2º achillerato Física Tema 2. Campo eléctrico 1. Introducción CMPO ELÉCTRICO Parece ser que fueron los antiguos griegos, y concretamente Tales de Mileto (624-543 a.c.), los primeros en observar los fenómenos eléctricos. Comprobaron como una barra de ámbar, después de ser frotada con lana, adquiría la propiedad de atraer otros cuerpos ligeros próximos a ella. Este hecho, y otros han puesto de manifiesto, la existencia de un nuevo tipo de interacción, distinta de la gravitatoria, que es la denominada interacción eléctrica. Tanto el ámbar como la lana adquieren una nueva propiedad que llamamos carga eléctrica, siendo ésta la responsable de la nueva interacción. Experimentalmente se comprueba que existen dos tipos de cargas, positiva y negativa, las cargas del mismo signo se repelen, mientras que las de distinto signo se atraen. La carga, como la masa, es una propiedad característica de la materia, generalmente los cuerpos que nos rodean se presentan en estado eléctricamente neutro, debido a que la carga positiva (protones) del núcleo de los átomos La carga se conserva. La carga total de un sistema aislado no varía. En un proceso de electrización no hay creación de carga eléctrica, simplemente hay transición de carga eléctrica de un cuerpo a otro. La carga está cuantizada. Cualquier valor de la carga es un múltiplo de una carga elemental e = 1,6.10-19 C, siendo esta la carga del electrón ( o la del protón). Es la interacción eléctrica (más exactamente la electromagnética) la responsable de la estabilidad de la materia. 2. Interacción eléctrica: Ley de Coulomb Las primeras experiencias tendentes a medir la fuerza de atracción o repulsión entre cargas eléctricas puntuales se deben a Charles. Coulomb (1736-1806), utilizando una balanza de torsión, semejante a la de Cavendish, llegó a la siguiente conclusión: La interacción eléctrica entre dos cargas puntuales, q 1 y q 2, separadas una distancia r, es directamente proporcional al producto de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. F =k q 1. q 2 r 2 F + q 1 r + q 2 F siendo k la constante de proporcionalidad, cuyo valor depende del medio en que estén las cargas. En el vacío tiene el valor en el SI de, 9.10 9 N.m 2 /C 2.
2º achillerato Física Tema 2. Campo eléctrico 1 Dado de k depende del medio es conveniente expresarla en la forma k = 4πε, para 1 un medio cualquiera, y k=, para el vacío. Siendo la constante dieléctrica del 4πε 0 medio (o permitividad eléctrica) en que están las cargas y o es la constante dieléctrica del vacío. ε o, vale: 8,854.10-12 C 2 /N.m 2. La ley de Coulomb quedaría en la forma: F = 1 q 1.q 2 4πε 0 r2 en el vacío La unidad de carga en el Sistema Internacional es el coulomb, se designa por el símbolo C, al igual que otras unidades, se define arbitrariamente, pero no a partir de la ley de Coulomb, sino a partir de la corriente eléctrica, en función del mperio. El coulomb se define como la cantidad de carga eléctrica que fluye a través de la sección de un conductor durante 1 segundo cuando la corriente es de 1 mperio. En la mayor parte de los problemas de electrostática es una unidad demasiado grande. Para hacernos una idea de lo que es un coulomb; en la descarga de una tormenta, un rayo transporta aproximadamente 1 coulomb, entre una nube y la Tierra. Por esta razón se utiliza el microcoulomb ( C) cuya equivalencia es: 1 C = 10-6 C. Vamos a darle carácter vectorial a esta ley, en una de las cargas se supone el origen de coordenadas, q 1, y se busca la fuerza que hace la otra, q 2. u F F = k (+ q 1 ).( q 2 ) r 2 u + q 1 - q 2 u + q 1 + q 2 F F = k (+ q 1 )(+ q 2 ) r 2 u En la fórmula se ponen las cargas con su signo. Entonces si las dos cargas son positivas o las dos negativas, la fuerza F tendrá el mismo sentido que u (la fuerza es repulsiva), mientras que, si las dos cargas son de signo contrario, F tendrá sentido opuesto a u, y se tratará de una fuerza atractiva.
