Termodinàmica Fonamental. Problemes. Tema V.- SEGON PRINCIPI DE LA TERMODINÀMICA: MÀQUINES

Transcripción

1 Problemes.- SEGON PRINCIPI DE LA TERMODINÀMICA: MÀQUINES Autors: M. Del Barrio; S. Diez-Berart; D.O. López; J. Salud; J.Ll. Tamarit Coordinador: D.O. López

2 CICLES TERMODINÀMICS V.1.- Un gas ideal descriu reversiblement un cicle (ABCDA) constituït per dues isòbares AB i CD, i dues adiabàtiques BC i DA. La pressió a AB és més gran que a CD. a) Trobeu la relació que hi ha entre les temperatures dels estats A, B, C i D. b) Expresseu el rendiment del cicle en funció de les temperatures T A i T D. Feu el mateix en funció de les pressions. c) Anomenant raó de compressió a la quantitat b=v D /V A (V=volum), demostreu que el rendiment del cicle és - r = 1- b 1 γ on γ = C P / C V. Sol.: a) T A /T B = T D /T C b) T D = 1 - ( PD η = 1 - ) T A P A (1-1 ) γ V.2.- Un mol de gas ideal diatòmic realitza el cicle de la figura (V 1 =1 l; V 2 =2 l; p 4 =4 atm; T 4 =300 K). a) Calculeu les variables termodinàmiques p,v i T dels estats corresponents als vèrtexs del cicle. b) Calculeu el treball, la calor i la variació d'energia interna en les diferents etapes del cicle. c) Calculeu el rendiment del cicle. Sol.: a) p 1 = 24,6 atm; p 2 = 24,6 atm; p 3 = 18,4 atm; V 3 = 2,46 l; V 4 = 2,46 l; T 1 = 300 K; T 2 = 600 K; T 3 = 552,3 K b) U 12 = 1491,8 cal; U 23 = -237,3cal; U 34 = -1255,2 cal; U 41 = 0; W 12 = 2494,4 J; W 23 = 997,7 J; W 34 = 0; W 41 = -2256,7 J; Q 12 = 2089,5 cal; Q 23 = 0; Q 34 = -1255,2 cal; Q 41 = -540,1 cal c) η = 14,2 % p 1 2 isoterma adiabàtica 3 4 V V.3.- A la figura adjunta es representa el cicle de Sargent per a un gas ideal. Expresseu-ne el rendiment en funció de les temperatures, dels estats 1,2,3 i 4. γ Sol.: (T 4 - T 1 ) η = 1 - (T 3 - T 2 ) p adiabàtiques 4 V 1

3 V.4.- Un mol de gas ideal segueix el cicle de la figura. La seva calor molar a pressió constant, c p, és constant i val 29,6 J mol -1 K - 1. Les pressions en els punts 1 i 2 són N m -2 i 10 6 N m -2, p 1 respectivament. La isoterma és a T = 550 K. a) Calculeu el treball i la calor molar absorbida pel gas en cada procés. b) Determineu el rendiment del cicle si es considera que funciona en sentit invertit. Sol.: a) Q 12 = 0; Q 23 = 1018,7 cal; Q 31 = -1266,4 cal;w 12 = 4258 J; W 23 = 0; W 31 = ,7 J b) η= 19,6% isoterma adiabàtica 3 2 V V.5.- Un mol de gas ideal monoatòmic evoluciona a volum constant des d'un estat definit per p 1 = 10 atm i V 1 = 3 l fins a un altre on la seva pressió és p 2 = 5 atm. Mitjançant una compressió adiabàtica, arriba a un estat la pressió del qual és p 3 = 10 atm i, si es manté la pressió, el sistema evoluciona fins a l'estat inicial. Suposant reversibles tots els processos, calculeu: a) La calor que reb el gas. b) La calor que aquest gas desprèn. c) El rendiment del cicle. Sol.: a) Q = 617,1 cal b) Q' = -554,5 cal c) η = 12% V.6.- Un cilindre conté 1 mol d'un gas ideal diatòmic a 1 atm de pressió i a 27 o C. Es comprimeix el gas reversible i adiabàticament fins a una pressió d'1,97 atm. A pressió constant, el gas recupera la seva temperatura inicial. A continuació, el gas s'expandeix adiabàticament i de forma reversible fins a arribar a la pressió inicial. A pressió constant, deixem que el gas recuperi la seva temperatura inicial. a) Calculeu la variació d'energia interna en cadascun dels processos. b) Utilitzant el cicle com a frigorífic, calculeu-ne l eficiencia. Sol.: a) U 12 = 1238,4 J; U 23 = -1329,4 J; U 34 = -1093,3 J; U 41 = 1093,3 J; b) ε = 4,64% 2

4 V.7.- Una màquina de Carnot que opera entre dues fonts tèrmiques a 420 K i 280 K, utilitza 0,6 mols d'un gas diatòmic. A la temperatura més elevada, la màquina treballa entre les pressions p = 20 atm i p = 4 atm. Calculeu: a) Els valors extrems de les pressions i els volums entre els quals opera la màquina a la temperatura més baixa. b) Les calors bescanviades amb l'exterior en cadascun dels processos isoterms. Sol.: a) p 3 = 0,97 atm, p 4 = 4,84 atm, V 3 = 14,2 l, V 4 = 2,85 l b) Q = 811,2 cal, Q' = - 540,8 cal V.8.- Una màquina tèrmica utilitza com a sistema actiu 3 mols d un gas ideal monoatòmic que recorren el següent cicle irreversible: a partir d un estat 1, a la temperatura de 300 K i pressió de 3 atm, el gas s expansiona adiabàticament contra una pressió externa constant fins assolir l equilibri mecànic a aquesta pressió, moment en el que la seva temperatura és de 260 K (estat 2). Seguidament, el gas experimenta una compressió isoterma en la que bescanvia un treball de -4.5 kj amb l entorn, assolint així un nou estat d equilibri (estat 3). A continuació, estant tèrmicament aïllat i romanent constant el seu volum, el gas reb treball elèctric fins que assoleix la temperatura de 300 K (estat 4). Finalment, el gas s expandeix isotèrmicament (a 300 K) fins assolir la pressió de 3 atm, de forma que es tanca el cicle (veure la figura). Calculeu: a) La pressió i el volum dels estats 2 i 3. b) El treball bescanviat pel gas en la transformació isocòrica. c) El treball de dilatació net bescanviat pel gas en un cicle. Sol.: a) p 2 = 2 atm, V 2 = 31,98 l, p 3 = 4 atm, V 3 = 15,98 l b) -1496,6 J c) 224,8 J p adiabàtic K 260 K 1 adiabàtic 2 V 3

5 V.9.- Un cilindre de parets adiabàtiques, proveït d un èmbol mòbil, conté 2 mols d un gas ideal amb calors molars c v i c p constants en el rang de temperatures de treball. El gas, que inicialment es troba a 1 atm de pressió (estat 1), es comprimeix reversible i adiabàticament fins duplicar la seva pressió (estat 2). A continuació, es fixa l èmbol i al gas se li subministra treball elèctric durant tres minuts, de manera que evoluciona fins a l estat 3 on la pressió és de 3,28 atm. Posteriorment, se substitueixen les parets adiabàtiques per parets diatèrmanes i, en contacte amb una font tèrmica a la temperatura de l estat 3, el gas experimenta un procés reversible fins a una pressió de 2,5 atm (estat 4). Finalment, es tanca el cicle mitjançant un procés on la pressió segueix una evolució amb el volum de la forma p=av+b. Si les temperatures màxima i mínima del gas en el cicle són 500 K i 250 K respectivament: a) Dibuixeu el cicle en un diagrama de Clapeyron i determineu les coordenades termodinàmiques dels estats 1,2,3 i 4. b) Determineu l atomicitat del gas ( monoatòmic o diatòmic) i la potència subministrada per la resistència en el procés 2-3. Si substituïm el procés 2-3 per una transformació isocora reversible entre els mateixos estats 2 i 3: c) Quant valdria el rendiment del cicle resultant. Sol.: a) p 1 = 1 atm; V 1 = 41 l; T 1 = 250 K; p 2 = 2 atm; V 2 = 25 l; T 2 = 304,9 K; p 3 = 3,28 atm; V 3 = 25 l; T 3 = 500 K; p 4 = 2,5 atm; V 4 = 32,8 l; T 4 = 500 K b) diatòmic; 45,1 W c) 13,8% MÀQUINES QUE OPEREN ENTRE FONTS TÈRMIQUES V.10.- Tenim un frigorífic reversible que absorbeix calor de dues fonts tèrmiques a 253 K i a 278 K i cedeix calor a una tercera font a temperatura ambient (25 ºC). Aquest frigorífic consumeix una potència de 200 W. Si la calor cedida a la font de 25 ºC en una hora és de 5.4 MJ: a) Calculeu els valors de les calors absorbides per segon. 4

6 b) Aquest frigorífic és possible tal i com està plantejat, per qualsevol valor de la calor (per segon) cedida a la font calenta. Sol.: a) Q 2 /t =294,8 W ; Q 3 /t =1005,2 W b) No, només si verifica: 1324,5W< Q 1 /t <2984,2 W. V.11.- Dues màquines tèrmiques reversibles M 1 i M 2 es connecten en sèrie (veure figura adjunta) entre una font tèrmica a 1000 K, una massa de substància sòlida amb una certa capacitat calorífica i una altra font tèrmica a 400 K. Sabent que en cada cicle la màquina M 1 absorbeix 400 kcal (Q 1 ) de la font d alta temperatura, que el seu rendiment es el 60% del rendiment d una màquina de Carnot que treballi entre les temperatures de 400 K i 200 K i que el sòlid és manté sempre a una temperatura fixa T m, determineu: a) El treball, en kj, proporcionat per la màquina M 1. b) La temperatura T m. c) El rendiment de la màquina M 2. d) La quantitat de calor absorbida i cedida per la màquina M 2. T 1 = 1000 K Q 1 M1 ' Q 1 sòlid, T m Q 2 M2 ' Q 2 T 2 = 400 K Sol.: a) W M1 = 502,3 kj b) T m = 700 K c) 42,9% c) Q 2 =280 Kcal; Q 2 =-160 kcal W 1 W 2 MÀQUINES QUE OPEREN ENTRE FOCUS DE TEMPERATURES VARIABLES V.12.-Tenim dues masses d'1 kg d'aigua a temperatures de 100 i 0 o C, respectivament. Si ens imaginem una màquina que funcioni reversiblement entre les dues masses, calculeu: a) La temperatura d'equilibri. b) El treball realitzat per la màquina. c) El rendiment global de l'operació. Sol.: a) T = 319,1 K b) W = 3, J c) η = 14, 5% V.13.- Una màquina frigorífica funciona reversiblement en un lloc la temperatura ambient del qual és de 25 o C. Determineu el treball que es requereix per congelar 100 g d'aigua a 5

7 0 o C. Dada: calor latent de fusió de l aigua: 80 cal g -1. Sol.: W = 3062 J V.14.- Volem escalfar una massa M = 1000 kg d'aigua des de la temperatura T o = 283 K fins a la temperatura T 1 = 313 K, mitjançant una bomba tèrmica ideal que pren calor de l'aigua d'un llac (a la temperatura T o = 283 K) i la cedeix a la massa d'aigua. Per fer-ho, cal una quantitat de treball W. Mentre la temperatura de l'aigua del llac no varia, la de la massa M augmenta a mesura que se li subministra aquest treball. Calculeu: a) La relació entre W i la temperatura T de la massa. b) El treball W quan T = T 1 = 313 K. c) La temperatura final de la massa M d'aigua, si el treball subministrat a la bomba tèrmica s'hagués d'utilitzar per escalfar l'aigua directament mitjançant una resistència elèctrica. T 6 Sol.: a) W = Mc[T - T o - T o ln ( )] ; b) W = -6.21x10 J; c) T = 284,5 K T o V.15.- El congelador d'una màquina refrigeradora que treballa reversiblement té una temperatura de -5 o C. La seva capacitat calorífica és de 84 kj K -1. La màquina cedeix calor a una habitació que manté la seva temperatura constant a 25 o C. Quin és el treball que ha de realitzar el motor de la màquina per reduir la temperatura del congelador en 15 o C? Sol.: W = -181,8 kj V.16.- Considerem dos cossos idèntics que compleixen una equació d'estat U = cnt, on c és una constant. Les seves temperatures inicials són T 1 i T 2. Si fem treballar una màquina tèrmica entre aquests dos sistemes, es podrà extreure treball fins que les seves temperatures siguin iguals. Demostreu: a) Que la temperatura mínima de l'estat final és f = T 1T T 2. Suposeu que el cos no dilata. b) Demostreu que el treball màxim que es pot extreure en el procés del problema anterior 6

