9. POBLEMAS ESUELTOS DE HIDOSTATICA. 1.- Una estrella de neutrones tiene un radio de 10 Km y una masa de X 10 0 K. Cuánto pesaría un volumen de 1 de esa estrella, bajo la influencia de la atracción ravitacional en la superficie de la tierra? Solución: El peso debe calcularse multiplicando la masa por la aceleración de ravedad. En consecuencia debemos calcular la masa primero. Eso puede hacerse a través del concepto de densidad, puesto que: masa estrella volumen estrella es decir, cada de la estrella tendrá una masa de 0,5x10 1 K, por lo tanto en la superficie de la tierra pesará: y la masa se puede calcular recordando que el peso es una fuerza de atracción ravitacional que se puede encontrar con la expresión: m M (ii) P G (donde G es una constante universal de valor 6,67 X 10-11 N m, m es la masa de K un objeto cualquiera en las cercanías del cuerpo que enera el campo ravitacional, en este caso el planeta Júpiter, M es la masa del planeta y es la distancia entre el cuerpo y el planeta). Por otra parte, el peso de un cuerpo cualquiera cercano al planeta puede calcularse también con la expresión proveniente de la seunda ley de Newton : P m (iii). en consecuencia, iualando (ii) con (iii) : W (0,5x10 1 m K)(9,8 s ) 0,5x10 1 N. G m M m.- Júpiter tiene un radio 7,14 X 10 4 Km y la aceleración debida a la ravedad en m su superficie es J,9 s. Use estos datos para calcular la densidad promedio de Júpiter. Solución: La densidad es simplemente el cuociente entre la masa y el volumen del planeta. Por tanto, hay que calcular previamente ambas cantidades. El volumen se puede calcular eométricamente con la expresión: 4 (i) π r M ahora podemos calcular la densidad : M G V 4 π G 4 G π ( )(,9) 11 7 ( 4)( 6,67x10 )( 7,14x10 )(,14) K 1 148,5 m 8
.- Cuál es la presión a 1 m y a 10 m de profundidad desde la superficie del mar?. Supona que r 1,0 X 10 K/m como densidad del aua de mar y que la presión atmosférica en la superficie del mar es de 1,01 X 10 5 Pa. Supona además que a este nivel de precisión la densidad no varía con la profundidad. Solución: En función de la profundidad la presión es: por tanto: P P 0 + r h P 1,01x10 5 Pa + (1,0x10 K m )(9,8 m s si h 1 m : si h 10 m : P 1,11 x 10 5 Pa. P,0 x 10 5 Pa )( h) 4.- Las dimensiones de una piscina rectanular son 5 m de laro, 1 m de ancho y m de profundidad. Encontrar: a) La presión manométrica en el fondo de la piscina. b) La fuerza total en el fondo debida al aua que contiene. c) La fuerza total sobre una de las paredes de 1 m, por m. d) La presión absoluta en el fondo de la piscina en condiciones atmosféricas normales, al nivel del mar. Solución: a) La presión manométrica se calcula con la expresión (10) : P - P 0 (1 P - P 0 r h )(980 s )(00 ) D P - P 0 196 000 1,96 N b) Como la profundidad es constante, se puede ocupar directamente la expresión (8), pues la fuerza estará uniformemente distribuida: F P A donde P es la presión manométrica. Por tanto : N F (1,96 F 5,88 x 106 N ) (100 ) (500 ) c) La fuerza total sobre una de las paredes no puede calcularse de la misma forma, puesto que la presión varía con la profundidad, por lo que debe ocuparse la expresión (7): df P da donde df es la fuerza debida a la presión manométrica P, existente en un elemento de área da de laro L y alto dh. La presión manométrica varía con la profundidad seún r h. por tanto : df (r h) (L dh) la fuerza requerida se encontrará interando esta expresión: que resulta : Ú df Ú r L h dh F r L / 9
