Unidad didáctica 9 Campo gravitatorio

Transcripción

1 Unidad didáctica 9 Capo gavitatoio

2 .- Concepto de capo. La ley de la Gavitación Univesal supuso un gan avance, peo esta ley iplicaba que un cuepo podía ejece una fueza sobe oto sin esta en contacto con él. Paa intenta explica la acción a distancia, Faaday popuso, en 83, el concepto de capo, coo una egión del espacio en la que se poduce una petubación, povocada po un cuepo que tiene una popiedad que lo hace inteacciona con otos cuepos que tienen la isa popiedad. Se dice que una deteinada agnitud física cea un capo en una egión del espacio si, en cada instante, es posible asigna un valo y solo uno de dicha agnitud a cada uno de los puntos de dicha egión. Un capo es estacionaio si no depende del tiepo. Un capo es unifoe si la agnitud que define al capo peanece constante. Un capo es escala cuando la agnitud que define al capo es un escala. Ejeplo: en un vaso con agua se pone un cubito de hielo (no se ha alcanzado el equilibio téico). l edi la tepeatua en difeentes puntos del vaso, se encuenta que la tepeatua vaía según donde se toe la edida. Existe un capo de tepeatuas. Un capo escala se epesenta ediante una supeficie isoescala, que es el luga geoético foado po todos los puntos del espacio en los que la agnitud escala tiene el iso valo. Ejeplo: las supeficies isobaas, que iden la pesión atosféica. El cote de estas supeficies con planos paalelos a la supeficie de la iea definen las líneas isobaas. Un capo es vectoial cuando la agnitud que define el capo es un vecto. Ejeplo: al estudia la velocidad con que se desplaza un fluido po una tubeía se puede ve que depende del ozaiento de las paedes y la viscosidad, po tanto a cada punto de la tubeía le coesponde una velocidad. Esto es un capo de velocidades. Un capo vectoial se define ediante líneas de capo, que son líneas iaginaias tangentes en cada punto a la agnitud vectoial que define el capo. Repesentaían las tayectoias que seguiían unos cochos dejados libes en la tubeía de agua..- Capo de fuezas. Capo gavitatoio. Se habla de capo de fuezas cuando la agnitud que define el capo vectoial es una fueza. Se dice que en una egión del espacio hay un capo de fuezas cuando al coloca un agente sensible (asa, caga eléctica, etc.) en un punto cualquiea de esa egión se ejece sobe él una fueza que depende del punto consideado. Ejeplo de capos de fueza: gavitatoio, eléctico y agnético. En el caso de un capo gavitatoio es la asa la que odifica el espacio a su alededo, de foa que cualquie ota asa situada en la zona de influencia del capo se veá soetida a una fueza de atacción cuyo valo viene deteinado po la ley de Newton. Es ipotante destaca que la fueza es ealizada po el capo y no po la asa que lo cea. Unidad didáctica 9: Capo gavitatoio. pag.

3 ..- Intensidad del capo gavitatoio. Dada una asa situada en el capo gavitatoio ceado po una asa, se define la intensidad del capo gavitatoio, g, coo la fueza que se ejece sobe la unidad de asa, en cada punto del capo gavitatoio: g F Coo F G u g G u Se puede deci que el capo gavitatoio tiene las siguientes popiedades: Es un capo cental y su intensidad disinuye con el cuadado de la distancia. El signo es negativo poque g y u tienen sentidos contaios. Las fuezas gavitatoias siepe son atactivas. N Unidades: (g ecibe tabién el nobe de aceleación de la gavedad poque su kg s unidad coincide con la unidad de la aceleación)...- Pincipio de supeposición. Si se tienen vaias asas ( g,,, n), y cada una de ellas cea un capo gavitatoio (, g,, g n ), la intensidad del capo gavitatoio ceado po todas ellas se calcula suando vectoialente las intensidades del capo que ceado po cada una de las asas de foa individual (coo si las deás no existiesen). g otal g + g g n.3.- Vaiación de la intensidad de capo. Si los cuepos que inteaccionan tienen diensiones no despeciable, es peciso tene en cuenta su taaño y foas eales. Si se tata de una esfea hoogénea, o si la asa se distibuye po capas esféicas concénticas, coo en el caso de la iea, se puede tene tes casos: Si > : g ext G, en la gáfica coesponde a la cuva. Si : g 0 G, en la gáfica, el punto k. Si < : g int G 3, en la gáfica coesponde a la ecta. El valo áxio de g está en la supeficie. Unidad didáctica 9: Capo gavitatoio. pag.

