C. Gavitatoio (I):evisión del concepto de tabajo El tabajo, se define coo el poducto escala de la fueza po el espacio ecoido. Seún la definición de poducto escala, el tabajo se puede defini coo el poducto de la coponente de la fueza en diección del desplazaiento, po el popio desplazaiento. Ya que : W F ds. F ds cosϕ. Fcosϕ, es la coponente en diección del desplazaiento. Si la fueza es constante :WFcosϕ(s -s ). Y epesenta el áea del paaleloao de la fiua. Si la fueza no fuese constante, todo consiste en considea tabajos eleentales paa desplazaientos eleentales, en los que la fueza podaos consideala constante, y donde ds d; y el tabajo eleental seá : dw El tabajo finito ente y, seá la sua de los infinitos suandos difeenciales (La inteal) : W Fd. Si 0 entonces los ectánulos tienden a bajo la cuva. F d. los tapecios, y el tabajo total viene dado po el áea Paa una cuva, a lo lao de la cual, actúa la fueza se escibe :. Vázquez C. Gavitatoio W Fd l Que en ateáticas, se denoina, ciculación de F a lo lao de l. Con lo que podé defini el tabajo: coo la ciculación del vecto fueza a lo lao de la tayectoia seuida po la patícula
Capo avitatoio (II), Intoducción (I), teoea de las fuezas vivas, idea de capo escala y vectoial El tabajo ealizado po una fueza, en un desplazaiento -B, se define coo ;F (coponente en diección del desplazaiento) W B F. d B B dv B W Fd d v dv dt. eniendo en cuenta que : v. dv v. dv d ( v. v ) B d [ v ] / v B / v W E E E CB C C eoea de las fuezas vivas. Vázquez C. Gavitatoio ; El tabajo ealizado po la fueza esultante, se eplea en vaia su eneía cinética El sinificado del tabajo en física, paece no coincidi con lo que se entiende en el lenuaje coiente, pues en física, no hay tabajo si no existe desplazaiento; peo si sujeto un cuepo, a deteinada altua,o epujo un objeto sin desplazalo, consideo que estoy ealizando un tabajo, en el lenuaje coiente. Lo que ocue, es que en esta situación, son los úsculos de fiba estiada los que ealizan el tabajo, con contacciones y elajaciones sucesivas. Llaaos capo, a toda petubación eal o ficticia del espacio, deteinada po la asinación a cada punto, del valo de una anitud. Los capos pueden se: escalaes y vectoiales, seún que la anitud que se asina a cada punto del capo, sea un escala o un vecto: Ejeplos :La supeficie de una plancha caliente, es un capo escala de tepeatuas. Las velocidades de las oléculas de un as en le inteio de un ecipiente, es un capo vectoial de velocidades. La pesión en cada punto de la supeficie, es un capo escala
Capo. Gavitatoio (III) ;Intoducción (II): capos de fuezas uchos cuepos, inteaccionan sin esta en contacto, la fueza ente el Sol y la iea, ente dos caa elécticas, o ente dos ianes. Esta inteacción de fuezas a distancia se explica ediante la idea de capo. Una asa, o caa, o ián, cea una petubación en el edio que lo odea, que no se pondá de anifiesto hasta la intoducción de una nueva asa, caa o ián. En esa eión del espacio tendeos definido un capo vectoial, cuando la anitud, depende exclusivaente de las coodenadas de cada punto en esa eión ; se escibe ( x, y, z) Si esa anitud, es una velocidad, seá un capo de velocidades, si fuese un fueza, seía un capo de fuezas. El capo avitatoio, es un capo de fuezas. El capo avitatoio, es un capo de fuezas centales,po que todas las líneas de acción de las fuezas del capo, conveen en el iso punto llaado, cento del capo. De un capo de fuezas, se dice que es consevativo, cuando el tabajo que ealizan las fuezas del capo, paa taslada una patícula de un punto, a oto B, solo depende de los puntos inicial y final, y no del caino ecoido. Seún el apatado anteio, en un capo de fuezas consevativo, debeos pensa que el tabajo que ealiza el capo a lo lao de un ciclo ceado es ceo F d tabajo a lo lao del ciclo B abajo po I + abajo po II + (solo depende de las posiciones y B) B F d F d I B II 0 B B F d F d I El Capo avitatoio, es cental II. Vázquez C. Gavitatoio 3
