PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA 1. Sean A y B dos sucesos y A, B sus complementarios. Si se verifica que p( B) = 2 / 3, p( A B) = 3 / 4 y p( A B) = 1/ 4, hallar: p( A), p( A B), y la probabilidad condicionada p( A / B ) Universidad de Castilla León Para designar el suceso complementario de B, podemos expresarlo también como B c por tanto, Si p(b c ) = 2/3, entonces p(b) = 1 2/3 = 1/3 a) Sabemos que p( A B) = p( A) + p( B) p( A B) y despejando p( A ) resulta: Nos fijaremos en el siguiente diagrama: La parte sombreada de la primera figura es la intersección de A c y de B La parte sombreada de la 2ª figura es A B. Además, ambos sucesos, ambas zonas, son incompatibles. Se verifica que: Teniendo en cuenta que p(b A) = p(b).p(a/b), tenemos:
2.- En un cierto edificio se usan dos ascensores; el primero lo usan el 45 % de los inquilinos y el resto usan el segundo. El porcentaje de fallos es del 5%, mientras que el del segundo es del 8 %. Si en un cierto día un inquilino queda "atrapado" en un ascensor, hallar la probabilidad de que halla sido en el primero. Universidad de Alicante. Utilizamos el diagrama del árbol: Aplicando el teorema de la probabilidad total tenemos: (Se toman todas las ramas que van a F) Ahora aplicamos el teorema de Bayes: p(de ser atrapado en el 1º)=p(utilizar A/condicionado a que falle)= que es la probabilidad pedida (Se toma la rama del ascensor A y se divide por la suma de las ramas o caminos)
3.- En un espacio probabilístico se consideran los sucesos A y C cuyas probabilidades son p(a) = 0,3 y p(b) = 0,6. Por B c se designa el suceso complementario o contrario al suceso B. Calcular la probabilidad del suceso A B c en los siguientes casos: a) La probabilidad del suceso A B es 0,2. b) Los sucesos A y B son independientes. Universidad de Valencia. Si observamos la figura resulta: La zona roja, sombreado del centro, es la intersección de A y B, es decir, A B La zona amarilla, sombreado de la izquierda, es la intersección de A y del complementario de B, es decir, A B c Además, la unión de las dos zonas es A, es decir, (A B c ) (A B)=A Aplicando probabilidad: p(a B c )+p(a B) = p(a), ya que se trata de dos sucesos incompatibles. Y despejando en la igualdad anterior, p(a B c ) = p(a) p(a B) En el primer caso, p(a B) = 0,2; p(a B c ) = 0,3 0,2 = 0,1 En el segundo caso los sucesos son independientes, por tanto, p(a B) = p(a).p(b) = 0,3.0,6 = 0,18 y entonces, p(a B c ) = 0,3 0,18 = 0,12 4.- En una urna hay 10 bolas blancas y 12 bolas rojas. Encontrar la posibilidad de que al extraer dos bolas sin devolución se obtenga una de cada color. Universidad de Murcia. Tenemos un conjunto de 10 bolas blancas y 12 bolas rojas. Para extraer una bola de cada color se ha de extraer 1 blanca y 1 roja. Formas de extraer 1 bola blanca entre un conjunto de 10:
Formas de extraer 1 bola roja entre un conjunto de 12: Los casos favorables son: Casos posibles son las distintas formas de escoger 2 bolas entre un conjunto de 22: La probabilidad pedida será: Otra manera: Sea B 1 el suceso "extraer bola blanca en la primera extracción" B 2 es el suceso "extraer bola blanca en la segunda extracción" R 1 es el suceso "extraer bola roja en la primera extracción" R 2 es el suceso "extraer bola roja en la segunda extracción". Dos bolas del mismo color se pueden conseguir de la forma siguiente: (primera blanca y segunda roja) o (primera roja y segunda blanca). A la y se le asocia el símbolo de A la o se le asocia el símbolo de De ese modo tenemos: p(obtener dos bolas del mismo color) = p[( B1 R2 ) ( R1 R2 )] es decir, p = p( B1 R2 ) + p( R1 R2 ) = p( B1 ). p( R2 / B1 ) + p( R1 ). p( R2 / R1 ) Por tanto, 5.- A. Función de distribución asociada a una variable aleatoria continua. Propiedades. B. La función de densidad de una cierta variable aleatoria, X, es: donde K es una constante real a determinar. Calcule: Galicia, junio, 2000
