ramírez Facultad de Física, Pontificia Universidad Católica, Chile 2do. Semestre 2014

2 Resumen de magnetostática ECUACION DE CONTINUIDAD DE LA CARGA ELECTRICA. ρ t + J = 0 En magnetostática, ρ es constante, luego J = 0 FUERZA DE LORENTZ. Fuerza sobre una carga puntual q que se mueve con velocidad v: F = q v B LEY DE BIOT-SAVART. Densidad de flujo magnético (inducción magnética, campo) en r debida a un elemento de circuito dl, ubicado el r, que lleva una corriente I: d B( r) = µ oi 4π dl ( r r ) r r 3

3 Para una partícula con carga q y velocidad v: B( r) = µ o 4π q v ( r r ) r r 3 Para una densidad de corriente J( r ) B( r) = µ o 4π Se concluye que B = 0. J( r ) r r ) r r d 3 r = µ o 3 4π J( r ) r r d 3 r (1) FUERZA DE AMPÈRE. Fuerza entre dos circuitos que llevan corrientes I 1 e I 2. F = µ o 4π I dl1 (dl 2 ( r 1 r 2 ) 1I 2 r 1 r 2 3 o también, la fuerza que el campo magnético externo B ejerce sobre el elemento de circuito dl 1 que lleva una corriente I 1 : d F = I 1 dl 1 B

4 Un elemento que lleva una densidad de corriente J( r ) en una inducción magnética B( r ) queda sometido a una fuerza: F = J( r ) B( r )d 3 r y a un torque N = r [ J( r ) B( r )]d 3 r Partiendo de (1), podemos demostrar que: ya que J = 0 B = µ o µ o J + 4π J( r ) d 3 r = µ r r o J La ecuación B = µ o J se llama Ley de Ampère y vale sólo para magnetostática.

5 POTENCIAL VECTORIAL Se define a través de: B = A De (1) obtenemos una expresión para A A( r) = µ o J( r ) 4π r r d 3 r + Ψ( r) Ya que el rotor de un gradiente es cero, podemos realizar la transformación: A A + Ψ dejando B invariante. Esta es una transformación de calibre. De la ley de Ampère obtenemos: ( A) = ( A) 2 A = µo J

6 Elijiendo un calibre apropiado, podemos imponer A = 0 y encontramos: 2 A = µo J que es reminiscente de la ecuación de Poisson, cuya solución (para cada coordenada cartesiana) se resume en: A( r) = µ o J( r ) 4π r r d 3 r (2)

7 Ejercicio 1.- Una corriente I fluye en un círculo de radio a y una corriente I fluye en un cable rectilíneo muy largo ubicado en el mismo plano. Demostrar que existe una fuerza entre los dos circuitos que vale: F = µ o II (sec α 1) donde α es el ángulo subtendido por el círculo en el punto más cercano del alambre rectilíneo.

8 Ejercicio 2.- Una corriente I fluye en un circuito con forma de elipse de área A y longitud L. Encuentre el campo en el centro de la elipse.

9 Ejercicio 3.- Dos anillos concéntricos tienen radios a y b, llevan corrientes I e I respectivamente. El primero está en el plano x y con su centro en el orígen y el segundo es paralelo al primero y tiene su centro en el eje z a la ditancia c del orígen. Encuentre la fuerza entre los anillos expresada: en términos de integrales elípticas. como una serie de esféricos armónicos.

10 Ejercicio 4.- Dos círculos concéntricos de radios a > b llevan corrientes I e I y sus planos forman un ángulo α. Demuestre que el torque entre los dos circuitos alrededor de la línea de intersección de los dos planos tiene la magnitud, N = µ oπii b 2 2a n=0 [ n + 1 Γ(n ) 2n + 1 Γ(n + 2)Γ( 3 2 ) ] 2 (b a ) 2n P 1 2n+1(cos α)

11 Consideremos ahora una distribución de corriente localizada dentro de un volumen V. Tomamos el orígen dentro de este volumen y buscamos una expresión aproximada para A en un punto alejado del volumen V. Para esto expandimos el denominador de (2). r r o 1 r r = 1 r r + r r 3 Entonces el valor aproximado de la componente cartesiana i de A es [ A i ( r) = µo 1 J i ( r )d 3 r + r ] 4π r r J 3 i ( r ) r d 3 r Ahora utilizaremos la siguiente identidad vectorial, válida para la funciones de posición arbitrarias f ( r), g( r) y u( r), que se anulan en la superficie de una región que contiene V. (f u g + g u f + fg u)d 3 r = 0 (3)

