Licenciatura en enseñanza primaria Seminario: Contenidos matemáticos y didácticos II. Estudio de un objeto de enseñanza matemática: el caso de los números racionales Profesora titular: Patricia Sadovsky Profesores adjuntos: Horacio Itzcovich y Graciela Zilberman Jefes de trabajos prácticos: Mariella Pontini, Inés Sancha MARCO REFERENCIAL En este seminario se recupera el marco esbozado en el seminario Estudio de un objeto de enseñanza matemática: el caso de la división para continuar y profundizar el trabajo allí iniciado, al considerar un nuevo asunto de enseñanza. El estudio de los números racionales -escritos en forma decimal o fraccionaria- ocupa un lugar central en los aprendizajes a lo largo del segundo ciclo y se continúa en la Escuela Media. Se trata de un trabajo exigente para los chicos, para los maestros- que deberá desembocar en un cambio fundamental con respecto a la representación del número que tienen los niños cuando su universo se restringe a los números naturales. Efectivamente, el funcionamiento de los números racionales supone una ruptura esencial con relación a los conocimientos acerca de los números naturales: para representar un número (la fracción) se utilizan dos números naturales; la tarea de comparar fracciones requiere construir nuevas relaciones muchas de las cuales contradicen lo que intuitivamente se tiende a pensar, los números fraccionarios no tienen siguiente (entre dos fracciones cualesquiera existen infinitas); la interpretación de la multiplicación entre fracciones como suma reiterada falla en la mayoría de los casos (salvo que se multiplique una fracción por un número natural), el producto entre dos números fraccionarios puede ser menor que cada uno de los factores y el resultado de una división puede ser mayor que el dividendo Por otra parte, como ocurre con cualquier concepto matemático, usos diferentes muestran aspectos diferentes. Un número racional puede: ser el resultado de un reparto y quedar, en consecuencia, ligado al cociente entre naturales ser el resultado de una medición y, por lo tanto remitirnos a establecer una relación con la unidad, expresar una constante de proporcionalidad; en particular esa constante puede tener un significado preciso en función del contexto (escala, porcentaje, velocidad, densidad...) ser la manera de indicar la relación entre las partes que forman un todo El aprendizaje de los números racionales atraviesa muchos años de la escolaridad y habría que pensar cómo promover que las conceptualizaciones de los niños "crezcan" (en complejidad, en sentidos posibles, en formas de representación) a medida que avanzan en su paso por la escuela. Es decir, no pueden trabajarse todos los sentidos de los números racionales al mismo tiempo, por otra parte, un único sentido -por ejemplo el número racional como recurso para medir- supone problemas de diferentes grados de complejidad y, en consecuencia, habrá que plantearse el problema didáctico de hacer evolucionar esa complejidad. Se hace necesario entonces que los estudiantes de la Unipe puedan producir recursos matemáticos y didácticos que les permitan identificar y problematizar todas estas cuestiones al mismo tiempo que, 1
como se planteó en el seminario de división, puedan adquirir un posicionamiento de dominio sobre los números racionales que les permitan construir criterios fundamentados acerca de su enseñanza y aprendizaje en el ámbito escolar. Por otro lado, y recuperando algunos de los propósitos enunciados en la fundamentación general de toda la carrera, en este seminario también se considerarán las prácticas de enseñanza relacionadas con los números racionales como objeto de estudio. Se transitará desde el análisis didáctico del objeto de enseñanza pasando por los diferentes aspectos que hacen a su tratamiento escolar (la planificación colectiva de secuencias de enseñanza, la anticipación de las intervenciones docentes, la puesta en el aula, el análisis posterior tanto de las intervenciones docentes como de las producciones de los alumnos, etc.) insumos que dotarán a los estudiantes de la Unipe de nuevas oportunidades para profundizar en los criterios y la validez de las decisiones adoptadas. PROPÓSITOS A través de este seminario, se busca generar condiciones por medio de las cuales, a propósito de la enseñanza de los números racionales, los estudiantes de la Unipe avancen en: la elaboración de una perspectiva sobre el conocimiento matemático en tanto objeto histórico, social y cultural, así como también abierto, inacabado; la consideración de la producción de ideas matemáticas en