COLEGIO DE BACHILLERES

COLEGIO DE BACHILLERES Guía para presentar eámenes de Recuperación o Acreditación Especial CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

Guía para presentar eámenes de Recuperación o Acreditación Especial. Cálculo diferencial e integral I. (Versión preliminar) Esta guía fue elaborada por la Secretaría Académica, a través de la Dirección de Planeación Académica. Colaborador Profr. Alejandro Rosas Snell. Colegio de Bachilleres, Méico www. cbachilleres.edu.m Rancho Vista Hermosa No. 5 E-Hacienda Coapa, 9, Méico, D.F. La presente obra fue editada en el procesador de palabras Word (Office p). Word es marca registrada de Microsoft Corp. Este material se utiliza en el proceso de enseñanza-aprendizaje del Colegio de Bachilleres, institución pública de educación media superior del Sistema Educativo Nacional. Ninguna parte de esta publicación, incluido el diseño de la cubierta, puede reproducirse, almacenarse o transmitirse en forma alguna, ni tampoco por medio alguno, sea éste eléctrico, electrónico, químico, mecánico, óptico, de grabación o de fotocopia, sin la previa autorización escrita por parte del Colegio de Bachilleres, Méico. JUNIO II

ÍNDICE PRESENTACIÓN... PRÓLOGO... IV V UNIDAD. Razón de cambio.... Razón de cambio promedio... Aplicación del conocimiento... Ejercicios.... Tabla de Comprobación....... Razón de cambio instantánea... Aplicación del conocimiento...... Ejercicios...... Tabla de Comprobación...... Ejercicios de autoevaluación...... Clave de respuesta....... UNIDAD. La función derivada.... La función derivada... Aplicación del conocimiento... Ejercicios.... Tabla de Comprobación....... Técnicas de derivación derivadas de orden superior... Aplicación del conocimiento...... Ejercicios..... Tabla de Comprobación....... Aplicaciones de la derivada... Aplicación del conocimiento... Ejercicios.... Tabla de Comprobación....... Límites... Aplicación del conocimiento... Ejercicios.... Tabla de Comprobación...... Ejercicios de autoevaluación...... Clave de respuesta....... BIBLIOGRAFÍA... 6 9 5 8 6 8 5 7 8 9 5 57 59 67 7 8 89 9 9 97 99 SUGERENCIAS PARA PRESENTAR EXÁMENES DE RECUPERACIÓN O ACREDITACIÓN ESPECIAL.... III

PRESENTACIÓN La evaluación de recuperación la de acreditación especial son oportunidades etraordinarias que debes aprovechar para aprobar las asignaturas que, por diversas razones, reprobaste en el curso normal; pero cuidado!, presentarte a un eamen sin la preparación suficiente significa un fracaso seguro, es una pérdida de tiempo un acto irresponsable que puedes evitar. Cómo aumentar tu probabilidad de éito en el eamen mediante la utilización de esta guía? La respuesta es simple, observa las siguientes reglas: Convéncete de que tienes la capacidad necesaria para acreditar la asignatura. Recuerda que fuiste capaz de ingresar al Colegio de Bachilleres mediante un eamen de selección. Sigue al pie de la letra las instrucciones de la guía. Procura dedicarte al estudio de este material, al menos durante 5 días, tres horas diarias continuas. Contesta toda la guía: es un requisito que la presentes resuelta en limpio al profesor aplicador antes del eamen correspondiente. IV

PRÓLOGO En el marco del programa de desarrollo institucional 6, el estudiante adquiere una especial relevancia, por lo que el Colegio de Bachilleres metropolitano se ha avocado a la elaboración de diversos materiales didácticos que apoen al estudiante en diversos momentos del proceso de enseñanza aprendizaje. Uno de los materiales elaborados son las guías de estudio, las cuales tienen como propósito apoar a los estudiantes que deben presentar eámenes de recuperación o acreditación especial favoreciendo sus probabilidades de éito. En este conteto, la guía para presentar eámenes de recuperación acreditación especial de Cálculo Diferencial e Integral I se ha elaborado con el propósito de que los estudiantes que se encuentran en situación académica irregular que tienen necesidad de presentar eámenes en periodos etraordinarios para acreditar la asignatura cuenten con este material para llevar a cabo su preparación, así, contar con más elementos para incrementar sus posibilidades de éito. Esta guía aborda en forma integral sintética las principales temáticas establecidas en el programa de estudio; las actividades ejercicios que se plantean son un apoo para que el estudiante recupere los conocimientos previos, los relacione con otros más complejos, en su caso, los aplique en el desarrollo de procedimientos modelos matemáticos propios del cálculo. Esto permitirá que, con el estudio de la guía, continúe desarrollando ejercitando sus habilidades de análisis razonamiento matemático. Al final del desarrollo de las unidades la guía contiene una autoevaluación sobre los elementos esenciales de toda la unidad, para que el alumno verifique su grado de comprensión dominio. Asimismo se incluen algunas sugerencias para reforzar el apoo sobre los aspectos estratégicos del tema. En la primera unidad, RAZÓN DE CAMBIO, se aborda de manera gráfica algebraica la representación de funciones, la razón de cambio promedio la razón de cambio instantánea, así como el planteamiento de problemas en los cuales se aplican verifican los procedimientos modelos matemáticos estudiados en el planteamiento de la solución. En la segunda unidad, LA FUNCIÓN DERIVADA, se abordan los conceptos de derivada, límite continuidad de una función, también de manera gráfica algebraica. En particular, dada su importancia, se revisan diferentes métodos, técnicas reglas para derivar funciones, pues son indispensables en la identificación aplicación del procedimiento adecuado según el problema que se quiera solucionar. Por último se proporciona una bibliografía básica en la que se pueden consultar los temas desarrollados en la guía. En síntesis, la guía para presentar eámenes de recuperación acreditación especial constitue un material didáctico producto del esfuerzo académico orientado a fortalecer los niveles de aprovechamiento acreditación de los estudiantes. V

