UNIVERSIDAD JOSÉ ANTONIO PÁEZ FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA DE INGENIERIA MECÁNICA MECÁNICA DINÁMICA SECCIÓN 204N1 CINEMÁTICA DE CUERPOS RÍGIDOS (Parte I) (Contenido correspondiente a parcial #3)
CINEMÁTICA DE CUERPOS RÍGIDOS 4.1: Qué es un cuerpo rígido? Un cuerpo rígido se define como aquel que no sufre deformaciones por efecto de fuerzas externas, es decir, un sistema de partículas cuyas posiciones relativas no cambian. Un cuerpo rígido es una idealización que se emplea para efectos de estudios a este nivel. En otras palabras, se entiende por cuerpo rígido a aquel cuya forma no varía pese a ser sometido a la acción de fuerzas externas. Eso supone que la distancia entre las diferentes partículas que lo conforman resuelta invariable a lo largo del tiempo. Sin embargo, en la realidad todos los cuerpos se deforman, aunque sea de forma mínima al ser sometidos al efecto de una fuerza externa. Por lo tanto, las máquinas y estructuras reales nunca pueden ser consideradas absolutamente rígidas.
En qué consiste la cinemática de partículas? La cinemática de cuerpos rígidos se encarga del estudio de las relaciones existentes entre el cuerpo, las posiciones, las velocidades y las aceleraciones de las diferentes partículas que forman un cuerpo rígido. 4.2: Posibles movimientos de un cuerpo rígido TRASLACIÓN MOVIMIENTOS POSIBLES DE UN CUERPO RÍGIDO EN EL PLANO EN EL ESPACIO ROTACIÓN ALREDEDOR DE UN EJE FIJO MOVIMIENTO PLANO GENERAL ROTACIÓN ALREDEDOR DE UN PUNTO FIJO MOVIMIENTO GENERAL
MOVIMIENTOS EN EL PLANO DE UN CUERPO RÍGIDO 4.2.1: Traslación: Este tipo de movimiento ocurre cuando toda línea recta que pertenezca al cuerpo en estudio mantiene la misma dirección durante el movimiento. También, puede observarse que en la traslación todas las partículas que constituyen el cuerpo se mueven a lo largo de trayectorias paralelas. Si estas trayectorias son líneas rectas, se afirma que el movimiento es una traslación rectilínea; si las trayectorias so líneas curvas, el movimiento es una traslación curvilínea.
Es importante tener en cuenta que cuando un cuerpo rígido experimenta un movimiento de traslación, en cualquier instante considerado, todos los puntos de dicho cuerpo tienen la misma velocidad y aceleración. Además, en el caso de la traslación rectilínea, las direcciones de la velocidad y aceleración de todas las partículas serán las mismas durante el movimiento. Adicionalmente, en la traslación curvilínea, la velocidad y aceleración cambian su dirección y magnitud en cada instante del movimiento.
r B = ra + rb/a
r B = ra + rb/a ;derivando con respecto al tiempo De lo anterior se puede deducir que el vector de posición relativa de B con respecto a A, se mantiene siempre constante a lo largo del movimiento, por lo tanto: d rb dt = d ra dt + d rb/a dt v B = v A a B = a A
MOVIMIENTOS EN EL PLANO DE UN CUERPO RÍGIDO 4.2.2: Rotación alrededor de un eje fijo: Este movimiento es aquel en el que las partículas que forman el cuerpo rígido se mueven en planos paralelos a lo largo de círculos centrados sobre el mismo eje fijo, llamado eje de rotación. Cuando este eje interseca al cuerpo rígido, las partículas localizadas SOBRE el eje tienen velocidad cero y aceleración cero. Debido a que cada partícula se mueve en un plano determinado, se afirma que la rotación del cuerpo alrededor de un eje fijo es un movimiento plano.
4.2.2.1: Conceptos básicos
Donde: P: punto perteneciente al cuerpo rígido. B: proyección del punto P sobre el eje de rotación del cuerpo rígido. : vector de posición del punto P con r respecto al origen de un sistema de referencia fijo. : vector de posición del punto P con BP respecto al centro del plano al que pertenece. θ: posición angular del vector BP. Φ: ángulo formado entre el vector de posición r y el eje de rotación del cuerpo rígido. : velocidad angular ω : vector velocidad en el punto P v BP = r sin
4.2.2.2: Rotación alrededor de un eje fijo. Aceleración angular constante: Cuando la aceleración es constante, es decir, α=αc entonces al integrar las ecuaciones se obtiene un conjunto de fórmulas que relacionan la velocidad angular, la posición angular, la posición angular de un cuerpo y el tiempo. Dichas ecuaciones son similares a las desarrolladas para movimiento rectilíneo uniforme en la unidad I. Dichas ecuaciones son las siguientes: ω = ω 0 + α 0 t θ = θ 0 + ω 0 t + 1 2 α c t 2 ω 2 = ω 0 2 + 2 α c θ θ 0
4.2.3: Movimiento de un punto P perteneciente a un cuerpo rígido: Cuando un cuerpo rígido gira, un punto perteneciente a dicho cuerpo (denominado P) se desplaza a lo largo de una trayectoria circular de radio r con centro en el punto B. Para determinar el desplazamiento del punto analizado, se puede observar en la imagen que, al asumir un desplazamiento angular diferencial del vector BP, la longitud del arco descrito se calcula como: ds = BP dθ ds = r sin dθ
Si se divide la expresión anterior entre dt, se obtiene: ds dt = r sin dθ dt v = r sin ω v = ω r sin reordenando : recordando el concepto de producto vectorial, entonces : v = ω x r VELOCIDAD DE UN PUNTO PERTENECIENTE A UN CUERPO RÍGIDO
El vector velocidad del punto P que se analiza, viene dado por: v = d r dt = ω x r v = ω x r Por su parte, sabiendo que la aceleración se define como la derivara de la velocidad con respecto al tiempo, se tiene que: a = d v dt = d ω x r dt = d ω dt x r + ω x d r dt donde: a = α x r + ω x ω x r Velocidad angular: ω = ω k Aceleración angular: α = α k
MOVIMIENTOS EN EL PLANO DE UN CUERPO RÍGIDO 4.2.4: Movimiento plano general: Cuando un cuerpo se somete a un movimiento plano general, experimenta una combinación de traslación y rotación. Las traslación se presenta en un plano de referencia, mientras que la rotación se desarrolla alrededor de un eje perpendicular al plano de referencia.