las clases en la escuela, en la universidad- como constitutivas del sentido formativo de la matemática; una mirada situacional del aprendizaje matemático, que vincule la actividad del sujeto con el entramado de condiciones en las cuales tiene lugar y advierta la dimensión política que cobra vida en las clases; la construcción de un vínculo de dominio con los números racionales que les posibilite abordar problemas, realizar exploraciones, elaborar conjeturas, validarlas y generar formas de representación pertinentes; la problematización de la complejidad de fenómenos y condiciones que atraviesan la enseñanza de los números racionales en la escuela junto con la toma de conciencia de márgenes de maniobra posibles y la producción de estrategias que tiendan a modificarlos; la construcción de un diálogo entre referencias teóricas en particular, producidas por la didáctica de la matemática- con la práctica, como modo de problematizar la enseñanza de los números racionales; la identificación de las continuidades y rupturas que genera el estudio de los números racionales en relación con los números naturales, problematizando tanto aspectos didácticos como matemáticos; la consideración de la tarea docente como un problema colectivo y la necesidad de espacios de trabajo colaborativo para abordarla; la construcción de un posicionamiento frente a la clase escolar de matemática como objeto de exploración, análisis y reflexión construyendo categorías que permitan comprender y conceptualizar los fenómenos que allí ocurren; la posibilidad de vincular las decisiones docentes con lo que acontece en el aula a partir del elaboración conjunta de la planificación de una secuencia de enseñanza y del análisis colectivo posterior a su realización. la construcción de una posición reflexiva y fundamentada sobre las prácticas. 2
CONTENIDOS El análisis matemático, didáctico y de las prácticas de los números racionales se estudiarán de manera entrelazada. Se enumeran en forma separada sólo a los fines de su explicitación en el programa: Continuidades y rupturas entre números naturales y números racionales. Estudio matemático de los números racionales. División entre números naturales y fracciones. La extensión como mecanismo de producción de la matemática. Las fracciones en el contexto de los repartos y las medidas. Equivalencias. Relaciones de orden entre fracciones. Las fracciones en la recta numérica. El cálculo mental con fracciones y el quehacer matemático que propicia: exploración, estimaciones, elaboración de conjeturas, validación, producción de formas de representación, comunicación de procedimientos, debate, producción de argumentos, generalización. Relaciones entre cálculo mental y algorítmico. Números con coma. Análisis de las escrituras decimales. Fracciones decimales y expresiones decimales. Uso de la calculadora. Relaciones de orden entre decimales. Recta numérica. Cálculo mental con decimales. Multiplicación y división por potencias de diez. Estudio de la clase a propósito de los números racionales. El funcionamiento de las fracciones en el aula: análisis de clases a través de registros escritos y de videos y de producciones de los alumnos. Planificación, desarrollo y análisis de una situación de enseñanza. BIBLIOGRAFÍA - Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires. Secretaría de Educación. Dirección de Currícula. Aportes para el desarrollo Curricular (2001). Matemática: Acerca de los números decimales: una secuencia posible Disponible en www.buenosaires.gov.ar - Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires. Secretaría de Educación. Dirección de Currícula (2006): Fracciones y Números decimales. Apuntes para la enseñanza de 4º y 5º. Libro para el docente. Disponible en www.buenosaires.gov.ar - Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires. Secretaría de Educación. Dirección de Currícula (2006): Cálculo Mental con Números Racionales. Apuntes para la enseñanza. Disponible en www.buenosaires.gov.ar - Gobierno de la Pcia de Bs As. DGCyE (2007). Diseño Curricular para la Educación Primaria. - Quaranta ME, Wolman S. Discusiones en las clases de matemáticas. Qué, para qué y cómo se discute. En: Panizza M. (comp.) Enseñar Matemática en el Nivel Inicial y Primer Ciclo de EGB: Análisis y Propuestas. Paidós, 2003. - Terigi, F (2009). El fracaso escolar desde la perspectiva psicoeducativa. Hacia una reconceputalización situacional. Revista iberoamericana de educación. Nº 50. ENCUADRE METODOLÓGICO 3
