Contenidos. Estimación

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1 ESTIMACIÓN

2 Contenidos La inteligencia y la crueldad 51 Estimación Puntual 52 Estimación por intervalos 53 Ejemplo: quién es el más listo? 54 Cómo se hace la estimación por intervalos? 55 Intervalo de confianza rápido: 57 Nota final 59 intervalos para proporciones 60 El tamaño muestral 61 Y cuándo el tamaño de muestra es pequeño? 63 Sobre inteligencia y crueldad 64 Intervalos de confianza en el SPSS 66 Pedro Valero Mora-valerop@uv.es 50

3 La inteligencia y la crueldad LA INTELIGENCIA Y LA CRUELDAD Ser inteligente no parece ser un remedio para evitar la crueldad, lo cual la historia de la humanidad ha demostrado en bastantes casos., - Un buen ejemplo es esta página en la wikipedia sobre la inteligencia de los nazis juzgados en los juicios de Nuremberg - Los tests de inteligencia normalmente tienen una media de 100 y una desviación típica de 15 Desde el punto de vista conceptual, nos podemos plantear hasta qué punto es posible que gente con un nivel alto de inteligencia se comporte de cierta manera, o quizás si fue precisamente esa inteligencia la que les llevó a esos actos - No obstante, antes de entrar en los conceptos, es interesante confirmar la parte estadística, están estas personas por encima de la inteligencia normal definida como 100? Nombre IQ Doenitz, Karl Frank, Hans Frick, Wilhelm Fritzsche, Hans Funk, Walther Göring, Hermann Hess, Rudolf Jodl, Alfred Kaltenbrunner, Ernst Keitel, Wilhelm Neurath, Konstantin von Papen, Franz von Raeder, Erich Ribbentrop, Joachim von Rosenberg, Alfred Sauckel, Fritz Schacht, Hjalmar Schirach, Baldur von Seyss Inquart, Arthur Speer, Albert Streicher, Julius Pedro Valero Mora-valerop@uv.es 51

4 Estimación Puntual ESTIMACIÓN PUNTUAL Estimación puntual se refiere a calcular la cantidad en la muestra que mejor estima la cantidad que nos interesa en la población. - El proceso para llegar a los mejores estimadores puede ser un poco complicado cuando se trata de cosas complejas pero para los problemas más comunes las respuestas ya son conocidas. Para la media de la población se usa la media de la muestra Para la desviación típica de la población se usa la cuasidesviación típica (la que se obtiene dividiendo por n-1 en lugar de n) Para la proporción en la población, la proporción en la muestra Se utilizan esos estimadores porque cumplen una serie de propiedades (son insesgados, eficientes, consistentes, etc.) Lo más importante que hay que recordar de los valores calculados es que no estamos seguros de que el valor calculado en una muestra sea el verdadero valor de la población sino que es una aproximación. A continuación veremos algunas cosas sobre esa aproximación Pedro Valero Mora-valerop@uv.es 52

5 Estimación por intervalos ESTIMACIÓN POR INTERVALOS La estimación por intervalos es necesaria porque cuando queremos saber el valor de algo en una población (una media o proporción generalmente) necesitamos hacerlo mediante una muestra - Una muestra sólo nos permite aproximarnos al valor de la población - Esa aproximación viene en la forma de más o menos el valor de la población estará dentro de este intervalo - A continuación veremos un ejemplo y la forma de calcular esos límites del intervalo Pedro Valero Mora-valerop@uv.es 53

