12º CONGRESO IBEROAMERICANO DE INGENIERÍA MECANICA Guayaquil, 10 a 13 de Noviembre de 2015

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1 12º CONGRESO IBEROAMERICANO DE INGENIERÍA MECANICA Guayaquil, 10 a 13 de Noviembre de 2015 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE VÓRTICES EN PELÍCULAS DELGADAS Bustos M. I.*, Skurtys O.* *Departamento de Ingeniería Mecánica - Universidad Técnica Federico Santa María Avenida España Valparaíso - CHILE * maria.bustos.14@sansano.usm.cl, olivier.skurtys@usm.cl Palabras claves: roll waves, shallow water RESUMEN Cuando la inclinación de una pendiente sobre la cual fluye un líquido es importante, los flujos de películas delgadas llegan a ser inestables y esta inestabilidad se manifiesta por la aparición de roll waves. Un primer estudio de estas inestabilidades a partir de las ecuaciones de Saint Venant fue realizada en Las soluciones mostraron ondas progresivas periódicas discontinuas. Si bien, esta modelación es cualitativamente correcta, los resultados numéricos no reproducen los resultados experimentales. En esta investigación se intenta generar un modelo para simular correctamente el fenómeno de roll waves en un ambiente que incorpore el efecto de la viscosidad dinámica del fluido y su tensión superficial, ya que la incorporación de estas variables podrían explicar la discrepancia que existe entre las simulaciones actuales y la evidencia empírica del fenómeno. En este artículo se presentará la influencia de la sensibilidad de la malla, y la necesidad que tiene ésta de refinamiento, para así obtener resultados que se asemejen más a la realidad. PALABRAS CLAVE: roll waves, shallow water

2 INTRODUCCIÓN Los flujos de fluido en canal abierto con una profundidad muy pequeña están presente en la vida diaria. Los podemos ver tanto en ambientes naturales (macareo en el océano, corrientes densas en planos inclinados, corrientes en las costas de los lagos, en los canales de deshielo supraglacial, etc.) como en ambientes artificiales (aliviaderos en presas, acueductos abiertos, etc.)[1] (Ver Figura 1). Estos flujos son llamados, generalmente, flujos de película delgada. El estudio de las películas delgadas es también de interés debido a sus múltiples aplicaciones en la industria. Por ejemplo, su control es importante para mejorar la eficiencia de la transferencia de calor y masa en procesos industriales de transporte [2], para mejorar el secado de las carreteras y evitar el efecto del aquaplaning, para mejorar diversas aplicaciones biomédicas, etc. (a) (b) Figura 1: Ejemplos de un flujo en canal abierto de película delgadada. (a) Flujo de agua natural sobre una pendiente. (b) Resultados experimentales reportado por Balmforth y Mandre [1]. Las inestabilidades que se producen en fluidos de películas delgadas, suelen iniciarse a partir de condiciones donde la fuerza de tensión superficial es significativa. Sin embargo, a medida que la velocidad y el espesor de la película aumentan, la inercia comienza a tomar un papel más importante [1]. Si bien hay muchos estudios de roll waves, aún falta un largo recorrido para poder describir completamente el comportamiento de este tipo de flujos. En la mayoría de los estudios realizados, los efectos de la viscosidad dinámica o de la tensión superficial son considerados como despreciables y el fenómeno es modelado a partir de las ecuaciones de Saint-Venant. Este trabajo pretende simular las inestabilidades en películas delgadas, llamado roll waves, incorporando el efecto de la viscosidad dinámica y la tensión superficial del fluido usando las ecuaciones de Navier-Stokes. Para esto, se utilizo el solver interfoam del software libre OpenFoam. La influencia del número de Froude sobre la formación de roll waves y en el comportamiento del fluido es igualmente reportado en detalle. MATERIAL Y MÉTODO Configuración de estudio En la Figura 2a se presenta un esquema de la configuración estudiada. Las dimensiones del canal y su pendiente son fijas. Su largo es L, su altura es H w + H a, mientras que su pared lateral tiene un ancho W. El fluido es agua y tiene una masa específica ρ w = 1000 [kg m³] y una viscosidad cinemática ν w = 10-6 [m²/s]. Los valores asignados a la geometría son: L = 7 [m], W = 0.05 [m], H w = H a = [m] y θ = La tensión superficial agua-aire fue supuesta constante σ = 0.07 [N/m]. Para cada simulación se consideró un número de Reynolds basado sobre el diámetro hidráulico, que varía entre Re Dh = dependiendo del caso de estudio, así el flujo es levemente turbulento. Además se consideró un número de Froude que varía entre Fr = 2.7 y Fr = 4.5 dependiendo del caso.

