NÚMEROS REALES MÓDULO I

MÓDULO I NÚMEROS REALES NUEVE planetas principales constituyen el sistema solar. Si los ordenamos de acuerdo a su distancia al Sol Mercurio es el que está más cerca (58 millones de Km ) Plutón el más lejano ( 5.900 millones de Km). La Tierra se encuentra en tercer lugar y Marte en el cuarto. Además de rotar alrededor del Sol todos los planetas rotan sobre su eje. El período de rotación de Venus sobre su eje es de días terrestres. Júpiter es el planeta que tiene mayor masa tanto como 0 veces la masa de la Tierra!!!! El diámetro de Marte es aproximadamente la mitad del diámetro de la Tierra y el de Saturno 96 veces el de aquella. La temperatura en Marte oscila de 17º a 7º centígrados. La Tierra tiene sólo un satélite mientras que Júpiter tiene 1 y Saturno 10. La noción de número es uno de los conceptos más antiguos de la humanidad y es de fundamental importancia para el devenir diario. Hasta llegar a su concepción actual el hombre necesitó muchos siglos de análisis y reflexión. Esto nos hace pensar que alguno de los conceptos que utilizaremos aquí son realmente... geniales!!!!!! Los números naturales como elementos para contar y ordenar NÚMEROS NATURALES Dicen los antropólogos que algunos pueblos primitivos se valían de piedras para contar sus rebaños. Y cuáles son las piedras que utiliza hoy el hombre para contar? Los muy conocidos números naturales. Por ejemplo: en nuestro sistema solar hay 9 planetas los días de la semana son 7. Recordemos que el conjunto de los números naturales tiene como elementos: 0 1...10 11 1... 98 99 100 101 10... y que esta sucesión continúa indefinidamente. Indicaremos con N al conjunto de los números naturales. Con los números naturales también se pueden expresar ordenamientos. Por ejemplo: si ordenamos los planetas a partir del Sol la Tierra es el tercer planeta y Marte el cuarto. Además dadas dos colecciones de objetos podemos comparar sus cantidades: la Tierra tiene menos satélites que Júpiter. El conjunto N: tiene primer elemento? cuál es? tiene último elemento?? 11

Esto nos muestra que el conjunto de los números naturales es un conjunto ordenado razón por la cual podemos representarlos sobre una recta de la siguiente manera : 0 1 Existen estrategias para contar? OPERACIONES CON NÚMEROS NATURALES Con frecuencia tenemos necesidad de resolver situaciones en las que es necesario contar una gran cantidad de objetos. Si una caja que contiene lámparas dicroicas tiene 9 pisos y en cada piso hay 16 filas de 5 lámparas cada una y queremos saber cuántas lámparas hay en la caja vemos la necesidad de establecer reglas o estrategias para dar la respuesta sin realizar la tediosa tarea de contar. 9 5 16 Estas estrategias son las operaciones elementales. Efectivamente los números naturales se pueden sumar y multiplicar. El resultado de estas operaciones es siempre un número natural. Deberías pensar en una estrategia para sumar ó más números. En la estrategia que te planteaste: interesa el orden en que colocaste los números? Pero la diferencia o resta no siempre es posible con elementos de este conjunto numérico. Un número b se puede restar de un número a sólo en el caso en que b sea menor o igual que a. 1

Qué papel juegan los números enteros negativos dentro del mundo de los números? NÚMEROS ENTEROS NEGATIVOS Como dijimos los números naturales no siempre pueden restarse. Presta atención a los ejemplos recuadrados. Fue necesario crear un nuevo conjunto numérico para describir estos hechos. Si quieres comprar un auto cuyo precio es.500 $ y dispones sólo de.500 $. Tendrás una deuda de.000 $. Se creó el conjunto de los números enteros negativos! Esta incorporación no fue sencilla fueron muchos los escollos que hubo que sortear. Basta decir que al menos en Europa desde los primeros pasos hasta su total incorporación pasaron más de cuatro siglos. Si a las 1 hs. la temperatura fue de 6º centígrados y a las 18 hs. fue de 19º centígrados sabemos que la temperatura disminuyó en esas 6 horas 7 º centígrados. A cada número natural b distinto de cero se le asignó como correspondiente un número negativo llamado opuesto de b y que indicaremos en este caso como -b que tiene la propiedad : b + (-b) = 0 EJERCICIOS 1) Qué diferencia de altura hay desde la cima del Aconcagua que tiene una altura de 6.959 m y la profundidad máxima del lago Nahuel Huapí que es de 8 m? ) El 0 de julio la ciudad de Ushuaia tuvo un día de temperatura muy variable. A las 7 hs la temperatura fue de 8º centígrados. Durante las 8 horas siguientes subió hasta los 1º centígrados. Pero al controlar la temperatura a las hs se observó que había descendido el doble de lo que había subido entre las 7hs y las 15hs. Qué temperatura marcó el termómetro a las hs? 1