El seminario conjuga un trabajo matemático con un análisis de la enseñanza y el aprendizaje de los números racionales en la escuela, aspectos que consideramos indisolublemente ligados. Una parte del trabajo matemático que se propone desarrollar está basado en el estudio autónomo por parte de los alumnos de la Unipe. Para tal fin, se constituirán grupos de estudio matemático que deberán preservarse a lo largo de toda la cursada y encararán diferentes producciones. Contarán con el espacio de las tutorías y la plataforma para efectuar las consultas que requieran. En paralelo al trabajo recientemente descripto, se desarrollarán clases semanales presenciales en las cuales se abordarán diferentes aspectos asociados a la enseñanza y al aprendizaje de los números racionales en las aulas de las escuelas primarias, buscando vincular la tarea que despliegan los grupos de manera autónoma con las prácticas docentes. En estos encuentros se analizarán registros de clases, videos, producciones de niños, documentos curriculares, etc. así como se elaborará y planificará de manera colectiva una secuencia de enseñanza. Esta se implementará con niños en las escuelas y se llevará adelante un análisis posterior en función de las experiencias desarrolladas. SISTEMAS DE REGULARIDAD Y EVALUACIÓN El seminario tiene una carga total de 136 horas distribuidas de la siguiente manera: 64 hs presenciales (4 horas semanales durante 16 semanas) y 8 hs presenciales de tutorías, 32 hs de trabajo en grupo de estudio matemático con apoyo a través de la plataforma virtual, 32 hs de trabajo de campo. En las clases, se articularán cuestiones teóricas y prácticas, de manera que permanentemente el análisis de unas alimente el de las otras. Las tutorías se centrarán en el acompañamiento al trabajo autónomo desarrollado por los grupos de estudio. El trabajo propuesto a lo largo del seminario requiere la realización de diversas actividades (lecturas, análisis, diferentes aproximaciones al campo, resolución de problemas, etc.). La regularidad en el seminario dependerá de un porcentaje de asistencia (80 %) del total de las horas presenciales y el cumplimiento con las instancias de trabajo que se vayan proponiendo a lo largo de la cursada. La evaluación final se basará en el análisis del proceso de implementación de la secuencia planificada colectivamente. CRITERIOS DE ACREDITACIÓN La acreditación del seminario incluye la aprobación de las instancias parciales de evaluación y la de un examen final individual y presencial. Los criterios que se considerarán son: la lectura crítica de la bibliografía; el avance en o la fundamentación de las afirmaciones realizadas; o la posibilidad de considerar otros puntos de vista, discutirlos, incorporarlos, etc.; o el análisis matemático de una clase; o el análisis de las interacciones de una clase; o la consideración de la complejidad de condiciones en las cuales se desarrolla la tarea docente y de visualizar espacios de acción posibles; o la posibilidad de producir en espacios colectivos de trabajo. 4
o la resolución de problemas matemáticos EVALUACIÓN DE LA CÁTEDRA A lo largo todo el seminario, los docentes estarán atentos a las posiciones sostenidas por los estudiantes así como los conocimientos ligados a ellas, a los fines de conocer los avances producidos. Frente a algunas propuestas (como, por ejemplo, la resolución de problemas matemáticos, el análisis de un registro de clase o de un video). Este análisis es un aporte no sólo para los estudiantes sino que ofrece información a la cátedra acerca de cómo están valorando la actividad. Promediando la cursada, se discutirá con los estudiantes acerca de cómo visualizan el desarrollo del seminario, dificultades o aspectos que propongan modificar, profundizar, etc. Al finalizar el seminario, se realizará una evaluación general a discutir en el espacio de la clase acerca del desarrollo del mismo, las actividades y lecturas propuestas, reflexiones propiciadas, intercambios, etc. CRONOGRAMA El siguiente cronograma es tentativo. Estará sujeto a ajustes en función del desarrollo de las clases. PLAN DE CLASES PRESENCIALES Fechas Temas Tareas CLASE 1: JUEVES 29-03 Presentación del seminario. Contenidos. Organización (clases presenciales, grupos de estudio, grupos de planificación) Grupos de estudio Una vuelta al marco construido en el seminario de división: análisis de aspectos a recuperar, necesidad de nuevas dimensiones. Análisis de algunas de las ideas que ponen en juego los alumnos al trabajar con números racionales. Obstáculos propios del proceso constructivo y de origen didáctico. Tarea para clase 2, jueves 12-04 Leer la actividad 1 del documento del Plan Plurianual de 4º y la actividad 1 y 2 del documento del Plan Plurianual de 5º. Luego leer la Introducción del documento del Plan Plurianual de 4º. Qué aspectos de la lectura les permiten volver sobre algunas de las cuestiones tratadas en la clase? Qué aporta? Qué modifica? Qué avances o modificaciones entre la actividad de cuarto y la de quinto se podrían identificar, con relación al planteo de la introducción? 5
