EJERCICIOS PROPUESTOS DE APLICACIONES DE LA ECUACIÓN DE BERNOULLI 1) A través del medidor Venturi de la figura fluye hacia abajo aceite con gravedad específica de 0,90. Si la deflexión del manómetro h es de 28 plg, determinar a) el caudal volumétrico del aceite. Tubería diámetro nominal 4 plg cedula 40 2) Para el medidor Venturi de la figura calcular la deflexión del manómetro h si la velocidad del flujo de agua en la sección de 25 mm de diámetro es de 10 m/s. 3) El fluido manométrico es mercurio de D.R.: 13,6
3) La tobera de flujo de la figura (placa de boquilla de flujo) se le emplea para medir la velocidad de flujo. Si instalamos la tobera de 4,60 plg. de diámetro dentro de un tubo de 14 plg. Cedula 40 calcular la velocidad de flujo en la sección 1 y la velocidad de flujo en la garganta de la tobera cuando hay un flujo de 7,50 pie 3 /s de agua a través del sistema. 4) Para medir el gasto de gasolina que fluye por un tubo de diámetro D=14mm se halla instalada una tobera de diámetro d=9mm y van acoplados los piezómetros (figura). Determinar el gasto de gasolina Q en L/s, si la diferencia de niveles de gasolina en los piezómetros es H=1,5 m. Cómo cambiará la diferencia de alturas H si la gasolina se sustituye por agua con el mismo gasto?
5) Encuentre q teórico para el flujo de agua en una tubería con diámetro interno D=100mm utilizando una boquilla de tipo de gran radio como el de la figura. En este problema la tubería es horizontal y el valor que indica el manómetro es h=140mm. Cuál es el flujo de masa de agua? El diámetro de garganta de la boquilla es de 60 mm. Tome. 6) Determine el caudal volumétrico para el flujo de aceite de densidad relativa D.R.=0,93 en una tubería de 3 ½ plg. Cedula 80 utilizando una placa orificio de bordes cuadrados como el de la figura. La tubería es horizontal. El valor de h es 5 plg. Use un coeficiente de garganta de 0,62. El diámetro de garganta es de 2 plg. El fluido manométrico es mercurio de densidad relativa de 13,4. 7) Calcular el caudal de agua que circula por la tubería de la figura, h=0,5m 8) Hallar la velocidad de la corriente de agua en el tubo si la lectura del manómetro de mercurio unido al tubo de Pitot y a los orificios de presión estática es h=600mm
9) En el sistema esquematizado en la figura, despreciando las perdidas, se pide: a) Caudal circulante. b) Valores de R 1 y R 2. c) Razonar si son correctas las posiciones relativas de los meniscos tal como están dibujados. Respuestas: 7,78 L/s; 0,67m y 0,492m; mal y bien.
EJERCICIOS RESUELTOS DE ECUACIÓN DE BERNOULLI 1) 1 Figura 1 1) Enunciado: Se debe calcular la velocidad de flujo en la sección A y el caudal respectivo. La densidad relativa del fluido manométrico es D.R.=1,25. El concepto a manejar en este caso es la Ecuación de Bernoulli simple y el concepto de Ley de Continuidad, ya que se tienen datos que muestran valores de diferencia de presión entre dos puntos A y B, diferencias de altura y diferencias de velocidad entre dos planos piezométricos A y B. La nomenclatura a determinar es: 2) Esquema: En la figura 2 se muestra el esquema con el plano piezométrico de referencia. Escoja este plano debido a que se conocen las alturas desde si hacia los planos piezométricos A y B. Utilice a y b para denotar los planos piezométricos en los meniscos del manómetro diferencial. b Z=0 Figura 2 3) Suposiciones, hipótesis y aproximaciones: a Suponga lo siguiente: a) no existen perdidas desde A a B, b) no existen bombas ni turbinas, c) la aceleración de gravedad es g=9,81 m/s 2, d) la densidad del agua se obtiene a 60 C, e) existe
flujo estacionario, f) fluido incompresible, g) la sección de tubería es circular y h) densidad de la sustancia de trabajo que fluye por la tubería. es la 4) Leyes Físicas: Utilice la Ecuación de Bernoulli simple desde A a B: Maneje ahora la ecuación de continuidad: Despéjese de (2): Donde y son los cuadrados de los diámetros internos en las secciones A y B, respectivamente. Sustitúyase (3) en (1), despeje parcialmente y obtenga la ecuación (4): Ahora bien, la diferencia de carga de presión se evalúa tomando en cuenta el manómetro diferencial conectado como muestra la figura. Emplee Bernoulli estático entre el plano piezométrico A y el a, se tiene: Aplique Bernoulli estático entre el plano piezométrico a y el b, se tiene: Despeje de (6) y sustituya en (5):