interada y evaluada entre 0 y h. P M P 0 + r M h M con los datos del problema : y la del líquido desconocido vale: F (1 F,5 x 10 10 )(980 s )(100 )( 00 D 5 00 N ) P L P 0 + r L h L En ambas, P 0 es la presión atmosférica pues están abiertos. (d) La presión absoluta en el fondo de la piscina es la suma de las presiones manométrica y atmosférica, que a nivel del mar vale 1,01 X 10 5 N m 10,1 N, por tanto : N P 1,96 + 10,1 N 1,06 N 5.- En el tubo en U de la fiura, se ha llenado la rama de la derecha con mercurio y la de la izquierda con un líquido de densidad desconocida. Los niveles definitivos son los indicados en el esquema. Hallar la densidad del líquido desconocido. líquido L 14 Iualando ambas expresiones: L P 0 + r M h M L 1,6 ( ) 14 r L (1,94 ) P 0 + r L h L 6.- Un recipiente cerrado que contiene líquido (incompresible) está conectado al exterior mediante dos pistones, uno pequeño de área A 1 1, y uno rande de área A 100 como se ve en la fiura. Ambos pistones se encuentran a la misma altura. Cuando se aplica una fuerza F 100 N hacia abajo sobre el pistón pequeño. Cuánta masa m puede levantar el pistón rande?. M h L h M F 1 mercurio A 1 A d 1 d Solución: En el nivel de la superficie de separación la presión es la misma en los dos líquidos, En dicho nivel la presión debida al mercurio vale: F 40
Solución: Cuando actúa F 1 sobre el pistón pequeño, la presión P del líquido en ese punto es : F1 100 N 10 N 6 P 1 10 Pa -4 A1 1 10 m Como el pistón rande está a la misma altura, tendrá la misma presión P que el otro pistón, por tanto la fuerza F que actúa sobre él, es F P A y el peso que puede levantar es: F m por lo que se puede escribir: P A m f Peso Pe V (0,8 )(50 ) 80 f 8.- Cuál es el peso específico de un cuerpo si flota en el aua de modo que emere el 5 % de su volumen? Solución: Si emere el 5% de su volumen, está sumerido el 65% del cuerpo. Esto sinifica que sobre él existe aplicado un empuje equivalente al peso de un volumen de aua equivalente a 0,65 V (siendo V el volumen del cuerpo). Este puede ser expresado como en el ejercicio anterior, como: f P aua desalojada Empuje PeV (1 )(0,65 V) Por otra parte, si flota es porque está en equilibrio, para lo que es necesario que el peso del cuerpo sea iual al empuje. El peso del cuerpo es: P A m ( 10 6 Pa)( 10 m ) m 9,8 s P cuerpo Pe V. Debido a lo antes expuesto: m 1 00 K 7.- Calcular el empuje que ejerce (a) el aua y (b) el alcohol sobre un cuerpo enteramente sumerido en estos líquidos cuyo volumen es de 50. El peso f específico del alcohol es de 0,8. Solución : a) El empuje del aua es iual al peso de los 50 de este líquido que el cuerpo desaloja y vale por lo tanto 50 f. (b) En alcohol corresponde al peso de 50 de este líquido. Conocido su peso específico, que es el cuociente entre el peso del líquido y su volumen: (0,65 V) f Pe V. f Pe 0,65 9.- Una esfera metálica pesa 1 Kf en el aire y 880 f sumerida en aua. Calcular su densidad absoluta y relativa y su peso específico absoluto y relativo. Solución: De acuerdo a lo encontrado en (15) : r W 1000 f 8, E 1000 f - 880 f 41
