puntes teóricos ño 2013 RECURSION Veremos un nuevo mecanismo, una nueva técnica de diseño, para resolver problemas: L RECURSIÓN. La recursión es una alternativa a la iteración o repetición, y aunque en tiempo de ejecución y espacio de memoria ocupada la solución recursiva es menos eficiente que la iterativa, existen numerosas situaciones en las que la recursividad provee una solución más simple y natural a un problema. La recursividad es una herramienta potente y útil que la aplicaremos: - en la resolución de problemas que tengan naturaleza recursiva - en reemplazo de la iteración cuando el lenguaje de programación elegido NO posea ninguna estructura de control repetitiva - cuando la solución iterativa sea de gran complejidad respecto de la solución recursiva Qué es recursión? Es una técnica que realiza una tarea T, haciendo otra tarea T de la misma naturaleza que T, pero en algún sentido más pequeña que la original. De esta forma, un algoritmo recursivo expresa la solución de un problema de tamaño N, en términos de una llamada o invocación a sí mismo. Cada invocación se plantea sobre problemas de igual naturaleza que el original, pero de un tamaño menor que N. l ir reduciendo progresivamente la complejidad del problema a resolver, llegará un momento en que la resolución será trivial y directa. Esta última situación se denomina caso base. La forma en que se va reduciendo el tamaño del problema original asegura que el caso base se alcance y por consiguiente, se llegue a la solución esperada. Un algoritmo recursivo (procedimiento o función) presenta las siguientes 3 características: - se autoinvoca dentro de su propia definición, es decir se llama a sí mismo dentro de su cuerpo (al menos una vez) - presenta al menos un caso base o especial, donde se llevan a cabo acciones distintas que aseguran la finalización del proceso y la obtención de la solución - en cada autoinvocación se resuelve un problema de igual naturaleza que el original pero de menor tamaño. La reducción del tamaño del problema asegura que se alcance el caso base. Se deben hacer cuatro preguntas para construir una solución recursiva: 1.- Cómo representar el problema T en términos de un problema T del mismo tipo, pero más pequeño. 2.- Cómo reducir, en cada llamada recursiva, el tamaño del problema. 1
puntes teóricos ño 2013 3.- Qué instancia del problema sirve como caso base. 4.- Qué manera de reducir el problema nos asegura que siempre será alcanzado el caso base. pliquemos estas preguntas en el siguiente ejemplo: consideremos el problema de buscar una palabra en un diccionario. Una búsqueda binaria se puede formular como: /*Buscar una palabra en el diccionario*/ Si diccionario tiene una sola página entonces Ubicar la palabra en esa página brir diccionario en punto cercano a la mitad Determinar a que mitad pertenece la palabra Si la palabra pertenece a la primera mitad entonces Buscar la palabra en la primera mitad del diccionario Buscar la palabra en la segunda mitad del diccionario La solución que hemos planteado está a un alto nivel de desarrollo, no nos interesa ahora entrar en detalles de implementación. Lo que nos interesa es examinar la estrategia de esta solución. Hemos reducido el problema de buscar una palabra en el diccionario a buscarla en una mitad del mismo. Buscar en el diccionario Buscar en la primera mitad del diccionario Buscar en la segunda mitad del diccionario - Una vez dividido el diccionario, está claro cual será la mitad en la que debemos buscar y se buscará utilizando la misma estrategia. - Hay un caso especial, que se maneja distinto de los demás, es el caso en que el diccionario ha sido dividido tantas veces que tiene sólo una página. En este punto el problema es suficientemente pequeño y se puede resolver directamente. Este caso especial se llama caso base. 2