Utilice Bernoulli estático entre el plano piezométrico b y el B, se tiene: Despeje de (8) y sustituya en (7): Despéjese de (9) la diferencia de presiones: Sustituya (10) en (4), suprima términos semejantes y despeje : 5) Propiedades: Con respecto al plano piezométrico escogido por usted, tiene que:, por lo tanto: 6) Cálculos: Sustituya las propiedades del fluido manométrico y del agua, la diferencia de altura del manómetro, los diámetros de la tubería y de la garganta y la aceleración de gravedad en la ecuación (11), obtenga:
Consiga el caudal en B por medio de la ecuación (2): Obtenga la velocidad en A utilizando la ecuación (3): El caudal en A es por tanto: 7) Análisis y razonamiento: De este ejercicio, que al principio se vio algo complicado se puede extraer alguna conclusión: a) El montaje anterior sirve para medir la velocidad de flujo teórica promedio aguas arriba en la tubería, realizando un cálculo, extrayendo del montaje los siguientes cinco (5) parámetros: 1) diferencia de altura del manómetro, 2) diámetro de la tubería, 3) diámetro de la garganta del venturi, 4) densidad del fluido manométrico y 5) temperatura del fluido de la tubería para medir su densidad. b) El caudal calculado es idéntico en la garganta, y luego en la tubería aguas abajo según la ley de continuidad. c) El valor calculado de caudal representa el caudal teórico. Para obtener el caudal real (el real es menor que el teórico) se emplea un coeficiente determinado en forma experimental C D : coeficiente de descarga luego: d) Cuando no se mide con manómetro diferencial sino con manómetros tipo Bourdon, colocados en la tubería aguas arriba y en la garganta, la velocidad se deduce a partir de la ecuación (4): Donde es la diferencia de altura geodésica entre la entrada y la garganta del Venturi. e) Las ecuaciones (11) y (12) sirven para determinar la velocidad teórica en la garganta en un medidor tipo boquilla de flujo redondeada y placa orificio.
Solución al ejercicio 7) 1) Enunciado: Según la figura mostrada se tiene un tubo de Pitot sencillo (medidor de presión total). La deducción de que es un tubo de Pitot y no de Prandtl es que el piezómetro de este instrumento no está conectado a la tubería. Se tienen las dimensiones de las tuberías, h=0,5m. El concepto a emplear es la ecuación de continuidad y la ecuación de Bernoulli sin interacciones. Se pide: Calcular el caudal de agua que circula por la tubería, es decir: 2) Esquema: Se escoge el nivel piezométrico de referencia tal como se muestra. Se identifican las secciones de flujo 1 y 2 tal como se muestra para aplicar la ecuación de Bernoulli. 1 Flujo de agua h=0,5m 2 Z=0 3) Suposiciones: Se ignora fricción, no hay bombas ni turbinas. La densidad del agua es 1000 kg/m 3. La aceleración es de 9,81m/s 2. El fluido manométrico tiene densidad relativa de 13,6. Las medidas internas de las tuberías son las mostradas en el esquema. 4) Leyes Físicas: Se aplica la ecuación de un tubo de Pitot para encontrar presión estática en la corriente arriba del medidor, es decir, la ecuación (13): Donde: : es la velocidad teórica del flujo medida por el Pitot, : es la presión manométrica estática de la corriente en ese punto, : es la densidad del fluido manométrico, : es la diferencia de altura del fluido manométrico en el piezómetro y : es la densidad de la sustancia de trabajo que fluye en la tubería.
Debido a que la presión estática es una variable y la velocidad también, se debe encontrar una ecuación que combinada con la ecuación (13) permita despejar la velocidad. Aplicando Bernoulli entre la sección 1 y 2, se tiene: Del esquema se deduce que: y, luego: Aplicando la ley de continuidad entre 1 y 2, se deriva que: Sustituyendo (16) en (15), se tiene: Sustituyendo la ecuación (13) en la (17) y despejando se tiene: 5) Propiedades:
6) Cálculos: Sustituyendo valores en la ecuación (18), se obtiene: El caudal se obtiene mediante la ecuación de flujo volumétrico: 7) Análisis, comprobación y razonamiento: I. El valor calculado de es teórico. II. La ecuación (13) se deriva previamente, realizando un análisis de ecuación de Bernoulli en un tubo Pitot, conectado conforme al esquema presentado en este problema, despreciando perdidas.