CLASE 2, CLASE 3: JUEVES 12-04 JUEVES 19-04 CLASE 4 : JUEVES 26-04 La fracción en tanto cociente como extensión de la división entre números naturales. Comparación con otras vías de entrada al concepto de fracción. Análisis de producciones infantiles Las interacciones en la clase y la producción de conocimiento El trabajo matemático de la clase a la luz del análisis de un registro de clase Tarea para el jueves 26-04 Lectura de registro de clase sobre fracciones: comparación entre 5/3 y 7/4. Participación en el foro sobre primeras impresiones en torno a ese registro. Lectura del artículo: Quaranta, Wolman (2003) Discusiones en las clases de matemática. Qué, para qué y cómo se discute. Tarea para el Jueves 3-05 Actividades 2 y 3 del documento del Plan Plurianual de 4º y actividades 3 y 4 del documento de 5º Tarea para el Jueves 10-05 Actividad 4 del documento de 4 del Plan Plurianual CLASE 5, CLASE 6 : JUEVES 3-05 JUEVES 10-05 CLASE 7: JUEVES 17-05 CLASE 8: JUEVES 24-05 Las fracciones y la medida: contextos intra y extra matemáticos El estudio matemático de los alumnos como problema didáctico Las fracciones en la recta numérica: fertilidad y complejidad Análisis de un video de clase. Gestión de la clase: organización, intervención docente, interacciones entre pares Tarea para el Jueves 17-05 Actividad 11 del documento Plan Plurianual de 5º grado Tarea para el jueves 24-05 Ver video de una clase de ubicación de fracciones en la recta numérica. Seleccionar un episodio para debatir explicitando los motivos de dicha selección. Tarea para Jueves 24-05 Selección de un aspecto de las fracciones, un grado por grupo. Justificación de la selección. Planificación de una clase 6
CLASES 9 a 15 : JUEVES 31-05 JUEVES 7-06 JUEVES 14-06 JUEVES 21-06 JUEVES 28-06 JUEVES 05-07 JUEVES 12-07 Análisis de prácticas docentes Planificación, implementación y análisis compartido, por grupos, de una secuencia didáctica sobre fracciones, de alrededor de 3-4 clases. BIBLIOGRAFÍA DE CONSULTA - Block, D., Solares, D: Las fracciones y la división en la escuela primaria: análisis didáctico de un vínculo. DIE CINVESTAV IPN. Educación Matemática. Vol 13 (2). México: Grupo Editorial Iberoamérica, pp. 5-30 - Block, David (2001). La Noción de Razón en las Matemáticas de la Escuela Primaria, Un Estudio Didáctico. Tesis de Doctorado. Departamento de Investigaciones Educativas del Centro de Investigaciones y Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional. - Broitman, Itzcovich y Quaranta (2003): La enseñanza de los números decimales: el análisis del valor posicional y una aproximación a la densidad. RELIME. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa. Publicación oficial del Comité Latinamericano de Matemática Educativa.Vol 6 N 1. Marzo, 2003, pp. 5-26 Disponible en www.clame.org.mx/relime.htm - Centeno Perez, Julia (1988): Números decimales. Por qué? Para qué?, Ed. Síntesis. - Gobierno de la Ciudad de Bs As. Dirección de currícula (1997). Documento de actualización curricular Nº4. (Broitman, Itzcovich, Parra, Sadovsky) Disponible en: www.buenosaires.gov.ar - Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires. Secretaría de Educación. Dirección de Currícula (2006): Matemática. Números Racionales. Aportes para la enseñanza. Nivel Medio. Disponible en www.buenosaires.gov.ar - Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires. Secretaría de Educación. Dirección de Currícula (2001): Matemática. Aportes para la enseñanza. Acerca de los números decimales. Una secuencia posible. Disponible en www.buenosaires.gov.ar - Itzcovich H. (coord.) 2007. La Matemática escolar. Las prácticas de enseñanza en el aula. Cap 5: El trabajo escolar en torno a las fracciones. Buenos Aires, Aique, - Ponce, H. (2000): Enseñar y aprender matemática. Propuestas para el segundo ciclo. Buenos Aires. Editorial Novedades Educativas. - Sadovsky, P. (2005). Enseñar matemática hoy. Miradas, sentidos y desafíos. Buenos Aires: El Zorzal. 7
- Tovar, N. Block, D. (2005): La división de una fracción entre un número natural: análisis de una experiencia didáctica. Educación matemática. Santillana. México. Firma del titular Fecha de Presentación 8