4 3.- Capos de fuezas consevativos. Un capo de fuezas es consevativo si el tabajo que ealizan las fuezas del capo, paa taslada una patícula de un punto, a oto B, depende solo del punto inicial y final y no del caino seguido. Un capo de fuezas es consevativo cuando lo son las fuezas que lo constituyen. El capo gavitatoio es un capo consevativo cental. El tabajo de las fuezas del capo gavitatoio es positivo cuando el cuepo se aceca al cuepo que cea el capo. Y es negativo cuando el cuepo se aleja del que cea el capo. Una popiedad que caacteiza a un capo consevativo es que el tabajo que ealiza el capo dento de una tayectoia ceada es ceo. F d B F d I F d B F d B F d B II I II 3..- abajo debido a las fuezas gavitatoias. Enegía potencial. El tabajo ealizado po la fueza gavitatoia cuando un cuepo de asa, situado en el capo gavitatoio ceado po la asa, pasa del punto al B: B W Fd B B Fd cos80º Fd Sustituyendo F: B B W B G d - G - G B B Nota: + d d + G W B - G B Sabeos que a las fuezas consevativas se les puede asocia una agnitud escala llaada enegía potencial, Ep, de foa que se cuple que el tabajo que ealiza el capo es igual a la vaiación de la enegía potencial ente los puntos inicial y final: W - ΔEp - (Ep G con B - Ep ) Ep - Ep B - G B Ota foa de expesalo: - ΔEp Ep - Ep B - G B Vaiación de enegía potencial que sufe un cuepo cuando pasa del punto al B. Unidad didáctica 9: Capo gavitatoio. pag. 3

5 3..- Enegía potencial en un punto del capo gavitatoio. Pieo hay que fija un sistea de efeencia que asigne 0 al valo de la Ep B. Se elige el. Si se lleva B hasta el infinito: B 0 Ep B G La enegía potencial en un punto es una agnitud escala igual al tabajo exteio que hay que ealiza paa lleva la asa desde el punto al y al evés (desde al punto ). abién expesa la Ep de la asa en el punto Enegía potencial ceca del suelo. Consideeos un cuepo de asa que se encuenta sobe la supeficie de la iea ( ) y luego asciende a una altua h. La difeencia de enegía potencia ente abos puntos: Sacando facto coún: G ΔEp Ep h - Ep suelo - + h G ΔEp G + + h h + G G ( + h) + h ( + h) Si el punto está uy ceca de la supeficie, h seá despeciable fente al adio de la iea y ( +h) : h ΔEp G Coo: g G, la expesión anteio queda: ΔEp. g. h Si se toa coo efeencia la Ep suelo 0, queda: Ep. g. h Está expesión solo es válida cuando la altua a la que se encuenta el cuepo es pequeña copaada con el adio teeste. No se podía utiliza, po ejeplo, paa un satélite que gia alededo de la iea Consevación de la enegía ecánica en un capo gavitatoio. De acuedo con el teoea de las fuezas vivas, sea cual sea la natualeza de las fuezas que actúan sobe un cuepo, el tabajo total ealizado po todas las fuezas (consevativas y no consevativas) al tasladalo de un punto, a oto B, es igual a la vaiación de la enegía cinética del cuepo: W W + W ΔEc. B consevativas no consevativas Unidad didáctica 9: Capo gavitatoio. pag. 4