6 La competencia matemática es la aptitud de un individuo para identificar y comprender el papel que desempeñan las matemáticas en el mundo, alcanzar razonamientos bien fundados y utilizar y participar en las matemáticas en función de las necesidades de su vida como ciudadano constructivo, comprometido y reflexivo. Resultados Rendimiento medio en matemáticas Media E.T. S. Media E.T. S. 1 Hong Kong-China* 550 (4,5) ^ 21 Eslovaquia 498 (3,3) - 2 Finlandia 544 (1,9) ^ 22 Noruega 495 (2,4) - 3 Corea 542 (3,2) ^ Cataluña 494 (4,7) - 4 Holanda 538 (3,1) ^ 23 Luxemburgo 493 (1,0) - 5 Liechtenstein* 536 (4,1) ^ 24 Polonia 490 (2,5) - 6 Japón 534 (4,0) ^ 25 Hungría 490 (2,8) - 7 Canadá 532 (1,8) ^ 26 España 485 (2,4) - 8 Bélgica 529 (2,3) ^ 27 Letonia* 483 (3,7) - 9 Macao-China* 527 (2,9) ^ 28 Estados Unidos 483 (2,9) - 10 Suiza 527 (3,4) ^ 29 Rusia* 468 (4,2) v 11 Australia 524 (2,1) ^ 30 Portugal 466 (3,4) v 12 Nueva Zelanda 523 (2,3) ^ 31 Italia 466 (3,1) v 13 República Checa 516 (3,5) ^ 32 Grecia 445 (3,9) v 14 Islandia 515 (1,4) ^ 33 Serbia* 437 (3,8) v 15 Dinamarca 514 (2,7) ^ 34 Turquía 423 (6,7) v 16 Francia 511 (2,5) ^ 35 Uruguay* 422 (3,3) v 17 Suecia 509 (2,6) ^ 36 Tailandia* 417 (3,0) v 18 Austria 506 (3,3) ^ 37 México 385 (3,6) v Castilla y León 503 (4,0) ^ 38 Indonesia* 360 (3,9) v 19 Alemania 503 (3,3) ^ 39 Túnez* 359 (2,5) v 20 Irlanda 503 (2,4) ^ 40 Brasil* 356 (4,8) v País Vasco 502 (2,8) ^ Promedio OCDE 500 (0,6) Estimación por intervalos/ejemplo: quién es el más listo? Ejemplo: quién es el más listo? (fuente, informe PISA 2003) Uno de los errores más comunes y más trágicos que puede cometer alguien que ignore cosas básicas sobre la estadística es mirar esta tabla atendiendo sólo a la media (la estimación puntual) Por qué es eso un error tan grave?... E.T. Error típico S. Significatividad de la diferencia con España ^ más alta v más baja Los países con asterisco no son miembros de la OCDE Los alumnos españoles de 15 años muestran un rendimiento en matemáticas 15 puntos por debajo del promedio de la OCDE, fijado en 500 puntos. Esta diferencia es estadísticamente significativa. El rendimiento de los alumnos de Castilla y León y del País Vasco es significativamente superior al del conjunto de España. Pedro Valero Mora-valerop@uv.es 54

7 Estimación por intervalos/ Cómo se hace la estimación por intervalos? Cómo se hace la estimación por intervalos? Como vimos en la sección anterior y como vemos en la tabla del informe PISA, una estimación como la media está afectada por un error - Recordar que en la sección anterior vimos que el error se calculaba a partir de la desviación típica en la muestra y la raíz cuadrada del tamaño de la muestra. En la tabla del informe PISA, no obstante, el valor ya está calculado. - Puesto que la media está afectada por error, tenemos que pensar que el valor calculado es más o menos y que tenemos que calcular ese más y ese menos Una forma (incorrecta) de calcular ese más y menos es sumar y restar a la media de la muestra el error típico. Por ejemplo, en España eso sería: = ; Haciendo esto vemos que la media de la población de estudiantes en España podría ser tanto un poco más como un poco menos de 485 pero qué confianza tenemos de que esté entre esos dos valores? La respuesta la tenemos en la sección anterior. Como vimos, la distribución muestral de la media seguía la distribución normal por lo que podemos utilizar sus propiedades para calcular el porcentaje de muestras que estarían en un intervalo de ese tamaño Pedro Valero Mora-valerop@uv.es 55

8 Estimación por intervalos/ Cómo se hace la estimación por intervalos? - La respuesta es (mirando en las tablas de la distribución normal) que un 68% de las medias estarían dentro de un intervalo de una desviación típica arriba y otra abajo Así, podemos decir que tenemos una confianza del 68% de que la media de los estudiantes de España en el informe PISA en matemáticas en el año 2003 está dentro del intervalo (482,6; 487,4) Es el 60% de confianza suficiente confianza? Existe un consenso que un 68% no es suficiente y que debemos hacer intervalos más grandes que nos den una confianza del 95% o el 99% de que la media de la población está dentro de él Esto se consigue multiplicando por 1,96 el error típico para conseguir intervalos de confianza del 95% o por 2,575 para conseguir intervalos de confianza del 99% = ; = ; De dónde salen esos dos números (1,96 y 2,575)? Obviamente, de la distribución normal Pedro Valero Mora-valerop@uv.es 56

