David R. González Barreto Universidad de Puerto Rico

Transcripción

1 David R. González Barreto Universidad de Puerto Rico

2 La habilidad de capturar datos hace tiempo le viene ganando la carrera a la habilidad de obtener información significativa de estos datos. Es necesario hacer uso de herramientas analíticas adecuadas que extraigan información sustantiva de grandes bases de datos. Intro PCA E -PCA PLS E - PLS Q Chart MVDA - DRGB Septiembre 2011 [2]

3 Existen muchas situaciones (típico de PAT) en donde es necesario la medición y/o monitoreo simultáneo de múltiples variables de proceso o de calidad. El monitoreo independiente de estas características puede llevarnos a decisiones erróneas con respecto al estado del proceso o producto. Intro PCA E -PCA PLS E - PLS Q Chart MVDA - DRGB Septiembre 2011 [3]

4 Si m pruebas independientes univariadas son realizadas, cada una con probabilidad α de cometer el Error Tipo I, la probabilidad global de cometer este error para todas las pruebas está dado por: α glogal = 1 (1 α ) m Ejemplo: 10 pruebas con α = 0.05 α global = 1 (1-0.05) 10 α global = = Intro PCA E -PCA PLS E - PLS Q Chart MVDA - DRGB Septiembre 2011 [4]

5 Univariados x 2 x 1 Control para dos variables x 1 x 2 Intro PCA E -PCA PLS E - PLS Q Chart MVDA - DRGB Septiembre 2011 [5]

6 VARIABLES K Complejidad de los datos Número de variables OBSERVACIONES, OBJETOS, MUESTRAS, CASOS, ÍTEMS N Univariado K = 1 Bivariado K = 2 Low Variate K < 5 Multivariate K > 5 Intro PCA E -PCA PLS E - PLS Q Chart MVDA - DRGB Septiembre 2011 [6]

7 Visión general de los datos (data overview) Clasificación y/o discriminación entre grupos de observaciones Regresión y modelaje entre dos bloques de datos (X y Y) Intro PCA E -PCA PLS E - PLS Q Chart MVDA - DRGB Septiembre 2011 [7]

8 Visión general de los datos X Clasificación y/o discriminación entre grupos de observaciones I II III Regresión y modelaje entre dos bloques de datos (X y Y) X Y PCA PCA PLS Intro PCA E -PCA PLS E - PLS Q Chart MVDA - DRGB Septiembre 2011 [8]

9 Datos del Proceso X Datos de Calidad, Productividad Y Temperatura, Presión, Velocidad, Nivel de fluido, Ph, concentración, rendimiento,, Peso, Dureza, Grosor, Potencia, Presión, Velocidad, Content Uniformity, Disolución, Existen Técnicas para: Explicar la variación en X ó Y (PCA) - mientras maximiza la Varianza (X) ó (Y) Explicar la variación en X ey y la relación entre X e Y (PLS) - mientras maximiza la Covarianza (X,Y) Intro PCA E -PCA PLS E - PLS Q Chart MVDA - DRGB Septiembre 2011 [9]

10 Las bases de MVDA pueden ser delineadas en términos de la geometría de espacios multidimensionales. Los datos multivariados y sus modelos pueden representarse como puntos, líneas, planos e hiperplanos en éstos espacios multidimensionales. Intro PCA E -PCA PLS E - PLS Q Chart MVDA - DRGB Septiembre 2011 [10]

11 Suponga que K = 3, esto es existen 3 variables. Cada observación puede ser representada en un conjunto de ejes, un espacio tridimensional Intro PCA E -PCA PLS E - PLS Q Chart MVDA - DRGB Septiembre 2011 [11]

12 El principio de representar cada observación como un punto en el espacio multidimensional hace posible convertir una tabla de datos en una representación gráfica. Todas las observaciones de X se desplegan en el espacio de dimensión K, como una nube de puntos. En esta gráfica se presentan 20 observaciones. Intro PCA E -PCA PLS E - PLS Q Chart MVDA - DRGB Septiembre 2011 [12]