Qué papel juegan los números enteros negativos dentro del mundo de los números? NÚMEROS ENTEROS Los números naturales y sus correspondientes opuestos forman el conjunto de los números enteros. Se representan sobre la recta - - -1 0 1 El conjunto de los números enteros se indica con el símbolo Z a los enteros negativos con Z - y a los enteros positivos ( naturales no nulos ) con Z +. Resulta entonces : Z = Z - { 0 } Z +. Los números enteros se pueden sumar restar y multiplicar. Su resultado será siempre un número entero. Observar que los números enteros están ordenados de izquierda a derecha. Por lo tanto todo número entero negativo es menor que cualquier entero positivo EJEMPLOS: - < 1-8 < Resuelve el siguiente problema Una empresa constructora edificará una torre de departamentos de base rectangular en un terreno de 0mts por 60mts. Si debe quedar libre una franja uniforme de metros alrededor de la torre qué superficie ocupa la porción de terreno a edificar y cuál es la superficie libre? Los opuestos de los números negativos : Cuál es el opuesto de? Cuál el de 16? 1

Estudiemos el comportamiento de los múltiplos. Comencemos con los números pares. Es claro que cuando decimos que un número n es par estamos pensando en que n es un múltiplo de. Cómo podríamos definir a los números pares? DEFINICIÓN Un número entero n es un número par si y sólo si existe un número entero c tal que n = c Representemos a los números pares sobre la recta numérica. -6 - - 0 6 De la representación gráfica podemos observar que hay números que no son pares y además que entre dos números pares consecutivos c y c+ existe un único entero. Cómo lo caracterizarías? Si! has caracterizado el concepto de número impar DEFINICIÓN Un número entero es un número impar si y sólo si es el siguiente de un número par. 15

Hacemos ahora lo mismo con los múltiplos de? DEFINICIÓN Un número entero n es un múltiplo de si y sólo si existe un número entero c tal que n = c Representemos a los múltiplos de sobre la recta numérica. -9-6 - 0 6 9 Entre dos múltiplos de consecutivos c y c+ Cuántos enteros hay?. Puedes caracterizarlos?. Si! se expresan como c+1 y c+. EJERCICIO: Piensa en los múltiplos de. EJERCICIO: Trabaja en forma análoga con los Múltiplos de 5. Son los mismos que los múltiplos de?. 16

Es posible la división entera entre números enteros? Analicemos: Es claro que si dividimos al número 6 por obtenemos como cociente al número entero. Efectivamente: 6 =. En cambio no existe ningún número entero que sea el cociente de dividir a 7 por. Debemos establecer una diferencia entre estos dos casos que nos llevarán a definir el concepto de divisibilidad. DEFINICIÓN El número D es divisible por el número d 0 si y sólo si existe un entero c tal que D = d c EJEMPLOS: es divisible por 11 = 11-18 es divisible por 9-18 = 9 (-) EJERCICIO: Cómo expresarías que un número no es divisible por?. Cuántas formas encontraste?. Son las únicas?. Son los mismos que los múltiplos de? En particular como podríamos expresar al número 7 utilizando múltiplos de?. 7 = 1 + 7 = + 1 7 = - 7 = (-) + 1 17