12 Esto se demuestra haciendo una integración por partes: d 3 r g u f = d 3 r f (g u) = d 3 r (fg u + f u g) Ahora si ponemos u = J, con J = 0, tenemos: (f J g + g J fd 3 r ) = 0 (4) Haciendo u = J y f = 1, g = x i, con J = 0, obtenemos: J i ( r )d 3 r = 0 y con f = x i, g = x j nos da: (x i J j + x j J i)d 3 r = 0

13 Entonces el segundo término de (3) r r J i d 3 r = x j x j J id 3 r j = 1 x j (x i 2 J j x j J i)d 3 r j = 1 ɛ ijk x j ( r 2 J) k d 3 r jk = 1 [ ] r ( r 2 J)d 3 r Definimos la densidad de momento magnético como: M( r) = 1 2 [ r J( r)] i

14 y el momento magnético de una densidad de corriente m: m = 1 r 2 J( r )d 3 r (5) Con esto la contribución dipolar al potencial vectorial es: y la inducción magnética, B( r) = µ o 4π V A( r) = µ o m r 4π r 3 [ ] 3ˆn(ˆn m) m donde ˆn es un vector unitario en la dirección de r. Para un circuito confinado a un plano de forma arbitraria el momento magnético es: m = I r d 2 l Es decir m = (corriente) (área), r 3

15 Supongamos ahora que tenemos un conjunto de partículas cargadas con carga q i y masa M i, que tienen velocidades v i y posiciones r i. La densidad de corriente de estas partículas vale: J( r) = q i v i δ( r r i ) Entonces reemplazando en (5) obtenemos: m = 1 q i ( r i v i ) = 2 i i i q i 2M i Li donde L i = M i ( r i v i ) es el momento angular orbital de la partícula i. Ahora si todas las partículas tienen la misma razón q i /M i = e/m, podemos escribir esta relación en términos del moemto angular total; L = M i ( r i v i ): Según la mecánica cuántica: m = e 2M L m = ge 2M L donde el factor g para los electrones vale 2

16 Finalmente, con el mismo procedimiento que se utilizó para el campo eléctrico de un dipolo, se puede demostrar que para la inducción magnética de un dipolo ubicado en el orígen hay una contribución función delta que se expresa como: B = µ o 4π [ 3ˆn(ˆn m) m r 3 + 8π ] mδ( r) 3

17 Fuerza y torque sobre distribución de corrientes localizadas Supongamos una densidad de corriente J( r ), localizada en un volumen V, en presencia de un campo B que varía lentamente dentro de V. Entonces podemos expandir B alrededor de orígen dentro de V, B k ( r) = B k (0) + r B k (0) + (6) Entonces la componente i de la fuerza es: F i = jk ɛ ijk [B k (0) J j ( r )d 3 r + ] J j ( r ) r B k (0)d 3 r + (7) El primer término es cero y siguiendo los pasos para llegar a (5) podemos demostrar que: F i = jk ɛ ijk ( m ) j B k (0) que corresponde a un triple producto vectorial: F = ( m ) B = ( m B) m( B)

18 Como B = 0 obtenemos finalmente: F = ( m B) (8) De aquí encontramos la energía de interacción de un momento magnético en un campo magnético externo: U = m B Con respecto al torque, la contribución más importante está dada por el primer término de (6): N = = r [ J B(0)]d 3 r [( r B) J ( r J) B]d 3 r = m B(0) (9) Este resultado se encuentra aplicando a la primera integral el mismo procedimiento que se utilizó para el segundo término de (7). La segunda integral se anula. Esto se puede ver utilizando (4) con f = g = r

19 Ejercicio 5.- Llene los pasos faltantes y complete la demostración de las ecuaciones (8) y (9).

20 MAGNETISMO EN MATERIALES Empezamos con una definición de magnetización. Consideremos un material donde cada átomo tiene un momento dipolar magnético m i y consideramos un pequeño volumen del material dv, ubicado en la posición definida por r. Dentro de este volumen hay una gran cantidad de átomos, entonces definimos la magnetización en r como: M( r ) = lím dv 0 Ahora utilizamos la expresión para el potencial vectorial magnético en el punto r debido a un momento dipolar magnético ubicado en r : i m i dv A( r) = µ o m ( r r ) 4π r r 3 Entonces si volvemos a nuestro material y queremos calcular el potencial A debido a todos los momentos magnéticos de este material, primero calculamos el potencial debido a los momentos magnéticos en el pequeño volumen dv, i.e. m i.

