TEMA 1 Resolución aproximada de ecuaciones no lineales 1. Introducción Sólo somos capaces de obtener la solución exacta para cierto tipo de ecuaciones (esencialmente, cuando podemos despejar la incógnita o en el caso de ecuaciones polinómicas de segundo grado). En esta primera parte del Bloque I estudiaremos dos métodos iterados que proporcionan buenas aproximaciones a la solución de una ecuación en general.. Ecuaciones no lineales. Raíces y multiplicidad Denominamos ecuación no lineal a una ecuación del tipo f(x) = 0 en la cual f es una función real de variable real no lineal. Resolver la ecuación f(x) = 0 es hallar los valores x R que anulan dicha función. A estos valores x se les denomina raíces o soluciones de la ecuación, o también, ceros de la función f. Geométricamente representan las abscisas de los puntos de corte de la gráfica y = f(x) con el eje OX. Ejemplo 1 f(x) = x 1 es un ejemplo de función no lineal. Sus ceros son x = 1, 1, o lo que es lo mismo, x = 1, 1 son las raíces de la ecuación x 1 = 0. Una raíz x de la ecuación f(x) = 0 se dice que tiene multiplicidad n si f( x) = f ( x) = f ( x) = = f n 1) ( x) = 0 y f n) ( x) = 0 Si la multiplicidad de una raíz es 1, diremos que es simple. Ejemplo Dada f(x) = (x 1) (x+1) la ecuación f(x) = 0 posee dos raíces reales distintas, que son x 1 = 1, simple, y x = 1, doble (pues f(1) = f (1) = 0 y f (1) = 0). En general, las raíces de una ecuación no lineal no pueden ser calculadas de forma exacta, salvo que la incógnita pueda despejarse de manera adecuada o tengamos un polinomio de segundo grado. El objetivo de este capítulo consiste en ofrecer métodos iterativos que permitan obtener aproximaciones numéricas de las mismas.
Guión bloque I CIN Ingeniería Informática Curso 014/15 3. Métodos iterativos de aproximación de soluciones Sea f(x) = 0 una ecuación no lineal y x una raíz de esta ecuación. Supondremos en toda esta sección que tenemos separada la raíz x, en el sentido de que se conoce un intervalo [a, b] que contiene a x, y no contiene a ninguna otra raíz de f(x) = 0. A continuación daremos dos métodos numéricos para obtener una aproximación de x, bajo esta hipótesis: el método de bisección y el método del punto fijo. Como caso particular de éste, estudiaremos el método de Newton-Raphson. 3.1. Método de bisección El soporte teórico de este método es el teorema de Bolzano, por ello tenemos que imponer que f sea continua en [a, b]. Teorema 1 (de Bolzano) Si f es una función continua en el intervalo [a, b] y f(a) f(b) < 0, entonces la ecuación f(x) = 0 posee un número impar de raíces (contando sus multiplicidades) en [a, b]. En el método de bisección se construye una sucesión de intervalos encajados, [a 0, b 0 ] [a 1, b 1 ]... [a k, b k ], donde a 0 = a y b 0 = b, de forma que siempre contengan la raíz buscada y que la amplitud de uno sea la mitad del anterior. Para ello basta dividir el intervalo dado por su punto medio y escoger aquel subintervalo en el que la función cambie de signo en sus extremos, lo que garantiza, según el teorema de Bolzano, la existencia de un cero de la función en su interior. Cuando la amplitud del intervalo sea suficientemente pequeña de acuerdo con la precisión deseada de la raíz, podremos considerar como una buena aproximación de ésta el punto medio de este