9 La competencia matemática es la aptitud de un individuo para identificar y comprender el papel que desempeñan las matemáticas en el mundo, alcanzar razonamientos bien fundados y utilizar y participar en las matemáticas en función de las necesidades de su vida como ciudadano constructivo, comprometido y reflexivo. Resultados Rendimiento medio en matemáticas Media E.T. S. Media E.T. S. 1 Hong Kong-China* 550 (4,5) ^ 21 Eslovaquia 498 (3,3) - 2 Finlandia 544 (1,9) ^ 22 Noruega 495 (2,4) - 3 Corea 542 (3,2) ^ Cataluña 494 (4,7) - 4 Holanda 538 (3,1) ^ 23 Luxemburgo 493 (1,0) - 5 Liechtenstein* 536 (4,1) ^ 24 Polonia 490 (2,5) - 6 Japón 534 (4,0) ^ 25 Hungría 490 (2,8) - 7 Canadá 532 (1,8) ^ 26 España 485 (2,4) - 8 Bélgica 529 (2,3) ^ 27 Letonia* 483 (3,7) - 9 Macao-China* 527 (2,9) ^ 28 Estados Unidos 483 (2,9) - 10 Suiza 527 (3,4) ^ 29 Rusia* 468 (4,2) v 11 Australia 524 (2,1) ^ 30 Portugal 466 (3,4) v 12 Nueva Zelanda 523 (2,3) ^ 31 Italia 466 (3,1) v 13 República Checa 516 (3,5) ^ 32 Grecia 445 (3,9) v 14 Islandia 515 (1,4) ^ 33 Serbia* 437 (3,8) v 15 Dinamarca 514 (2,7) ^ 34 Turquía 423 (6,7) v 16 Francia 511 (2,5) ^ 35 Uruguay* 422 (3,3) v 17 Suecia 509 (2,6) ^ 36 Tailandia* 417 (3,0) v 18 Austria 506 (3,3) ^ 37 México 385 (3,6) v Castilla y León 503 (4,0) ^ 38 Indonesia* 360 (3,9) v 19 Alemania 503 (3,3) ^ 39 Túnez* 359 (2,5) v 20 Irlanda 503 (2,4) ^ 40 Brasil* 356 (4,8) v País Vasco 502 (2,8) ^ Promedio OCDE 500 (0,6) Estimación por intervalos/intervalo de confianza rápido: Intervalo de confianza rápido: Un método rápido para calcular el intervalo de confianza al 95% es multiplicar por 2 el error típico. -En nuestro caso, el intervalo para España con el método rápido y redondeando es: (490, 480), lo cuál nos deja efectivamente por debajo de la media -También estarían por debajo Estados Unidos, Rusia, Portugal, Italia... -Es interesante que Cataluña no estaría por debajo de la media porque su error típico es muy grande y el intervalo de confianza incluye el 500 E.T. Error típico S. Significatividad de la diferencia con España ^ más alta v más baja Los países con asterisco no son miembros de la OCDE Los alumnos españoles de 15 años muestran un rendimiento en matemáticas 15 puntos por debajo del promedio de la OCDE, fijado en 500 puntos. Esta diferencia es estadísticamente significativa. El rendimiento de los alumnos de Castilla y León y del País Vasco es significativamente superior al del conjunto de España. Pedro Valero Mora-valerop@uv.es 57