21 Entonces podemos decir que la contribución a A debido al punto r, donde está ubicado dv, es: da = µ o m i ( r r ) = µ o M( r ) ( r r )d 3 r 4π r r 3 4π r r 3 Ya que m i = M( r )dv = M( r )d 3 r y por lo tanto el potencial A debido a todo el material es: A = µ o M( r ) ( r r ) d 3 r (10) 4π r r 3 Esta integral puede se extendida a todo el espacio y por lo tanto incluir regiones con M = 0 Ahora utilizamos la relación vectorial: ( r r ) r r = 1 3 r r y luego integramos por parte para obtener:

22 A = µ o 4π M( r ) d 3 r r r Nótese que esta expresión es similar a la del potencial vectorial magnético debido a una densidad de corriente J. En realidad si en el punto r hay una densidad de corriente J( r), el potencial A total es: A = µ o 4π J( r ) + M( r ) d 3 r r r Esto implica que en presencia de materiales magnéticos, la relación de Ampère B = µ o J debe ser modificada y escrita así: B = µ o ( J + M) o sea: ( ) 1 B M = µ J o

23 Nótese que el vector entre paréntesis no depende de la magnetización. Sólo depende de la corriente J. Este vector lleva el nombre de campo magnético H : H = 1 µ o B M En analogía con el vector desplazamiento del campo eléctrico. En un número muy grande de materiales es posible de utilizar una aproximación para la relación entre M y H: M = χ m H La cantidad χ m se llama la suscetibilidad magnética del material. Si el material es paramagnético χ m es positiva, mientras que si es diamagnético χ m es negativa. Su valor absoluto para estos materiales es muy pequeño, típicamente < 10 5.

24 Esta relación lineal implica que B y H son proporcionales: B = µ H donde µ se llama permeabilidad del material. Podemos deducir que: µ = µ o (1 + χ m ) La permeabilidad relativa se define como: K m = µ µ o = 1 + χ m Para los materiales paramagnéticos y diamagnéticos K m es muy cercano a 1. Sin embargo para los materiales ferromagnéticos puede tomas valores muy elevados, como para el Permalloy y para el Mumetal.

25 En la ecuación (10) se supone que la integración se realiza en todo el espacio. Si tenemos una magnetización sólo dentro de un volumen finito V, limitado por la superficie S, partiendo de y utilizando: y A = µ o 4π V M( r ) 1 r r d 3 r (u F) = ( u) F + u F V F d 3 r = con u = 1/ r r y F = M obtenemos: S ˆn F d 2 r µ o M A = 4π V r r d 3 r + µo M ˆn 4π S r r d 2 r

26 B en términos de M y φ B = A = µ [ o r r ] M d 3 r 4π V r r 3 Usamos la identidad matemática: ( F G) = ( G) F ( F) G + ( G ) F ( F ) G con F = M y G = ( r r )/ r r 3. Notando que M = 0, obtenemos: [ M r r ] [ = r r ] [ ] M M r r r r 3 r r 3 r r 3 Así podemos expresar B como la suma de dos términos: B = B 1 + B 2

27 donde: Aquí B 1 = µ [ o r r M 4π V r r 3 B 2 = µ o 4π V ] d 3 r [ M ] r r r r 3 d 3 r [ r r ] = 4πδ( r r ) B1 = µ r r 3 om El segundo término se simplifica usando: [ ] M r r [ r r = r r M ] M r r 3 r r 3 r r 3 El segundo término es cero ya que: r r r r 3 = 1 r r

28 Luego: B 2 = µ o 1 M 4π V r r r r 3 d 3 r = µ o φ B = µ o φ + µ o M

29 Condiciones de borde de B y H Consideremos una superficie que separa dos medios magnéticos 1 y 2. A partir de B = 0 y H = J, usando el teorema de la divergencia y el teorema de Stokes, obtenemos ( B 2 B 1 ) ˆn = 0 ˆn ( H 2 H 1 ) = K Donde ˆn es un vector unitario normal a la superficie que va desde ls región 1 a la región 2 y K es la corriente superficial que puede existir en la interfaz y que tiene dimensiones de [A/m]. En el caso de un medio lineal, i.e. donde se cumple B = µ H, y en que K = 0 estas relaciones se reducen a: o B 2 ˆn = B 1 ˆn B2 ˆn = µ 2 µ 1 B1 ˆn H 2 ˆn = µ 1 µ 2 H1 ˆn H2 ˆn = H 1 ˆn Esta situación es ilustrada en la figura siguiente.