2º achillerato Física Tema 2. Campo eléctrico l calcular el módulo de la fuerza no se pone el signo de las cargas. Principio de superposición: La interacción que ejercen entre sí dos cargas puntuales es independiente de la presencia de otras cargas. Supongamos, cuatro cargas puntuales positivasq 1,q 2, q 3 yq. La fuerza resultante sobre otra carga q debida a las cargas q 1, q 2, q 3 es igual a la suma vectorial de las fuerzas ejercidas por cada una sobre la carga q. F = F 1 +F 2 + F 3 = F i 3. El campo eléctrico l igual que para la interacción gravitatoria, para explicar las interacciones entre cargas eléctricas introducimos ahora el concepto, de campo eléctrico. Supongamos una carga q 1,y alrededor de ella colocamos, en diferentes posiciones, otra carga q 2. En cada posición la carga q 2 experimenta una fuerza debida a su interacción eléctrica con q 1. Es decir, toda carga q, crea en el espacio que la rodea, una situación física que llamamos un campo eléctrico, y se reconoce por la fuerza que q ejerce sobre cualquier otra carga, colocada en dicha región. Un campo eléctrico queda determinado por tres elementos: - intensidad de campo eléctrico en cada uno de sus puntos. - líneas de fuerza o líneas de campo. - potencial eléctrico en cada uno de sus puntos. Se define la intensidad de campo eléctrico en un punto del espacio, como la fuerza eléctrica que hace el campo por unidad de carga de positiva colocada en ese punto. El símbolo que se acostumbra emplear es E. Por lo tanto: E = F q, su unidad en el S.I es N C, o usando las unidades fundamentales, kg.ms-2.c -1.
2º achillerato Física Tema 2. Campo eléctrico De la definición se deduce que la fuerza eléctrica: F = q,. E Si q, es positiva, la fuerza F que actúa sobre la carga tiene el mismo sentido del campo E pero si q, es negativa, la fuerza F tiene el sentido opuesto a E. Teniendo en cuenta la ley de Coulomb, el campo eléctrico creado por una carga puntual q en un punto p, que dista r de ella, viene dado por la siguiente expresión: p E E = F q, = k q.q, r 2 u q, = k q r 2 u u (+) q r (la carga se pone con su signo) Esta expresión confirma que el campo eléctrico disminuye con el cuadrado de la distancia, lo mismo que el campo gravitatorio. Es un campo de fuerzas centrales y, por tanto conservativo. Para hallar en un punto, el campo creado por un conjunto de cargas puntuales q 1, q 2, q 3,... aplicamos el principio de superposición y obtenemos que el campo resultante es la suma vectorial de los campos creados por cada una de las cargas: E = E 1 + E 2 + E 3 +.. = E i El campo eléctrico, al igual que en el caso del campo gravitatorio, se representa gráficamente mediante las llamadas líneas de campo o líneas de fuerza. Tienen dos características: 1. se dibujan de tal manera que el campo, E sea tangente a ella en cada punto. 2. el número de líneas por unidad de superficie normal a las mismas se hace igual al valor del campo. Las líneas de campo nunca se pueden cortar, de lo contrario, en el punto de corte existirían dos vectores campo distintos.
2º achillerato Física Tema 2. Campo eléctrico Para una carga puntual son líneas radiales, alejándose de ésta si es positiva (manantiales de líneas de fuerza) o acercándose a ella, si es negativa( sumideros de líneas de fuerza). Todas las líneas de fuerza de una carga + comienzan en la carga positiva y mueren en una negativa. Para el caso de dos cargas puntuales de igual valor, las líneas de fuerza son las indicadas a continuación, según se trate de cargas de distinto signo o de igual signo. Si el campo es uniforme, las líneas de campo son rectas paralelas. Se dice que un campo es uniforme, cuando el vector intensidad de campo electrico,e tiene la misma intensidad, dirección y sentido en todos sus puntos. Es el caso del campo que existe entre dos laminas metalicas planas, paralelas y muy próximas cargadas cada una de signo contrario (condensador plano)..
2º achillerato Física Tema 2. Campo eléctrico Si en un campo eléctrico se abandona una carga positiva, esta se moverá bajo la acción del campo siguiendo una línea de campo. Por ello las líneas de campo son las trayectorias que sigue una carga positiva abandonada en reposo en el interior del campo. 4. Carácter conservativo de la fuerza eléctrica. Energía potencial eléctrica Cuando una fuerza es conservativa, el trabajo sólo depende de la posición inicial y final. La fuerza electrostática es central, por lo tanto, es conservativa. Vamos a demostrar que la F e, es conservativa: + q u +q, u F dr Supongamos una carga eléctrica, q, positiva, crea un campo eléctrico, calculamos el trabajo que hace la F e del campo al trasladar otra carga q,, también + desde un punto a otro. W = F. dr = k q. q, r 2 u. dr = k q. q, r 2 dr = u. dr = 1. dr. cos 0 = dr (módulo del dr = desplazamiento. = k q. q, 1 r 2 dr = k q. q, [ - 1 ] r r r = k q.q, r2 - k q.q, r2 el trabajo no depende del camino, sólo de r y r. Puede definirse una energía potencial eléctrica, de forma que el trabajo realizado por la fuerza eléctrica para trasladar una carga, q,, entre dos puntos y, es igual a la diferencia de valores de la energía potencial de esa carga q, entre esos dos puntos y : W = F.dr = Ep Ep = - Δ Ep Esta expresión indica que no es posible medir energías potenciales, sino diferencias de energías potenciales, a menos que se elija arbitrariamente un punto del campo como referencia al cual le asignamos el valor de cero a la energía potencial. signamos r =, Ep = 0, el valor cero, al. Si lo relacionamos con el resultado anterior: W = F.dr = Ep Ep = k q.q, r 2 - k q.q, r 2 Si se encuentre en el, se llega a la expresión: W = Ep - Ep = Ep 0 = k q. q, r ;
2º achillerato Física Tema 2. Campo eléctrico Ep = k q. q, r De esta forma, podemos definirla energía potencial eléctrica de una carga q, situada en un punto de un campo eléctrico, es igual al trabajo que hace el campo para trasladarla desde ese punto hasta el infinito. El trabajo será positivo cuando lo haga el campo y negativo cuando lo realizan las fuerzas externas en contra del campo. Si la fuerza F es repulsiva, q y q, tienen el mismo signo la energía potencial es positiva, mientras que si la fuerza es atractiva, q y q, tienen distinto signo la energía potencial es negativa. Ep = k (+ q).( q, ), negativa para las cargas de distinto signo. r Ep = k (+ q)(+ q, ) r, positiva para cargas de igual signo. 5. Potencial eléctrico La otra magnitud fundamental en la descripción del campo eléctrico es el potencial eléctrico. El potencial eléctrico creado por una carga q en un punto es la energía potencial eléctrica por unidad de carga positiva colocada en ese punto. V = Ep q, El potencial creado por una carga a su alrededor viene dado por: V = k q r Si qe negativa, V = k q r, es negativo Si q es positiva, V = k +q r, es positivo El potencial eléctrico se mide en Joule/coulomb, J unidad que recibe el nombre de volt C (voltio), abreviado V. En función de las unidades fundamentales,v = kg.m. s -2. C -1. Con el concepto de energía potencial, W = Ep - Ep, y de potencial eléctrico, V = Ep, podemos relacionar la diferencia de potencial eléctrico entre dos puntos con el q, trabajo hecho por la fuerza eléctrica.