VI Cálculo Diferencial e Integral I

UNIDAD RAZÓN DE CAMBIO

Cálculo Diferencial e Integral I

UNIDAD. RAZÓN DE CAMBIO PROMEDIO Aprendizajes Calcular numéricamente la razón de cambio promedio. Interpretar gráficamente la razón de cambio promedio. Recuerda que el incremento de una variable que pasa de un valor numérico a otro es la diferencia que se obtiene restando el valor inicial del valor final. Un incremento de se representa por, que se lee delta. Es evidente que el incremento puede ser positivo o negativo (decremento), según la variable aumente o disminua al cambiar de valor. Si en = f() (regla de correspondencia de una función) la variable independiente toma un incremento, entonces indicará un incremento de f(), o sea, de la variable dependiente. El incremento siempre ha de contarse desde el valor inicial definido en, que corresponde al valor inicial arbitrariamente fijado para, desde el cual se cuenta el incremento. El siguiente ejemplo muestra cómo los intervalos que se seleccionan deben ser cada vez más pequeños para calcular la razón de cambio promedio, que a has estudiado como la pendiente de una línea recta conocidos dos de sus puntos. Si se lanza un objeto que caerá a una distancia de 6t cabo de tres segundos? pies en t segundos. cuál será la velocidad al En Física se define la velocidad promedio de un objeto en movimiento sobre un intervalo de tiempo como el cociente de la distancia recorrida, dividida por el tiempo transcurrido: v S t donde: S es el desplazamiento o distancia. t es el tiempo. La solución de este ejemplo la enfocaremos calculando la velocidad promedio sobre intervalos de tiempo más más pequeños, intervalos que comienzan en el instante de tiempo que nos interesa. Para nuestro caso, el tiempo será de segundos; entonces, el objeto ha caído a una distancia de pies (6() = ); para cuando t = segundos, el objeto ha caído a una distancia de 56 pies (6() = 56). Con los cálculos anteriores, podemos observar que en el intervalo de un segundo, iniciando en t = segundos finalizando en t = segundos, el objeto cae una distancia de 56 = pies; así, su velocidad promedio en el intervalo de un segundo es de pies/segundo. Con base en lo anterior,

procedamos análogamente para encontrar las velocidades promedio en intervalos de tiempo cada vez más pequeños, iniciando en el instante de tres segundos, como se muestra a continuación: Tiempo (segundos) Distancia (pies) Velocidad promedio (pies/segundo) 56 56.5 96 96.5. 5.76 5.76. 97.6..966.966. 96.6..966.966. 96.6 Así, las velocidades anteriores son aproimaciones a la velocidad del objeto en el instante t = segundos. Recuerda que la función f() = m + b ó = m + b donde m b son números reales fijos, se llama función lineal. Su gráfica es una recta no vertical solemos decir que la función es una recta ó viceversa. Si dos puntos cualesquiera distintos, digamos (, ) (, ) están en o pertenecen a la recta f() = m + b, entonces tenemos para estos puntos: f( ) = m + b f( ) = m + b Pero si utilizamos la regla de correspondencia de una función ( = f() ) tenemos que: = m + b = m + b si restamos la primera epresión de la segunda epresión, obtenemos: m m b b m m

UNIDAD factorizando se obtiene m m( ) Donde: m es la razón de cambio de la cantidad respecto a la cantidad, mide lo inclinado de la recta, por lo que se le denomina pendiente de la línea recta. Como la razón de cambio promedio es un cociente de incrementos ( / ) cada incremento es la diferencia de restar el valor inicial del valor final, podemos concluir que: m es la razón de cambio promedio. 5

APLICACIÓN DEL CONOCIMIENTO De la función f ( ) vamos a calcular la pendiente de la curva en el punto =. Si tomamos P (, ) de la curva, entonces enfocamos el problema hallando las pendientes de las rectas que se llaman secantes, que pasan por P otro punto de la curva que elegimos más más próimo a P. Por ejemplo, cuando toma los siguientes valores: Si = 5, f(5) = 5 5 + =, P (5, ), calculamos la pendiente tomando los puntos P P, Tendremos que: m = 8 5 A continuación realizaremos cuatro aproimaciones sucesivas, tomando para cada una el punto P. Si =., f(.) =.7, P (.,.7). Si =., f(.) =.7, P (.,.7). Si =., f(.) =.7, P (.,.7). Ahora graficaremos las pendientes de cada uno de los pares de puntos que hemos calculado, determinando la pendiente de éstos: Para P (, ) P (5, ); P 5 8 m 8 P P P Para P (, ) P (.,.7) P.7..7 m 7. P P P. 6

UNIDAD Para P (, ) P (.,.7). P P..7..7 m 7. P P Para P (, ) P (.,.7). P.7..7 m 7. P P P. De las gráficas anteriores observamos que la función la pendiente forman un triángulo rectángulo, cuos catetos son, la hipotenusa es la recta secante que une a P con P la razón de cambio promedio es la epresión m 7

Ahora, considerando el procedimiento ejemplificado resuelve el siguiente ejercicio: Se realizó una investigación para conocer la cantidad de basura en toneladas que en un periodo vacacional de una semana se tiran al mar diariamente en las plaas de Acapulco, los resultados se muestran en la siguiente tabla: Calcula: Días () Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo Toneladas de...7.8 7.5.8.7 basura () a) Cuál es la razón de cambio promedio de basura que se arroja al mar entre lunes martes? b) Cuáles son las razones de cambio promedio entre martes miércoles, miércoles jueves, jueves viernes, viernes sábado, sábado domingo? 8

UNIDAD EJERCICIOS INSTRUCCIONES: Calcula el cociente de incrementos de cada una de las siguientes funciones entre los puntos dados.. f(t) = t + 7; (, 9) (, ).. f() = ; (, ) (/, ).. h ( s) s 6s ; (, 6) (, ).. ( ) h ; (, ) (, 8 ). 9

INSTRUCCIONES: Lee con atención cada uno de los siguientes reactivos realiza lo que se solicita. 5. La estatura en cm de un estudiante fue medida cuando nació posteriormente a intervalos de dos años hasta los 8 años. Los resultados de las mediciones se muestran en la siguiente tabla. Calcula: Edad () 6 8 6 8 Altura () 5. 86.6. 5.9 8 8.6 5.9 5.9 6.5 6.5 I. En qué periodo de su vida creció el estudiante más rápidamente (razón de cambio promedio) II. En qué periodo de su vida su crecimiento fue más lento? III. Cuál es su estatura definitiva?

UNIDAD 6. Un submarino lanza un proectil; la altura en metros sobre el nivel del mar está dada por la función f ( ) 7 6, donde es el tiempo en segundos. I. Traza la gráfica desde = hasta = 5 segundos, con intervalos de tiempo de.5 segundos. II. Calcula las pendientes de las rectas secantes (razones de cambio promedio) para los puntos sucesivos.

7. La cantidad de producción de maíz varía con el clima, la cantidad de lluvia los cuidados que se le tengan a la siembra; la siguiente tabla muestra las producciones de maíz en miles de toneladas en Méico entre los años 98 a 99. Años () 98 98 98 985 986 987 988 989 99 99 99 Producción de maíz () Determina: 9.5....9.5.6 7.6 8. 9.7.8 I. Cuál fue la producción promedio de maíz entre los años 988 988 ; 985 985? II. De qué año a qué año la producción promedio de maíz fue maor de cuánto fue?