10 Contenidos 58 La competencia matemática es la aptitud de un individuo para identificar y comprender el papel que desempeñan las matemáticas en el mundo, alcanzar razonamientos bien fundados y utilizar y participar en las matemáticas en función de las necesidades de su vida como ciudadano constructivo, comprometido y reflexivo. Resultados Rendimiento medio en matemáticas Media E.T. S. Media E.T. S. 1 Hong Kong-China* 550 (4,5) ^ 21 Eslovaquia 498 (3,3) - 2 Finlandia 544 (1,9) ^ 22 Noruega 495 (2,4) - 3 Corea 542 (3,2) ^ Cataluña 494 (4,7) - 4 Holanda 538 (3,1) ^ 23 Luxemburgo 493 (1,0) - 5 Liechtenstein* 536 (4,1) ^ 24 Polonia 490 (2,5) - 6 Japón 534 (4,0) ^ 25 Hungría 490 (2,8) - 7 Canadá 532 (1,8) ^ 26 España 485 (2,4) - 8 Bélgica 529 (2,3) ^ 27 Letonia* 483 (3,7) - 9 Macao-China* 527 (2,9) ^ 28 Estados Unidos 483 (2,9) - 10 Suiza 527 (3,4) ^ 29 Rusia* 468 (4,2) v 11 Australia 524 (2,1) ^ 30 Portugal 466 (3,4) v 12 Nueva Zelanda 523 (2,3) ^ 31 Italia 466 (3,1) v 13 República Checa 516 (3,5) ^ 32 Grecia 445 (3,9) v 14 Islandia 515 (1,4) ^ 33 Serbia* 437 (3,8) v 15 Dinamarca 514 (2,7) ^ 34 Turquía 423 (6,7) v 16 Francia 511 (2,5) ^ 35 Uruguay* 422 (3,3) v 17 Suecia 509 (2,6) ^ 36 Tailandia* 417 (3,0) v 18 Austria 506 (3,3) ^ 37 México 385 (3,6) v Castilla y León 503 (4,0) ^ 38 Indonesia* 360 (3,9) v 19 Alemania 503 (3,3) ^ 39 Túnez* 359 (2,5) v 20 Irlanda 503 (2,4) ^ 40 Brasil* 356 (4,8) v País Vasco 502 (2,8) ^ Promedio OCDE 500 (0,6) E.T. Error típico S. Significatividad de la diferencia con España ^ más alta v más baja Los países con asterisco no son miembros de la OCDE Los alumnos españoles de 15 años muestran un rendimiento en matemáticas 15 puntos por debajo del promedio de la OCDE, fijado en 500 puntos. Esta diferencia es estadísticamente significativa. El rendimiento de los alumnos de Castilla y León y del País Vasco es significativamente superior al del conjunto de España. Quién es el más listo ahora? Usando los intervalos de confianza anteriores vemos que las posiciones de los países pueden matizarse bastante -Para comparar dos países hay que tener en cuenta que las medias de sus poblaciones están dentro de un intervalo Por ejemplo, está Polonia por encima de España? Mirando la puntuación directa sí pero si calculamos el intervalo al 95% de Polonia tenemos... Y si comparamos el valor más bajo de Polonia con el más alto de España vemos que los intervalos se solapan y que es posible que el valor en la población de España podría ser mayor que el de Polonia si queremos una confianza del 95% De hecho, los símbolos ^ y su opuesto indican qué países están realmente por encima de España, cuáles en el mismo grupo y cuáles por debajo. Estimación Estimación por intervalos/intervalo de confianza rápido:/ Quién es el más listo ahora?

11 Estimación por intervalos/nota final Nota final El intervalo calculado anteriormente utiliza 1.96 para calcular un intervalo de confianza del 95% porque asume que el tamaño de muestra en cada país o comunidad es superior a 100 Para tamaños de muestra más pequeños hay que usar otros valores tomados de la distribución t. Como un ejemplo aquí tenéis algunos valores gl 95% 99% gl significa grados de libertad, la regla general es un poco difícil de explicar pero en este caso se utiliza n-1 - Se puede ver que a partir de un tamaño de muestra de 20 para 95% de confianza y de 50 para 99% de confianza la diferencia está en el segundo decimal, lo cual no tiene importancia práctica (se puede utilizar 1,96 o 2 para una confianza del 95% como aproximación rápida si no tenéis el ordenador cerca) Pedro Valero Mora-valerop@uv.es 59