8 és W = nc [T 1 +T 2-2 T 1T 2 ] V.17.- Una màquina que treballa reversiblement, refreda 1 mol d'aigua inicialment a 25 o C fins a congelar-la totalment. La calor alliberada per la màquina s'empra en escalfar 1 mol d'aigua des de 25 o C fins a 100 o C. Calculeu: a) La quantitat d'aigua que s'ha convertit en vapor a 100 o C. b) El treball que ha calgut. Sol.: a) m = 1,94 g b) W = -2121,8 J V.18.- Una màquina tèrmica A treballa entre una massa m de vapor d aigua a 100 ºC i una font tèrmica a temperatura ambient (25 ºC). Una altra màquina, B, treballa entre aquest mateix focus a 25 ºC i una massa de 10 kg de gel fonent. Sabem que ambdues tenen el mateix rendiment i que una d elles és reversible. Les màquines funcionen fins que tot el gel es fon. a) Calculeu el valor de la massa de vapor m liquada per tal que el gel hagi fos completament. b) Calculeu el rendiment de les màquines, indicant quina és reversible. c) Determineu les calors intercanviats per totes dues màquines amb els focus tèrmics, així com els treballs obtinguts. Sol.: a) m=1,48 kg b) η A = η B =8,39%; B és reversible c) Q A1 =-Q B2 =800 kcal; Q A2 =-733 kcal; Q B1 =873 kcal; W A =67 kcal; W B =73 kcal V.19.- Un cos de 1 kg agafa energia cinètica al caure per un carril de forma que l energia produïda es fa servir per posar en marxa un frigorífic entre dues fonts. La font calenta absorbeix 200 J i està a 300 K, i la freda és una massa m d aigua a 273 K que es vol congelar completament. Sabem que: la velocitat final del cos es el doble de la inicial i que un 20% de l energia del cos es perd a l hora de fer-la servir en el funcionament del frigorífic. A més a més, si el frigorífic fos reversible, la calor cedida a la font calenta 7

9 seria de 300 J. Calculeu: a) L eficiència del frigorífic. b) La velocitat inicial del cos. c) La massa d aigua inicial. Invertim el proces del sistema actiu per que treballi com a una màquina tèrmica, fins que el gel torni a ser aigua líquida a 273 K. d) El valor absolut del treball produït serà major, menor o igual al del treball suministrat al frigorífic abans? Sol.: a) ε F =6,41 b) v 0 =4,74 m/s c) m=0,52 g d) W MT < W F V.20.- Dos mols d un gas ideal descriuen el cicle reversible abcda de la figura. Les temperatures màxima i mínima assolides pel gas al llarg del cicle són, respectivament, 200 K i 1800 K i, durant els processos isobàrics, el volum es triplica. Sabent que la recta que passa els vèrtexs p b c a d V a i c i l origen del pla p-v estan alineats i que la pressió en a és 1 atm: a) Calculeu les variables termodinàmiques p,v i T dels estats corresponents als vèrtexs del cicle. Al llarg del procés cd el gas bescanvia calories amb l entorn. Admetent que les calors molars a pressió i a volum constant d aquest gas ideal no depenen de la temperatura, calculeu: b) El rendiment global del cicle. Amb el treball obtingut en el cicle anterior es vol fer funcionar una nevera entre un sòlid, inicialment a 25 o C, de capacitat calorífica a pressió constant C p = BT, on B = 2 J/K 2 i T és la temperatura en K, i un recinte que conté 200 g d aigua líquida a 20 o C. Si els dos cossos treballen a pressió constant, determineu: c) L increment de la temperatura del sòlid per tal de fondre el 50% de l aigua líquida. d) L eficiència global del procès. 8

10 Dada: calor latent de fusió de l aigua: 80 cal/g. Sol.: a) p a = 1 atm, V a = 32,8 l, T a = 200 K, p b = 3 atm, V b = 32,8 l, T b = 600 K, p c = 3 atm, V c = 98,4 l, T c = 1800 K, p d = 1 atm, V d = 98,4 l, T d = 600 K b) 28,4 % c) 141,6 K d) 91,7 % 9