UNIDAD TABLA DE COMPROBACIÓN Número de pregunta Respuesta correcta 5 I. Las razones de cambio promedio fueron: De a años: 8. De a años: 8. De a 6 años: 6.5 De 6 a 8 años: 6.5 De 8 a años: 5. De a años: 6.65 De a años:. De a 6 años: 5. De 6 a 8 años:. Por lo tanto, creció más rápidamente de a años. II. III. De a 8 años. De 6.5 centímetros.

Número de pregunta Respuesta correcta I. 5-6 8-5 - -5 - -5 6 II. Tiempo () Altura ().5.5.5.5 5 6 5 8 5 6 m m 6 P P P 5 P 6 m m 8 P P P 6 P 7 m 8 m P P P 7 P8 m 6 m P P 5 P 8 P 9 7 I.. 6 II. De 988 a 989; fue de Sugerencias Recuerda que la razón de cambio promedio es la razón de los incrementos de con respecto a los incrementos de, es decir, es el cálculo de la pendiente de una línea recta.

UNIDAD. RAZÓN DE CAMBIO INSTANTÁNEA Aprendizajes Aproimar numéricamente la razón de cambio instantánea. Interpretar gráficamente la razón de cambio instantánea. En la vida diaria encontramos frecuentemente cantidades que cambian con el paso del tiempo; por ejemplo, la concentración de sal en el océano está aumentando lentamente o la población del mundo está creciendo rápidamente. La velocidad, como vimos en la sección anterior, es la razón de cambio de la distancia con respecto al tiempo. Es importante distinguir entre la razón de cambio promedio en un intervalo la razón de cambio instantánea en un momento preciso. Para ello, recordemos que la pendiente de una línea recta secante a una curva se calcula con la epresión m Gráficamente se representa de la siguiente forma: Q P De la gráfica anterior observamos que la razón de cambio promedio es la pendiente de la recta secante que pasa por dos puntos P Q. 5

Veamos el siguiente ejemplo. Un objeto P cae en el vacío. Los eperimentos demuestran que si empieza en reposo, P cae 6t pies en t segundos. Esto corresponde a la ecuación s 6t ; entonces, cae 6 pies en el primer segundo 6() 6 6 en los dos primeros segundos 6() 6, como muestra la siguiente figura: er segundo 6 s 6t segundo 8 6 Claro está que el objeto P caerá más rápido a medida que transcurre el tiempo. De la figura se observa que en el segundo, es decir, de t a t, P cae ( 6 6) pies su velocidad promedio es: s 6 6 v prom. 8 pies por segundo. t Durante el intervalo t a t. 5, cae 6(.5) 6 pies; su velocidad promedio es: 6 6(.5) 6 v prom. pies por segundo..5.5 En forma análoga, en los intervalos de tiempo: de t a t., de t a t. de a, tenemos que la velocidad promedio es respectivamente: t t. 6(.) 6.6 v prom..6 pies por segundo... 6(.) 6.6 v prom..6 pies por segundo... 6(.) 6.6 v prom..6 pies por segundo... Lo que hemos hecho es calcular la velocidad media sobre intervalos de tiempo cada vez más cortos, comenzando cada uno en t segundo. Cuanto más corto sea el intervalo, nos aproimamos a la velocidad en el instante t. Observando los datos: 8,,.6,.6.6, vemos que la velocidad promedio se aproima a cuando el intervalo de tiempo es cada vez más pequeño, de manera que es

UNIDAD claro que la velocidad tiende a, con la cual coincidirá si el intervalo es cero, es decir, cuando tenemos la velocidad instantánea. Pero seamos más precisos; supóngase que el objeto P se mueve a lo largo del eje coordenado de modo que su posición en el momento t está dada por s f (t). En el instante c, el objeto está en f (c) en el instante c h, en f ( c h), por lo tanto, la velocidad media durante este intervalo es: f ( c h) f ( c) v prom. h Se define la velocidad instantánea v en el instante c (razón de cambio instantánea), mediante la siguiente epresión: f ( c h) f ( c) v límv prom. lím h h h Aplicando esta fórmula al ejercicio en el instante t, tenemos lo siguiente: v lím h f ( h) h f () 6( lím h h) h 6 Desarrollando el binomio realizando las operaciones indicadas se obtiene: v 6( lím h h h h ) 6 lím h 6 h 6h h 6 lím h 6h Como h (h se acerca a cero), el segundo término tiende a cero obteniendo como resultado: v lím h 6h la cual es la razón de cambio instantánea cuando t segundo. Podemos concluir que la pendiente de la recta tangente la velocidad instantánea son iguales; esto es: v inst m f ( lím ) f ( ) Cfr. Purcell, Edwin J. Cálculo Diferencial e Integral. Prentice-Hall Hispanoamericana. p p. 95-96. 7

APLICACIÓN DEL CONOCIMIENTO Supongamos que f ( ) es la distancia a la que cae un objeto en segundos. Vamos a determinar una aproimación a su velocidad cuando mediante intervalos de a., de a. de a.. Si aplicamos la razón de cambio promedio, tenemos que:, entonces f (), entonces tenemos el punto P (, ) Si Si., entonces f ()., entonces tenemos el punto P (.,.) Si., entonces f ()., entonces tenemos el punto P (.,. ) Si., entonces f ()., entonces tenemos el punto P (.,. ) Calculamos ahora las razones de cambio promedio, recordando que: m... de P a P... de P a P... de P a P Observemos que cuando, la velocidad se aproima a, esto ocurre cuando los intervalos de tiempo son cada vez más pequeños, es decir, nos estamos acercando al límite cuando, que se lee el límite cuando delta equis tiende a cero. Podemos concluir de este ejemplo que cuando, la velocidad instantánea toma el valor de. Observa cuidadosamente el siguiente ejercicio. Una nueva población empezó con 5 habitantes. El número de habitantes, g (t), en un tiempo t está dado por la función g ( t) 5t t 5.. Veamos cómo se calcula la tasa promedio de crecimiento de la población desde su fundación hasta: 8 a) Dos años después. b) Tres años después.