13 El análisis de datos corresponde a formular una descripción cuantitativa de la forma de la nube de puntos. Este modelo puede verse como una ventana en el espacio tridimensional. Esta ventana se orienta de forma tal que provee una visión general de los datos y permite su interpretación. El principio detrás de esta converisón se conoce como proyección. La proyección logra disminuir el espacio tridimensional original en un espacio bidimensional (la ventana). Examinando la posición de cada observación en la ventana obetenemos una visión general de los datos. Intro PCA E -PCA PLS E - PLS Q Chart MVDA - DRGB Septiembre 2011 [13]

14 El principio de proyecciones puede ser matemáticamente extendedido a cualquier número de variables en el espacio K. Ejemplo: el archivo FOODS, suministrado por Umetrics, es un ejemplo donde tenemos 16 observaciones (N) para cada una de 20 variables (K, K > N, imposible usar regresión). El objetivo del estudio es el de investigar patrones de consumo alimenticio en paises europeos. Intro PCA E -PCA PLS E - PLS Q Chart MVDA - DRGB Septiembre 2011 [14]

15 Base de Datos FOODS.xls Intro PCA E -PCA PLS E - PLS Q Chart MVDA - DRGB Septiembre 2011 [15]

16 K (20) > N (16) Cada una de las 16 observaciones (países) se convierte en un punto de la nube de puntos en el espacio de veinte dimensiones. Este espacio puede reducirse a muchas menos dimensiones extrayendo la información sustancial de los datos, proyectando cada observación en la ventana. Note como los países nórdicos se agrupan en la parte superior. Esta es la escencia de la metodología de PCA. Intro PCA E -PCA PLS E - PLS Q Chart MVDA - DRGB Septiembre 2011 [16]

17 Ejemplo Foods: Score Plot Ejemplo Foods: Loadings Plot Intro PCA E -PCA PLS E - PLS Q Chart MVDA - DRGB Septiembre 2011 [17]

18 Ejemplo Foods: Distance to Model: DMODX No se observan outliers, todos los países se ajustan bien al modelo Intro PCA E -PCA PLS E - PLS Q Chart MVDA - DRGB Septiembre 2011 [18]

19 PCA

20 PCA es un método para crear combinaciones lineales de las características originales que son ortogonales; a estas combinaciones se le llama los componentes principales (PC). Los PCs, a través de las combinaciones lineales independientes intentan contienen la mayoría de la variabilidad de las características originales. Intro PCA E -PCA PLS E - PLS Q Chart MVDA - DRGB Septiembre 2011 [20]

21 PCA se utiliza para encontrar las estructuras de correlación entre las múltiples variables. La idea es encontrar un puñado de variables no correlacionadas, que son combinaciones lineales de las variables originales, que contengan la mayoría de la variabilidad de éstas. Por esta razón, se le conoce como una técnica de reducción de dimensiones. Intro PCA E -PCA PLS E - PLS Q Chart MVDA - DRGB Septiembre 2011 [21]

22 Matriz de Datos: Las filas corresponden a las unidades experimentales y las columnas a las características p: número de características consideradas n: número de unidades experimentales X rj : valor de la característica j en la unidad experimental r donde r = 1,2,,n and j = 1,2,,p. Intro PCA E -PCA PLS E - PLS Q Chart MVDA - DRGB Septiembre 2011 [22]

23 Si p variables son consideradas, existen p PCs: PC 1 = α 11 X 1 + α 12 X α 1p X p PC 2 = α 21 X 1 + α 22 X α 2p X p : : PC p = α p1 X 1 + α p2 X α pp X p Intro PCA E -PCA PLS E - PLS Q Chart MVDA - DRGB Septiembre 2011 [23]

24 El primer PC contiene la mayor proporción de la variabilidad. El segundo PC contiene la segunda mayor proporción de la variabilidad, así sucesivamente. Intro PCA E -PCA PLS E - PLS Q Chart MVDA - DRGB Septiembre 2011 [24]