2º achillerato Física Tema 2. Campo eléctrico Si dividimos los dos miembros de la igualdad por el mismo valor de q, esta no varía, quedando: W q, = Ep q, - Ep q, = V - V = - ( V - V ) = - ΔV; ΔV= V V = - W Esto nos permite decir que la diferencia de potencial entre dos puntos de un campo eléctrico, es el trabajo cambiado de signo que realiza el campo para trasladar la unidad de carga positiva entre esos dos puntos. Si el punto está en el : W = V q, V y como V = 0 ; V = W q, partir de este resultado, también puede definirse el potencial eléctrico en un punto como el trabajo que hace el campo para llevar la unidad de carga positiva desde dicho punto hasta el infinito. Por otra parte, el trabajo que realiza el campo para trasladar una cargaq, entre dos puntos es: W =q, ( V V ) = - q, ( V V ) Las cargas positivas se desplazan espontáneamente hacia potenciales menores y las negativas hacia potenciales mayores. Si en cierta región hay varias cargas puntuales q 1, q 2, q 3,..., el potencial eléctrico en un punto es la suma algebraica de los potenciales debidos a cada una de las cargas puntuales. O sea: V = V 1 + V 2 + V 3 +... Las superficies equipotenciales son el lugar geométrico de los puntos del campo que tienen el mismo potencial. En el caso de una carga puntual son esferas concéntricas que tienen por centro la carga. q,
2º achillerato Física Tema 2. Campo eléctrico Dos superficies equipotenciales no se pueden cortar, ya que en los puntos de corte habría dos valores de potencial. El trabajo necesario para trasladar una carga q, a lo largo de cualquiera de estas superficies es nulo, ya que: W = - q,. V ; V = 0, implica que W = 0 Tanto la intensidad de campo eléctrico como el potencial eléctrico son dos formas distintas y complementarias de describir la interacción eléctrica. Por tanto debe existir una relación campo-potencial. La relación entre el campo y el potencial es: F. dr = - ΔEp = - (Ep Ep ) dividiendo los dos miembros por q, Ep q, - Ep q, = - F q, Para variaciones infinitesimales:. dr implica V V = - E dv = - E. dr. dr - ΔV = E Las líneas de campo son perpendiculares a las superficies equipotenciales, ya que: Para un condensador plano: E. dr = - V ; V = 0, implica que E es perpendicular a dr E. dr = E dr cos α = 0 cos α = 0 α = 90. dr V E V + dr - + - V V = E. dr = E.dr cos 0 = E. d + - d E = σ ε o ; σ = densidad de carga superficial
2º achillerato Física Tema 2. Campo eléctrico 6. Concepto de flujo eléctrico Es una medida del número neto de líneas de campo que atraviesan una superficie. Si es positivo indica que las líneas de campo salen y si es negativo, que entran. Cuando el vector campo eléctrico E es constante en todos los puntos de una superficie S, se denomina flujo eléctrico al producto escalar del vector campo por el vector superficie. E ϕ E. S = E. S cos S El vector superficie S es un vector que tiene por módulo el área de dicha superficie, la dirección es perpendicular. Cuando el vector campo E y el vector S son perpendiculares elflujo es cero. Si ahora el campo no es uniforme, varia tanto en modulo como en dirección, y suponemos una superficie dentro de ese campo. Para hallar el Flujo en este caso dividimos la superficie en elementos, ds de superficie de manera que en cada uno de ellos el campo eléctrico E es constante. El Flujo elemental d ϕ es: dϕ E. ds ds ds E Y el flujo total se calcula como la integral a lo largo de toda la superficie: ϕ S E. ds. 7. Teorema de Gauss. plicaciones En la práctica, los campos eléctricos son creados por cargas distribuidas sobre superficies de cuerpos de tamaño finito y no por cargas puntuales. El cálculo de E hay que hacerlo utilizando el principio de superposición: sumatorio de los E creados por los elementos de carga dq. veces no es fácil resolver la integral que resulta. Sin embargo si los cuerpos cargados poseen algún tipo de simetría, se puede simplificar aplicando el llamado teorema de Gauss. Este teorema relaciona el flujo eléctricoa través de una superficie cerrada conla carga neta incluida dentro de la superficie.
2º achillerato Física Tema 2. Campo eléctrico q 2 q 1 Teorema de Gauss : El flujo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual a la carga neta que existe en el interior de la superficie dividido por la constante dieléctrica del medio. q 3 ϕ = E. ds = q dentro ε o = q i ε o El flujo originado por la carga q 3, que esta fuera de la superficie es cero, debido a que cada linera de fuerza procedente de q 3 que entra en la superficie en un punto abandona la misma en algún otro punto. plicaciones del teorema de Gauss: 1. Conductor cargado y en equilibrio Se llama conductores a los cuerpos o sustancias que poseen cargas que pueden moverse libremente siempre que sobre ellas se ejerza una fuerza mediante un campo eléctrico. En los metales (conductores de primera especie) estas cargas libres son los electrones. En los electrolitos (NaCl, conductores de segunda especie) son iones + y -. Un importante resultado de la ley de Gauss, es que siempre que se cargue un conductor, las cargas van a ir la superficie. En efecto, si el conductor está cargado, aislado y en equilibrio, el campo en su interior ha de ser nulo, pues de no serlo las cargas libres se desplazarían bajo su influencia en contra de la hipótesis de equilibrio electrostático. Por tanto si E = 0, aplicando el teorema de Gauss, s E. ds = q/ o,se deduce q = 0 en el interior del conductor. E = 0 S Conductor El único lugar en el que puede estar la carga para que no esté en contradicción con la ley de Gauss, es sobre la superficie del conductor. En un conductor cargado y en equilibrio las cargas van a la superficie y el campo en su interior es nulo.