UNIDAD c) Entre dos cuatro años posteriores a su fundación. Se sustituen los valores de los años (hasta cuatro) en la función, obteniendo los siguientes datos: t g() 5 575 6 575 5 De la tabla anterior, tenemos lo siguiente: a) Para dos años después: g( t) t 6 5 5 b) Para tres años después: g( t) t 575 5 5 c) Entre dos cuatro años: g( t) t 5 6 5 Ahora obtendremos la tasa de crecimiento instantánea eactamente: a) Un año después. b) Dos años después. c) Tres años después de su fundación. Para encontrar la tasa de crecimiento instantánea, debemos aplicar la epresión de límite a la función de segundo grado, esto es: lím Δ f ( ) f ( ) Esto quiere decir que debemos incrementar la función de la siguiente manera: Si g ( t) 5t t 5, entonces: lím g( t) t lím t 5( t t) ( t t) 5 t 5t t 5 9

Ahora desarrollamos los binomios efectuamos las multiplicaciones indicadas para ir simplificando la epresión. lím t 5( t t t ( t) ) t t t 5 5t t 5 Simplificamos la epresión hacemos que t lím t 5t 5t t 5( t) t t t 5 5t t 5 lím t 5t t 5( t) t t 5t 5 t Como t, entonces el resultado es: 5t Si ahora consideramos los tiempos, tenemos que: Si t, entonces la tasa de crecimiento instantánea es: 5 () 5 t, entonces la tasa de crecimiento instantánea es: 5 () Si Si t, entonces la tasa de crecimiento instantánea es: 5 () 5 Analiza el siguiente ejemplo. Con láminas cuadradas de cm por lado se desea construir cajas sin tapa del máimo volumen posible. Para ello, a las láminas se les recortan cuadrados iguales en las esquinas se realizan dobleces hacia arriba, como se muestra en la figura.

UNIDAD Si es el lado del cuadrado que se va a cortar V es el volumen de la caja resultante, entonces f ( ) ( )( ) 8 a) Cuál es la gráfica de la función? b) Cuánto mide cada lado de los cuadrados que se cortan? c) Cuál es el volumen máimo de la caja? a) Si consideramos que toma los valores de cero hasta 6 centímetros, tenemos: Graficando estos puntos tenemos: 8 8 6 5 6 8 6-5 6 7 Para calcular la razón de cambio instantánea, utilizamos la fórmula: lím Δ f ( ) f ( ) Realizando el incremento, tenemos: lím 8 8 lím ( ) ( ) 8 96 8( ) 8

Reduciendo términos semejantes, tenemos: lím ( ) ( ) 96 8( ) Simplificando : lím ( ) 96 8( ) Hacemos que tenemos como resultado: 96 que es la razón de cambio instantánea para el valor más alto de la curva. b) Como el resultado es una ecuación cuadrática debemos resolverla, el método más sencillo para hacerlo es la factorización, que a conoces; la epresión cuadrática se divide entre para facilitar la factorización, entonces la epresión queda de la siguiente forma: 8 Por lo tanto, los factores resultantes son: ( 6)( ) Al igualarlos por separado con cero, resultan las dos raíces: 6, que son las soluciones de la ecuación cuadrática. Sustituimos los valores en la función original para hallar el valor de : Este punto sería (6, ), el cual no está en la gráfica. f ( ) 8, por lo tanto: Si 6, entonces Si, entonces 8 Este punto sería (, 8), el vértice de la parábola, es decir, el punto máimo de la curva por consecuencia, la solución. c) A la lámina metálica le tendrán que cortar cuadrados de cm de lado en las correspondientes esquinas para obtener el volumen máimo de 8 cm.

UNIDAD Ahora, resuelve el siguiente ejercicio aplicando las ideas anteriores. Cuál es la razón de cambio instantánea para la siguiente función? f ( )

EJERCICIOS INSTRUCCIONES: Lee con atención el siguiente reactivo contesta lo que se solicita.. Se lanza una pelota al aire que sigue una traectoria descrita por la función cuadrática:., donde está en pies. I. Cuál es la gráfica de la traectoria? II. Cuál es la distancia total horizontal que recorre la pelota? III. Cuál es la epresión que representa la razón de cambio instantánea de la altura de la pelota respecto al cambio horizontal? IV. Cuál es la altura máima que alcanza la pelota?

UNIDAD INSTRUCCIONES: Calcula la razón de cambio instantánea para las siguientes funciones.. f ( ). f ( ). f ( t) t 8t 5

TABLA DE COMPROBACIÓN Número de pregunta Respuesta correcta I. 5 8 8 8 6 5 II. La distancia total horizontal es de 5 pies. III. La razón de cambio instantánea es: ( ).( ) (. ) lím Aplicando el límite: lím...( ).. IV. Con base en la gráfica, la altura máima que alcanza la pelota es de =.5 pies. La razón de cambio instantánea de f ( ) es: ( ) ( ) lím ( ) lím Reducimos aplicamos el límite:, que es el resultado. 6

UNIDAD Número de pregunta Respuesta correcta La razón de cambio instantánea de f ( ) es: Lo multiplicamos por su conjugado: ( ) lím ( ) lím ( ) ( ) ( ) lím ( ) Simplificamos reducimos términos semejantes ( ) lím ( ) Aplicamos el límite: La razón de cambio instantánea de f ( t) t 8t es: ( t t) 8( t t) ( t 8t) lím t t t t ( t) 8t 8 t t 8t lím t Simplificamos términos: t t ( t) 8 lím t t t 8 Sugerencias Recuerda que los procedimientos algebraicos son esenciales en la solución donde se emplean límites. La razón de cambio promedio se calcula en un intervalo la razón de cambio instantánea se calcula en un punto o momento dado. 7

AUTOEVALUACIÓN Cuentas con sesenta minutos para realizar estos ejercicios. INSTRUCCIONES: Lee con atención los siguientes reactivos contesta lo que se pide.. Una epidemia de cierta enfermedad, para la que no ha cura, azota una ciudad los médicos estiman que el número de personas enfermas en un tiempo, medido en días, está dado por la epresión: f ( ) Cuál es la razón de cambio instantánea de la epidemia para cuando = 65 días?. Cuál es la razón de velocidad instantánea de un objeto en caída libre cua epresión algebraica está dada por: S ( t) 6t, para cuando t = seg.? 8

UNIDAD INSTRUCCIONES: Calcula la razón de cambio instantánea para las siguientes funciones.. f ( ). f ( t) t 8t 5. f ( ) 9

CLAVE DE RESPUESTAS Número de pregunta Respuesta correcta La razón de propagación instantánea es: + si = 65 días; entonces tendremos 6 personas enfermas. La razón de velocidad instantánea de un objeto es: t si t = seg.; entonces la velocidad es de 96 m/seg. ( ) ( ) ( ) lím f ( ) ( t t) 8( t t) ( t 8t) lím f ( ) t 8 t t ( ) ( ) 5 lím f ( )

UNIDAD LA FUNCIÓN DERIVADA

Cálculo Diferencial e Integral I

UNIDAD. LA FUNCIÓN DERIVADA Aprendizajes Aplicar el concepto de derivada a partir de las razones de cambio instantáneas. Aplicar el concepto de derivación para hallar la derivada de funciones algebraicas. Hemos visto que la pendiente de una línea recta está dada por la epresión: m pendiente de una línea recta. Donde: P, ) P, ) son dos puntos cualesquiera de la línea recta. ( ( Cuando la línea recta secante cambia de posición ( ), vemos que la pendiente de esta línea recta secante pasa dos puntos cualesquiera (P Q), la epresión es: m f ( ) f ( ) sec. razón de cambio promedio. Ahora, si consideramos que, es decir, si Q se acerca cada vez más a P, como se ve en la siguiente figura. Q (, ) P (, )