12 intervalos para proporciones INTERVALOS PARA PROPORCIONES El cálculo para proporciones o porcentajes es muy similar al que hacemos para las medias cuando el tamaño de muestra es grande - Cuando el tamaño de muestra sea pequeño en cambio el proceso es un poco más complicado pero lo haremos con el ordenador Ya vimos en el tema anterior que el error típico se puede calcular con esta fórmula: ET p = - Si por ejemplo, el 50% está a favor de algo y el 50% en contra y hemos entrevistado a 100 personas hacemos: = Cuando el tamaño de muestra es grande podemos utilizar los valores que utilizábamos para la media para calcular los intervalos de confianza (1,96 y 2,56 para 95% y 99%) En este caso tendríamos para 95% pq n Pedro Valero Mora-valerop@uv.es 60

13 intervalos para proporciones/el tamaño muestral El tamaño muestral Un problema que se plantea a menudo es calcular el tamaño de la muestra para tener un error muestral de cierto tamaño - Eso es fundamental para plantear el presupuesto de un trabajo y saber a cuántos hay que entrevistar o cuantos datos hay que recoger El error muestral es el error típico multiplicado por el valor de z para el nivel de confianza deseado (en la práctica 1,96 o redondeando 2) - No confundir el error muestral con el error típico - Generalmente en las encuestas se informa del error muestral Pedro Valero Mora-valerop@uv.es 61

14 intervalos para proporciones/el tamaño muestral Si jugáis un poco con los números veréis que el error típico máximo es precisamente cuando los porcentajes son 50%-50%. Por eso, cuando se planea una encuesta o estudio en el que se va a calcular la proporción y se quiere calcular el tamaño de la muestra se hace el cálculo con ese porcentaje. - Si se quiere un intervalo que tuviera un tamaño de 25 haríamos: En proporción, 2,5% es 0,025, esto es el error muestral El 0,025 lo dividimos por 1,96 para obtener el error típico que queremos (redondeando el resultado es 0,0125) Ahora hacemos: Despejando n tenemos: = n n = = 1600 Pedro Valero Mora-valerop@uv.es 62

15 intervalos para proporciones/ Y cuándo el tamaño de muestra es pequeño? Y cuándo el tamaño de muestra es pequeño? Cuando el tamaño de muestra es pequeño se utiliza la distribución binomial - No obstante, ese cálculo es más complicado y es conveniente el ordenador - En el siguiente tema veremos como hacer la prueba de hipótesis binomial utilizando el ordenador, lo cual está muy relacionado con el cálculo del intervalo de confianza Pedro Valero Mora-valerop@uv.es 63

16 Sobre inteligencia y crueldad SOBRE INTELIGENCIA Y CRUELDAD Hemos empezado el tema con un ejemplo acerca de la inteligencia. - Si usamos el SPSS podemos calcular el intervalo de confianza de la inteligencia de los que aparecían en la tabla. Los resultados se muestran abajo: Descriptivos Estadístico Error estándar IQ Media % de intervalo de Límite inferior confianza para la media Límite superior Media recortada al 5% Mediana Varianza Desviación estándar Mínimo Máximo Rango Rango intercuartil Asimetría Curtosis Parece bastante claro que este grupo de sujetos tenían una inteligencia promedio superior a 100 Pedro Valero Mora-valerop@uv.es 64

17 Sobre inteligencia y crueldad Qué significa eso? - Todos los nazis eran inteligentes? - Los nazis con poder eran inteligentes? - El grupo de nazis juzgados era inteligente? Las afirmaciones anteriores van desde algo más general a algo más particular, es importante reflexionar hasta qué punto nuestras conclusiones pueden generalizarse o no, y qué hace falta para ello - Todos los nazis eran inteligentes?: No parece posible hacer esa generalización, la muestra de los juzgados en Nuremberg es muy específica ya que todos ellos eran personas que ocuparon cargos de importancia - Los nazis con poder eran inteligentes? Si consideramos la muestra de los juzgados como representativa de los nazis con poder y pensamos que hay una población de nazis con esas características entonces podemos calcular intervalos de confianza tal y como hemos hecho. En ese caso, el intervalo de confianza nos indica los márgenes dentro de los cuales estará el valor medio de la inteligencia de esa población de nazis con poder - El grupo de nazis juzgados era inteligente? Si nuestro interés no es generalizar o preguntarnos acerca de una población, entonces calcular intervalos de confianza no es necesario, la media de la inteligencia de esos nazis es la que es. Pedro Valero Mora-valerop@uv.es 65