Capo. Gavitatoio (IV):Intoducción (II): eneía potencial, caácte consevativo de una fueza cental En capos consevativos, podé defini una anitud, que llaaé ENEGÍ POENCIL, de tal anea que, la vaiación de esta anitud ente los puntos inicial y final coincida con el tabajo ealizado po las fuezas consevativas del capo. B W F d EP EPB EP Es una foa de eneía, en que se alacena el tabajo ealizado conta las fuezas consevativas. Seún la natualeza de la fueza consevativa, la E P, podá se elástica, avitatoia, eléctica... Su oien es abitaio, solo tienen sentido físico, su vaiación. El nobe de fuezas consevativas, se debe a que, si sobe un cuepo solo actúan fuezas de esta natualeza, su eneía ecánica se conseva constante(e C +E P E CB +E PB ) oda fueza cental es consevativa?: Las fuezas de sobe, son adiales y diiidas hacia. Cualquie caino de a B, podá descoponese en sua de acos y desplazaientos adiales. Veaos el tabajo paa pasa, de a B El tabajo que ealizan las fuezas del capo po el aco de cicunfeencia, es nulo, po que la fueza es pependicula al desplazaiento, y su poducto escala nulo. Solo nos quedaá el tabajo ealizado en sentido adial, que es iual paa todos los cainos que se elijan ente y B. Po tanto un capo de fuezas centales es consevativo(tabajo independiente del caino). Vázquez C. Gavitatoio 4
C Gavitatoio (V): Leyes de Keple LEYES DE KEPLE: ecodeos que la consevación del oento anula, advetía que si sobe un cuepo no actúan fuezas exteioes, su oento anula peanece constante. deás se veifica, que si sobe ese iso cuepo actúan fuezas extenas, de tal foa que el oento de las fuezas sea nulo,(caso de las fuezas centales, en donde f y son paalelos ) entonces, El oento anula (L) peanece constante: La consevación del oento anula, iplica que se han de conseva su ódulo, su diección y su sentido; de ello se deducen unas consecuencias tanscendentales: Si L conseva su diección, la tayectoia de la patícula ha de encontase siepe en el iso plano. Si L conseva su sentido; iplica que la patícula ecoe su tayectoia siepe en el iso sentido. Si L conseva su ódulo, esulta que el vecto de posición de la patícula bae áeas iuales en tiepos iuales; lo que quiee deci que su Velocidad eola es constante, es deci: Leyes de Keple: ª Ley : Los planetas, en su oviiento alededo del sol, desciben tayectoias planas, ceadas de foa elíptica en uno de cuyos focos d d vdt está el Sol. v dt ª Ley El adio vecto que une el planeta al Sol bae áeas iuales en tiepos iuales( la velocidad aeola es constante) El poducto vecto L v v. es el áea del paalelepípedo foado po los dos vectoes L d L 3ª Ley: Los cuadados de los peiodos de evolución de d dt.( cte.) dt los planetas alededo del sol son popocionales a los cubos Que es lo iso que deci que la vel.eola de los seiejes ayoes. Cte. 3. es constante. Vázquez C. Gavitatoio 5
Capo Gavitatoio (VI): Ley de avitación Univesal odos los cuepos del univeso, se ataen ente si con una fueza que es; diectaente popocional al poducto de sus asas, e invesaente popocional al cuadado de la distancia ente sus centos. Vaos a supone que las óbitas de Keple, tienen una excenticidad despeciable, y po tanto, podeos considealas cicunfeencias.en tales cicunstancias y existe una an poducida po una fueza cental Es deci: De donde : F S Si paa eniendo apaeceá todas ahoa todos las v v cte. F S v π Peo π v ; con lo que; v 4π teno los en una fuezas, F ; si en planetas cuenta F S cuenta el podé ultiplico K S F S que la pincipio S, y escibi G tecea : depende y divido de po tanto, s aplicando S Peo F y tienen sentidos contaios; de lo que debo escibi: F G u. Vázquez C. Gavitatoio 6 ley del de acción po sol.). Keple, y y ; tendé; eaccion F S F S F esto K s F S y, S K azonando a los S 3 4π ; deas ( K S ; es de planetas una foa K K... s constante análoa, e iualando G
Capo avitatoio (VII), caacteización del capo (I): Las fuezas Son fuezas a distancia(no pecisan de un edio ateial ente abas asas paa que las fuezas actúen). Siepe se pesentan po paejas, las asas se ataen ente si, con el iso ódulo y diección peo de sentidos opuestos. Son de cción y eacción Su ódulo es: FG. /. Su diección, es la de la ecta que une abos centos de las asas. El sentido, es del seundo al pie cuepo. Obseva el sentido de abos vectoes unitaios El capo avitatoio teeste, es un caso paticula de la avitación univesal, efeido a la tiea. Llaaos capo avitatoio, a un vecto, que en cada punto del espacio, es iual a la fueza de atacción Newtoniana, ejecida po una asa sobe ota. El capo avitatoio es ESCIONIO ( no cabia con el tiepo, es solaente una función de punto) El capo avitatoio es consevativo. La fueza avitatoia cuple: W F.d G u d G...(/ ) ] 0 El valo de G6,67.0 - N. /k. Es un valo expeiental, constante univesal. Vázquez C. Gavitatoio 7 unque tal conclusión, se puede extae sin as que evidencia que el capo avitatoio es un capo de fuezas centales, y po lo tanto consevativo.