Entonces la pendiente de la línea tangente en el punto P está dada por la epresión: m lím f ( lím ) f ( ) tan razón de cambio instantánea. La epresión anterior se llama derivada de f en (siempre que eista el límite) se denota por f (). Se dice que una función es diferenciable en si eiste su derivada en, llamándose derivación al procedimiento para calcular la derivada; además, recuerda que no solamente se utiliza el símbolo de f () para denotar la derivada de una función, sino que encontrarás otras, como por ejemplo: d f,, d df ( ) d, D f d Para denotar la derivada de una función, utilizaremos f () o o si introducimos la notación de límite, d tenemos que la derivada de una función tiene por epresión: f lím f ( ) f ( ) Recuerda que la derivada se puede interpretar como una razón de cambio instantánea de una variable respecto a otra. Para la derivada (pendiente de una línea recta tangente a una curva) de una función por la epresión de límite, utilizaremos el siguiente procedimiento, conocido como el método de los tres pasos. Dada la función Paso. Se incrementa la función se le resta la función original. Paso. Se divide el incremento de la función entre. Paso. Hacemos que para obtener su derivada.

UNIDAD APLICACIÓN DEL CONOCIMIENTO Utilicemos el procedimiento anterior para calcular la pendiente de la recta tangente a la función f() =, en cualquier punto. Paso. Aplicamos la siguiente fórmula a la función: Paso. mtan m = tan lím f ( ) lím ( lím f ( ) lím Paso. m f ( ) tan ) ( f ( ) ) = Calcula la derivada (pendiente de la recta tangente a una curva) de la función f() = +. Paso. Paso. Simplificamos términos semejantes. Paso. ( ) ( ) f '( ) lím ( ) lím lím ; como, entonces: f '( ) Ahora vamos a calcular la derivada de la función f ( ) Paso. Se sustitue la función en la fórmula. f '( ) lím 5

Multiplicamos utilizando binomios conjugados. lím ( ) ( ) lím ( ) Paso. Simplificamos radicales eponentes: lím ( ) Paso. Simplificamos términos semejantes hacemos que : Finalmente tenemos: f '( ) Ahora aplica las ideas anteriores para calcular la derivada de la función f ( ). 6

UNIDAD EJERCICIOS INSTRUCCIONES: Para cada una de las siguientes funciones, calcula la derivada (la pendiente de la recta tangente a una curva mediante su definición con límite) utilizando el método de los tres pasos.. f ( ). f ( ). f ( ). f ( ) 7

TABLA DE COMPROBACIÓN Número de pregunta Respuesta correcta f '( ) f '( ) ) ( f '( ) ( ) f '( ) 6 Sugerencias Recuerda que en el método de los tres pasos lo más importante es el incremento de la función menos la función original, dividida entre el incremento de. 8

UNIDAD. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN Y DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR Aprendizajes Calcular la derivada de funciones algebraicas. Calcular la derivada de funciones trascendentes. Calcular las derivadas sucesivas de una función. Reglas de derivación para funciones algebraicas Hasta aquí hemos calculado las derivadas de las funciones algebraicas por medio de la definición de derivada como límite. Este procedimiento es tedioso difícil, por lo que daremos algunas reglas o teoremas que nos permitan calcular la derivada de funciones algebraicas sin usar directamente los límites. Dichas reglas son las siguientes.. Regla de las constantes La derivada de una constante es cero. d( C) d. La derivada de la función identidad es uno ; donde C es una constante.. Regla de una constante por una función ( producto por un escalar) dc ( u) d du C d. Regla de la suma la diferencia de funciones d d ; donde C es una constante u es una función. d ( u v) d La derivada de la suma, o la diferencia de dos funciones, es la suma o la diferencia de sus derivadas. du d dv d 5. Regla de las potencias simples n d( ) n n d 9

6. Regla de las potencias generales 7. Regla del producto de dos funciones n du d d ( uv) d n u n dv u d du d du v d La derivada del producto de dos funciones es igual al producto de la primera función por la derivada de la segunda función, más la segunda función por la derivada de la primera función. 8. Regla del cociente de dos funciones u d v d vu' uv' v du v d v dv u d La derivada del cociente de dos funciones es igual al producto del denominador por la derivada del numerador, menos el numerador por la derivada del denominador, dividido todo por el denominador al cuadrado. 9. Regla de la cadena dv d dv du du d Si f (u) es una función diferenciable en u u g() es una función diferenciable en, entonces : f g() es una función diferenciable en. v'u' Reglas de derivación para funciones trascendentes Recuerda que las funciones trascendentes son las funciones trigonométricas, eponencial logarítmica. a) Reglas de derivación para las funciones trigonométricas. Función seno. Función coseno. Función tangente d( sen u) d d (cos u) d cos d (tan u) d du u d du sen u d sec du u d

UNIDAD. Función cotangente 5. Función secante 6. Función cosecante d (cot u) d d(sec u) d d(csc u) d csc du u d secu tan u du d cscu cotu du d b) Reglas para derivar la función eponencial e u e Esta derivada hará patente una de las peculiaridades de las funciones trascendentes; si bien la derivada de una función algebraica es siempre algebraica, la derivada de una función trascendente no tiene que ser trascendente. Podemos iniciar comentando que:. Toda derivada de e es igual a e, esto es: d ( e ). Si u es una función derivable en, entonces: d( e d. Particularmente, si k es una constante, entonces: d u ) k d ( e ) c) Reglas para derivar funciones logarítmicas naturales d e u e du d ke k En este apartado vamos a considerar la derivada del logaritmo natural.. Derivada de la función logaritmo natural d ln d. Si u es una función diferenciable en, entonces: d(ln u) d u du d

Derivadas de orden superior o derivadas sucesivas Recuerda que la derivada de una función es también una función, claramente susceptible de tener otra derivada a la cual llamaremos segunda derivada de la función. Si entonces: ' por lo tanto '' 6 Recuerda que las notaciones para la primera derivada de una función son: Así, para las segundas derivadas son: d f ', ',, D f ó d df ( ) d d d f ( ) f ' ', ' ',, D f ó d d Si después de obtener la segunda derivada continuamos derivando, obtenemos sucesivamente la tercera, cuarta,..., n ésima derivada o derivadas sucesivas.