3 (a) (b) Figura 2: Esquema de la geometría (a) y de la malla (b). Generación de la geometría y de la malla inicial La geometría y la malla tridimensional fueron creados con la aplicación de OpenFOAM blockmesh (ver Figura 2b). Una atención particular fue llevada a la malla, ya que de esta depende el éxito y validez de la simulación. Para los estudios se utilizaron dos mallas, una de alrededor 4.5 millones de puntos y otra de 6.1 millones de puntos, esto con el fin de estudiar la importancia e impacto de la malla en la simulación y resultados obtenidos. Como las geometrías son iguales, se realizó un refinamiento y, por lo tanto, se mejoró la discretización espacial del dominio de estudio. En particular, la zona de interfase según la dirección y (donde las ondas de superficie existen) es una parte de la malla que fue más refinada, esta zona se ubica en torno a la superficie del agua, teniendo un grosor fijo y lo suficientemente amplio como para contener las amplitudes de las ondas formadas (ver Figura 2b). Además en la dirección y la malla es variable, siendo más refinada a la entrada y la salida del canal, mientras que constante en la zona intermedia. En la Tabla 1 se muestran las dimensiones de las mallas utilizadas, donde Δy in y Δy out son los valores mínimos que toma Δy a la entrada y salida del canal. Tabla 1: Dimensiones de las celdas de las mallas. Malla ptos. Δx [m] Δy in [m] Δy out [m] Δy cte [m] Δz agua [m] Δz int [m] Δz aire [m] 4,5 x ,1 x Ecuaciones para describir el flujo del fluido Las ecuaciones que gobiernan el movimiento no estacionario en un fluido viscoso, incompresible son las ecuaciones de Navier-Stokes complementadas con la condición de incompresibilidad: U= 0 (1) ρu t + (ρuu )= p + τ+ρg+f (2) donde ρ es la densidad del fluido, U es el campo de velocidad, g es la aceleración de gravedad, τ es el tensor de los esfuerzos viscoso, F es el termino fuente del momentum debido a la tensión superfial y p es la presión modificada (p_rgh en OpenFoam, la componente de la presión hidrostática fue removida para facilitar la especificación de la presión en los límites del dominio espacial [5]). Para simular el flujo turbulento que se produce en nuestro estudio, se usó el método "Large Eddy Simulation", el cual logra resolver el campo de