puntes teóricos ño 2013 Podemos ver esta forma de resolver problemas como dividir y conquistar: el problema se resolvió primero dividiendo el diccionario en dos mitades y luego conquistando la mitad apropiada. El problema más pequeño se resuelve aplicando la misma estrategia. Escribimos la solución como un procedimiento para resaltar algunas observaciones importantes. Procedimiento Buscar (dic, pal) Si diccionario tiene una sola página entonces Ubicar la palabra en esa página brir diccionario en punto cercano a la mitad Determinar a que mitad pertenece la palabra Si la palabra pertenece a la primera mitad entonces Buscar (primera mitad del dic, pal) Buscar (segunda mitad del dic, pal) Observaciones: 1.- Una de las acciones de este procedimiento es llamarse a sí mismo. Es decir, el procedimiento BUSCR es llamado desde adentro del procedimiento BUSCR. Esto es lo que hace una solución recursiva. 2.- Cada llamada BUSCR (diccionario, pal) pasa un diccionario de la mitad de tamaño que el anterior. Es decir en cada llamada recursiva el tamaño del diccionario se reduce. El problema de la búsqueda está siendo resuelto, resolviendo otra de igual naturaleza pero más pequeño en tamaño. 3.- Hay un problema de búsqueda que resuelve en forma diferente. Cuando el diccionario tiene una sola página, se resuelve por otro método (aquí se busca directamente), este es el caso base. Cuando se alcanza el caso base, las llamadas recursivas se detienen y el problema se resuelve directamente. Lo importante es que la manera en la cual el tamaño del problema disminuye, asegura que el caso base será alcanzado. Cómo funciona la recursión en memoria?. Traza de ejecución: método de la caja Para analizar esta técnica de diseño desde el punto de vista del uso de memoria veamos los siguientes ejemplos. 3
puntes teóricos ño 2013 Ejemplo 1: Cálculo del Factorial, se elige porque es fácil de entender y se ajusta perfectamente al modelo dado. Definición iterativa del factorial (con n entero positivo): FCT (n) = n * (n-1) * (n-2) *...* 1 FCT (0) = 1 y el factorial de un número negativo es indefinido. Todos sabemos construir una solución iterativa para este problema basándonos en esta definición. También podemos construir un solución recursiva del factorial: FCT (n) = n * FCT (n - 1) Esta definición carece de un elemento importante, el caso base. Como en el diccionario, un caso debe definirse diferente de todos los demás, de lo contrario la recursión nunca se detiene. El caso base en la recursión es el Factorial (0) el que se define simplemente como 1. Dado que n se asume positivo, decrementando en 1 cada vez que se llama al factorial se sabe que siempre será alcanzado el caso base. Definición recursiva del factorial: Factorial (n) 1 si n = 0 n * Factorial (n -1) si n > 0 Estudiaremos los mecanismos de ejecución de esta función recursiva. Si calculamos el Factorial (3), usando esta definición: Factorial (3) = 3 * Factorial (2) Factorial (2) = 2 * Factorial (1) Factorial (1) = 1 * Factorial (0) Factorial (0) = 1 Se alcanzó el caso base. La aplicación de la definición recursiva se detiene y la información obtenida se puede usar para responder la pregunta original factorial (3)? Dado que: Factorial (0) = 1 entonces, reemplazando en cada llamada Factorial (1) = 1 * 1 = 1, entonces Factorial (2) = 2 * 1 = 2, entonces Factorial (3) = 3 * 2 = 6 4
puntes teóricos ño 2013 Es fácil construir una función a partir de la definición recursiva: Function Factorial (n: entero) : entero hacer si (n=0) entonces Factorial :=1 Factorial := n * Factorial (n-1) finhacer finfunción Esta función responde al modelo de solución recursiva. 1) La función Factorial se llama a sí misma 2) En cada llamada recursiva el número cuyo factorial se calcula se disminuye en 1. 