A. Es la función que asigna a cada número real x, la probabilidad de que X tome un valor igual o menor que x. Propiedades: 1. Su valor es cero para todos los puntos situados a la izquierda del menor valor de la variable, es decir, si x < a, F(x) = 0. 2. Su valor es 1 para todos los puntos situados a la derecha del mayor valor de la variable, es decir, si x>b, F(x) = 1. 3. Es continua a la derecha. 4. Es creciente. B. Si f(x) es una función de densidad se ha de cumplir que En este caso Entonces, La función de densidad será: Y la probabilidad pedida, teniendo en cuenta el intervalo dado, 6.- A. Enunciado del teorema de Bayes. B. El 45 % de los estudiantes de COU de un instituto son alumnos de Ciencias y el 55 % restante de Letras. Se sabe que aprueban todas las asignaturas el 30 % de los alumnos de Ciencias y el 40 % de los alumnos de Letras. Si un alumno, elegido al azar, ha aprobado todas las asignaturas, cuál es la probabilidad de que sea de Letras?. Galicia, junio, 2000 A. Sea A 1, A 2, A 3,...A n un sistema completo de sucesos y S un suceso cualquiera. Se tiene entonces que para suceso A i se verifica: Las probabilidades p(a i ) se llaman a priori porque son conocidas. Las probabilidades p(a i /S) se llaman a posteriori porque las tenemos que calcular. Las probabilidades p(s/a i ) se llaman verosimilitudes porque son creíbles.
B. Hacemos el siguiente diagrama en árbol: Calculamos, en primer lugar, la probabilidad de que un alumno apruebe: La probabilidad pedida será: p(sea de letras/suponiendo que ha aprobado), es decir, 7.- Se reparten unas invitaciones sabiendo que sólo el 40 % asistirán al acto. Se seleccionan al azar 10 invitados. Calcular: a) La probabilidad de que sólo tres de esos diez invitados acudan al acto. b) La probabilidad de que acudan más de tres de los diez. Alicante, junio, 1998 Es un experimento de Bernoulli que tiene las siguientes características: En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: el suceso A llamado éxito y el suceso A c llamado fracaso. El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados anteriores. La probabilidad del suceso A es constante y no varía de unas pruebas a otras. La distribución de probabilidad de este experimento recibe el nombre de distribución binomial de parámetros n y p donde n es el número de pruebas del experimento y p es la probabilidad del éxito, es decir, n = 10; p = 0,4 Si representamos por X la variable aleatoria binomial que representa el número de éxitos obtenidos en las n del experimento, podemos escribir: En nuestro caso tenemos: Apartado a.
Apartado b. Utilizamos la probabilidad complementaria: p(x>3) = 1 p(x 3) De este modo resulta: p(x>3) = 1-0,006-0,04-0,121-0,215 = 0,618 8.- La vida útil de una marca de bombillas sigue una distribución normal de media 1.200 horas y desviación típica 250 horas. Qué proporción de bombillas tiene un tiempo de vida inferior a 1050 horas?. Qué proporción de bombillas tiene un tiempo de vida superior a 1350 horas?. Explica brevemente el porqué de la relación entre los resultados. Qué proporción de bombillas tiene un tiempo de vida entre 1050 y 1350 horas?. Puede ser útil saber que si Z es una variable de distribución N(0, 1), entonces P(Z<0,6)=0,7257 Galicia, junio, 2001 Como ya se indica en el enunciado se trata de una distribución normal de media µ = 1200 y desviación típica 250 es decir, N(1200, 250). Primeramente hemos de tipificar aplicando la fórmula: Proporción de bombillas que tiene un tiempo de vida inferior a 1050 horas: (No utilizamos las tablas de la normal porque en el enunciado del problema nos dan el resultado de p(z<0,6). Proporción de bombillas que tienen un tiempo de vida superior a 1350 horas: Justificación de la identidad de los resultados: Los resultados son idénticos por la simetría de la función de densidad respecto de la media. Distancia(1050, 1200) = distancia(1200, 1350).