6 Po ota pate, el capo gavitatoio es un capo consevativo y se cuple que el tabajo de las fuezas consevativas, es deci: - ΔEp W consevativas Po tanto: W B - ΔEp + W no consevativas ΔEc Coo en este caso no actúan fuezas no consevativas: W no consevativas 0, W B - ΔEp ΔEc La vaiación de enegía ecánica de un cuepo que se ueve dento de un capo gavitatoio: ΔE ΔEc + ΔEp - ΔEp + ΔEp 0 E Ec + Ep cte Cuando un cuepo se ueve bajo la acción exclusiva de fuezas gavitatoia, su enegía ecánica se antiene constante. 4.- Potencial gavitatoio. Los capos de fueza consevativos se pueden caacteiza adeás de po su intensidad po una agnitud escala, el potencial. Dada una asa situada en un punto del capo gavitatoio ceado po una asa, se define el potencial gavitatoio, coo la enegía potencial po unidad de asa colocada en ese punto. Ep V G Se identifica con el tabajo que es peciso ealiza conta las fuezas del capo, paa taslada una asa de kg desde hasta el infinito. Unidad en el S.I.: J/kg 4..- Difeencia de potencial. La difeencia de potencial ente dos puntos y B de un capo gavitatoio seá: ΔV V B V G - G G B B Es igual y de signo contaio al tabajo que hay que ealiza paa lleva la unidad de asa desde el punto, al punto B. El potencial disinuye cuando el cuepo que se desplaza se aceca al cuepo que cea el capo y auenta al alejase Pincipio de supeposición. Si se tienen vaias asas (,,, n), y cada una de ellas cea un potencial (V, V,, Vn), el potencial total ceado po todas ellas es igual a la sua de todos los potencial: V otal V + V + + V n Unidad didáctica 9: Capo gavitatoio. pag. 5

7 5.- Repesentación del capo gavitatoio Mediante líneas de capo, que indican el caino que seguiía una asa al colocala en cada punto de dicha línea. Las líneas del capo gavitatoio tienen las siguientes popiedades: En los puntos o zonas donde las líneas están ás juntas o tienden a convege el capo es ás intenso. Es deci, la densidad de las líneas de capo es popocional al ódulo del vecto intensidad. Su sentido es el de la fueza que actuaía si se colocaa una asa de pueba en el capo gavitatoio y coincide con el sentido del vecto intensidad de capo, g. Su diección es tangente, en cada punto, al vecto intensidad capo. En cada punto de la línea, el capo solo puede tene una diección po lo que las líneas de capo no se pueden cota Mediante supeficies equipotenciales que son el conjunto de puntos del capo que tienen el iso potencial. Las supeficies equipotenciales tienen las siguientes popiedades; Las supeficies equipotenciales y las líneas de capo son pependiculaes. La intensidad del capo, g, es pependicula a la supeficie equipotencial y se diige hacia potenciales dececientes. Las supeficies equipotenciales no se pueden cota. El tabajo ealizado paa taslada una asa cualquiea ente dos puntos y B de una supeficie equipotencial seá nulo. W B -ΔEp Ep Ep B (V V B) Moviiento de planetas y satélites 6..- Enegía otal. La enegía total que tiene un cuepo o satélite, de asa, que óbita alededo de la iea (asa ) es la sua de su enegía cinética y potencial. Ep G Ec v G G La enegía total: E G + G G + G E G Esta es la enegía necesaia paa que un satélite peanezca en óbita. Es negativa e igual a la itad del valo de la enegía potencial. Unidad didáctica 9: Capo gavitatoio. pag. 6

8 6..- Enegía paa pone un satélite en óbita. Cuando un satélite, de asa, cabia de óbita, dento del capo ceado po la iea ( ) en ausencia de fuezas exteioes, su enegía ecánica se conseva: E otal E otal B Si se lanza un satélite desde la supeficie de la iea ya tiene una cieta enegía potencial: Ep supeficie G E óbita G y po tanto: Ec supeficie E óbita - Ep supeficie Ec sup eficie Esto se conoce coo enegía de satelización. G + G Paa calcula la velocidad inicial necesaia paa llega a esa óbita: v I G y po tanto vi G G Foa de la óbita. Enegía total del satélite ipo de óbita Repesentación gáfica Óbita ceada E G Negativa (elipse o cicunfeencia) Válida solo paa No tiene enegía paa escapa óbitas ciculaes de la atacción teeste. Ceo E 0 Paábola Positiva E > 0 Hipébola Velocidad de escape. Es la velocidad que hay que counica a un cuepo de asa situado sobe la supeficie del planeta paa que pueda escapa del capo gavitatoio e ise al. En el la E M 0 ya que heos dicho que la Ep 0 y la velocidad con la que llega es 0, po tanto Ec + Ep 0. Po tanto: v e - G 0 v e G v e G v e G G Si se tiene en cuenta que: g 0 La velocidad de escape se puede escibi coo: v e g 0 R Unidad didáctica 9: Capo gavitatoio. pag. 7

9 6.5.- Satélites geoestacionaios. Un satélite se llaa geoestacionaio cuando se encuenta siepe sobe el iso punto de la supeficie teeste, es deci, ecoe toda su óbita en el tiepo que la iea hace una otación copleta (4 h). Su obita es cicula y ecuatoial 4 π 3 G 3 plicando la 3º ley de Keple: geo GM 4π Si sustituios los datos: 4 h s, G 6' N /kg y 4 5'974 0 kg Se obtiene un valo de 4' 0 7 geo abién puede calculase igualando la Fc Fg y despejando. ω G La altua obital (desde la supeficie de la iea) de todos los GEO es la isa: Coo h 4 4' Unidad didáctica 9: Capo gavitatoio. pag. 8

10 Resuen de fóulas de capo gavitatoio Capo gavitatoio Intensidad del capo gavitatoio ceado po una asa Vect: g G u Pincipio de supeposición g g + g g abajo ealizado po la fueza gavitatoia Vaiación de la enegía potencial ente dos puntos del capo Enegía potencial en un objeto en óbita Enegía cinética de un objeto en óbita Enegía total de un objeto en óbita Potencial gavitatoio W otal B g G Mód: G ΔEp - W B n G G Ep E c G E G Ep V G Difeencia de potencial ΔV V B V G B Pincipio de supeposición V otal V + V + + Vn B B Enegía paa pone un satélite en óbita Velocidad de lanzaiento paa pone un satélite en óbita Velocidad de escape Ec v I sup eficie v Radio de la óbita de un satélite geoestacionaio 3 e geo G G G G 4π ó v e g R 0 Unidad didáctica 9: Capo gavitatoio. pag. 9

11 Pobleas de capo gavitatoio.- Calcula la intensidad del capo gavitatoio en el punto (-3,4) ceado po una patícula puntual de 3 kg situada en el oigen de coodenadas. G 6' N - kg.- Calcula el capo gavitatoio ceado po el sistea de la figua en el punto P. Deteina el ódulo de la fueza gavitatoia que actúa sobe una asa 0'5 kg colocada en el punto P. 3.- Calcula la intensidad del capo gavitatoio ceado en el punto P(0,5) po dos asas iguales de 8 kg situadas en los puntos (-4,0) y (4,0). 4.- Calcula la altua a la que el capo gavitatoio teeste tiene un valo de 5 /s. Cuál seía la vaiación en el valo de la intensidad del capo gavitatoio al pasa de la supeficie de la iea a una altua de 0.000? G 6'67.0 N kg, 5' kg; 6370 k 5.- Un satélite de 400 kg descibe una óbita cicula alededo de la iea a una altua de 600 k. Calcula el tabajo ealizado po la fueza gavitatoia si pasa a una óbita de 800 k de altua a velocidad constante. G 6' N kg, 5'98.0 kg; 6370 k. 6.- En la figua apaecen vaias supeficies equipotenciales del capo gavitatoio teeste. Calcula: a) La altua a la que se encuenta el punto. b) La enegía potencial de un cuepo de 80 kg en el punto 3. c) El tabajo necesaio paa pasa el cuepo del punto 3 al. V J/kg, V J/kg, V J/kg, 6370 k, G 6'67 0 N kg, 5' kg. 7.- Se tiene un satélite de 000 kg en la supeficie de la iea. Calcula: a) La enegía cinética que hace falta paa que desciba una óbita cicula alededo de la iea a una altua de k, b) La velocidad de lanzaiento. G 6'67 0 N kg, 5' kg, 6370 k 8.- Un satélite de 800 kg gia en tono a la iea en una óbita cicula de de adio. Calcula la enegía cinética, potencial y total que tiene la óbita. G 6'67 0 N kg, 5' kg 9.- La astonauta Sunita Willias paticipó desde el espacio en la aatón de Bostón de 007 ecoiendo la distancia de la pueba en una cinta de coe dento de la estación espacial intenacional. Sunita copletó la aatón en 4 hoas, 3 inutos y 46 segundos. La estación Espacial obitaba el día de la caea a 338 k sobe la supeficie de la iea. Calcule: a) El valo de la gavedad teeste en la estación espacial. b) La enegía potencia y la total de Sunita sabiendo que su asa es de 45 kg. c) Cuántas vueltas a la iea dio la astonauta ientas estuvo coiendo? G 6'67 0 N kg, 5' kg, 637 k 0.- Calcula la velocidad de escape de un cuepo de 50 kg situado en la supeficie de la iea. G 6'67 0 N kg, 5' kg, 6370 k.- a) Calcula la velocidad de escape desde la supeficie de la Luna. b) Se lanza veticalente un objeto desde la supeficie de la Luna, con velocidad inicial igual a la de escape. qué distancia del cento de la Luna se educe su velocidad a la itad de la inicial? G 6'67 0 N kg, L 7'34 0 kg, L ' Unidad didáctica 9: Capo gavitatoio. pag. 0