2º achillerato Física Tema 2. Campo eléctrico Este hecho hace que sea necesario introducir el concepto de densidad superficialde carga,, que es el cociente entre la carga y la superficie. Si el conductor es esférico, la carga Q se distribuye uniformemente sobre la superficie con una densidad de carga = Q /4 R 2. Si el conductor cargado es irregular, la densidad de carga, es mayor en las puntas que en las regiones más planas( efecto puntas agudas) En un conductor plano (o esférico) la carga se reparte bien Y equidistante entre si al repelerse. Pero en un pico, Por la parte de arriba tendería a irse Hacia el pico, y se mantiene porque no tiene del pico hacia la derecha Nadie que la repele. Como E, resulta que el campo eléctrico creado por un conductor será mucho más intenso en las proximidades de sus (posibles) puntas. Este es, por ejemplo, el fundamento del pararrayos. El blindaje o protección electrostática se fundamenta en el hecho de que la carga de un conductor se encuentra en la parte más externa de él. Cuando se quiere proteger de cualquier perturbación electrostática externa un aparato delicado, basta rodearlo de una pantalla metálica conectada a tierra( jaula de Faraday). De esta forma el campo en el interior se siempre nulo, por muy intensos que sean los campos externos. Por otro lado el campo eléctrico,e en su superficie debe ser normal a la superficie, pues de lo contrario existiría una componente del campo tangencial, que movería las cargas paralelamente a la superficie rompiendo la situación. 2. Campo eléctrico creado por una esfera conductora cargada en un punto exterior (de carga Q y radio R) Para que la ley de Gauss permia el cálculo sencillo dee, es necesario gracias a la simetría del problema que exista una superficie matemática S, llamada superficie gaussiana para que E sea al menos en modulo constante, y de esa manera poder sacarlo de la integral. a La simetría del problema sugiere que el campo en cada punto debe ser radial y depender sólo de la distancia r del punto al centro de la esfera. Entonces tracemos una superficie de radio r concéntrica con la esfera cargada. Esfera conductora E ds Superficie El flujo a través de la superficie esférica es:
2º achillerato Física Tema 2. Campo eléctrico s E.dS = s E ds cos = s E.dS = E. 4 r 2 ( = 0º) También sabemos por el teorema de Gauss: s E.dS = Q ε 0 (Q es la carga de la esfera) De ambas expresiones se deduce: E = 1 4πε 0 Q Esfera r 2 Podemos observar que el resultado es idéntico al encontrado por la ley de Coulomb para una carga puntual. sí pues, el campo creado por una esfera cargada en puntos exteriores es el de una carga puntual situada en el centro de la esfera y con una carga Q = Q esfera. Ptos exteriores: E= 1 4πε 0 Q Esfera r 2 Esfera conductora cargada V = Ptos interiores: E = 0 1 4πε 0 Q Esfera r V = cte = V Superficie = 1 4πε 0 (superficie equipotencial) Q Esfera R
2º achillerato Física Tema 2. Campo eléctrico TEM 2: CMPO ELÉCTRICO 1. Introducción 2. Interacción eléctrica. Ley de Coulomb 3. El campo eléctrico 4. Carácter conservativo de la fuerza eléctrica. Energía potencial eléctrica 5. Potencial eléctrico 6. Concepto de flujo eléctrico 7. Teorema de Gauss. plicaciones plicaciones del teorema de Gauss: 1. Conductor cargado y en equilibrio 2. Campo eléctrico creado por una esfera conductora cargada en un punto exterior (de carga Q y radio R)
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