Por lo visto se puede expresar de varias maneras. Pensemos ahora en la siguiente situación: Evidentemente nos debe sobrar una cantidad de libros menor que el número de alumnos. A este sobrante lo denominaremos resto. Queremos repartir 7 libros entre alumnos debemos ser equitativos y además darle a cada uno la mayor cantidad posible. Cuántos libros debemos entregarle a cada alumno? Sobra alguno? Cuántos? De las diversas formas de expresar al número 7 utilizando múltiplos de. Cuál es la que representa la situación planteada?. Con las condiciones dadas hay más de una? Entonces si queremos relacionar el concepto de división con la idea de repartir cosas indivisibles debemos pensar en la división con cociente y resto. Es necesario entonces enunciar el algoritmo de la división. Algoritmo de la División Teorema: Dados dos números enteros D y d 0 existen y son únicos dos números enteros c y r tales que: D = d c + r con 0 r < d EJEMPLO Dados los números 7 y existen y son únicos los números c = y r = 1 tales que: 7 = + 1 EJERCICIO 1: Calcular los cocientes y los restos de dividir al número 9 por ; por ; por ; por 7; por 9; por 11; por. Justificar. EJERCICIO : Calcula el cociente y el resto de la división entre los números: a) 1 y -. b) 1 y. c) 1 y. 18

Queremos repartir ahora una unidad no indivisible es decir que se pueda fraccionar. NÚMEROS FRACCIONARIOS Si disponemos de una bolsa de arena y la dividimos en dos partes iguales decimos que cada parte es la mitad de la bolsa ó 1 de la bolsa. En general si tenemos una unidad y la dividimos en n partes iguales cada parte es la enésima parte de la unidad. A la cantidad obtenida la simbolizamos con n 1. Indica que parte del total representa la región : a) b) Si tomamos m de las enésimas partes decimos que esa m cantidad es. n m En los casos en que m sea menor que n la cantidad expresa n porciones de la unidad. c) A estos números se los llama números fraccionarios 1 Lamentablemente el símbolo Por ejemplo: 1 7 1 1 m no es el único para representar la misma cantidad. n representan la misma fracción de la unidad. En general si r es un número entero distinto de cero las expresiones m.r n.r y m n representan la misma cantidad. Cuando pasamos de la primera fracción a la segunda decimos que hemos simplificado factores comunes. A estas fracciones se las llama fracciones equivalentes. 19

A qué llamamos números racionales? NÚMEROS RACIONALES En particular los números enteros pueden expresarse como fracción. Cómo expresarías el número? Es la única manera? Al conjunto formado por todos los números enteros y todos los fraccionarios se lo designa por Q y se lo denomina conjunto de los números racionales. m Q = { m Z n Z n 0 } n m es el numerador y n es el denominador. Los números racionales pueden sumarse restarse multiplicarse y dividirse y el resultado es un número racional. Repasemos brevemente algunas reglas de cálculo con fracciones. COMPARACIÓN Dadas - 5-5 - 5 7 7 - Indicar cuales son : a) menores que cero. b) mayores que cero y menores que uno. c) mayores que uno. - Toda fracción positiva es mayor que cualquier fracción negativa. Si las fracciones tienen igual denominador será mayor aquella cuyo numerador sea mayor. Si las fracciones tienen distinto denominador se comparan las fracciones equivalentes a las dadas con igual denominador. EJEMPLO: Dadas las fracciones 7 y 5 para encontrar un par de fracciones equivalentes a las dadas y que tengan igual denominador lo más natural es considerar dos fracciones con denominador igual al producto de los denominadores. En este ejemplo es conveniente elegir 0 1 y como fracciones equivalentes a las dadas. 5 5 0 1 Comparando < luego < 5 5 7 5 0

SUMA Y RESTA Sumar y restar fracciones con igual denominador es muy sencillo. El resultado tendrá por numerador a la suma ó resta de los numeradores y el denominador será el mismo. Si las fracciones no tienen igual denominador se sustituyen por fracciones equivalentes con igual denominador. Luego se opera de la misma manera que en el cálculo anterior. EJEMPLO 1 - EJEMPLO 1 5 + - 1 + = 5 1 1 - + 5 = = + 15 1 6-1 = 1 1 En este caso se dice que determinamos un denominador común. PRODUCTO Supongamos que tengo en la heladera ¾ de pizza en tres porciones iguales. Si ahora debo compartirla con tres amigos qué parte de la pizza comeré? Después de mucho pensar lo más conveniente fue: dividir cada uno de los cuartos en cuatro porciones y cada uno come porciones. Esto equivale a dividir la pizza en 16 porciones y de ellas le corresponde a cada uno tres. 1 Por lo tanto: = 16 DEFINICIÓN INVERSO MULTIPLICATIVO Dado el número racional m ; m 0 el inverso n multiplicativo es el número m tal que multiplicado por n EJEMPLO El inverso multiplicativo de 5 5 es pues = 1 5 5 Cuál es el inverso multiplicativo de? 7 da como resultado 1. Es m n. 1