Capo Gavitatoio (VIII):Caacteización del capo avitatoio (II), el capo consevativo y la eneía potencial (Paa ecoda).el tabajo ealizado po la fueza consevativa, (ecoda que:las fuezas consevativas estituyen la eneía epleada en vencelas) ente dos puntos, puede expesase coo la vaiación de cieta anitud (que llaaeos eneía potencial) ente los puntos inicial y final. Ota foa de velo:una fueza es consevativa; si el tabajo ealizado en conta de ella, se alacena en foa de eneía potencial Cuando las fuezas son consevativas, a cada punto de la tayectoia que siue la asa en su desplazaiento po el capo, se le asocia un escala llaado Eneía potencial Coo las fuezas avitatoias son centales, necesaiaente han de se consevativas W B F. d E P E PB E P Paa visualizala. Vázquez C. Gavitatoio 8
Capo avitatoio (IX); caacteización del capo (III): Intensidad del capo avitatoio G u F G u ( asa de la iea) La intensidad del capo, en un punto del espacio, es la fueza que actuaía sobe la unidad de asa situada en ese punto, o bien, es la fueza, que la asa ceadoa, ejece sobe la unidad de asa en ese punto Es obvio, que el capo avitatoio es adial, y disinuye con el cuadado de la distancia. SE DE UN CPO CENL Las fuezas avitatoias, son siepe atactivas, disinuyen con el cuadado de la distancia. Vázquez C. Gavitatoio 9
Capo avitatoio (X): Caacteización del capo (IV); líneas de fueza (I) El capo avitatoio, quedaá deteinado, paa cada punto del espacio, ediante dos anitudes caacteísticas : La fueza, que el capo puede ejece sobe una asa colocada en ese punto. El tabajo, que esta fueza puede ealiza. Si esta asa, que llaaeos de Pueba, vale la unidad; entonces estas dos anitudes caacteísticas se llaan espectivaente: INENSIDD DEL CPO (SIPLEENE CPO), Y; POENCIL Ota de las caacteísticas del capo, son las líneas de fueza,(l de F) que nos peiten visualizalo. Gozan de las siuientes popiedades: Son las tayectoias que seuiía, la asa soetida a la influencia del capo, en una sucesión de cainos eleentales, patiendo en todos ellos, del eposo El vecto intensidad del capo, es siepe tanente a las líneas de fueza. Vázquez C. Gavitatoio 0
Capo avitatoio (XI): Caacteización del capo (V) ; Líneas de fueza (II) Paa epesenta el capo, se conviene en asocia su valo en un punto, al núeo de líneas de fueza que ataviesan la unidad de supeficie. Pueden se ceadas(capo anético), y abietas(capo avitatoio y capo eléctico). El sentido de ecoido de las L de F, y el vecto que epesenta el capo coinciden en cada punto. Las líneas de fueza no se pueden cota, pues si así fuese, a cada punto del espacio podían coesponde dos o as valoes de, con lo que el capo no estaía unívocaente deteinado. (ecodeos que es una función de las coodenadas del punto y po tanto posee un valo único paa cada punto del capo). Vázquez C. Gavitatoio
Capo avitatoio (XII):Flujo del capo avitatoio El capo avitatoio en un punto, conviene en epesentase, po el núeo de líneas de fueza que ataviesan noalente la unidad de supeficie localizada en ese punto. Si las líneas de epesentación son paalelas, el capo es unifoe En los puntos o zonas donde la L. de F. se juntan, el capo es as intenso. Se define FLUJO del capo a tavés de una supeficie eleental, coo el núeo de líneas de fueza que ataviesan esa supeficie; su valo es el poducto de la intensidad del capo po la supeficie Noal al capo Si dφ es el flujo eleental que ataviesa ds, escibié: Capo unifoe; supeficie que foa un ánulo α dφ ds ds cosα y el flujo atavés de una supeficie finita : Φ ds ds cosα S S Capo unifoe y supeficie plana noal al capo Supeficie cualquiea y capo vaiable. Vázquez C. Gavitatoio
Capo avitatoio XIII: Pincipio de supeposición PINCIPIO DE SUPEPOSICIÓN: La intensidad del Capo avitatoio en un punto, debida a la acción de vaias asas puntuales, es la sua vectoial de las intensidades, que individual e independienteente, cean en cada punto, cada una de las asas Seún el pincipio de independencia de las fuezas, cuando un cuepo está soetido a la acción de vaias fuezas, el efecto esultante es iual a la sua de los efectos que expeientaía, si estuviea soetido a cada una de las fuezas individuales. Una distibución disceta de asas puntuales (,, 3... n ), es un conjunto de puntos ateiales que pueden contase. Disceto se opone a continuo. En una distibución continua no se puede habla de dos puntos consecutivos; es deci dados dos puntos cualesquiea, ente ellos existen infinitos puntos. Si teno una distibución disceta de asas (,, 3... n ),que ocupan las posiciones dadas po los vectoes (,, 3,... n.), la fueza ejecida po el conjunto de todas ella sobe una asa puntual, situada en una posición P, definida po el vecto, es :. Vázquez C. Gavitatoio 3 F n i F ; y la intensidad i F es la fueza ejecida i po F del capo seá : i n i sobe F. n i i
Capo avitatoio XIV;Vaiaciones de con la altua El capo avitatoio depende de la distancia desde el cento del punto que lo oiina, hasta el punto que se considee. En el exteio: en eneal, el capo avitatoio oiinado po un cuepo esféico unifoe de asa en un punto, es el iso que el que oiinaía dicha asa si estuviese concentada en el cento del cuepo G u ; paa la elación odula 0 h h 0 G G G ( + h ) t 9,8 / s ( + h) t G el caso de la tiea paa este caso es : ; Paa ; Obviaente elaciona lo con el capo con la altua h 0 ( + h ) ( + h ) t 0, divido t es áxio h, tendé las últias al nivel del a, que : expesione s :. Vázquez C. Gavitatoio 4