Proporción de bombillas que tienen un tiempo de vida entre 1050 y 1350 horas: Teniendo en cuenta los resultados anteriores y, dado que el área de la campana es 1, resulta evidente que: p(1050>x<1350) = 1-0,2743-0,2743 = 0,4514 9.- El peso de los paquetes de harina que produce una cierta fábrica sigue una distribución normal de media 105 grms. y de desviación típica 5 grms. Calcula el porcentaje de paquetes con peso superior a 112 grms, explicando cómo se ha obtenido el porcentaje. Si se coge al azar un paquete entre los que pesan más de 112 grms., cuál es la probabilidad de que pese más de 115 grms.? (Nota. Basta con dividir casos favorables entre casos posibles, o bien dividir porcentaje de casos favorables entre porcentaje de casos posibles). Alicante, junio, 2001, ejercicio A Como se indica se trata de una distribución normal de media µ = 105 y desviación típica σ = 5, es decir, N(105, 5). Tipificamos haciendo el cambio Y entonces, p(x>112) = p(z>1,4) = 1 - p(z<1,4) = 1-0,9192 = 0,0808 = 8,08 %. El 8,08 % de los paquetes pesa más de 112 gramos. ( Hemos utilizado las tablas de la normal para calcular p(z<1,4) Ahora calculamos el porcentaje de paquetes que pesan más de 115 gramos: El 2,08 % de los paquetes pesa más de 115 gramos. ( También hemos utilizado las tablas de la normal para calcular p(z<2)
Observación: Se ha de hacer notar que en la distribución normal ya que lo que estamos calculando son áreas y el área de un segmento es cero. Probabilidad de que un paquete pese más de 115 gramos escogido al azar entre los que pesan más de 112 gramos: Tal como se indica en el enunciado del problema dividimos casos favorables entre casos posibles. Casos favorables: "probabilidad de que pese más de 115 gramos". Casos posibles: "probabilidad de que pese 112 gramos". Por tanto, 10.- Tenemos tres urnas cada una de las cuales contiene 2 bolas rojas y 3 bolas negras. Se extrae al azar una bola de cada urna y se llama x al número de bolas rojas obtenidas. Calcula la probabilidad de que x sea mayor o igual que 1. Si cada urna hubiese contenido 5 bolas rojas y 3 bolas negras y se hubiese extraído una bola de cada urna, cuál hubiese sido la probabilidad de que x hubiese sido mayor o igual que 1?. Justificar la diferencia de los resultados obtenidos. Alicante, junio, 2001, ejercicio B Utilizamos la probabilidad complementaria: p(x = 0) = p(de sacar cero bolas rojas) = p(sacar 3 bolas negras), es decir, (bola negra de la 1ª urna) y (bola negra de la 2ª urna) y (bola negra de la 3ª urna) De ese modo, (Casos favorables entre casos posibles) Por tanto, En el caso de la 2ª composición resulta: Y entonces, Es más probable la segunda opción ya que se aumenta el número de rojas ante el mismo número de bolas negras.
11.- Un vendedor de coches estima las siguientes probabilidades para el número de coches que vende en una semana: Número de coches 0 1 2 3 4 Probabilidad 0,22 0,35 0,25 0,1 0,08 salario semanal de 25.000 pts., más 25.000 pts. adicionales por cada coche vendido, cuál es la probabilidad de que Calcula el número esperado de coches que venderá en una semana. Si el vendedor recibe un una semana su salario sea inferior a 100.000 pts. en el supuesto de que se sepa que es superior a 25.000 pts.?. Galicia, junio, 2001 Estamos ante una variable aleatoria discreta y el número esperado de coches que nos piden es la media o esperanza matemática de la distribución: Número esperado de coches que venderá: μ = Σx i.p i = 0.0,22 + 1.0,35 + 2.0,25 + 3.0,1 + 4.0,08 = 1,47 Como el vendedor recibe un sueldo de 25.000 pts.semanales fijas más 25.000 pts por coche vendido, resulta que cobrará: 25.000 pts. si vende 0 coches. 50.000 pts. si vende 1 coche. 75.000 pts. si vende 2 coches. 100.000 pts. si vende 3 coches. 125.000 pts. si vende 4 coches. Entonces podemos construir la siguiente tabla: Número de coches 0 1 2 3 4 Sueldo semanal 25.000 50.000 75.000 100.000 125.000 Probabilidad 0,22 0,35 0,25 0,1 0,08 Probabilidad de que en una semana su salario se superior a 25.000 pesetas: p(x>25.000) = 0,35 + 0,25 + 0,1 + 0,08 = 0,72. Probabilidad de que en una semana su salario sea superior a 25.000 pesetas e inferior a 100.000 pesetas: p(25.000<x<100.000) = 0,35 + 0,25 = 0,6 Probabilidad de que en una semana su salario sea inferior a 100.000 pesetas en el supuesto de que se sepa que es superior a 25.000 pesetas:
12.- Las calificaciones en Matemáticas y Física de siete alumnos han sido: 1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º Matemáticas 8 9 6 7 8 6 2 Física 7 7,5 5 7 7,5 5 7 Halla el coeficiente de correlación de las calificaciones en Matemáticas y Física de los seis primeros alumnos. Calcula el coeficiente de correlación de esas asignaturas para los siete alumnos. Explica la diferencia entre los resultados obtenidos. Alicante, septiembre, 2001, ejercicio A Disponemos los datos de la siguiente forma: Matemáticas x i Física y i 2 x i 2 y x i i y i 8 9 6 7 8 6 7 7,5 5 7 7,5 5 64 81 36 49 64 36 49 56,25 25 49 56,25 25 56 67,5 30 49 60 30 44 39 330 260,5 292,5 Media de las calificaciones de matemáticas: Media de las calificaciones de física: Desviación típica de la variable x (notas de matemáticas): Desviación típica de la variable y (notas de física): Covarianza: Y el coeficiente de correlación para los seis primeros alumnos será:
En el caso de los siete alumnos, los cálculos se realizan de la misma manera. Vamos a resolverlo haciendo uso de la calculadora, cuyo manejo también se debe conocer. Usamos la calculadora CASIO fx-3900pv En primer lugar la ajustamos al modo "LR" pulsando la secuencia de teclas MODE 2. A continuación presionamos la secuencia SHIFT AC (Esto es fundamental antes de iniciar los cálculos). Y ahora tecleamos las secuencias que se indican en la tabla: Mat. Fís. Secuencia de teclas a pulsar Aparece en pantalla 8 7 8 x o,y o 7 DATA LR 7 9 7,5 9 x o,y o 7,5 DATA LR 7,5 6 5 6 x o,y o 5 DATA LR 5 7 7 7 x o,y o 7 DATA LR 7 8 7,5 8 x o,y o 7,5 DATA LR 7,5 6 5 6 x o,y o 5 DATA LR 5 2 7 2 x o,y o 7 DATA LR 7 El cálculo del coeficiente de correlación se obtiene pulsando la secuencia SHIFT 9 r = 0,2786 Diferencia entre los resultados obtenidos: En el primer caso la correlación se aproxima a 1, por tanto se trata de una correlación fuerte, las notas de Matemáticas y de Física se comportan de forma parecida y las estimaciones que se realicen estarán cerca de los valores reales. En el segundo caso, la correlación r = 0,2786 está muy lejos de la unidad lo que indica que el séptimo alumno no se comporta de la misma manera que los seis primeros, sus notas de Matemáticas y Física son muy dispares. 13. La media de las calificaciones globales obtenidas por 10 alumnos fue 6,8 y sus horas de estudio totales sumaron 120. Si x representa las horas de estudio de cada estudiante e y su calificación, el coeficiente de correlación entre x e y es 0,8. Sabiendo que la desviación típica de x coincide con la de y, explicar, razonadamente, cómo se obtiene la recta de regresión de y sobre x (2 puntos) y calcularla (1,3 puntos). Comunidad Valenciana, junio 2004. Ejercicio A
sxy La fórmula de la recta de regresión de y sobre x es: y y = ( x x ) 2 s Media de las horas de estudio: Media de las calificaciones: y = 6,8 sxy Coeficiente de correlación: r = s s s Y como s s, 0,8 = xy x = y 2 sx x i 120 x = = = 12 N 10 x y Llevando los resultados obtenidos a la fórmula de la recta de regresión obtenemos: y 6,8 = 0,8( x 10) x 14. La estatura de una población se distribuye normalmente con media 1,70 metros y desviación típica 0,1 metros. a) Se selecciona una persona al azar. Explica razonadamente cómo se obtiene la probabilidad de que su estatura sea mayor de 1,72 metros y calcular dicha probabilidad. ( 1 punto). b) Se seleccionan a azar tres personas. Obtener razonadamente la probabilidad de que sólo una de las personas seleccionadas mida más de 1,72 metros. (2,3 puntos) Comunidad Valenciana, junio 2004. Ejercicio B 1,72 1,70 0,02 a) p( X 1, 72) = p Z = p Z = p( Z 0, 2) = 0,5793 0,1 0,1 Una vez consultadas las tablas de la distribución normal. b) Hemos obtenido que la probabilidad de una persona mida 1,72 metros o menos, es 0,5793. Sea A = una persona mide más de 1,72 metros Entonces, p( A ) = 1 0,5793 = 0, 4207 P(una mida más de 1,72)= p( AAA AAA AAA) = 3 0,5793 0,5793 0, 4207 = 0, 423