25 Dos Componentes Principales X X1 Intro PCA E -PCA PLS E - PLS Q Chart MVDA - DRGB Septiembre 2011 [25]

26 Matriz de Covarianza: σσ 11 σσ 12 σσ 1pp σσ 21 σσ 22 σσ 2pp = σσ pp1 σσ pp2 σσ pppp σ ii = Var(X i ) para i = 1,2,,p σ ij = Cov(X i,x j ) para i j = 1,2,,p Intro PCA E -PCA PLS E - PLS Q Chart MVDA - DRGB Septiembre 2011 [26]

27 Coeficiente de Correlación: ρ ij = coeficiente de correlación entre X i and X j para i j = 1,2,,p. -1 ρ ij 1 para cada i j Intro PCA E -PCA PLS E - PLS Q Chart MVDA - DRGB Septiembre 2011 [27]

28 Matriz de Correlación: PP = 1 ρρ 12 ρρ 1pp ρρ 21 1 ρρ 2pp ρρ pp1 ρρ pp2 1 ρ ij = coeficiente de correlación entre X i and X j for i j = 1,2,,p. Intro PCA E -PCA PLS E - PLS Q Chart MVDA - DRGB Septiembre 2011 [28]

29 Simca realiza este pretratamiento por default Centralización y Varianza Unitaria Tomado de: IBS Caribe,Inc. presentation on Chemometrics Interpretación de Centralización Tomado de: IBS Caribe, Presentation on Chemometrics and Multivariate Model Development. Intro PCA E -PCA PLS E - PLS Q Chart MVDA - DRGB Septiembre 2011 [29]

30 Estandarización de los datos: necesaria para tener las variables en unidades comparables (codificación). A esta estandarización se le conoce como Standard Normal Variate Transformation o SNV correction en pre-tratamiento espectral. Intro PCA E -PCA PLS E - PLS Q Chart MVDA - DRGB Septiembre 2011 [30]

31 Datos Estandarizados: son el promedio y desviación estándar de cada variable para todas las observaciones. Intro PCA E -PCA PLS E - PLS Q Chart MVDA - DRGB Septiembre 2011 [31]

32 Matrix de Datos Estandarizados: ZZ = ZZ 11 ZZ 12 ZZ 1pp ZZ 21 ZZ 22 ZZ 2pp ZZ NN1 ZZ NN2 ZZ NNNN Las filas corresponden a las unidades experimentales y las columnas a las características Intro PCA E -PCA PLS E - PLS Q Chart MVDA - DRGB Septiembre 2011 [32]

33 Las variables deben ser estandarizadas si son medidas en escalas muy diferentes o si sus varianzas difieren siginificativamente. Usar la matriz de correlación para calcular los componentes principales PC s es equivalente a estandarizar los datos. La matriz de covarianza se utiliza cuando no es necesario estandarizar los datos. Intro PCA E -PCA PLS E - PLS Q Chart MVDA - DRGB Septiembre 2011 [33]

34 Los componentes principales de un conjunto de variables del proceso x 1, x 2,.., x p, son unas combinaciones lineales particulares de estas variables. z 1 = c 11 x 1 + c 12 x c 1p x p z 2 = c 21 x 1 + c 22 x c 2p x p : : : z p = c p1 x 1 + c p2 x c pp x p Intro PCA E -PCA PLS E - PLS Q Chart MVDA - DRGB Septiembre 2011 [34]

35 C ij s son constantes que se obtienen de los vectores propios (eigenvectors). Las variables de los componentes principales z1, z2,., zp son los ejes de un nuevo sistema de coordenadas que se obtienen de rotar el sistema original de ejes (basado en las x s). Los nuevos ejes representan las direcciones de máxima variabilidad. Intro PCA E -PCA PLS E - PLS Q Chart MVDA - DRGB Septiembre 2011 [35]

36 Encontrar los c ij s es relativamente fácil. Si las variables x 1, x 2,, x p se representan con un vector x con matriz de covarianza Σ y los valores propios (eigenvalues) de Σ son λ 1 > λ 2 >. λ p > 0. Entonces las constantes c ij s son los elementos del eigenvector i asociados con el eigenvalue i. La varianza del componente principal i es el eigenvalue i, λ i. La proporción de la variabilidad explicada por el componente principal i está dado por: Intro PCA E -PCA PLS E - PLS Q Chart MVDA - DRGB Septiembre 2011 [36]

37 Encontrar los c ij s es relativamente fácil. Si las variables x 1, x 2,, x p se representan con un vector x con matriz de covarianza Σ y los valores propios (eigenvalues) de Σ son λ 1 > λ 2 >. λ p > 0. Entonces las constantes c ij s son los elementos del eigenvector i asociados con el eigenvalue i. La varianza del componente principal i es el eigenvalue i, λ i. La proporción de la variabilidad explicada por el componente principal i está dado por: λi λ + λ λ 1 2 p Intro PCA E -PCA PLS E - PLS Q Chart MVDA - DRGB Septiembre 2011 [37]

38 Los vectores propios (eigenvectors) proveen los coeficientes para los PC s: PC 1 = α 11 Z 1 + α 12 Z α 1p Z p Los valores propios (eigenvalues) corresponden a las varianzas de los PC s. λ 1, λ 2,, λ p La suma de las varianzas de las variables originales es igual a la suma de las varianzas de los PC s. p i= 1 λ = i p i= 1 σ 2 i Intro PCA E -PCA PLS E - PLS Q Chart MVDA - DRGB Septiembre 2011 [38]

39 Intro PCA E -PCA PLS E - PLS Q Chart MVDA - DRGB Septiembre 2011 [39]

40 Intro PCA E -PCA PLS E - PLS Q Chart MVDA - DRGB Septiembre 2011 [40]

41 Cuantos PC s? Scree Plot estado estable Porcentaje de la Varianza Criterio: Eigenvalues > 1 Matriz de Correlación Intro PCA E -PCA PLS E - PLS Q Chart MVDA - DRGB Septiembre 2011 [41]

42 Figure 7: Scree Plot (Matriz de Covarianza) Intro PCA E -PCA PLS E - PLS Q Chart MVDA - DRGB Septiembre 2011 [42]

43 Cuantos PC s? Porcentaje de la varianza Puede decidir mantener los PCs que expliquen el 85% de la varianza, por ejemplo. Intro PCA E -PCA PLS E - PLS Q Chart MVDA - DRGB Septiembre 2011 [43]

44 Cuántos PC s? Criterio Eigenvalue > 1: los eigenvalues son las varianzas de los PCs; por lo tanto, cuando usamos variables estandarizadas (matriz de correlación), se pueden considerar todos los PCs cuyo eigenvalue sea mayor de 1. Scree Plot (Matriz de Correlacion) Intro PCA E -PCA PLS E - PLS Q Chart MVDA - DRGB Septiembre 2011 [44]

45 Tradeoff entre el número de componentes y el overfitting R 2 goodness of fit Q 2 goodness of prediction Intro PCA E -PCA PLS E - PLS Q Chart MVDA - DRGB Septiembre 2011 [45]

46 Seleccione las variables para el análisis. Decida si utilizara datos estandarizados, o, Seleccione la matriz a utilizarse: matriz de covarianza o matriz de correlación P. Determine el numero de PCs significativos. Interprete los PCs (cuando sea posible). Use los PCs estudios futuros. Intro PCA E -PCA PLS E - PLS Q Chart MVDA - DRGB Septiembre 2011 [46]

47 Scores plots : Muestra las observationes proyectadas en el hiper-plano creado por los PCs. Muestra un resumen de la relacion entre las observaciones. Score Plot Intro PCA E -PCA PLS E - PLS Q Chart MVDA - DRGB Septiembre 2011 [47]

48 Loadings plots: Muestra la relación entre distintas variables. Los loadings son los pesos que combinan las variables originales para obtener los scores. Geométricamente, representan la dirección de los PCs. La dirección del plano de proyección provee información sobre la importancia de las variables. Intro PCA E -PCA PLS E - PLS Q Chart MVDA - DRGB Septiembre 2011 [48]

49 Loading Plot Intro PCA E -PCA PLS E - PLS Q Chart MVDA - DRGB Septiembre 2011 [49]

50 Escuela % de Retención GPA_ESP GPA-ING GPA-MAT T_Promedio Proportion A B D E F H A I J K L Intro PCA E -PCA PLS E - PLS Q Chart MVDA - DRGB Septiembre 2011 [50]