. Vázquez C. Gavitatoio 5 Capo avitatoio XV: Capo en el inteio de la supeficie teeste l se neativo se sitúa po debajo del eje OX Paa el caso del inteio de la tiea: Debeos de hace dos consideaciones : La avedad se debe a la asa de la tiea po debajo de p La densidad de la tiea la supondeos constante G G G pofundidad p p G G G 0 3 3 0 ahoa divido abas:.si 3 4 3 4 ) ( 3 4 3 4 π ρ π ρ π ρ π ρ En la fiua, se epesenta la vaiación del capo avitatoio en el inteio y exteio de la supeficie teeste. Patiendo de ceo en el inteio del planeta,(penseos que la contibución de asa es nula) el ódulo de la intensidad auenta hasta llea al áxio en la supeficie, a pati de donde disinuye con el cuadado de la distancia hasta hacese ceo en el infinito
Capo avitatoio XVI: Eneía potencial Paa ecoda: Un capo de fuezas centales es consevativo En un capo consevativo, decíaos que el tabajo solo depende de los estados inicial y final y no del caino ecoido. naliceos el punto de patida: Suponaos que se deja cae veticalente un cuepo desde el punto al punto B. Patiendo de la idea de que SIEPE QUE SE ELIZ UN BJO SE H PODUCIDO EN IGUL CNIDD UN VICIÓN DE ENEGÍ. El cuepo cae, y el capo avitatoio teeste ealiza un tabajo W. La tansfoación de eneía coespondiente nos la popociona el teoea de las fuezas vivas: W B E C E CB -E C. hoa se tata de subi el cuepo de B a a vcte.. No hay vaiación de E C, peo si ha habido tabajo, y po tanto una vaiación de eneía. esta nueva eneía la llaaeos eneía potencial W B - E P -W B () Podé, po lo tanto escibi: E C E CB -E C. - - E P - (E PB E P ), es deci :E C +E P E CB +E P ; que es en definitiva, el pincipio de consevación de la eneía La eneía potencial, sólo puede definise en capos consevativos La Eneía potencial, ide el tabajo necesaio paa taslada un cuepo de un punto a oto. Cuando el tabajo lo ealiza el capo es positivo(w>0). El sino neativo de la ecuación () indica que el tabajo es ealizado po el popio capo a costa de la disinución de su eneía potencial. Cuando el tabajo es ealizado po aentes extenos conta el capo (W<0) sinifica un auento de eneía. De la definición, se deduce que solo pueden se edidas difeencias de eneía, y no valoes absolutos de eneía potencial en un punto. unque siepe podeos elei bitaiaente un nivel ceo de eneía potencial. En eneal,lo eleios suficienteente alejado del cento del capo paa que dejen de notase los efectos de este, es deci, el infinito ( ) La eneía potencial avitatoia es siepe neativa, esto se explica po que el tabajo que ealiza el capo, es iual a la disinución de eneía potencial. Po tanto, si inicialente, una asa libe de la acción avitatoia tiene E P 0. l intoducise en el C. Gavitatoio, su E P se haá neativa. Vázquez C. Gavitatoio 6
Capo avitatoio XVII Eneía potencial avitatoia II Vaos a enconta el Valo de la Eneía potencial avitatoia. El capo es consevativo, lo que iplica que : W E El u E E B P P P E tabajo E B PB d. u PB F d no B d G E F d depende cos G P ; B G u d. del caino ; escoeos 0 º d ; y G E B po PB. lo tanto Si G B : E una P identifica tayecto E PB os G abos ia adial B d iebos paa siplifica G de esta cálculos B. iualdad Paece lóico asina un valo ceo de eneía potencial un punto tan alejado del capo que no se notan los efectos de este. este punto le llaaeos el infinito tendé : Podé entonces defini la eneía potencial en un punto del espacio si B E con lo que nos quedaá : P G o en eneal: E P G La eneía potencial en un punto p es el tabajo necesaio, conta las fuezas del capo, paa taslada ( a velocidad constante)la asa, desde el punto hasta el infinito. Vázquez C. Gavitatoio 7
Capo avitatoio XVIII lunas consideaciones sobe la eneía potencial avitatoia(iii): La Eneía potencial avitatoia es siepe neativa. Esto se explica po que el tabajo del capo (el que ealiza el capo) es iual a la disinución de eneía potencial. Peo cuidado : La eneía potencial avitatoia puede se neativa o positiva dependiendo del oien del sistea de efeencia consideado. Es deci que cuando utilizaos la expesión E P h, paa puntos póxios a la supeficie de la tiea la eneía potencial tiene un valo positivo. Po el contaio, en la expesión E P -G/ la eneía es neativa supone el oien de eneías en el infinito Peo esta apaente contadicción conduce al iso esultado poque si un cuepo se apata de la supeficie teeste, el valo de su eneía auenta al disinui el cociente G/, que coo es neativo auenta en definitiva. Oto punto de vista: La eneía potencial avitatoia de una asa es el tabajo ealizado po las fuezas del capo paa lleva la asa desde el infinito al punto, cabiado de sino, E P -W P infinito (hecho po las fuezas del capo). La epesentación de la Eneía potencial avitatoia en función de la distancia E P f(/),cte./. Y la epesentación es:. Vázquez C. Gavitatoio 8