18 Intervalos de confianza en el SPSS INTERVALOS DE CONFIANZA EN EL SPSS Usaremos el archivo de datos en la página web que tiene una Encuesta General USA Ese archivo corresponde a un estudio de encuesta típico en el que se hicieron una serie de preguntas variadas. Analizaremos algunas cuestiones sobre la edad y la felicidad o el tipo de vida En la encuesta hay una pregunta sobre el nivel de felicidad del encuestado con tres opciones Muy feliz, Bastante y No demasiado Feliz y otra sobre el nivel de excitación (es una mala traducción, en inglés quiere decir emoción) con niveles Emocionante, Rutinaria o Aburrida. - El comando del SPSS que utilizaremos es Analizar>Estadísticos Descriptivos>Explorar. Este comando produce el siguiente cuadro de diálogo: En este caso he introducido la variable Edad del encuestado en la lista de dependientes. Pedro Valero Mora-valerop@uv.es 66

19 Intervalos de confianza en el SPSS - El resultado se muestra abajo. Es una tabla que incluye cosas que no usamos pero el intervalo de confianza está en segundo lugar. La edad de los encuestados está alrededor de los 45. Descriptivos Estadístico Error estándar Edad del encuestado Media % de intervalo de Límite inferior confianza para la media Límite superior Media recortada al 5% Mediana Varianza Desviación estándar Mínimo 18 Máximo 89 Rango 71 Rango intercuartil 28 Asimetría Curtosis Pedro Valero Mora-valerop@uv.es 67

20 Intervalos de confianza en el SPSS Este análisis es más interesante si usamos la opción de añadir un factor Pedro Valero 68

21 Intervalos de confianza en el SPSS - En este caso he añadido la pregunta sobre si su vida es excitante o aburrida. Ahora los resultados los pone según lo que hayan contestado en lo que hemos puesto en Factor. Descriptivos Su vida es excitante o aburrida? Estadístico Error estándar Edad del encuestado Excitante Media % de intervalo de confianza Límite inferior para la media Límite superior Media recortada al 5% Mediana Varianza Desviación estándar Mínimo 18 Máximo 89 Rango 71 Rango intercuartil 27 Asimetría Curtosis Rutinaria Media % de intervalo de confianza Límite inferior para la media Límite superior Media recortada al 5% Mediana Varianza Desviación estándar Mínimo 18 Máximo 89 Rango 71 Rango intercuartil 29 Asimetría Curtosis Aburrida Media % de intervalo de confianza Límite inferior para la media Límite superior Media recortada al 5% Mediana Varianza Desviación estándar Mínimo 21 Máximo 89 Rango 68 Rango intercuartil 40 Asimetría Curtosis Pedro Valero Mora-valerop@uv.es 69

22 Intervalos de confianza en el SPSS - Aunque los resultados anteriores incluyen muchas cosas, hay algunas que faltan (como por ejemplo el número de casos por grupo). Esto se puede conseguir en el comando Analizar>Comparar Medias>Medias y poniendo las variables como están en el cuadro de diálogo: Pedro Valero Mora-valerop@uv.es 70

23 Intervalos de confianza en el SPSS - El error típico (estándar) no aparece en principio así que hay añadirlo haciendo click en el botón Opciones Pedro Valero Mora-valerop@uv.es 71

24 Intervalos de confianza en el SPSS - El resultado se muestra abajo. Se puede ver que el grupo de gente aburrida es más pequeño que los otros dos Informe Edad del encuestado Su vida es excitante o aburrida? Media N Desviación estándar Error estándar de la media Excitante Rutinaria Aburrida Total Esta tabla tiene menos información que la otra pero está más condensada por lo que a veces es mejor (aunque no tiene los intervalos de confianza para la media) Pedro Valero Mora-valerop@uv.es 72

25 Intervalos de confianza en el SPSS Pedro Valero 73