UNIDAD APLICACIÓN DEL CONOCIMIENTO Vamos a calcular la derivada de las siguientes funciones algebraicas aplicando las reglas correspondientes. I. f () Si aplicamos la regla, tenemos: df ( ) d d() d II. 5 Si aplicamos las reglas,, tenemos: d d d( d 5) d d d(5) d () III. f ( ) Si aplicamos las reglas 8,,, tenemos: f ' ( ) d d d d Entonces, f '( ) 6 6 Al reducir términos semejantes: f '( ), que es el resultado. IV. 5 6 Si aplicamos las reglas, 6, tenemos: ' 6 5 6 5 5 5, que es el resultado.

Cálculo Diferencial e Integral I V. Cambiando a eponentes racionales. Si aplicamos las reglas 6,,, tenemos: ' Simplificando: ', que es el resultado. Aplica las reglas correspondientes calcula la derivada de la función ) ( f

UNIDAD Aplicando las reglas correspondientes calcularemos la derivada de las siguientes funciones trigonométricas. I. cos Aplicamos la regla de la función coseno. d d(cos ) d( sen( ) ) d d d d d Por lo tanto: 6 sen( ) II. tan () sen ( )(6) Aplicamos la regla 6 de las funciones algebraicas después la regla de la función tangente. ' tan d tan () () d tan () sec Reduciendo términos obtenemos: ' tan ()sec () () III. csc Aplicamos la regla 8 de las funciones algebraicas después la regla de la función cosecante. () () ' csc cot csc cot ' csc cot ; que es el resultado final. IV. sen Aplicamos la regla 6 de las funciones algebraicas después la regla de la función seno. Recuerda que /, aplicando esta propiedad tenemos: ' sen / cos () cos sen / Simplificamos el resultado es: ' cos () sen () 5

V. sen, Aplicamos las reglas 6 7 de las funciones algebraicas, la regla de la función seno. ' cos sen Ordenando llegamos al resultado: ' cos sen ( ) VI. tan 5 Aplicamos las reglas 7 de las funciones algebraicas luego la regla de la función tangente. ' sec 5 5 tan 5 sec 5, que es el resultado. Aplica las reglas correspondientes calcula la derivada de la función f ( ) sen 6

UNIDAD Vamos a calcular la derivada de las siguientes funciones eponenciales aplicando las reglas correspondientes. I. e Si aplicamos la regla, tenemos: ' e ; que es el resultado. II. e Si aplicamos la regla la regla 8 algebraica, tenemos: ' e () () e Por lo tanto, el resultado es: ' e III. e Si aplicamos la regla, tenemos: ' e () e, que es el resultado. IV. e Si aplicamos la regla la regla 8 algebraica, obtenemos como resultado: ' e ( ) () e V. e sen( ) Si aplicamos la regla la regla trigonométrica, llegamos al siguiente resultado: ' e sen() cos()() e sen() cos() 7

VI. f ( ) e Si aplicamos la regla, tenemos siguiente resultado: f '( ) e e Aplicando las reglas correspondientes calcula la derivada de la función e Vamos a calcular la derivada de las siguientes funciones logaritmo natural aplicando las reglas correspondientes. I. f ( ) ln Si aplicamos la regla las reglas 5 de las funciones algebraicas, tenemos que: ' f ( ) Por lo tanto, el resultado es: f '( ) II. f ( ) ln Si aplicamos la regla la regla 6 algebraicas, tenemos: f '( ) / () Por lo tanto, el resultado es: f '( ) III. ln Si aplicamos la regla la regla 7 algebraica, tenemos: ' ln, que es el resultado. 8

UNIDAD IV. ln Si aplicamos la regla la regla algebraica, tenemos: ', que es el resultado. V. ln Si aplicamos la regla, las reglas 5 de las funciones algebraicas, tenemos: VI. ln ln ', que es el resultado. Si aplicamos la regla, tenemos: ' ln ln, que es el resultado. Calcula la derivada de la función f ( ) ln aplicando las reglas correspondientes. 9

Observa con cuidado cómo se calcula la segunda derivada de la función: f ( ) f '( ) f ''( ) Ahora observa cómo calculamos la tercera derivada de la función: 5 ' '' 5 6 ''' 6 7 Para llegar a la solución de ciertos problemas en ocasiones es necesario obtener estas derivadas, como puedes observar, no presentan ninguna dificultad. 5

UNIDAD EJERCICIOS INSTRUCCIONES: Para cada una de las siguientes funciones algebraicas calcula su derivada... 5.. f ( ) 5. f ( ) 9 5

6. 6 9 INSTRUCCIONES: Para cada una de las siguientes funciones trigonométricas calcula su derivada. 7. sen cos 8. sen cos sen 9. sen. sen. tan 5

UNIDAD. cot8 INSTRUCCIONES: Para cada una de las siguientes funciones eponenciales calcula su derivada.. e. f ( ) e 5. e 6. e e 7. e cos 5

INSTRUCCIONES: Para cada una de las siguientes funciones logaritmo natural calcula su derivada. 8. ln e 9. f ( ) ln. ln. ln. ln 5

UNIDAD. ln sen. ln 5. Calcula la tercera derivada de la función: sen 6. Calcula la segunda derivada de la función: f ( ) tan 5 7. Calcula la segunda derivada de la función: sen 55

8. Calcula la segunda derivada de la función: f ( ) 9. Calcula la segunda derivada de la función: 6 9 56

UNIDAD TABLA DE COMPROBACIÓN Número de pregunta Respuesta correcta ' ' 6 5 5 ' f '( ) 5 8 f '( ) 5 6 ' 8 7 ' sen cos 8 ' cos 9 ' 6 sen cos ' cos sen ' tan sec ' csc 8 9 e ' e 5 ' e 6 7 ' e sen cos 8 ' ' e e e e 9 f '( ) ln ' ' ln 57

Número de pregunta Respuesta correcta 6 ' cot ' ln 5 ' '' cos sen 6 '' sec 5 tg 5 7 ' ' 6sen '' 6 8 9 '' Sugerencias Es importante que repases las reglas para derivar las diferentes funciones, de ser necesario puedes consultar: Cálculo diferencial e integral de J. Purcell D. Varberg. Prentice Hall. Méico pp. 7 6. 58

UNIDAD 59

. APLICACIONES DE LA DERIVADA Aprendizajes Aplicar la derivada para calcular valores críticos, puntos máimos mínimos, sentido de concavidad puntos de infleión. Determinar las ecuaciones de las rectas tangente normal. Recordemos que una función es creciente sobre un intervalo, si su gráfica asciende. Una función es decreciente sobre un intervalo, si su gráfica desciende. A continuación haremos un bosquejo de la gráfica de cuatro diferentes funciones sobre el intervalo (a, b); es decir, para entre a b. a b a b a b a b 6