Capo avitatoio XIX: El Potencial avitatoio Es un concepto clave en la descipción del capo avitatoio. epesenta la eneía potencial po unidad de asa(k.) colocada en un punto del capo. De iual foa que esta, es un escala El tabajo paa tanspota la unidad de asa de a B sea : B W F d BF B d d este tabajo le llaaos difeencia de potencial avitatoio y se epesenta po B V V B d La difeencia de potencial avitatoio ente los puntos y B, es iual al tabajo ealizado po el capo avitatoio, paa taslada la unidad de asa de a B. D la isa foa que en el caso de la eneía, caece de sentido habla de valoes absolutos de potencial, solo de difeencias de potencial. unque se puede asina un valo ceo de potencial fijando el oien de Paa el cálculo del potencial avitato io en un punto ceado po la asa puntual, tendé : potenciales en el infinito. B B V V B d G u. d Eleios tayecto ia adial coo en el caso de u d. u d cos 0 º d. po tanto : Fijeos V V V B G G el oien y en B d G G de potencial en el infinito. si eneal : V G Defino, entonces el potencial avitatoio en un punto p del capo, coo el tabajo, conta las fuezas del capo, necesaio paa lleva la unidad de asa desde el punto al infinito B. Vázquez C. Gavitatoio 9 la B eneía, G y tendeo B. s, coo allí :
Capo avitatoio XX: Consideaciones sobe el potencial ; supeficies equipotenciales Una vez definido el potencial, estaos en condiciones de epesenta el capo avitatoio ediante las conocidas líneas de capo y lo que llaaeos supeficies equipotenciales, que no son as, que el lua eoético de los puntos que tienen el iso potencial. Coo el potencial es una función de punto, el lua eoético de los puntos que equidistan de uno fijo(cento de la asa ceadoa del capo), es una esfea, con lo que las supeficies equipotenciales, seán esfeas concénticas con este iso cento, el de la asa oiinaia del capo avitatoio. Sobe una supeficie equipotencial, se veifica que el tabajo paa taslada una asa de un punto a oto es nulo: En efecto: WB EP( ) EP ( B ) V VB ( V VB ) 0 Pues : V VB v deás: encontaeos que y la supef. equip. son pependiculaes B W F d 0 de lo que se deduce que : F d B. Vázquez C. Gavitatoio 0
Capo avitatoio XXI: Consideaciones sobe el potencial (II); supeficies equipotenciales, pincipio de supeposición Ota foa de velo : si, no es pependicula a la supeficie equipotencial, debeía existi una coponente tanencial de, y po tanto de F, con lo que W B no seía nulo, ya que existiía fueza en la diección del desplazaiento a lo lao de la supeficie, y po tanto tabajo. El capo tiene el sentido de los potenciales dececientes Esta afiación se deduce del hecho de que; si la asa se ueve bajo la acción de las fuezas del capo, ealiza tabajo a expensas de su eneía potencial, po lo que esta y su potencial disinuyen. Las supeficies equipotenciales nunca podán cotase; si así fuese, en el punto o línea de cote, el potencial no estaía unívocaente deteinado, (podíaos tene dos o as valoes del potencial paa el iso punto del capo, y heos de ecoda que es un escala que depende de la distancia al punto) Las líneas de fueza, heos de tazalas de odo, que el vecto sea tanente en cada punto a las líneas de capo, y con el iso sentido que estas. Si teneos en cuenta los esultados anteioes, efeidos a la pependiculaidad de y la supeficie equipotencial, y teniendo en cuenta que el potencial toa el iso valo a la isa distancia, obliado es, que las supeficies equipotenciales sean esfeas concénticas En el caso de existi vaias asas puntuales se cuple el pincipio de supeposición: El potencial avitatoio esultante es la sua de los potenciales debidos a cada una de las asas. Vázquez C. Gavitatoio
Capo avitatoio XXII: Deteinación del capo teoea de Gauss Utilizaeos el teoea de Gauss, paa calcula el capo que poduce, un un deteinado voluen o supeficie, peo exclusivaente, en casos donde la distibución de asa pesente cieta sietía, coo esfeas, cilindos, planos etc... Veaos un ejeplo que nos peita visualiza el teoea de Gauss. Se tata de calcula, el flujo del capo avitatoio de una asa puntual, a tavés de una esfea de adio centada en. Φ ds G u ds G u ds : Sobe la esfea S S S el valo de es constante, e iual a. El vecto unitaio u, y el vecto epesenta tivo de la supeficie (noal y hacia afuea de ella) ds, son paalelos, po tanto : u ds u ds cos 0º ds; po lo tanto Φ G ds G S S Peo S 4 π po lo que en definitiva :{ Φ 4π G } El flujo avitatoio a tavés de una supeficie ceada, es popocional a la asa que enciea dicha supeficie. En eneal, si la supeficie es ceada, el flujo total es positivo, si las líneas de fueza salen de la supeficie. En el caso del capo avitatoio Φ<0, ya que y ds foan un ánulo de 80º y su coseno es -. Vázquez C. Gavitatoio
Capo avitatoio XXIII: plicaciones del teoea de Gauss (I) Paa calcula el capo y el potencial, ceados po una esfea aciza y hooénea de adio en un punto P, exteio, podeos aplica el teoea de auss, eliiendo coo supeficie Gaussiana, una esfea concéntica con la distibución de asa, y que pasa po el punto P, donde queeos calcula el capo. Po sietía, el capo, es pependicula a la supeficie aussiana en todos los puntos, y su ódulo constante sobe la supeficie. ds ds cos80º ds Φ ds ds ds 4 π S Si ahoa aplico el teoea de Gauss, tendé : Φ 4 π G 4 π S en foa vectoial: G u V d G u d ecodeos d(/ ) / S ; y po lo tanto G G d G. : y paa el potencial pocediendo de la isa foa : d G. Vázquez C. Gavitatoio 3
Capo avitatoio XXIV: plicaciones del teoea de Gauss(II) capo avitatoio en el inteio de la iea plicaeos el teoea de Gauss, paa calcula el capo avitatoio en el inteio de la tiea. El poblea, fue esuelto en su oento po oto caino. En estos oentos, y teniendo en cuenta la sietía de la supeficie, estaos en condiciones de aplica el teoea de Gauss. La supeficie aussiana eleida es una esfea, (en vede oscuo en el dibujo) concéntica con la supeficie de la iea. Suponeos, coo entonces, que la densidad es constante. Φ Po oto lado : S ds adio esfea inteio Po tanto : S 4π ds cosπ Φ -4 π G ρ V adio inteio adio ρ 4 / 3π 4π G ρ 4 / 3 π ds S 4 π ( ρ cte.) Qu en definitiva : ρ4 / 3π G Valo que coincide con el obtenido po el oto étodo S 3 3 Capo en el inteio ds. Vázquez C. Gavitatoio 4
Capo avitatoio XXV: La eneía potencial en la iea De lo que tataos ahoa, es de copoba que la ecuación E P..h es coecta, patiendo de la conocida expesión de la eneía potencial: E P -G /. Hasta ahoa, heos calculado la E P de una asa, en las poxiidades de la supeficie teeste, ediante la E P h, seún la cual E P 0, si h0; adeás, consideaos constante a cualquie altua de la asa E P G G + h G G h h + + ( + h) h y en tal caso la expesión es coecta h 0 (solaente, si h es << fente al )podé pone + h + h 0 ( + h) edida que la asa de pueba, se aleja del cento del capo, su eneía potencial auenta, hasta que en el infinito, seía áxia. unque la fóula deducida no es válida, se tata de una extapolación aceptable. El auento de E P, equivale al tabajo ealizado po un aente exteno. En cualquie caso, E P vale lo áxio en el infinito, independienteente del valo ceo asinado al sistea de efeencia Paa aplica coectaente la fóula E P..h hay que tene pesente : Que solaente epesenta vaiaciones de eneía. Po tanto solo tiene sentido, cuando se establece un nivel de efeencia específico paa cada caso. Que dicha fóula solo vale, ientas la fueza avitatoia peanezca constante, es deci, ientas los desplazaientos sean pequeños copaados con el adio de la iea. Vázquez C. Gavitatoio 5
Capo avitatoio XXVI: oviiento de satélites y planetas, aplicaciones de la ley de avitación univesal Coenceos po conoce alunas de las constantes que se utilizaán el la esolución de ejecicios coespondientes al oviiento de satélites : G(cte avitación) 6,67.0 - ; (asa tiea)5,98.0 4 k.; (adio tiea)6,37.0 6.. +h; hdistancia al punto, P, desde la supeficie. u vecto unitaio que une el cento de la tiea con el punto, cuyo sentido es del cento de la tiea al punto, P Paa pone en óbita un satélite atificial, hay que llevalo hasta una altua h sobe la supeficie epleando cohetes, con los cuales heos de vence la fueza consevativa del capo, po lo que siepe tendeos E supeficie E altua h. Paa pone en óbita un satélite, necesitaeos la eneía necesaia paa situalo a la altua h as la que tendeos que counica paa dotalo de la velocidad suficiente paa antenelo en la óbita, y adeás de todo ello, la necesaia paa vence la esistencia del aie, peo en todo el estudio consideaeos nulos los ozaientos P u. Vázquez C. Gavitatoio 6
Capo avitatoio XXVII: oviiento de satélites y planetas (II) Definios velocidad de escape (V L ), a la velocidad ínia de lanzaiento de un cohete, paa que pueda libase de la atacción teeste. Los valoes de la eneía, en supeficie, y en el punto de altua h, han de se iuales, estaos en un capo consevativo. Peiodo de evolución de un satélite, es el tiepo que tada en copleta una óbita. Coincidiá con el peiodo encontado po Keple Velocidad obital, es la necesaia a ipii al satélite, una vez que se encuenta en la óbita, paa que peanezca en ella contaestando la acción avitatoia. Eneía de enlace, es la eneía ecánica que debe posee un satélite, paa antenese en una óbita estacionaia, a una altua h, sobe la supeficie. Satélite eoestacionaio, es el que ia alededo de la tiea, con un peiodo de evolución, iual al de esta Las eneías, en supeficie, y a la altua h, han de se iuales Esup Ecsup + EPsup v G L + v velocidad de lanzaiento paa el escape de la atacción avitatoia L La eneía a Eh Ech + E ph 0 + G h + ya que la velocidad, una vez alcanzada la óbita, es ceo (v De iuala abas expesiones v L De donde puedo obtene v Si lo queeos saca de la influencia del capo avitatoio, tendé que hace (h de donde : v L la altua "h" tendá el iso valo, y seá : (vel. de escape) L tendé : + G G h + G G. h + 0 h 0). 0,k / s.. Vázquez C. Gavitatoio 7 )
Capo avitatoio XXVIII: oviiento de satélites y planetas (III) Paa que un satélite ie en una óbita cicula alededo, ponaos de la iea, debe de esta soetido a una fueza centípeta. Esta fueza centípeta seá suinistada po la atacción avitatoia que ejece sobe el satélite. De esta consideación podeos obtene la velocidad obital. Y el peiodo de evolución F G a + h vob G Esta últia ecuación, la puedo escibi en G 0 F ; C G C v ; entonces : v ob función de la avedad teeste ob 0 0 + h Paa obtene el peiodo de evolución, tendeos de la óbita, ente la velocidad obital π π : válida paa cualquie planeta vob G O bien, en función de la avedad teeste π Si obsevaos 4π es deci : que dividi la lonitud ( + h) ( + h) 0 0 + h 3 : π esta últia Donde, puede se el adio de la tiea, o el de io del cualquie K que se tata de la expesión 3 ; 0 3 expesión, podeos pone : de la tecea ley de Keple 0 o satélite satélite :. Vázquez C. Gavitatoio 8
Capo avitatoio XXIX: oviiento de satélites (IV)Eneía de un satélite en óbita estacionaia (Eneía de enlace). Suaeos las eneías potencial y cinética en la óbita E E E ob. est hace : ob. est ob. est E c. vob Po la tanto : / E + E P. alt. h p. alt. h Paa un planeta cualquiea, seía y : G / E G. / vob + h + válida la expesión sin as que + h. G c. v. ob G G ( tiea) ( De la intepetación de los esultados concluios que: La eneía en la obita es iual y de sino contaio a la E C en al óbita. Vázquez C. Gavitatoio 9 + h) Las óbitas eoestacionaias, coesponden a altitudes elevadas(en tono a los 36.000k., po tanto, los satélites, no pueden obtene iáenes de alta esolución de la tiea. Son óbitas ecuatoiales, y se usan pincipalente paa aplicaciones eteoolóicas y de counicaciones. Las óbitas da baja altitud (ente 600 y 00 K.) se llaan HELIOSICÓNICS, po que el plano de la óbita, tiene una oientación fija especto del Sol. Pueden obtenese iáenes de alta esolución, se utilizan paa la obsevación de la tiea y análisis de ecusos