3) El Factorial (0) se maneja en forma distinta. Este caso base no produce una llamada recursiva. En principio la evaluación de un algoritmo recursivo no es más difícil que la evaluación de cualquier otro algoritmo. En la práctica, sin embargo, el seguimiento puede irse de las manos, para ello introducimos un método sistemático, llamado método de la caja, para seguir la ejecución de funciones o procedimientos recursivos. Cada caja muestra la representación en memoria de la activación de una unidad de programa y se denomina Registro de ctivación de la unidad. Este contiene toda la información necesaria para que dicha unidad pueda llevar a cabo su ejecución: datos + información de control * Cada llamada recursiva hecha al subprograma en el transcurso de la ejecución va a generar una caja o registro de activación, que contendrá el ambiente local del subprograma. Esto es, las variables y parámetros que se crean en el llamado y se destruyen cuando se termina la ejecución. Cada caja contendrá entonces: -El valor de los parámetros formales. -Las variables declaradas localmente (no existen en este ejemplo). -Un lugar para el valor a ser retornado por cada llamada recursiva generada a partir de la caja corriente (marcada con el rótulo). -El valor de la función misma. * Cuando se crea una nueva caja se dibuja una fecha desde la caja donde se hizo la llamada hacia la nueva. Sobre la flecha se pone el nombre de la llamada (rótulo) para indicar a donde se debe retornar. 5
puntes teóricos ño 2013 * Comenzar la ejecución del cuerpo del subprograma con los valores correspondientes al ámbito local de la caja corriente. Cuando termina la ejecución de la caja corriente y se vuelve hacia atrás en las cajas, la anterior es ahora la corriente y el nombre en la flecha indica el lugar a donde se debe retornar y continuar la ejecución del subprograma. El valor calculado se coloca en el ítem apropiado en la caja corriente. Trabajando sobre este concepto vamos a seguir la Traza de Ejecución que resulta de calcular el Factorial (3): Llamada original: Factorial (3) comienza la ejecución rótulo n = 3 : Factorial =? En el punto, se hace una llamada recursiva, y la nueva invocación de la función Factorial comienza su ejecución. n = 3 : Factorial =? n = 2 : Factorial =? En el punto, nuevamente se hace una llamada recursiva, y la nueva invocación de la función Factorial comienza su ejecución. n = 3 : n = 2 : Factorial =? n = 31 : Nuevamente, en el punto, se hace una llamada recursiva, y la nueva invocación de la función Factorial comienza su ejecución. n = 3 : n = 2 : Factorial =? n = 31 : n = 30 : 1 Se alcanza el caso base, por lo tanto la invocación de Factorial se completó y pueden comenzar a resolverse las cajas. Se vuelve a la caja anterior y se retorna el valor pendiente al punto del llamado (marcado con el rótulo ) n = 3 : n = 2 : Factorial =? n = 31 : 1 1 n = 30 : 1 6
puntes teóricos ño 2013 n = 3 : n = 2 : Factorial (n-1) = 1 Factorial = 2 n = 31 : 1 Factorial (n-1) = 1? n = 30 : 1 n = 3 : 2 Factorial (n-1) = 6? n = 2 : Factorial (n-1) =1 Factorial = 2 n = 31 : Factorial (n-1)= = 1? Factorial (n-1) = 1? n = 30 : 1 Valor final retornado al programa principal: 6 Otra forma de representación gráfica del método de las caja (pila de ejecución): Conclusión: Como se puede apreciar en los gráficos del ejemplo anterior, el espacio de memoria necesario para ejecutar un algoritmo recursivo es mucho mayor que si fuese un algoritmo iterativo. En un algoritmo recursivo se genera una caja o registro de activación por cada llamada al mismo subprograma, representando en memoria los datos necesarios para su ejecución tantas veces como sea invocado. En un algoritmo iterativo solo existe una caja o registro de activación correspondiente al algoritmo que contiene dicha iteración. Ejemplo 2: Vamos a resolver de manera recursiva el problema de imprimir una cadena de caracteres hacia atrás. Para ello debemos responder las tres preguntas, es decir vamos a construir la solución al problema de imprimir una cadena de longitud n hacia atrás en términos de una cadena de longitud n -1. Esto indicaría que en cada paso recursivo la longitud de la cadena se hace más chica. Entonces el problema de escribir una cadena muy pequeña hacia atrás puede servir como caso degenerado. Una cadena 7
puntes teóricos ño 2013 muy pequeña es la cadena vacía o nula, es decir la cadena de longitud cero. Nuestro caso base es entonces imprimir una cadena nula y la solución a este problema es no hacer nada (no hay nada que imprimir). hora hay que determinar de qué manera se puede usar la solución de imprimir hacia atrás un cadena de longitud n 1 para resolver el problema de imprimir hacia atrás una cadena de longitud n. La cadena de longitud n 1 resulta de quitar un carácter de la cadena original. a) Veamos la siguiente solución aproximada: Imprimir_ hacia_ atrás (S) Si (S No es nula) entonces Imprimir el último carácter de S Imprimir_hacia_atrás (S menos el último carácter) Las llamadas recursivas a Imprimir _hacia _atrás pasan sucesivamente cadenas de longitud más chicas sacando siempre el último carácter del anterior, entonces seguro se alcanzará el caso base (es decir la cadena nula). Traza de ejecución usando el método de la caja: S = casa S= casa S= cas S= ca S= c S= Imprime a imprime s imprime a imprime c no hace nada Resultado asac B) Consideremos otra solución al problema, quitar el primer carácter de la cadena en lugar del último. nalicemos la siguiente solución: Imprimir_ hacia_ atrás (S) Si (S No es nula) entonces Imprimir el primer carácter de S Imprimir_hacia_atrás (S menos el primer carácter) Hace lo que se espera? No, la recursión no es mágica, se debe formular correctamente la solución. Dónde está el error? Veamos la solución recursiva correcta: 8
puntes teóricos ño 2013 Imprimir_ hacia_ atrás (S) Si (S No es nula) entonces Imprimir_hacia_atrás (S menos el primer carácter) Imprimir el primer carácter de S Esto significa que escribimos el primer carácter recién cuando todo el resto ya ha sido escrito. Traza de Ejecución de Escribir_ hacia_ atrás 2: en cada caja, luego del llamado recursivo imprime el 1º carácter S= casa S= asa S= sa S= a S= imprime c imprime a imprime s imprime a no hace nada Resultado asac El resultado es el mismo que con la otra solución, imprime asac pero la secuencia de cadenas que se va generando es diferente. La diferencia en la secuencia de valores se compensa por el carácter que se imprime y en el momento en que se imprime. En la primera solución se imprime antes de generar una nueva caja y en la segunda al salir de la caja antes de retornar de una llamada recursiva. El objetivo de este ejemplo es demostrar que podemos tener dos estrategias diferentes (o más) para realizar las mismas tareas. Ejemplo 3: Resolver X n hora veremos como podemos encontrar una solución recursiva, es decir cómo podemos definir X a la n-ésima potencia en términos de X a una potencia más pequeña. La respuesta está dada en las reglas de exponenciación: X N = X * X N-1 Esto es, podemos calcular X a la N, calculando X a la N-1 y multiplicando su resultado por X. Nuestra solución recursiva tiene un solo caso base: X 0 = 1 Entonces podemos formular nuestra solución recursiva de la siguiente forma: X 0 = 1 X N = X * X N-1, si N > 0 El caso base (N=0) siempre se alcanzará. Función potencia (x : entero 2 ; N : entero 1); 9
puntes teóricos ño 2013 Si N=0 entonces potencia :=1 potencia := X * potencia (X, N-1) finhacer finfunción Tipos de recursión. La recursión puede ser: Directa: si el algoritmo recursivo presenta una o más llamadas recursivas en su propio cuerpo. o Simple: si presenta una sola llamada recursiva El factorial de un nº entero positivo: Fact(0):=1 Fact(N):= N* fact(n-1), si N>0 o Múltiple: si presenta dos o más llamados recursivos La serie de Fibonacci: F(0):=0 F(1):=1 F(N):= F(N-1) + F(N-2), si N>1 o nidada: si presenta un llamado recursivo como argumento de una llamada recursiva La función de ckerman: (m,n):= n +1, si m=0 (m,n):=(m-1,1), si n=0 (m,n):=(m-1, (m,n-1)), si m>0 y n>0 Indirecta o cruzada: si el llamado recursivo no aparece en su cuerpo que se da a través de la invocación de un algoritmo auxiliar. Es decir, si un algoritmo invoca a otro algoritmo B y recíprocamente, el algoritmo B invoca al algoritmo. Programa Ejemplo Procedimiento. B. finhacer finprocedimiento 10