La densidad relativa es numéricamente iual que el peso específico relativo {ver ec (6)}, por lo que este también vale 8,. La densidad absoluta será 8, definición. por T 1 + E 1 - W 1 0 Pues el peso debe ser equilibrado por la suma de la tensión de la cuerda y el empuje del fluido. El peso específico absoluto se puede encontrar con la expresión (): Pe r (8, ) (980 s ) E 1 T 1 W1 D Pe 8 14 10.- Un objeto de masa 180 ramos y densidad desconocida (r 1 ), se pesa sumerido en aua obteniéndose una medida de 150 f. Al pesarlo de nuevo, sumerido en un líquido de densidad desconocida (r ), se obtiene 144 f. Determinar la densidad del objeto y del seundo líquido. En alunas ocasiones a la lectura del instrumento, que aquí mide la tensión de la cuerda (T 1 ) se le denomina peso aparente. Al pesarlo en el otro líquido: Solución: Al pesarlo en aua se obtiene: T + E - W 0 Note que aumentó el empuje y disminuyó la tensión en la cuerda. Entre ambos equilibran el peso del cuerpo, que no ha cambiado, pues es la fuerza con que la tierra lo atrae (W 1 W ). 4
y seún Arquímedes: E 1 r 1 V E r V donde V es el volumen del cuerpo. eemplazando en las ecuaciones anteriores, se tiene: T 1 + r 1 V - W 1 0 T + r V - W 0 de este sistema de ecuaciones se obtiene: donde: ( W - T) 1 W - T 1 1 W 1 W W m (180 )( 980 s ) W 176 400 D T 1 150 f 150 (980 D) 147 000 D T 144 f 144 (980 D) 141 10 D reemplazando : W 1 - T1 V 176400 D - 147000 D V 0 1 980 s con lo que: 180 r c 0 6,00 11.- Un recipiente contiene una capa de aua (r 1,00 ), sobre la que flota una capa de aceite, de densidad r 1 0,80. Un objeto cilíndrico de densidad desconocida r cuya área en la base es A y cuya altura es h, se deja caer al recipiente, quedando a flote finalmente cortando la superficie de separación entre el aceite y el aua, sumerido en esta última hasta la profundidad de h como se indica en la fiura. Determinar la densidad del objeto. 1 reemplazando : 1 176400 D 14110 D 176400 D - 147000 D 1, [ ] La densidad del cuerpo es fácil de obtener, puesto que es iual a m c V. El volumen V se puede obtener del sistema de ecuaciones: 4
El cuerpo está parcialmente sumerido en aceite y parcialmente sumerido en aua. Esta siendo sujeto de la acción de tres fuerzas: El peso, el empuje del volumen de aceite desplazado por el cuerpo y el empuje del volumen de aua desplazado por el cuerpo. Está en equilibrio por lo que las fuerzas se anulan, por lo que: con: E 1 + E - W 0 reemplazando los datos: E 1 r 1 V r 1 A h E r V r A h r 1 A h + r A h - r A h 0 dividiendo por A h se tiene : r 1 + r - r 0 resolviendo para r y reemplazando: r 0,800 + 1,00 0,9 1.- Una esfera de plomo llena de aire, con radio 0,1 m, se encuentra totalmente sumerida en un tanque de aua como se ve en la fiura. Cuál es el espesor e de la capa de plomo, si la esfera ni flota ni se hunde?. La densidad del plomo es r 11, x 10 K m. Solución: Si está en equilibrio, las fuerzas que participan deben anularse. Estas son el peso de la esfera y el empuje del líquido. El Peso de la esfera es: W m r plomo V donde el volumen de la capa de plomo se calculará usando una aproximación, que consiste en calcular la superficie de una esfera de radio, es decir 4 p, y multiplicarla por el espesor e de la capa de plomo. Entonces el volumen que necesitamos es: por tanto, el peso es: y el empuje es: V 4 p e W (4 p e) (r plomo ) E r aua V r aua (4 p ) Pues es el peso del volumen de aua desplazada correspondiente a una esfera de radio iual al radio exterior de la capa de plomo. iualando ambas expresiones: (4 p e) (r plomo ) r aua (4 p ) e r aua plomo e K 10 ( 0,1 m ) m 0,00 m K 11,x10 m 44