Capo avitatoio XXX: oviiento de satélites(v) Eneía de puesta en óbita Paa coloca en óbita un satélite atificial, necesitaeos una eneía paa llevalo, desde la supeficie a la altua h. Necesitaeos una eneía potencial, paa vence las fuezas consevativas del capo y colocalo a la altua h. Necesitaeos adeás un eneía cinética, paa que peanezca en la óbita, con la velocidad obital. Newton nos lo contaba así: Cuanto ayo sea la velocidad con la cual se lanza una pieda, as avanza antes de cae en la tiea. Po tanto, podeos supone que la velocidad pueda inceentase tanto, que desciba un aco de,,5,0,00,000 illas antes de llea a la iea, hasta que finalente,sobepasando los líites de ella, debe pasa al espacio sin tocala. Podeos idea el expeiento, suponiendo que subios el satélite a lo alto de una toe de altua h, desde la cual dispaaos el poyectil o satélite con un enoe cañón, al que dotaeos de suficiente velocidad paa que peanezca en la óbita (velocidad obital). La eneía de puesta en óbita la obteneos del pincipio de consevación E E E necesaia necesaia necesaia + E pot.sup ef. E c. enobit + E p. altuah + G vob G + h + G + G + h. Vázquez C. Gavitatoio 30
Capo avitatoio XXXI: oviiento de satélites (VI):Consideaciones sobe la velocidad en la Óbita La colocación en la óbita se ealiza en dos fases, la piea se lleva a una altua h ediante cohetes. Desde esta h se ipulsa con velocidad v o Una vez que heos colocado el satélite en óbita, discutieos sobe la posibilidad de que la velocidad sea ayo, o eno que la velocidad obital,: Sea v o, la velocidad del satélite en la óbita; v oc, la velocidad en al óbita cicula Si v o <v oc ; necesaiaente ha de cae hacia la tiea. Si v o v oc ; el satélite descibiá una óbita cicula. Paa v o >v oc, la óbita descita seá una elipse, que auenta su excenticidad a edida que auenta v o. Si v o, es suficienteente ande,el eje ayo de la elipse, se haá infinito(se conviete en una paábola); a tal velocidad le llaaeos velocidad de escape de la óbita, y el satélite tendá una eneía nula en el infinito; es deci, : E es deci: v En óbitaspaabólicas, la eneía totaldelsatéliteen el infinito,es ceo,siendoceo la potencialen la óbita,y ayo que ceo,la cinética,hasta quese anulaen el infinito. Se ha de obseva que la velocidadde escape,desdeuna óbita cicula, es inicial E co + E esc. ob. po / v G + h escapeobita v.; vecesayo,que la velocidaden esa óbita o G ;Paa que lleueal con E nula(e 0) + h Si v o >>v oc ; la óbita seía una hipébola, y lleaía al infinito con velocidad >0. Vázquez C. Gavitatoio 3
Capo avitatoio XXXII: oviiento de satélites(vii),odelo del pozo avitatoio Pa entende la velocidad de escape, se utiliza el odelo de pozo avitatoio. Encontanos sobe la supeficie de la tiea, equivale a encontanos en el fondo de un pozo, de vaios iles de k de pofundidad. Si queeos viaja al espacio inteplanetaio, debeos de sali de este pozo, a un plano hoizontal llaado espacio libe avitacional. Coincide con el nivel ceo de eneía potencial. Se considea que un cuepo escapa de la atacción avitatoia teeste, cuando llea a una distancia infinita de la tiea (E P 0), con velocidad nula(e C 0). La velocidad, es la de escape (ve diapositiva anteio). Coo el poducto E P. -(G /).G cte. quiee deci, que la cuva que epesenta dicha fiua, es una hipébola equilátea, que enenda una supeficie cónica de eneatiz cuva, si iase entono a un eje vetical, coo en la fiua : Dicha supeficie, epesenta el pozo avitatoio en el que estaos inesos, y deteina las óbitas ciculaes o elípticas de los satélites. Si constuios un dispositivo así, encontaíaos, que el tipo de óbita, se obtiene odificando la velocidad inicial de una canica que siule el satélite, y que lanzaeos siuiendo la cuvatua del pozo. Vázquez C. Gavitatoio 3
Capo avitatoio XXXIII: Epíloo (I) :Giantes a hobos de iantes Copénico ychobahe Keple Es el debe de un astónoo, copone la histoia de los oviientos celestes a tavés de la obsevación cuidadosa y expeta.entonces,...entonces debe concebi y taza, ya que no puede de ninuna anea llea a las vedadeas causas, hipótesis tales, que siendo asuidas, peitan que los oviientos sean calculados coectaente a pati de los pincipios de la eoetía...po consiuiente, no quieo oculta a vuesta Santidad que lo único que e ipulsó a busca ota foa distinta de deduci los oviientos de las esfeas, fue el echo de que no existe acuedo ente las investiaciones de los difeentes ateáticos.(nicolás Copénico;473-543. De evolutionibus Obiu Coelestiu). Justo es, en esta situación, enciona a ycho Bahe(546-60), cuya apotación a las posteioes teoías fue cucial, debido a las cuidadosas edidas de distancia a los planetas y peiodos de evolución de los isos, desde el obsevatoio que instaló en su popio castillo, y de cuyas obsevaciones y hospitalidad, se sivió Keple paa asenta su teoía heliocéntica. Vázquez C. Gavitatoio 33