UNIDAD Todas las afirmaciones que siguen son verdaderas para estas cuatro funciones. a) La gráfica se eleva sobre todo el intervalo (a, b). b) Cada función es creciente sobre el intervalo (a, b). c) Una recta tangente en cualquiera de las gráficas, en cualquier punto, digamos en el intervalo (a, b), tiene pendiente positiva. A continuación tenemos las gráficas de otras cuatro funciones, ahora sobre el intervalo (c, d); es decir, para entre c d. c d c d c d c d Todas las afirmaciones que siguen son verdaderas para estas cuatro funciones. a) Cada gráfica desciende sobre el intervalo (c, d). b) Cada función decrece sobre el intervalo (c, d). c) La recta tangente a cualquiera de las gráficas en cualquier punto, digamos en el intervalo (c, d), tiene pendiente negativa. 6

Con base en lo anterior, podemos decir que f () es creciente en el intervalo o sobre el intervalo (a, b), si para cualesquiera dos puntos del intervalo, se cumpla que. Entonces: f( ) f( ) a b Ahora, f () es decreciente en el intervalo o sobre el intervalo (c, d), si para cualesquiera dos puntos del intervalo, se cumpla que. Entonces: f( ) f( ) c d Recuerda que el signo de la derivada nos permite hablar del carácter de una función desde el punto de vista de ser creciente o decreciente, entonces: Si f () en todo el intervalo, entonces f() es creciente en el intervalo. Si f () en todo el intervalo, entonces f() es decreciente en el intervalo. Puntos críticos de una función Si la función tiene una derivada en = a, entonces será verdad una de las siguientes afirmaciones: f (a) ó f (a) ó f (a) = Cualquier número a en la cual f (a) = se llama punto crítico ó valor crítico de la función. Si f (a) =, entonces la recta tangente a la curva en = a es horizontal, como se muestra en las siguientes gráficas: 6

UNIDAD a a Los puntos críticos de una función son de mucha importancia al trazar una curva. Para obtener los puntos críticos de una función primero calculamos la derivada de la función, se iguala a cero después la factorizamos resolvemos la ecuación f () = resultante. Valores máimos mínimos Un gran número de aplicaciones en Cálculo involucran la determinación de los puntos más altos ó bajos de una curva. Estos puntos corresponden a lo que llamamos máimos o mínimos de la función. La primera derivada es de utilidad para identificar estos puntos. Intuitivamente un mínimo local de una función es un punto donde el valor de la función es menor que en cualquier otro punto de su vecindad o entorno; un mínimo local puede o no ser el punto más bajo de toda la gráfica. Mínimos locales Intuitivamente un máimo local de una función es un punto en el que el valor de la función es maor de lo que es en cualquier punto de su entorno; un máimo local puede ser o no ser el punto más alto de toda la gráfica. 6

Máimos locales Procedimiento para obtener máimos mínimos Si la función es diferenciable en [a, b], es decir, derivable, entonces es continua en cada punto de [a, b] se procede como sigue: a) Se resuelve f () = para encontrar los puntos críticos de la función en el intervalo [a, b]. b) Se evalúa la función en cada punto crítico del intervalo [a, b], incluendo los etremos. c) El valor más pequeño obtenido en el inciso (b) es el mínimo de la función el valor más grande es el máimo de la función. Concavidad La forma de una curva depende de muchos factores como son: dónde es positiva o negativa la función, dónde es creciente o decreciente la función, dónde ocurren máimos mínimos, dónde cambia la concavidad. La gráfica de f() es cóncava hacia arriba sobre un intervalo (a, b), si en todo el intervalo la curva está por encima de sus rectas tangentes. Si eaminamos las pendientes de las rectas tangentes que se obtienen al recorrer la curva de izquierda a derecha, notamos que la pendiente de la derivada de la función f () crece (recuerda que definimos esta noción de curvarse hacia arriba o hacia abajo como concavidad). Sea la función diferenciable en (a, b); decimos que la gráfica de la función es cóncava hacia arriba en el intervalo (a, b), si f () es creciente en dicho intervalo. 6

UNIDAD Cóncava hacia arriba, si f () es creciente. a b Si la gráfica de la función es cóncava hacia abajo en el intervalo (a, b), entonces, sobre todo el intervalo, la curva está por debajo de sus rectas tangentes, por lo que las pendientes de la derivada de la función decrecen cuando recorremos la curva de izquierda a derecha. Entonces: Sea la función diferenciable en el intervalo (a, b); decimos que la gráfica de la función es cóncava hacia abajo en el intervalo (a, b), si f () es decreciente en dicho intervalo. Cóncava hacia abajo, si f () es decreciente. a b Recuerda que si la segunda derivada de la función es maor que cero f ''( ), entonces la gráfica de la función es cóncava hacia arriba sobre el intervalo (a, b). Y si la segunda derivada de la función es menor que cero f ''( ), entonces la gráfica de la función es cóncava hacia abajo sobre el intervalo (a, b). Puntos de infleión Un punto de infleión es un punto en el que la curva cambia de concavidad, de ser cóncava hacia arriba a ser cóncava hacia abajo o viceversa. 65

En un punto de infleión, la recta tangente corta la curva la cruza; si la recta tangente no es vertical, se encontrará por debajo de la curva a la izquierda del punto, por arriba de la curva a la derecha del punto ó viceversa. Cóncava superior a cóncava inferior Cóncava inferior a cóncava superior Para determinar los puntos de infleión el sentido de concavidad, se debe considerar que la segunda derivada de la función sea continua, entonces: a) Se calcula la segunda derivada de la función f ''( ). b) Se resuelve la segunda derivada de la función igualándola a cero, para encontrar un posible punto de infleión. c) Eaminamos los signos de la segunda derivada de la función en los intervalos de izquierda a derecha ( = ). Si la segunda derivada de la función cambia de signo en dicho punto, entonces es la abscisa de un punto de infleión; si no cambia de signo en dicho punto, ahí no ha un punto de infleión. d) Se determinan los intervalos sobre los cuales la segunda derivada de la función es maor que cero para hallar donde la curva es cóncava hacia arriba aquellos intervalos sobre los cuales la segunda derivada de la función es menor que cero, para hallar si es cóncava hacia abajo. Ecuaciones de la recta tangente de la recta normal Como puede verse en la siguiente figura, la curva representada por f () contiene al punto P(, ), por lo tanto, la pendiente de la recta tangente en dicho punto es: f() tangente m = ) f, donde ) ( f es la ( primera derivada en el punto =. P (, ) normal 66

UNIDAD La ecuación de la recta tangente en el punto P(, ) de pendiente m es: m Sustituendo en la epresión anterior el valor de la pendiente m = f (), la ecuación de la recta tangente a la curva = f() será: f '( ) La recta perpendicular a la recta tangente en el punto P se llama recta normal a la curva, como se observa en la figura anterior. La ecuación de la recta normal es: m Si m por la condición de perpendicularidad entre dos rectas, entonces, sustituendo el valor f '( ) de m en la ecuación de la recta tangente, tendremos la ecuación de la recta normal: f '( ) 67