12 Pobleas de Selectividad.- (Junio 005) Dibuje en un esquea las líneas de fueza del capo gavitatoio ceado po una asa puntual M. Sean y B dos puntos situados en la isa línea de fueza del capo, siendo B el punto ás cecano a M. a) Si una asa,, está situada en y se taslada a B, auenta o disinuye su enegía potencial? Po qué? b) Si una asa,, está situada en y se taslada a oto punto C, situado a la isa distancia de M que, peo en ota línea de fueza, auenta o disinuye la enegía potencial? Razone su espuesta..- (Junio 006) Razone si son vedadeas o falsas las siguientes afiaciones: a) Según la ley de la gavitación la fueza que ejece la iea sobe un cuepo es diectaente popocional a la asa de éste. Sin ebago, dos cuepos de difeente asa que se sueltan desde la isa altua llegan al suelo siultáneaente. b) El tabajo ealizado po una fueza consevativa en el desplazaiento de una patícula ente dos puntos es eno si la tayectoia seguida es el segento que une dichos puntos. 3.- (Junio 009) a) Defina velocidad de escape de un planeta y deduzca su expesión. b) Se desea coloca un satélite en una óbita cicula a una altua h sobe la iea. Deduzca las expesiones de la enegía cinética del satélite en óbita y de la vaiación de su enegía potencial especto de la supeficie de la iea. 4.- (Junio 00) a) Explique qué se entiende po velocidad de escape y deduzca su expesión. b) Razone qué enegía había que counica a un objeto de asa situado a una altua h sobe la supeficie de la iea, paa que se alejaa indefinidaente de ella. 5.- (Junio 0) Un satélite atificial de 400 kg descibe una óbita cicula a una altua h sobe la supeficie teeste. El valo de la gavedad a dicha altua es la tecea pate de su peso en la supeficie de la iea. a) Explique si hay que ealiza algún tabajo paa antene el satélite en esa óbita y calcule el valo de h. b) Deteine el peiodo de la óbita y la enegía ecánica del satélite - g 9'8.s, R 6' a) (Junio 0) Explique las caacteísticas del capo gavitatoio teeste. b) Dos satélites idénticos están en óbita cicula alededo de la iea, siendo y los espectivos adios de sus Obitas ( > ). Cuál de los dos satélites tiene ayo velocidad? Cuál de los dos tiene ayo enegía ecánica? Razone las espuestas. 7.- (Junio 03) a) Explique qué es la velocidad obital y deduzca su expesión paa un satélite que desciba una óbita cicula en tono a la iea. b) Dos satélites y B de distinta asa ( > B ) desciben óbitas ciculaes de idéntico adio alededo de la iea. Razone la elación que guadan sus espectivas velocidades y sus enegías potenciales. Unidad didáctica 9: Capo gavitatoio. pag.