30 H 1 H 2 µ >> µ 1 2

31 Ejercicio 6.- Una esfera tiene un alambre aislado muy delgado alrededor de uno de sus diámetros, por donde pasa una corriente. Encuentre la forma en que se debe enrollar el alambre para que el campo magnético sea constante dentro de la esfera.

32 Ejercicio 7.- Una distribución de corriente J( r) existe en un espacio vacío semiinfinito (z > 0) adyacente a un espacio semiinfito (z < 0) que está lleno con un material con permeabilidad µ. a) Demuestre que para z > 0 la inducción magnética puede ser calculada reemplazando el medio de permebilidad µ por una corriente imagen J, con las siguientes componentes: ( µ µo µ + µ o ) J x(x, y, z), ( µ µo µ + µ o ) J y(x, y, z), ( ) µ µo J z(x, y, z) µ + µ o b) Demuestre que para z < 0 la inducción magnética se puede calcular reemplazando J por: en un medio de permeabilidad µ o. 2µ µ + µ o J

33 Métodos para resolver problemas de borde de magnetostática Hay que recordar que las ecuaciones básicas de la magnetostática son: (A) Método general. B = 0 H = J (11) Ya que en general la relación entre H y B es no lineal, partiendo de B = A, tenemos: H( A) = J Esta es la ecuación más general que debe cumplir A en un problema de magnetostática. Para un medio lineal: y si µ es constante: ( 1 µ A) = J ( A) 2 A) = µ J

34 (B) Potencial escalar para J = 0 De (11) podemos escribir: H = Φ M lo que nos da B( Φ M ) = 0. Para un medio lineal, se reduce a (µ Φ M ) y para µ = constante: 2 Φ M = 0 En este último caso también podemos escribir B = Ψ M y por lo tanto: 2 Ψ M = 0

35 (C) Ferromagnetos duros con M dado y J = 0 Estos materiales mantienen M independiente de campo aplicados moderados: Si conocemos M podemos escribir: B = µ o ( H + M) 2 Φ M = M = ρ M cuya solución es: Φ M = 1 4π M( r ) d 3 r r r Si M es distinta de cero dentro del volumen V y cae bruscamente a cero en su superficie, podemos escribir: Φ M = 1 4π V M( r ) d 3 r + 1 r r 4π S ˆn M( r ) d 2 r r r

36 (D) El mismo caso anterior, usando el potencial A De: H = ( 1 µ o B M) = 0 2 A = µo M = µ o JM En un espacio extendido sin límites, la solución de esta ecuación es: A( r) = µ o 4π M( r ) d 3 r r r Nuevamente si M es distinta de cero dentro del volumen V y cae bruscamente a cero en su superficie, podemos escribir: A( r) = µ o 4π V M( r ) d 3 r + µ o r r 4π S M( r ) ˆn d 2 r r r

37 LEY DE INDUCCION DE FARADAY E = C E d l = dφ dt donde φ es el flujo enlazado por el circuito C LEY DE LENZ LA CORRIENTE INDUCIDA TIENE UNA DIRECCION TAL QUE EL CAMPO MAGNÉTICO DEBIDO A ESTA CORRIENTE SE OPONE AL CAMBIO DEL CAMPO MAGNETICO QUE HA INDUCIDO ESTA CORRIENTE Aumento del Campo I Campo producido por la corriente I

38 La Ley de Faraday para circuitos en movimiento. La ley de Faraday dice que: E = E d l = dφ = d dt dt Sea u la velocidad del circuito B ˆndS B t ds 1 u t B t + t pero t B ˆndS = 1 t ds 2 ( Bt+ t ˆnd S 2 B t ˆnd S 1 ) B t+ t ˆnd S 2 B t ˆnd S 1 = B t ˆnd S 2 B t ˆnd S 1 + B t t ˆndS 2

39 Usando el teorema de la divergencia: ( Bt+ t ˆnd S 2 B t ˆnd S ) ( Bt 1 = ˆnd S 2 B t ˆnd S ) 1 + = Luego, haciendo t dt: d dt Bd 3 r + B ˆnd S = B t ( u t d l) + B dv + dt B t u d l + B t t ˆndS 2 B t B t t ˆndS 2 ˆndS donde dv = u ˆndSdt. Ahora B t u d l = B t u d l = ( B u) ˆndS donde usamos el teorema de Stokes. Entonces: d dt B ˆnd S = B u ˆndS + ( B u) ˆndS + B t ˆndS = D B Dt ˆndS

40 donde D B Dt = ( B) u + ( B u) + B t Esta relación es válida para cualquier vector B, pero en nuestro caso es el campo magnético y por lo tanto B = 0. Entonces finalmente, en un sistema móvil: E d l = dφ dt Por lo tanto en un sistema móvil: [ B = ] + ( B t u) ˆndS E = B ( B t u) para en un sistema fijo obtenemos: E = ( E u B) = B t E = E + u B

41 Ejercicio 8.- La figura representa una línea de transmisión constituída por dos conductores paralelos de sección arbitraria pero constante, inmersos en un medio de permitividad ɛ y permeabilidad µ. Demuestre que la inductancia por unidad de largo L y la capacidad por unidad de largo C están relacionadas por: LC = ɛµ

42 Energía del campo magnético Para medios lineales la energía magnética es: W = 1 H 2 Bd 3 r Usando A = B y la identidad: P ( Q) = Q ( P) ( P Q) con P = H y Q = A, tenemos que: W = 1 2 H Ad 3 r = 1 2 A Hd 3 r 1 2 ( H A)d 3 r Para una distribución localizada de corrientes la segunda integral es cero y obtenemos: W = 1 A 2 Jd 3 r (12)

43 Ahora consideremos un medio con permeabilidad µ o en el cual existen los campos B o y H o e introducimos en él un objeto de volumen V y permeabilidad µ 1. Siguiendo un procedimiento similar al utilizado en los dieléctricos, para el cambio de energía obtenemos: W = 1 ( B 2 H o B o H)d 3 r V como los medios son lineales esta relación se puede escribir como: W = 1 (µ 1 µ o ) H 2 H o d 3 r = 1 ( 1 1 ) B V 2 V µ o µ B o d 3 r 1 Si µ o se refiere al vacío, podemos escribir, W = 1 M 2 B o d 3 r V y la fuerza que actúa sobre el cuerpo en la dirección ξ, manteniendo las densidades de corriente constantes está dado por: ( ) W F ξ = ξ J

44 En un sistema con N circuitos que llevan corrientes I i, i = 1... N, la energía total se puede escribir como: W = 1 2 N i=1 L i i 2 i + N i=1 N M ij I i I j (13) j>i Por otra parte si usamos (12) y reemplazamos A por: obtenemos: A( r) = µ o 4π W = µ o 8π d 3 r J( r) r r d 3 r d 3 r J( r) J( r ) r r

45 Ahora podemos pensar que los circuitos no son necesariamente alambres muy delgados, pero que sin embargo, siempre podemos asociar una parte de J a un circuito dado, i.e. por ejemplo el circuito i. De esta manera podemos rescribir la última ecuación como: W = µ o 8π N d 3 r i i=1 N j=1 J( d 3 r i ) r J( r j ) j d 3 r r i r j Entonces esta doble sumatoria se separa en los términos diagonales, en que i = j y los términos no-diagonales i j. Ahora comparamos los términos diagonales con el primer témino de (13) y los no-diagonales con el segundo término. De esta manera podemos definir las inductancias L i y M ij : y L i = µ o 4πIi 2 d 3 r i C i C i d 3 r i J( r i ) J( r i ) r i r i M ij = µ o J( d 3 r i d 3 r i ) r J( r j ) j 4πI i I j C i C j r i r j

46 Estas expresiones pueden ser consideradas como las definiciones más generales de la auto-inductancia y de la inductancia mutua. Campos cuasi estáticos. Difusión magnética Cuasi estático se refiere a un régimen en que las variaciones temporales son suficientemente lentas como para considerar que la velocidad de la luz es infinita. Despreciando la contribución de la corriente de desplazamiento de Maxwell, las ecuaciones relevantes del EM son: H = J; B = 0; E + B t De aquí podemos concluir que: E = A φ t B = µ J = µσe Con φ = 0, 2 A = µσ A t. = 0; J = σ E Ecuación de difusión para A

47 ESTIMACIÓN DEL TIEMPO DE DECAIMIENTO. Para una variación espacial típica L y un tiempo de decaimiento τ, de la última ecuación tenemos: A L 2 A τ τ µσl 2 Ahora si el campo tiene una variación temporal armónica de frecuencia ν = 1/τ, la longitud de decaimiento se puede estimar como: L 1 µνσ