APLICACIÓN DEL CONOCIMIENTO Observa con atención este ejemplo. En él se puede ver en qué intervalos crece decrece la siguiente función........ 5 Se puede observar que la función es creciente en el intervalo cuando intervalo [, ], volviendo a crecer en el intervalo cuando., que decrece en el Ahora encuentra en qué intervalos crece decrece la siguiente función (gráfica). 5 68

UNIDAD Vamos a calcular a gráficar los puntos críticos de la función f ( ). Calculamos la primera derivada de la función. Ahora la igualamos a cero para resolverla. Factorizamos utilizando el factor común. f '( ) 6 6 6 6 6 son los puntos críticos. 5 - - - - - Aplica las ideas anteriores calcula algebraica gráficamente los puntos críticos de la siguiente función: f ( t) t 9t t 69

Vamos a calcular el máimo mínimo de la función f ( ) 8 8 en el intervalo [, ]. a) Se calcula la primera derivada de la función, la cual es: f '( ) 6 Ahora se iguala la derivada con cero para encontrar los posibles valores de (puntos críticos). 6 Factorizamos utilizando el factor común binomio conjugado: Los valores de son:,. El valor de = no está contenido en el intervalo [, ], por lo que no se toma en cuenta. b) Se evalúa la función para los valores de =,,,,. Si =, entonces f() = Si =, entonces f() = 8 Si =, entonces f() = Si =, entonces f() = 8 Si =, entonces f() = 7 c) Con base en los resultados de la evaluación de la función con los valores de, tenemos que en = ha un mínimo de la función cuando = ha un máimo de la función. Grafiquemos la función original para observar si concuerdan los resultados obtenidos: 8 máimo (, 8) 6 - - - -6-8 mínimo (, 8) 7

UNIDAD De acuerdo con el procedimiento anterior, calcula algebraica gráficamente los puntos máimos mínimos de la siguiente función: f ( ) 6 7

Ahora veremos los pasos para calcular los posibles puntos de infleión determinar el sentido de la concavidad de la función f ( ) 5 5 ; además, comprobaremos gráficamente los resultados obtenidos. Primero se obtiene la segunda derivada: f '( ) 5 f ''( ) 6 6 La segunda derivada se iguala a cero para saber si eiste un posible punto de infleión. 6 6 6 Entonces tenemos que: Por lo tanto, cuando f ''( ) Entonces son los posibles puntos de infleión. Calculemos los signos de f ''( ) considerando que, Si consideremos que = al sustituirlo en la segunda derivada de la función obtenemos que el signo no cambia no ha punto de infleión. Si consideremos que = obtenemos que el signo no cambia no ha punto de infleión. al sustituirlo en la segunda derivada de la función Si consideremos que = al sustituirlo en la segunda derivada de la función obtenemos que el signo cambia ahí ( = ) eiste un punto de infleión. Entonces podemos mencionar que la curva es cóncava hacia abajo si ó es cóncava hacia arriba si. Construamos la gráfica de la función para comprobar los resultados anteriores. 6 - Punto de infleión (, ) - - 7 -

UNIDAD De acuerdo con el procedimiento anterior, calcula los posibles puntos de infleión determina el sentido de concavidad de la función f ( ) 6 construe su gráfica. 7

Enseguida aplicaremos el procedimiento para obtener las ecuaciones de las rectas tangente normal a la curva en el punto (, ). Se calcula la primera derivada '. Se sustitue el valor de = en la epresión de la primera derivada: = 9. Este valor ( = 9) lo sustituimos en la epresión de la recta tangente: 9 9 6 Por lo tanto, la ecuación de la recta tangente a la curva es: 9 6 La ecuación de la recta normal se obtiene sustituendo el valor de la pendiente para rectas perpendiculares. m f '( ) En este caso, el valor de la pendiente es: m 9 Sustituendo en la epresión de la recta tangente. 9 9 Por lo tanto, la ecuación de la recta normal a la curva es: 9 Revisa el procedimiento anterior calcula las ecuaciones de las rectas tangente normal a la curva: 9 en el punto (5, ). 7

UNIDAD EJERCICIOS INSTRUCCIONES: Lee con atención los siguientes reactivos contesta lo que se te solicita. Para cada una de las siguientes funciones bosquejadas señala en qué intervalos éstas son crecientes decrecientes.. 5 5 6. 5 75

.. 76

UNIDAD INSTRUCCIONES: Lee cuidadosamente los siguientes reactivos realiza lo que se te pide. Para las siguientes funciones: I. Calcula algebraicamente sus puntos críticos. II. Realiza la gráfica. 5. f ( ) I II 6. f ( ) 7 I II 77

7. 9 I II 8. I II 78

UNIDAD INSTRUCCIONES: Lee cuidadosamente los siguientes reactivos realiza lo que se te pide. Para las siguientes funciones: I. Calcula algebraicamente sus puntos máimos mínimos. II. Realiza la gráfica. 9. f ( ) en el intervalo [, 6] I II. f ( ) en el intervalo [, ] I II 79

. 5 en el intervalo [, ] I II. 6 5 en el intervalo [, 5] I II 8

UNIDAD INSTRUCCIONES: Lee cuidadosamente los siguientes reactivos realiza lo que se te pide. Para las siguientes funciones: I. Calcula los posibles puntos de infleión. II. Determina el sentido de concavidad. III. Construe la gráfica correspondiente para verificar los resultados.. f ( ) I 9 II III. f ( ) I II III 8

5. f ( ) 9 I II III 6. f ( ) I II III 8

UNIDAD INSTRUCCIONES: Para cada una de las siguientes funciones calcula las ecuaciones de las rectas tangente normal en el punto indicado. 7. f ( ) en el punto (, 8). 8. f ( ) en donde =. 9. f ( ) en el punto (, ). 8

TABLA DE COMPROBACIÓN Número de pregunta Respuesta correcta Crece en el intervalo [,.5] Decrece en el intervalo [.5,.5] Crece en el intervalo [.5, 5] Crece en el intervalo [, ] Decrece en el intervalo [,. 5] Crece en el intervalo [.5, ] Decrece en el intervalo [.5,.] Decrece en el intervalo [.,.5] Decrece en el intervalo [, ] Crece en el intervalo [, ] I. Punto crítico en = II. 8 5 6 - - - I. Puntos críticos en 6 II. 6 - - 6 - - -6 8

UNIDAD Número de pregunta Respuesta correcta I. Puntos críticos en = = 7 II. - - 5 - - I. Puntos críticos en = 8 II. - - I. f '( ) 6 9 II. máimo en el punto (, 5). - - - -6-8 85