intervalo. El procedimiento para aplicar este método es el siguiente: 1) Partimos de un intervalo [a, b], y queremos hallar una aproximación de la solución de la ecuación f(x) = 0, con una precisión tal que el error cometido sea menor que cierto ε > 0. ) Consideramos el punto medio del intervalo [a, b], x 1 = a+b = a+ b a. Si f(a) f(x 1) < 0, entonces el intervalo que contendrá a la solución será [a, x 1 ]. En tal caso, [a 1, b 1 ] = [a, x 1 ], y el error cometido será ε 1 b a. Si por el contrario, f(b) f(x 1) < 0, entonces[a 1, b 1 ] = [x 1, b]. En esta primera división, el error que se comete al aproximar la solución buscada por el punto medio x de [a 1, b 1 ] será ε b a 4 = b a. 3) Repitiendo lo anterior, se obtiene un nuevo intervalo [a, b ]. El punto medio x 3 de este intervalo nos proporcionará una aproximación de la solución con error ε b a 8 = b a 3. 4) Así vamos obteniendo una sucesión de intervalos encajados {[a n, b n ]}, y una sucesión {x n } de números reales a partir de los correspondientes puntos medios, que proporcionan aproximaciones a la solución (dicha sucesión converge a la solución). Concretamente x n será una
Tema 1. Resolución aproximada de ecuaciones no lineales 3 aproximación con error ε n b a n. Cuando este último error sea menor que precisión deseada o impuesta, ε>0 suficientemente pequeño, ya podemos parar el algoritmo. Este esquema numérico tiene el inconveniente de que la convergencia es lenta, pero siempre da lugar a sucesiones que convergen a la solución que buscamos. Para éste y los siguientes métodos que vamos a abordar, tenemos también una cota del error a posteriori siempre que la función f sea además derivable en el intervalo (a, b): Teorema (Análisis del error) Sea x una raíz de la ecuación f(x) = 0. Tomemos[a, b] (si es posible) tal que f(x) es continua y derivable en [a, b], x y todo x n estén contenidos en [a, b] y mín x [a,b] f (x) > 0, entonces ε n = x x n f(x n) mín x [a,b] f (x). Ejemplo 3 Se desea hallar la raíz cuadrada de 3 con un error menor que 10 14 (es decir, con 14 cifras decimales exactas). Determinar cuantas iteraciones del método de bisección serán necesarias para garantizar dicha precisión partiendo del intervalo inicial [1, ]. Calcular las dos primeras iteraciones. Solución En primer lugar observemos que 3 es una raíz de la ecuación x 3 = 0, de hecho es la única positiva. Por tanto, el intervalo [1, ] contiene a 3 y no a otra raíz de la ecuación. Además, se satisfacen las hipótesis del teorema de Bolzano en [1, ]. Por tanto, el método de bisección aplicado a f(x) = x 3 con intervalo inicial [a 0, b 0 ] = [1, ] genera una sucesión {x n } convergente a 3. Para determinar el número de iteraciones necesarias para que el método de bisección nos proporcione la precisión deseada, usaremos la fórmula de la cota del valor absoluto del error: ε n b a n = 1 n, e impondremos que sea menor o igual que 10 14. Entonces 1 n 10 14 = n > 10 14 = n 47, es decir, tendríamos que calcular x 47 para poder garantizar la precisión exigida. No obstante, esto no quiere decir que no se alcance esta precisión eventualmente en una iteración anterior. Tenemos que a 0 = 1, b 0 = y x 1 = 1+ 1 = 1 5. Siguiendo los pasos del método, como f(a 0 ) f(x 1 ) > 0 entonces a 1 = x 1 = 1 5 y b 1 = b 0 =, x = a 1 + b 1 a 1 = 1 75.
4 Guión bloque I CIN Ingeniería Informática Curso 014/15 Por otro lado, f(a 1 ) f(x ) < 0 implica que a = a 1 = 1 5 y b = x 1 = 1 75, de modo que x 3 = a + b a = 1 5+ 1 75 1 5 = 1 65. Repitiendo el proceso, iríamos obteniendo la sucesión {x n } que converge a 3. 3.. Método del punto fijo Recordemos que nuestro objetivo es la resolución aproximada de la ecuación f(x) = 0. Con operaciones sencillas, esta ecuación puede transformarse en otra de la forma x = g(x), denominada ecuación de punto fijo, siendo g una función real de variable real. Así, resolver f(x) = 0 es lo mismo que resolver x = g(x), salvo introducción u omisión de raíces debidas a las operaciones realizadas. Se dice que x es un punto fijo de la función g si g( x) = x. Por tanto, lo que buscamos con este método es una aproximación de un punto fijo x de la función g. Para ello, generamos una sucesión {x n } dada por { Conocido x0 R, x n+1 = g(x n ). Definición 1 Una función f : R R se dice contractiva si existe λ < 1 tal que f(x 1 ) f(x ) λ x 1 x para cualesquiera x 1, x R. La constante λ recibe el nombre de factor de contractividad. Lema 1 (Caracterización de las funciones contractivas) Si una función f continua en [a, b] y derivable en (a, b) cumple que f (x) λ < 1 para cualquier x [a, b], entonces es contractiva en dicho intervalo. Para este esquema numérico contamos con una estimación del error a priori cometido en la n ésima iteración, que viene dada por ε n λ n máx(x 0 a, b x 0 ). Se puede garantizar la convergencia de este esquema numérico imponiendo que g cumpla una serie de condiciones, las cuales se recogen en el siguiente Teorema 3 (del punto fijo) Sea g una función continua en [a, b], derivable en (a, b), tal que g([a, b]) [a, b] y g (x) < 1 para cualquier x [a, b]. Entonces, cualquiera que sea el punto x 0 [a, b], la sucesión x 0, x 1, x,..., x n,... con x n+1 = g(x n ) converge al único punto fijo de la función g en [a, b].
Tema 1. Resolución aproximada de ecuaciones no lineales 5 Ejemplo 4 El cálculo de la raíz cuadrada de 3 equivale al cálculo de la raíz positiva de la ecuación x = 3. Aunque más adelante veremos métodos cuya convergencia es más rápida, vamos a realizar los siguientes cambios: x = 3 = x+x = x+3 = x(1+x) = 3+ x = x = 3+ x 1+ x. Es decir, hemos escrito la ecuación de la forma x = g(x) con g(x) = 3+ x 1+ x. Sabemos que la raíz de 3 está comprendida entre 1 y ; además g (x) = < 0 para cualquier x R\{ 1}, (1+x) de modo que g es estrictamente decreciente en R\{ 1} y, en consecuencia, g([1, ]) [ ] 5 3, [1, ]. Por otro lado, g (x) = (1+ x) < = 1 < 1 para cualquier x [1, ], y podemos pues garantizar que, partiendo de x 0 = 1, el método convergerá a la raíz cuadrada de 3 y que el error a posteriori será fiable. Así, partiendo de x 0 = 1 y haciendo x n+1 = 3+ x n 1+ x n obtenemos: x 1 = x 14 = 1,7305079844084 x = 1,66666666666667 x 15 = 1,7305081001473 x 3 = 1,75000000000000 x 16 = 1,7305080691351 x 4 = 1,77777773 x 17 = 1,7305080774448 x 5 = 1,73333333333333 x 18 = 1,73050807518 x 6 = 1,73170731707317 x 19 = 1,7305080758148 x 7 = 1,73148571486 x 0 = 1,7305080756550 x 8 = 1,730614379085 x 1 = 1,7305080756978 x 9 = 1,730574166794 x = 1,7305080756863 x 10 = 1,7304903677758 x 3 = 1,7305080756894 x 11 = 1,7305180518 x 4 = 1,7305080756886 x 1 = 1,730506804317 x 5 = 1,7305080756888 x 13 = 1,7305084163518 x 6 = 1,7305080756888
6 Guión bloque I CIN Ingeniería Informática Curso 014/15 Una cota del error vendrá dada por ε n < f(x n) mín x [1,] f (x), donde f(x) = x 3, por lo que ε 6 < x 6 3 = 4,884981308350688 10 15 < 10 14, es decir, 3 = 1,7305080756888 con todas sus cifras decimales exactas. 3.3. Método de Newton Recordemos que el problema que nos ocupa es hallar una aproximación de x, donde x es la única raíz de la ecuación f(x) = 0 en el intervalo [a, b]. El método de Newton Raphson se basa en la construcción de forma iterada de una sucesión de aproximaciones {x n } de x, y se deduce del método de punto fijo. Así, si x n es una aproximación de x, podemos escribir x = x n + h y, si f no se anula en [a, b], f( x) f(x n )+h f (x n ) = h f(x n) f (x n ) = x x n f(x n) f (x n ), obteniéndose la denominada fórmula de Newton-Raphson: x n+1 = x n f(x n) f (x n ), n 0. Hemos transformado pues la ecuación f(x) = 0 en la ecuación de punto fijo x = g(x), con g(x) = x f(x)/ f (x). Este método es también conocido como método de la tangente, ya que si trazamos la tangente a la curva y = f(x) en el punto (x n, f(x n )) obtenemos la recta y = f(x n )+ f (x n )(x x n ), la cual corta al eje y = 0 en el punto de abscisa x n+1 = x n f(x n )/ f (x n ). Un inconveniente de la sucesión generada por la fórmula de Newton Raphson es que no siempre se tiene asegurada la convergencia hacia x, incluso tomando x 0 próximo a x. De modo natural surgen varias cuestiones: 1) Qué condiciones hay que exigir sobre x 0 y f para que la sucesión {x n } generada por la fórmula de Newton-Raphson sea convergente a x? ) Se conoce alguna cota del error que se comete al aproximar x por x n? A continuación vamos a enunciar dos resultados que responden a las cuestiones planteadas anteriormente: Teorema 4 (Regla de Fourier) Supongamos existe una única raíz x de la ecuación f(x) = 0 en el intervalo [a, b], y que f (x) y f (x) no se anulan en ningún punto del intervalo [a, b], es decir, que ambas derivadas tienen signo constante en dicho intervalo. Entonces, el método de Newton es convergente a x [a, b], siempre que se tome como valor inicial { a si f(a) f (a) > 0 x 0 = b si f(b) f (b) > 0
Tema 1. Resolución aproximada de ecuaciones no lineales 7 Con este resultado evitamos que la naturaleza de la función puede originar dificultades, provocando incluso la divergencia del esquema numérico: a) Si en las proximidades de la raíz existe un punto de inflexión, el método de Newton puede no converger, o incluso converger a otra raíz de la ecuación. b) El método de Newton asimismo puede oscilar en los alrededores de un máximo o un mínimo local, persistiendo o llegando a encontrarse con pendientes cercanas a cero, en cuyo caso la solución se aleja del área de interés. La regla de Fourier es una condición suficiente para garantizar la convergencia del método de Newton, pero no es necesaria, i.e., puede ser que aunque no se verifique alguna hipótesis de Fourier el método converja a la solución deseada. Con objeto de acelerar la convergencia conviene elegir x 0 lo más próximo posible a x. Siempre que se cumplan las condiciones de la Regla de Fourier, tenemos el siguiente Teorema 5 Sea x una raíz de la ecuación f(x) = 0, y supongamos que se verifican las hipótesis de la Regla de Fourier. Entonces ε n = x x n f(x n ) mín{ f (a), f (b) }. (1) En el ejemplo 3 vimos que para poder asegurar una aproximación de 3 con error menor que 10 14 (14 cifras decimales exactas) mediante el método de bisección partiendo del intervalo [1, ] necesitábamos 47 iteraciones. En el siguiente ejemplo veremos que la sucesión generada por el método de Newton, en caso de ser convergente a x, lo hace de un modo mucho más rápido. Ejemplo 5 Se desea hallar la raíz cuadrada de 3 con 14 cifras decimales exactas. Calcular dicha aproximación usando el método de Newton partiendo del intervalo inicial [1, ]. Indicar el número de iteraciones necesarias. Solución Partimos de la ecuación f(x) = x 3 = 0, por lo que la fórmula de Newton-Raphson queda x n+1 = 1 (x n + 3xn ). () La regla de Fourier es la herramienta que nos permite asegurar que la sucesión{x n } converge a 3 y nos indica el valor que debemos tomar de x 0 para este fin. A continuación veremos que se verifican todas las hipótesis que se exigen en la regla de Fourier: La ecuación f(x) = 0 presenta una raíz (de hecho, 3) en el intervalo [1, ]. Las funciones f (x) = x y f (x) = no se anulan en ningún punto del intervalo [1, ].
8 Guión bloque I CIN Ingeniería Informática Curso 014/15 Puesto que f() f () > 0, tomamos x 0 = y la regla de Fourier nos asegura que la sucesión () converge a 3, obteniéndose x 0 = x 1 = 1 75 ε 1 f(x 1) mín x [1,] f (x) = 0 0315 x = 1 731485714857149... ε f(x ) mín x [1,] f (x) = 0,000159438775515... x 3 = 1 73050810014775405... ε 3 f(x 3) mín x [1,] f (x) 0,43 10 8 x 4 = 1 73050807568877953... ε 4 f(x 4) mín x [1,] f (x) 0,489 10 14 < 10 14. Por tanto, x 4 = 1 7305080756888 es una aproximación de 3 con 14 cifras decimales exactas. El método de Newton presenta problemas cuando la raíz x de f(x) = 0 es múltiple. Esta situación se detecta porque la convergencia del método se hace especialmente lenta. La fórmula de Newton Raphson puede modificarse para adaptarse a este caso, esto es, x n+1 = x n k f(x n) f (x n ) donde k representa la multiplicidad de x, y nos encontramos ante el método modificado de Newton. En la práctica, el problema es que no conocemos k, pero a ello nos ayuda la rapidez del método. Ejemplo 6 La ecuación x sen x = 0 posee una única raíz x = 0 en todo R. Además, es una raíz triple. Veamos en este ejemplo qué ocurre cuando aplicamos el método de Newton para hallar dicha raíz partiendo del intervalo [ 1, 1]. Solución. Del enunciado debe entenderse que esta ecuación sólo posee una raíz en el intervalo [ 1, 1] que es la que se nos pide aproximar. La regla de Fourier no se puede aplicar en este intervalo (ni en ningún otro que contenga la única raíz de f(x) = 0), ya que f (x) se anula en [ 1, 1] precisamente en el mismo punto donde f(x) = x sen x (se trata de una raíz triple, de hecho). Ello no impide que se pueda definir la fórmula de Newton Raphson en este caso (lo que no tenemos garantizado es que dicha sucesión converja a la raíz): x n+1 = x n x n sen x n 1 cos x n.
Tema 1. Resolución aproximada de ecuaciones no lineales 9 Comenzado con x 0 = 1 se obtiene: x 0 = 1. x 10 = 0 0168799.... x 0 = 0 0000194... f (x 10 ) = 0 0001... f (x 10 ) = 0 016... f (x 10 ) = 0 9998... f (x 0 ) = 0 00000001... f (x 0 ) = 0 0019... f (x 0 ) = 0 9999... Como la convergencia es muy lenta, hace pensar que se trata de una raíz múltiple. Además, como la primera y la segunda derivadas tienden a cero y la tercera lo hace a 1 = 0, parece que nos encontramos con una raíz triple, por lo que aplicamos el método generalizado de Newton, x n+1 = x n 3 x n sen x n 1 cos x n Comenzando, al igual que antes, por x 0 = 1 se obtiene: x 0 = 1 x 1 = 0 034... x = 0 000001376... x 3 = 0 00000000000009... que se ve que converge rápidamente a x = 0. 4. Errores Concluímos esta primera parte del tema 1 comentando brevemente algunas nociones sobre la teoría de errores. Dado que el problema que hemos tratado anteriormente proporciona aproximaciones a las raíces de una ecuación, se hace necesario tener algún control sobre el error que se comete. 4.1. Error absoluto y error relativo Sea x el valor exacto de un número real y x 0 un valor aproximado. Definimos: Error absoluto de x: ε a (x) = x x 0. También lo denotamos simplemente por ε, caso de no dar lugar a ambigüedad. Error relativo de x: ε r (x) = ε a x.
10 Guión bloque I CIN Ingeniería Informática Curso 014/15 El error absoluto da una referencia cuantitativa de la bondad de la aproximación, medida asépticamente por la distancia que la separa del valor exacto aproximado. Por su parte, el error relativo constituye una referencia cualitativa, en tanto en cuanto refleja la proporción del error absoluto con respecto a la magnitud que se trata de aproximar: en este sentido, no es lo mismo un error de una unidad cuando se aproxima el valor exacto de π = 3,14159... que cuando se aproxima el valor exacto del número de Avogadro (aproximadamente igual a 6,0 10 3 ). Ejemplo 7 Comparar los errores absolutos y relativos en las aproximaciones 3,1 de 3 y 3099 de 3000. - Sea x = 3 y x 0 = 3 1. El error absoluto es ε = 3 3,1 = 0 1 y el error relativo es e = ε x = 0 03 3. - Sea x = 3000 y x 0 = 3099. El error absoluto es ε = 99 y el error relativo e = 0 033. Se observa que, a pesar de que el error absoluto cometido en la segunda aproximación es sensiblemente mayor que el correspondiente a la primera, en cambio, el error relativo en la segunda aproximación es más pequeño que el asociado a la primera. 4.. Aproximaciones con k cifras decimales exactas Diremos que la aproximación x 0 tiene p cifras decimales exactas si ε 10 p. Obsérvese que ello no indica que hayan de coincidir las p primeras cifras decimales de x y x 0. Así, por ejemplo, si x = y x 0 = 1 9999 se tiene que ε = 10 4 y, por tanto, 1 999 aproxima a con las cuatro cifras decimales exactas (aunque no coincida ninguno de los decimales de 000 con los de 1 9999). 4.3. Error de transmisión Sea ahora x R, y sea x 0 R una aproximación de x. El error de transmisión (o de propagación) es el error que se comete cuando consideramos f(x 0 ) como aproximación del valor de f(x). Dicho error se deduce del Teorema del Valor Medio para funciones reales y derivables: ε( f(x)) = f(x) f(x 0 ) = f (c) ε(x) máx f (z) ε(x). z I El siguiente ejemplo pone de manifiesto que estimar el error de transmisión es importante, porque en algunos casos las distintas expresiones para aproximar un valor dado pueden producir resultados muy distintos. Ejemplo 8 Queremos calcular a = ( 1) 6, utilizando el valor aproximado z 0 = 1 4 para z = (que tiene una cifra decimal exacta). Escoger, entre las siguientes expresiones equivalentes, la más adecuada desde un punto de vista numérico (i.e., la que se vea menos alterada por la propagación del error en los datos): a) ( 1) 6 b) (3 ) 3 c) 1 99+70
Tema 1. Resolución aproximada de ecuaciones no lineales 11 Solución Es fácil comprobar que a coincide con las tres expresiones equivalentes del enunciado: a = ( 1) 6 = (3 ) 3 = 1 99+70 Además, ε(z) = z z 0 10 1. Veamos las correspondientes cotas para los errores de transmisión en cada caso: a) Para la primera expresión f(x) = (x 1) 6, una aproximación de a = f(z) vendrá dada por f(z 0 ) = 0,004096. Para dicha aproximación se comete cierto error de transmisión, que controlamos mediante la fórmula anterior: ε( f(z)) = f (c) ε(z) máx [1,4, f (x) 10 1. ] Como f (x) = 6(x 1) 5, se tiene que máx [1,4, ] f (x) f (1,5) = 0,1875. Entonces ε( f(z)) máx [1,4, f (x) 10 1 0,01875. ] b) Para g(x) = (3 x) 3, se tiene que una aproximación de a = g(z) vendrá dada por g(z 0 ) = 0 008, y el error de transmisión será: ε(g(z)) = g (c) ε(z) 0,4 10 1 = 0 04, puesto que g (x) = 6(3 x), de manera que máx [1,4, ] g (x) = g (1,4) = 0,4. c) Para h(x) = 1 99+70x, se tiene que la aproximación de a = h(z) será h(z 0) = 0,00507, con error de transmisión ε(h(z)) = h (c) ε(z) 0,0018 10 1 = 0 00018, ya que h (x) = 70 (99+70x), y entonces máx [1,4, ] h (x) = h (1,4) = 70 197 0,0018. A la vista de los errores de transmisión obtenidos, concluiríamos que la tercera expresión es la más adecuada (por tener el menor error de transmisión). Nótese que el valor exacto de a es 0,00505063..., confirmándose así lo visto con los errores de transmisión: la mejor aproximación viene dada por la tercera expresión (que podríamos decir que es la que conlleva menor número de operaciones), mientras que las otras dos expresiones dan aproximaciones más alejadas del valor exacto.