puntes teóricos ño 2013 Procedimiento B. finhacer finprocedimiento.. finprograma Ventajas y desventajas del uso de recursión. Las soluciones recursivas son elegantes y simples para problemas de complejidad grande, presentan un diseño muy bien estructurado y modular. Comparadas con la solución iterativa contienen menos líneas de código y son más fáciles de analizar y leer. Desde el punto de vista de la eficiencia, demandan más tiempo de ejecución que las soluciones iterativas y mayor espacio de memoria debido a que cada llamado recursivo genera una copia independiente de las variables declaradas en dicho algoritmo, almacenadas en una zona de la memoria Ram denominadas Registro de ctivación. plicación y uso. Esta técnica de diseño se aplica fundamentalmente en lenguajes de programación que carecen de estructuras de control repetitivas como ocurre en aquellos pertenecientes a la programación Funcional (LISP, HSKELL) y Lógica (PL,PROLOG). Es de amplio uso en Inteligencia rtificial como demostrador de teoremas, y en el área matemática para los cálculos combinatorios. Bibliografía de referencia: - Luis Joyanes guilar, 2003. Fundamentos de Programación. lgoritmos y Estructuras de Datos. Ed. Mc Graw Hill - Luis Joyanes guilar, 2008. Fundamentos de Programación. lgoritmos, Estructuras de Datos y Objetos. Ed. Mc Graw Hill - Luis Joyanes guilar, 2006. Programación en Turbo/Borland Pascal 7.0. Ed. Mc Graw Hill - De Giusti, Madoz y otros,1998. lgoritmos, datos y programas. Conceptos básicos. Ed. Exacta. 11
puntes teóricos ño 2013 nexo. Ejemplos de aplicación sobre rreglos y Listas. 1- Imprimir un vector invertido. Procedimiento impri (V:vector; Pos: entero 2) Si (Pos >= 1) entonces Imprimir: V[pos] Impri(V, pos -1) finhacer finfuncion Invocación desde el prog principal con un vector Vec de 5 elementos recorrido desde el final: impri(vec, 5) 2- Sumar los elementos de un vector que se encuentren en posiciones pares. Funcion Suma (V:vector; Dim: entero 2; Pos: entero 2): entero 3 Variables I:entero 2 Si (Pos <= Dim) entonces I:= pos ENT(pos/2) Si (I=0) entonces {está en posición par} suma:= V[pos] + suma(v, Dim, pos + 1) suma:= suma(v, Dim, pos +1) suma:= o {inicializa el valor de la función suma} finhacer finfuncion Invocación desde el prog principal con un vector Vec de 5 elementos y a partir de la 1º posición: s:= suma(vec, 5, 1) 3- Buscar el máximo elemento de un vector. Funcion maximo (V:vector; Pos: entero 2): entero 3 Variables m:entero 2 12
puntes teóricos ño 2013 Si (Pos > 1) entonces m:= máximo(v, pos 1) {busco el máximo del resto del vector} si (m < V[pos]) entonces {el elem actual es mayor que el máximo} máximo:= V[pos] máximo:= V[1] {el máximo es el 1º elemento} finhacer finfuncion Invocación desde el prog principal: max:= máximo(vec,5) 4- Recuperar el contenido del i-ésimo elemento de una lista encadenada de enteros. Suponga que i > 1 y que la lista contiene al menos i nodos. Funcion retorna (pc:lista; i:entero 2; pos: entero 2): entero 2 Si (pc <> nil) entonces Si ( i=pos) entonces retorna:= pc^.nro Sino retorna:= retorna( pc^.psig, i, pos + 1) Finhacer finfuncion Invocación desde el prog principal, suponiendo una lista L ya cargada de números y que se desea recuperar el 3º elemento de la misma: el:=retorna (L, 3, 1) 5- Escribir una función que recibe como parámetro una lista de dígitos que van del 1 al 9, y debe retornar el número que se obtiene a partir de sumar los dígitos pares y restar los dígitos impares. Ejemplo: dada la siguiente lista: 8512 (cada dígito está en un nodo), la función retorna 2, pues 8-5+1-2=2. Funcion opera (pc:lista): entero 3 Variables I: entero 2 13
puntes teóricos ño 2013 Si (pc <> nil) entonces I:= pc^.nro ENT(pc^.nro/2) Si ( i=o) entonces {el elem es par} opera:= opera(pc^.psig) + pc^.nro Sino opera:= opera(pc^.psig) - pc^.nro Sino opera:=0 Finhacer finfuncion Invocación desde el prog principal, suponiendo una lista L cargada: tot:=opera(l) 6- Eliminar de una lista encadenada de DNI un elemento en particular. Procedimiento elim ( ref L:lista; pa: lista; pc:lista; dni: entero 8) Si (pc <> nil) entonces Si ( pc^.nro= dni) entonces {es el DNI a borrar} Si (pa =nil) entonces {borra el 1º elem} L:= pc^.psig Sino {borra en el cuerpo} pa^.psig:= pc^.psig liberar(pc) {libera la memoria de ese nodo} Sino elim(l, pa^.psig, pc^.psig, dni) Finhacer finfuncion Invocación desde el prog principal, suponiendo una lista Lis cargada e inicializados pa=nil, pc=lis y el valor del dni a buscar en doc: Elim( Lis, nil, Lis, doc) 14