4 velocidad y presión en las grandes escalas, o grandes vórtices, mientras que las pequeñas escalas, deben ser modeladas por un modelo ad-hoc. En este estudio, se utiliza el modelo de Smagorinsky [3]. Es conocido que el modelo de Smagorinsky es adecuado para simular turbulencia isotrópica. Se ha demostrado que cerca de las paredes [4], en dónde predominan los esfuerzos de corte, el coeficiente de Smagorinsky decrece, por lo que se han ideado modelos en donde se amortigua este efecto. En este trabajo se utiliza la función de capa límite de Van Driest para amortiguar este coeficiente. Condiciones de frontera El movimiento en la fase agua y aire debe satisfacer varias condiciones sobre las fronteras del dominio. En la Tabla 2 se muestran las condiciones de frontera utilizadas en las diferentes variables (α es la fase de agua o aire, U es el campo de velocidad, p es la presión modificada y ν sgs es la viscosidad cinemática de submalla) sobre cada uno de los contornos definidos en la Figura 2a. Los costados y el fondo del canal fueron definidos como pared, lo que asigna una condición de no-deslizamiento. Tabla 2: Condiciones de contorno Condiciones iniciales Según la geometría mostrada en la Figura 2a, las condiciones iniciales utilizadas fueron: α: Se dispuso el agua a una profundidad constante H w a lo largo de todo el canal, siendo el resto aire. Pasa esto se asignó α = 1 bajo H w y α = 0 por sobre H w. U: El valor del campo de velocidad depende también del fluido. Por esto se le asignó un valor a todo el volumen bajo la altura H w, cuyo valor es homogéneo y paralelo a la longitud del canal, esto corresponde a la velocidad inicial del agua. Mientras que al campo por sobre la altura H w tiene un valor (0 0 0), para así forzar al aire a partir del reposo (y por lo tanto, reducir su efecto sobre la superficie del agua). p: A la presión se le asigna un valor 0 en todo el volumen. ν sgs: A la viscosidad cinemática se le asigna un valor 0 en todo el volumen. Discretización de las ecuaciones y solver Las simulaciones 3D fueron realizadas con el software libre OpenFoam usando el solver interfoam. Este software usa el método de volúmenes finitos para resolver las ecuaciones de Navier-Stokes. Todos los cálculos fueron realizados sobre el cluster de la Universidad, HPC. El esquema numérico elegido es implícito en el tiempo (backward Euler Scheme), la discretización espacial fue realizada utilizando integración Gausiana sobre el volumen, usando un esquema de interpolación Least squares (para el gradiente), Gauss upwind (para la divergencia) y Gauss linear corrected (para el Laplaciano). Una vez determinado el sistema de ecuaciones algebraicas que discretiza al sistema de ecuaciones diferenciales, el algoritmo PIMPLE (SIMPLE/PISO) fue utilizado para acoplar la presión y la velocidad. Para dicho efecto, se usaron dos pasos correctores. Para resolver los sistemas de ecuaciones de U y p, se utilizó respectivamente un método iterativo de tipo Krylov y de tipo multigrid. Las tolerancias fueron fijadas a La discretización del dominio temporal fue realizada usando un

5 paso adaptativo para cumplir un numero CFL < 0.5. Para definir donde se encuentra cada uno de los fluidos (en este caso agua y aire), el solver interfoam utiliza una función fracción de fluido Ec.(3) denotada como α, la cual define que porción de la celda está ocupada por el fluido designando valores entre 0 y 1 para cada elemento, siendo en este caso 0 para la fase de aire, 1 para agua y los valores intermedios correspondientes a la interfase, de esta forma se puede estimar el desarrollo de la superficie libre[5]. α t + (αu )+ [U r α(1 α)]= 0 (3) donde U r corresponde al campo de velocidad de compresión, siendo U r = U w - U a en la interfase. El tercer termino de Ec.(3) es una compresión artificial extra para obtener la compresión necesaria de la superficie, que se obtiene sólo en la interfase entre el agua y el aire [6]. Debido al uso de la función fracción de fluido, la interfase no se conoce explícitamente, y por lo tanto su localización exacta es desconocida, debido a esto, el termino fuente relacionado con la tensión superficial en la ecuación de momentum no puede ser resuelto directamente, para esto se convierte el termino F en una función de fuerza de volumen de la tensión superficial [5]. RESULTADO Y DISCUSIÓN En la Tabla 3, se presentan los 6 casos que se simularon. Los 3 primeros (casos 1, 2 y 3) con intención de probar la malla al compararlos con los otros 3 de las mismas características pero con la malla más refinada. Los 3 siguientes (casos 4, 5 y 6) se hicieron con la intención de estudiar las inestabilidades de los flujos, en particular la forma, velocidad y frecuencia de la ola. En todos los casos se mantuvo la misma geometría pero se modificó el número de Froude y el número de Reynolds por lo tanto, se varió el campo de velocidad inicial y el caudal de entrada. Tabla 3: Número de Froude y Reynolds, así como número de malla para cada uno de los casos. Influencia de la resolución de la malla En las Figuras 3a y 3b, se muestra el comportamiento de la ola inicial después un tiempo de alrededor de 4[s] de cálculo al punto y = 6[m]. Esta ola tiene un tamaño importante del orden de [m]de largo y [m] de alto y tiende a desestabilizar la corriente natural del flujo de agua y cortarla. Estas inestabilidades son provocadas por una baja resolución espacial en la dirección y (se observa en los 2 casos que la ola es extremadamente difusa). Además esta mala resolución espacial genera un campo de presión erróneo. En efecto, la malla no es suficientemente fina para poder simular correctamente la dinámica y las inestabilidades producidas por la ola. En los 2 casos, las fluctuaciones de presión y por lo tanto de velocidad provocan una ruptura del flujo de agua y entonces una caída del calculo. Para limitar estas fluctuaciones, i.e. estos errores, se generó una malla más refinada. En la Figura 4, se presenta una comparación de la resolución de la ola con y sin refinamiento. Los casos presentados en las Figura 4a y c y Figura 4b y d tienen los mismos números de Froude y de Reynolds, i.e. la dinámica del flujo es la misma. Se puede observar una clara mejoría en la resolución de la ola, se ve menos difusa, se observa un mayor detalle en lo que ocurre en su contorno. En efecto,

6 los detalles son más claros y hay una mejor definición en la imagen de su dinámica. Además, una vez mejorada la resolución de la malla en la dirección y, los cálculos no se caen. (a) (b) Figura 3: Valores de la fracción de fluido α. Para 2 casos, zoom sobre la ola de transición al punto y = 6[m] después del tiempo: (a) Caso_1 t = 4.4[s]; (b) Caso_2 t = 4.9[s] (a) Caso_2 a los 4.8[s] (b) Caso_5 a los 4.8[s] (c) Caso_3 a los 6[s] (d) Caso_6 a los 6[s] Figura 4: Valores de la fracción de fluido α. Casos: (a) y (b) sin refinamiento (c) y (d) con refinamiento. Los casos presentados en (a)-(c) y (b) (d) tienen los mismos números de Froude y de Reynolds.

7 Dinámica de la ola en función del tiempo En la Figura 5 y 6, la amplitud de la ola inicial de transición en función del tiempo es presentada. Si bien el caso_4, caso_5 y caso_6 son distintos (ya que varían en características como el campo de velocidad inicial, el número de Froude y el número de Reynolds), sus comportamientos se pueden separar en dos etapas, antes y después de la gran ola inicial. La formación de la ola inicial es parte del periodo de transición del flujo, el cual consiste en la formación de una ola que va aumentando en tamaño a medida que baja por la pendiente, esto hace que el flujo se vuelva más inestable debido a las alzas de presión y velocidad en las zonas circundantes a la ola. Una vez que pasa la ola inicial, la velocidad promedio del flujo disminuye y la variación de presión se vuelve constante a lo largo del canal. En los siguientes gráficos se muestra la transición de la superficie del agua a medida que viaja la ola de transición por ella. En estos gráficos el sistema de referencia se modificó con respecto al mostrado en la Figura 2, se tomó como valor 0 la superficie inicial del agua, a una altura H w = [m] del fondo del canal, y en base a ella se midieron las posiciones de la superficie mostradas. En la Figura 7, una vista de arriba de la amplitud de la ola después la ola inicial de transición en función del tiempo es presentada. Cada caso presenta 3 tiempos: t = 7.2, 7.6 y 8 [s]. A continuación se muestran comparativamente el comportamiento de los 3 casos luego de haber pasado el periodo de transición, o sea, después de los 7 [s]. En todos los casos se ven olas de mucho menor tamaño que la ola de transición, pero que se van generando y avanzando por el canal periódicamente. En general aparecen hacia el final del canal, lo que coincide con el trabajo experimental reportado por Mandre y Balmforth [1], donde se ve que a partir de los 6 metros del canal las olas se comienzan a ver un poco más apreciablemente, siendo mucho más claras a los 9 y 12 [m], esto para un flujo similar al tratado en este artículo. Esto podría dar pie a futuro para hacer las modelaciones de un canal de 14 [m], donde el mayor problema es como tratar la ola de transición. Figura 5: Avance de la ola de transición en el tiempo para el caso_4.

8 Figura 6: Avance de la ola de transición en el tiempo para el caso_5. (a) Caso_4 a 7.2, 7.6 y 8 [s] (b) Caso_5 a 7.2, 7.6 y 8 [s] (c) Caso_6 a 7.2, 7.6 y 8 [s] Figura 7: Para 3 casos, amplitud de la ola después la ola inicial de transición en función del tiempo (vista de arriba): (a) Caso 4 (b) Caso 5 (c) Caso 6. Conclusiones En este trabajo se demostró la posibilidad de realizar simulación de flujo en capa delgada con el software OpenFoam. Una vez que pasa la ola de transición, se ve la formación de roll waves, las cuales se generan a medida que transcurre el tiempo y aumentan su amplitud a medida que recorren el canal, los cual coincide con lo observado experimentalmente, como se puede observar en la Figura 1, donde Mandre y Balmforth reportan un aumento en la amplitud de las ondas a medida que baja por el canal [1]. También se ha demostrado la sensibilidad de la malla. Esta afecta directamente los resultados obtenidos y es necesario dedicarle mucho tiempo y atención a su generación, para hacerla lo más adecuada y eficiente posible para el caso de estudio, ya que una malla que no sea lo suficientemente refinada en las zonas donde se producen las inestabilidades generará errores de cálculo y de predicción del fenómeno, ya que los campos de velocidad y presión son muy sensibles al

9 refinamiento de la malla. Aún es necesario estudiar en más detalle el fenómeno, en particular la dinámica de las ondas después del periodo de transición, esto es: su frecuencia, amplitud, etc. AGRADECIMIENTOS Bustos M.I. agradece a CONICYT por financiar sus estudios de postgrado y a la Universidad Técnica Federico Santa María por financiar esta investigación a través del Programa de Incentivos a la Iniciación Científica. CONICYT-PCHA/MagísterNacional/ REFERENCIAS 1. N.J. Balmforth y S. Mandre, Dynamics of Roll Waves, Journal of Fluid Mechanics, vol. 514, pp. 1-33, S. Selvarajan, E.G. Tulapurkara y V. Vasanta Ram, Stability Characteristics of Wavy Walled Channel Flows, Physics of Fluids, vol. 11, no. 3, pp , S.B. Pope, Turbulent Flows, Cambridge University Press. Primera Edición, pp , F. Porté-agel, A scale-dependent dynamic model for large-eddy simulation: application to a neutral atmospheric boundary layer, Journal Fluid Mechanics, vol. 415, pp , P.M. Borges Lopes, Free-surface Flow Interface and Air-entrainment Modelling Using OpenFOAM, Ph.D. thesis, Universidade de Coimbra, Coimbra, H. Hemida, OpenFOAM Tutorial: Free Surface Tutotial Using interfoam and rasinterfoam, Chalmers University of Techology, Göteborg, UNIDADES Y NOMENCLATURA w densidad del agua (kg/m 3 ) densidad del fluido (kg/m 3 ) U campo de velocidad (U w del agua y U a del aire)(m/s) U 0 magnitud del campo de velocidad inicial (m/s) g aceleración de gravedad (m/s 2 ) τ tensor de esfuerzo viscoso (Pa) F termino fuente del momentum debido a la tensión superficial (N) p presión modificada (Pa) t tiempo (s) α fracción de fluido en la celda (adimensional) U r campo de velocidad de compresión (m/s) L largo del canal (m) W ancho del canal (m) θ ángulo de inclinación de la pendiente ( ) H w altura de la capa de agua (m) H a altura de la capa de aire (m) Fr número de Froude (adimensional) Re Dh número de Reynolds del diámetro hidráulico (adimensional) Δx ancho de la celda de la malla en el eje x (m) Δy in ancho mínimo de la celda de la malla en el eje y a la entrada del canal (m) Δy out ancho mínimo de la celda de la malla en el eje y a la salida del canal (m) Δy cte ancho de la celda de la malla en el eje y en la zona central del canal, donde la malla es constante (m) Δz agua ancho de la celda de la malla en el eje z en la zona del agua bajo la interfase de la malla (m) Δz aire ancho de la celda de la malla en el eje z en la zona del aire sobre la interfase de la malla (m) Δz int ancho de la celda de la malla en el eje z en la zona del la interfase (m) ν sgs viscosidad cinemática de submalla (m 2 /s) ν w viscosidad cinemática del agua (m 2 /s) σ tensión superficial (N/m)