51 Eigenanalysis of the Correlation Matrix Eigenvalue Proportion Cumulative Variable PC1 PC2 PC3 PC4 PC5 PC6 % de Retención GPA_ESP GPA-ING GPA-MAT Tiempo_Promedio Proportion Intro PCA E -PCA PLS E - PLS Q Chart MVDA - DRGB Septiembre 2011 [51]

52 Ejemplo Escuelas: Model Overview Intro PCA E -PCA PLS E - PLS Q Chart MVDA - DRGB Septiembre 2011 [52]

53 Ejemplo Escuelas: Scores Plot Intro PCA E -PCA PLS E - PLS Q Chart MVDA - DRGB Septiembre 2011 [53]

54 Ejemplo Escuelas: Loadings Plot Intro PCA E -PCA PLS E - PLS Q Chart MVDA - DRGB Septiembre 2011 [54]

55 PLS

56 PLS es un método para construir modelos de predicción cuando existen múltiples variables y una alta (relación) entre las mismas. PLS es una extensión de regresión a PCA, que es utilizado para conectar la información de dos bloques de variables, X e Y. Intro PCA E -PCA PLS E - PLS Q Chart MVDA - DRGB Septiembre 2011 [56]

57 PLS intenta encontrar unos pocos factores fundamentales o latentes que explican la mayor parte de la variabilidad en las respuestas. La idea es extraer estos factores latentes mientras se modela adecuadamente las respuestas. Intro PCA E -PCA PLS E - PLS Q Chart MVDA - DRGB Septiembre 2011 [57]

58 FACTORES/PREDICTORES K RESPUESTAS M OBSERVACIONES, OBJETOS, MUESTRAS, CASOS, ÍTEMS N X PLS OBSERVACIONES, OBJETOS, MUESTRAS, CASOS, ÍTEMS N Y Intro PCA E -PCA PLS E - PLS Q Chart MVDA - DRGB Septiembre 2011 [58]

59 K = 3, M = 1, dos nubes de puntos Intro PCA E -PCA PLS E - PLS Q Chart MVDA - DRGB Septiembre 2011 [59]

60 K = 3, M = 3, dos nubes de puntos Intro PCA E -PCA PLS E - PLS Q Chart MVDA - DRGB Septiembre 2011 [60]

61 Primer Componente, ambos espacios Score Vectors Intro PCA E -PCA PLS E - PLS Q Chart MVDA - DRGB Septiembre 2011 [61]

62 Segundo Componente, ambos espacios Línea de segundo componente de X Ortogonal a la primera, esto no es necesariamente cierto para el espacio Y Intro PCA E -PCA PLS E - PLS Q Chart MVDA - DRGB Septiembre 2011 [62]

63 Score vectors, otros componentes El segundo par de score vectors (t2, u2), Correlacionan, pero regularmente menos que el primer componente Intro PCA E -PCA PLS E - PLS Q Chart MVDA - DRGB Septiembre 2011 [63]

64 Modelaje Indirecto Tomado de: An Introduction to Partial Least Squares Regression by Randall D. Tobias Intro PCA E -PCA PLS E - PLS Q Chart MVDA - DRGB Septiembre 2011 [64]

65 Ejemplo: el archivo LOWARP, suministrado por Umetrics, es un ejemplo donde tenemos 17 observaciones (mezclas) de una cubierta de plástico para un celular. Cuatro componentes son utilizados en la mezcla. El objetivo del estudio es el de conseguir cubiertas con poca deformación (warpage) y alto esfuerzo (strength). Catorce respuestas relacionadas a las deformaciones y el esfuerzo son medidas en la cubierta. Intro PCA E -PCA PLS E - PLS Q Chart MVDA - DRGB Septiembre 2011 [65]

66 Base de Datos LOWARP Factores - X Respuestas -Y Intro PCA E -PCA PLS E - PLS Q Chart MVDA - DRGB Septiembre 2011 [66]

67 LOWARP Weight Plot Intro PCA E -PCA PLS E - PLS Q Chart MVDA - DRGB Septiembre 2011 [67]

68 LOWARP Observed vs Predicted Intro PCA E -PCA PLS E - PLS Q Chart MVDA - DRGB Septiembre 2011 [68]

69 Tres Componentes Dos Componentes Intro PCA E -PCA PLS E - PLS Q Chart MVDA - DRGB Septiembre 2011 [69]

70 t1/t2 - Score plot Biplot 3.0 lowarp.m1 (PLS) t[comp. 1]/t[Comp. 2] lowarp.m1 (PLS) pc(corr)[comp. 1]/pc(corr)[Comp. 2] t[2] mica st3 st st1 glasst4 st2 st t[1] R2X[1] = R2X[2] = Ellipse: Hotelling T2 (0.95) Var_ w rp5 w rp6 wwrp2 rp1 amtpw rp3 w rp7 12 w rp8 w rp4 SIMCA-P :32:13 (UTC-5) crtp pc(corr)[1], t(corr)[1] Intro PCA E -PCA PLS E - PLS Q Chart MVDA - DRGB Septiembre 2011 [70]

71 Interpretación de los weights Intro PCA E -PCA PLS E - PLS Q Chart MVDA - DRGB Septiembre 2011 [71]

72 Coeficientes de variables correlacionadas wrp1 y wrp2 Intro PCA E -PCA PLS E - PLS Q Chart MVDA - DRGB Septiembre 2011 [72]

73 Coeficientes de variables no correlacionadas wrp4 y st lowarp.m1 (PLS) CoeffCS[Last comp.](wrp4) Colored according to Var ID (Primary) CoeffCS[2](wrp4) glas crtp mica amtp Var ID (Primary) SIMCA-P :29:21 (UTC-5) Intro PCA E -PCA PLS E - PLS Q Chart MVDA - DRGB Septiembre 2011 [73]

74 VIP Variance Influence on projection Intro PCA E -PCA PLS E - PLS Q Chart MVDA - DRGB Septiembre 2011 [74]

75 Diagnóstico de observaciones outliers p non-linearities Una observación puede ser un outlier en X en Y y/o en la relación entre X e Y. Cuatro score Plots pueden ayudar: t1/u1, t2/u2, t1/t2 y u1/u2 La no-linearidad entre X e Y Puede ser observada en los scores tj/uj Intro PCA E -PCA PLS E - PLS Q Chart MVDA - DRGB Septiembre 2011 [75]

76 t1/u1 - Score plot t2/u2 - Score plot Indica una correlación alta entre Los factores y las respuestas; no parecen existir outliers. En general se observa una correlación alta entre los factores y las respuestas; puntos 6,11, 12 son como diferentes Intro PCA E -PCA PLS E - PLS Q Chart MVDA - DRGB Septiembre 2011 [76]

77 t/t score útil para encontrar desviaciones en X u/u plot útil para encontrar desviaciones en Y t/u plot útil para encontrar desviaciones de la correlación existente entre X e Y. Además es útil para desviaciones a la linearidad entre X e Y. DmodX/DmodY, muestra la distancia de cada observación al modelo en el espacio X/Y y pueden ayudar a detectar outliers moderados Intro PCA E -PCA PLS E - PLS Q Chart MVDA - DRGB Septiembre 2011 [77]

78 DMOD- distancia al modelo detect outliers moderados DMODX DMODY Intro PCA E -PCA PLS E - PLS Q Chart MVDA - DRGB Septiembre 2011 [78]

79 R2VX- variación explicada de los predictores X Primer Componente DMODY Intro PCA E -PCA PLS E - PLS Q Chart MVDA - DRGB Septiembre 2011 [79]

80 Hotelling, PCA

81 x 1 x 1 x2 Variables Independendientes x 2 Variables Dendendientes Intro PCA E -PCA PLS E - PLS Q Chart MVDA - DRGB Septiembre 2011 [81]

82 Hotelling T 2 T 2 = = n x x ' S 1 = x x Fase I uso de los gráficos de control para establecer control (obtener límites adecuados) LCS Fase II monitoreo de observaciones futuras LCS p( m 1)( n 1) F mn m p + 1 = α + p( m + 1)( n 1) F mn m p + 1 m = # de muestras, n = tamaño de muestra p = # de variables, p, mn m p 1 LCI = 0 LCI = α, p, mn m p+ 1 = 0 Intro PCA E -PCA PLS E - PLS Q Chart MVDA - DRGB Septiembre 2011 [82]

83 A B Intro PCA E -PCA PLS E - PLS Q Chart MVDA - DRGB Septiembre 2011 [83]

84 A B Xbar A X Bar B Var A Var B Cov (A,B) Corr(A,B) Average Promedios Varianzas Cov / Corr Intro PCA E -PCA PLS E - PLS Q Chart MVDA - DRGB Septiembre 2011 [84]

85 110 Scatterplot of B vs A B A Intro PCA E -PCA PLS E - PLS Q Chart MVDA - DRGB Septiembre 2011 [85]

86 Tsquared Chart of A, B T Square Tsquared UCL= Sample Median=1.36 LCL=0.00 MEAN1 MEAN COV Intro PCA E -PCA PLS E - PLS Q Chart MVDA - DRGB Septiembre 2011 [86]

87 Uno de los retos en estos gráficos cuando ocurre una señal de fuera de control es distinguir o diagnosticar cual o cuales de las variables son las que han cambiado su comportamiento. Entre los métodos sugeridos para el disgnóstico se encuentran: Gráficos Univariados usando límites Bonferroni Usar Componentes Principales Descomposición de T 2 d i = T 2 T 2 (i) donde T 2 (i) la estadística T 2 sin la variable I, valores de d i altos indican variables sospechosas Otro reto con estas variables es la estinmación de la matriz de covarianza y el vector de promedios Intro PCA E -PCA PLS E - PLS Q Chart MVDA - DRGB Septiembre 2011 [87]

88 Los gráficos de Control Multivariados son efectivos en la medida en que p, el número de variables del proceso a monitorearse no sea muy grande. A medida que p aumenta el ARL de detectar un cambio particular también aumenta, porque el cambio se diluye en el espacio dimesional de las p variables del proceso. Métodos para descubrir el subconjunto de variables que operan sobre el proceso se le conocen como Latent Structure Methods. Uno de estos métodos es el de componentes principales PCA siglas en inglés). Intro PCA E -PCA PLS E - PLS Q Chart MVDA - DRGB Septiembre 2011 [88]

89 X1 X2 X3 X Intro PCA E -PCA PLS E - PLS Q Chart MVDA - DRGB Septiembre 2011 [89]

90 Type: PCA-X Observations (N)=20, Variables (K)=4 (X=4, Y=0) Matrix Plot of X1, X2, X3, X4 Correlations: X1, X2, X3, X4 22 X X1 X2 X3 X X X X X X Intro PCA E -PCA PLS E - PLS Q Chart MVDA - DRGB Septiembre 2011 [90]

91 Principal Component Analysis: X1, X2, X3, X4 Eigenanalysis of the Correlation Matrix Eigenvalue Proportion Cumulative Variable PC1 PC2 PC3 PC4 X X X X Intro PCA E -PCA PLS E - PLS Q Chart MVDA - DRGB Septiembre 2011 [91]

92 Z1 Z2 Z3 Z Intro PCA E -PCA PLS E - PLS Q Chart MVDA - DRGB Septiembre 2011 [92]

93 Intro PCA E -PCA PLS E - PLS Q Chart MVDA - DRGB Septiembre 2011 [93]

94 Variables Originales Z Scores X1 X2 X3 X4 Z1 Z Intro PCA E -PCA PLS E - PLS Q Chart MVDA - DRGB Septiembre 2011 [94]

95 Intro PCA E -PCA PLS E - PLS Q Chart MVDA - DRGB Septiembre 2011 [95]

96 Hotelling T2 monitoreo multivariado Pesos señal de fuera de control obs. 23 Intro PCA E -PCA PLS E - PLS Q Chart MVDA - DRGB Septiembre 2011 [96]