Capo avitatoio XXXIV: EPÍLOGO (II): GIGNES HOBOS DE GIGNES Concluye Nicolás Copénico (55) Vedadeaente quién podía situa esa luz en oto lua ejo que en el que aquel, desde el que puede iluinalo todo a la vez No se atevió a publicalo! Posteioente, Galileo que se expesa con los siuientes coentaios: Nunca podé adialos lo suficiente( Se efiee a Copénico y a sus seuidoes), ediante pua fueza de intelecto, iñeon hasta tal punto con su sentido coún, coo paa pefei lo que les dictaba la azón, a lo que la expeiencia esponsable les ostaba claaente. En el auto de acusación de Galileo, la Ilesia declaó: La doctina de que la iea no se halla en el cento del univeso, ni que está inóvil sino que ia, incluso en una otación diaia; es absuda, es falsa desde el punto de vista psicolóico y teolóico, y constituye, cuando enos una ofensa a la fe. Galileo espondió: Se condena la doctina que postula que la iea se ueve y el Sol está fijo, po que las escituas encionan en uchos pasajes, que el sol se ueve, y la tiea peanece fija. fian los piadosos que las escituas no pueden enti, peo nadie neaá que con fecuencia son abstusas y su vedadeo sinificado difícil de copende; su ipotancia va as allá de las eas palabas. Opino que en la discusión de los pobleas natuales, no debeíaos epeza po las escituas, sino po los expeientos y las deostaciones. Posteioente Galileo ha de etactase de tales afiaciones, y confesale a sus as íntios,y al oído después del poceso, que: sin ebao se ueve. Desaolla valoes y actitudes popias del pensaiento científico, coo la búsqueda de infoación, la cuiosidad, la capacidad cítica, el tabajo sisteático, y iuoso, el cuestionaiento de cualquie intepetación, y una actitud toleante y no doática, todo ello foa pate de los pocediientos de la ciencia. En conta de ello; Ceo que eece la pena destaca aquí un coentaio de obet Cadinal Bellaine, pincipal teóloo del Vaticano, a pincipios del S. XVII fia que el Sol se halla fijo en el cento de los cielos y que la iea da vueltas uy ápidaente a su alededo, es alo cietaente pelioso. Concluye afiando: La libetad de pensaiento es peniciosa, no es as que la libetad de esta equivocado Qué difícil ea constui entonces el conociiento!. En la actualidad, los avances en este capo son as que consideables, es po esto que el nuevo S.E. se confiua" en un tiepo en que no se epieza po las escituas." Copaeos. Vázquez la situación de entonces, con este oto coentaio C. Gavitatoio de Stephen W. Hawkin; El poeso de la aza 34huana, en la copensión del univeso, ha ceado un pequeño incón de oden, en un univeso cada vez as desodenado.
Capo avitatoio XXXV:EPÍLOGO (III) GIGNES HOBOS DE GIGNES. Evolución de los odelos cosolóicos hasta Galileo El odelo aistotélico, es Geocéntico tiene un vio, de as de 8 silos. El odelo de Ptoloeo, explica el apaente oviiento etóado de los planetas coo el ate, que se apecia en la iaen.se tata de un odelo eoéticaente coplejo, aunque plaado de acietos. Los planetas desciben una óbita pincipal llaado Defeente y cicunfeencias secundaias (Epiciclos),a lo lao del Defeente.Las ideas de Ptoloeo se ecoen en su oba el laesto El odelo Copenicano es heliocéntico explica, de foa as sencilla el oviiento de los planetas. Vázquez C. Gavitatoio 35
Capo avitatoio XXXVI: EPÍLOGO (IV) GIGNES HOBOS DE GIGNES: Desde Newton a Hawkin(I) Newton en su libo Pincipios ateáticos de filosofía natual,(en su tiepo así se llaaba la Física)ecoe el ayo copendio de ecánica jaás concebido. Gacias a sus descubiientos, y en paticula la ley de avitación, entendeos el oviiento de los planetas, satélites, coetas. econoció su deuda con sus pedecesoes en la faosa fase Si he visto as allá que el esto de los otales es po que e subí a hobos de iantes, coo Keple, Galileo y Copénico La ley de avitación univesal, fue copobada expeientalente en el laboatoio, ediante la faosa balanza de Cavendish paa deteina G. Vázquez C. Gavitatoio 36
Capo avitatoio XXXVII: EPÍLOGO (V) GIGNES HOBOS DE GIGNES: Desde Newton a Hawkin(II) Einstein Hawkin Hace falta llea al silo XX, paa explica fenóenos del icocosos paa los cuales la ecánica de Newton es insuficiente. Entaeos, en la ecánica Cuántica Sue la fiua de oto de los andes enios lbet Einstein, que en su teoía de la elatividad aoja una pizca de luz sobe el conociiento. Es el oien de la ecánica elativista Y es peciso llea a los alboes del silo XXI paa adentanos en el conociiento del univeso, Físicos coo Hawkin, pelean el la actualidad paa enconta las espuestas. Vázquez C. Gavitatoio 37
ev. concepto de tabajo eoea de las F. Vivas abajo y E p 3ª Ley de Kepple Ley de avitación Intensidad del C. Gavitatoio Flujo del C. Gavitatoio Pincipio de supeposición Foulaio de avitación W W B W E c B F. d F. d E Cte. 3 v. F G. u ; Φ P E PB E P - G 6,67.0 G u ds ds cosα F S n i F ; i S Vaiación de con la altua Vaiación de con la pofundidad h 0 0 ( + h) t ; o G./ eoea de Gauss Eneía Potencial avitatoia Potencial avitatoio { Φ 4π G } E P G B V G V V B d. Vázquez C. Gavitatoio 38
Velocidad Obital Peiodo de evolución E. De un satélite en óbita estacionaia E. De puesta en Óbita Foulaio de avitación 0 Velocidad de escape de la tiea v vel. de escape),k/ s. v E ob G L ( 0 G 4π ob. est 3 0 : G ( v π + h) ob 0 ( + h) 0 + h E ob. est / EP. alt. h Ec. v. ob E necesaia G + + h 3 G Velocidad de escape de la Óbita G v esc ob. + h v. o.. Vázquez C. Gavitatoio 39