COCIENTE Si pensamos al número como una fracción de denominador igual a 1 qué significa dividir 5/7 por? Es calcular la mitad de 5/7 lo cual se remite a un caso de producto entre 5/7 y ½ es decir entre la fracción dada y el inverso del divisor. El cociente de dos números fraccionarios es igual al producto entre el dividendo y el inverso del divisor. EJEMPLO = 5-5 = - 6 0 SIMPLIFICACIÓN Simplificar una fracción es sustituirla por la fracción equivalente cuyo denominador es el menor posible. EJEMPLO 8 6 = 9 = 9 Existe alguna relación entre los números racionales y los números decimales? EXPRESIÓN DECIMAL DE LOS NÚMEROS RACIONALES Si queremos escribir un número racional en forma decimal bastará con dividir el numerador por el denominador. EJEMPLOS 108 7 6 = 6 ; = 5 ; = 8 66.. = 8 6 ) Observemos que estas expresiones decimales tienen una expresión decimal finita ó bien periódica.

Los números decimales exactos o periódicos pueden escribirse como cociente de enteros. Si el número es un decimal exacto es decir que tiene una expresión decimal finita puede expresarse como un número racional con denominador igual a la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales. EJEMPLO 5 7 5 = = 98 = 10 98 1000 En el caso de los números decimales periódicos no es tan sencillo: EJEMPLO 1 N = 0... 10 N =... 10 N N = 9 N = 0 ) = 1 N y 10 N tienen la misma parte decimal. Al restarlos se obtiene un número entero. 9N = EJEMPLO N = 105105... 1000 N = 105105105... 1000 N - N = 10 999 N = 10 N = 10 / 999 N y 1000 N tienen la misma parte decimal. 10 = 999 105105... EJEMPLO N = 105105... 10 N = 105105... 10000 N = 105105105... 10000 N - 10 N = 081 9990 N = 081 N = 081 / 9990 Por tanto 081 = 9990 105105... Como el número N tiene una parte decimal no periódica y una periódica es necesario ahora tener en cuenta 10 N y 10000 N para obtener dos números con la misma parte decimal. No es más útil este método de trabajo que la memorización de reglas?

La estrategia es la misma en todos los casos : obtener dos números que tengan la misma parte decimal. Al restarlos se obtiene una igualdad en la que se relaciona el número N con números enteros. Esta igualdad permite expresar a N como cociente de enteros. Por tanto podemos afirmar que un número racional se caracteriza por tener una expresión decimal exacta ó bien periódica. 1-) Escribe la expresión decimal de 5 6 -) Escribe en forma de fracción 0 ) ; 11... ; 1.. ; 18... 15 9 0 1 7 9 EJERCICIOS. Existen números que no son racionales? NÚMEROS IRRACIONALES Sea entonces el número 1111... que no es un decimal exacto ni un decimal periódico es un número racional?. La respuesta es NO. De serlo tendría una expresión exacta ó periódica. Estos números son los llamados no racionales ó irracionales. Designaremos con I al conjunto de los números irracionales. Un número irracional notable : π!!! El número π es el cociente entre la longitud de una circunferencia cualquiera y su diámetro. La designación proviene de la palabra griega peripheria ( la circunferencia es la periferia del círculo ) y π es la letra griega equivalente a la letra p de nuestro alfabeto. Las civilizaciones antiguas ya conocían esta relación. Los egipcios le daban el valor 16 y los griegos mucho después el valor 1. Hoy con la ayuda de la computadora se llegaron a determinar más de un millón de cifras decimales y se observó que no existe ninguna periodicidad entre ellas. Existen números para los cuales se puede demostrar formalmente que no son racionales. Ver Comunicándonos al final del módulo. La unión de los conjuntos Q I = R R : ES EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES