CONTENIDOS PROGRAMÁTICOS FECHA: Tunja, Enero de 2006 PROGRAMA ACADÉMICO MATEMÁTICAS SEMESTRE V ASIGNATURA TEORÍA DE ANILLOS Y CUERPOS CÓDIGO 8106437 INTENSIDAD HORARIA SEMANAL 4 créditos TUTORIA 3 Horas SALÓN 1.JUSTIFICACIÒN OBJETIVOS Continuando con el concepto de Estructura heredado de Bourbaki nos topamos con el estudio de las estructuras denominadas anillos y cuerpos, éstas se construyen a partir de un conjunto de objetos dotadas de dos operaciones y dichos objetos satisfaciendo una serie de axiomas. En particular el estudio de los cuerpos, sus relaciones y propiedades fundamentales nos dan las herramientas para culminar en la teoría de Galois. Ésta teoría nos dice porque una ecuación de grado quinto no tiene raíces expresables en radicales. Además la teoría de Galois establece en uno de sus teoremas fundamentales la relación biunívoca entre cuerpos intermedios y grupos conformados por la permutación de ciertas raíces de polinomios. 2. OBJETIVO GENERAL Introducir al estudiante en otro tipo de Estructura Algebraica(los anillos y cuerpos). Explicitar el hecho de porque las ecuaciones de grado quinto o mayor no son solubles por radicales y contextualizar éste resultado.
3.OBJETIVOS ESPECÍFICOS - Establecer el concepto de anillo y cuerpo y dar algunos ejemplos. - Determinar nuevos anillos, como lo es el anillo cociente. - Construir algunos anillos en particular que son de gran importancia, como el anillo de polinomios - Presentar el concepto de homomorfismo y los teoremas de isomorfismos y correspondencia pero en el contexto de los anillos. - Estudiar el concepto de dominio entero y algunos tipos especiales de dominios como lo son: Dominios Euclídeos, dominio de ideales principales y dominios de factorización única. - Hacer una introducción a las extensiones de cuerpos. - Presentar de una manera clara los fundamentos de la teoría de Galois. 4. COMPETENCIAS Identifica y verifica proposiciones fundamentando ejemplos y contra-ejemplos. Comprende situaciones problémicas susceptibles de modelación. Formula, modela y resuelve problemas. Genera incertidumbre y conjeturas Descubre regularidades a través de hechos comparables. Artícula conceptos descriptivos y comparativos. Interpreta textos de contenido matemático.
5. CONTENIDO SINTÈTICO 1. Anillos. Definiciones y ejemplos. Ideales. Ideales maximales y primos. Homomorfismos. Teoremas de Isomorfismos y correspondencia. 2. Factorización única. Anillo de polinomios. Dominios Euclídeos. Dominios de Ideales principales. Dominios de factorización única. 3. Extensiones de Cuerpos Cuerpos. Extensiones de cuerpos. Extensiones algebraicas y trascendentes. Cuerpos finitos. Teorema fundamental. Cuerpos de Ruptura. Clausura Algebraica. Extensiones simples, separables y normales. 4. Teoría de Galois Grupo de Galois de un polinomio. Separabilidad. Extensiones ciclotómicas. Extensiones por radicales. La ecuación general de grado n. Teorema de Abel.
6. EVALUACIÒN La evaluación tiene como estrategia el logro de las competencias. Por cada uno de los tipos de competencias se propondrán problemas y se indicaran las fortalezas que el alumno adquiere en cada una de ellas, a saber: en el conocer, obrar y comunicar. En las competencias formativas, se busca evaluar que el estudiante tenga conocimiento de la teoría y de la información básica, identifique y comprenda conceptos y principios modulares, y los planteamientos de teorías y los principales desarrollos de las disciplinas. En las competencias interpretativas, se evaluará la capacidad de comprender el contenido y significado de las fuentes, su alcance según los criterios de interpretación y comprensión fáctica, base para identificar acertadamente el problema. En las competencias analíticas se valorará la capacidad para ordenar, clasificar y subordinar los elementos conceptuales del conocimiento matemático. En la aplicación práctica se examinará la capacidad para adecuar los razonamientos a casos o problemas concretos y solucionar problemas específicos. 7. ESTRATEGIA METODOLÓGICA Exposición magistral por parte del profesor y participación masiva de los estudiantes previa lectura del contenido del tema. Lecturas complementarias, talleres en casa, previas cortas. Las actividades didácticas se marcan en procesos heurísticos para la solución de problemas. 8. BIBLIOGRAFIA Texto Guía 1. J. B. Fraleigh, A first course in Abstract Algebra, 2 edition, Addison- Wesley, 1982. Textos de Consulta 2. I. N. Herstein, Topics in Algebra, 2 edition, John Wiley, New York, 1975. 3. S. Lang, Algebra, Addison-Wesley, Menlo Park, 1984. 4. T. W. Hungerford, Algebra, Springer-Verlag, 1989. 5. Van der Waerden, Algebra, Vol I, II, Springer, New York, 1991 6. K. Spindler, Abstract Algebra with applications, Vol I, II, Marcel Dekker, New York, 1994. 9. RECURSOS Recursos Didácticos: Aula de clase, tablero, bibliotecas, Sala de Computadores, talleres e Internet. 10. PROFESOR VÍCTOR EDUARDO MARÍN COLORADO Aprobó Comité Curricular
Vicerrectoría Académica