SISTEMA DE NUMERACIÓN Y CÓDIGOS
CAPITULO II SISTEMAS DE NUMERACIÓN Y CÓDIGOS CÓDIGO Un código es un grupo de símbolos que representan algún tipo de información reconocible. En los sistemas digitales, los códigos se emplean para manipular datos y representar números, letras, signos y otros caracteres en forma binaria, es decir como una combinación equivalente de niveles altos (1 s) y bajos (0 s). SISTEMA DECIMAL El sistema decimal tiene la base 10, debido a que usa diez dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) y que los coeficientes son multiplicados por potencias de diez. 1) El número decimal 6458 10 se puede representar de la siguiente manera: 6458 10 = (6x10 3 ) + (4x10 2 ) + (5x10 1 ) +(8x10 0 ) 6458 10 = (6x1000) + (4x100) + (5x10) + (8x1) 6458 10 = 6000 + 400 + 50 + 8 6458 10 = 6458 10 2) El número decimal 94523 10 se representa de la siguiente manera: 94523 10 = (9x10 4 ) + (4x10 3 ) + (5x10 2 ) + (2x10 1 ) + (3x10 0 ) 94523 10 = (9x10000) + (4x1000) + (5x100) + (2x10) + (3x1) 94523 10 = 90000 + 4000 + 500 + 20 + 3 94523 10 = 94523 10 3) El número decimal 0.356 10 se representa de la siguiente manera: 0.356 10 = (3x10-1 ) + (5x10-2 ) + (6x10-3 ) 0.356 10 = (3x0.1) + (5x0.01) + (6x0.001) 0.356 10 = 0.3 + 0.05 + 0.006 0.356 10 = 0.356 10 4) El número decimal 345.71 10 queda de la siguiente manera: SISTEMA BINARIO. 345.79 10 = (3x10 2 ) + (4x10 1 ) + (5x10 0 ) + (7x10-1 ) + (9x10-2 ) 345.79 10 = (3x100) + (4x10) + (5x1) + (7x0.1) + (9x0.01) 345.79 10 = 300 + 40 + 5 + 0.7 + 0.09 345.79 10 = 345.79 10 El sistema binario es un sistema que solamente emplea dos dígitos que son el 1 y el 0. 1) El equivalente decimal del número binario 11010 2 es: 11010 2 = (1x2 4 ) + (1x2 3 ) + (0x2 2 ) + (1x2 1 ) + (0x2 0 ) 11010 2 = (1x16) + (1x8) + (0x4) + (1x2) + (0x1) 11010 2 = 16 + 8 + 0 + 2 + 0 11010 2 = 26 10 9
2) El equivalente del siguiente número binario es: 1000 2 = (1x2 3 ) 1000 2 = (1x8) 1000 2 = 8 10 Observar que al convertir el número a decimal, los números ceros ya no los representamos puesto que cualquier cantidad multiplicada por cero es igual a cero, pero si hay que tomarlos en cuenta en lo que a posiciones se refiere. 3) El equivalente decimal del número binario 0.11 2 es: 0.11 2 = (1x2-1 ) + (1x2-2 ) 0.11 2 = (1x0.5) + (1x0.25) 0.11 2 = 0.5 + 0.25 0.11 2 = 0.75 10 4) El equivalente decimal del número binario 1111.011 2 es: SISTEMA OCTAL. 1111.011 2 = (1X2 3 ) + (1X2 2 ) + (1X2 1 ) + (1X2 0 ) + (1X2-2 ) + (1X2-3 ) 1111.011 2 = (1x8) + (1x4) + (1x2) + (1x1) + (1x0.25) + (1x0.125) 1111.011 2 = 8 + 4 + 2 + 1 + 0.25 + 0.125 1111.011 2 = 15.375 10 El sistema octal tiene la base o raíz 8. Solamente se emplean los dígitos 0,1,2,3,4,5,6,7. 1) El equivalente decimal del número octal 567 8 es: 567 8 = (5x8 2 ) + (6x8 1 ) + (7x8 0 ) 567 8 = (5x64) + (6x8) + (7x1) 567 8 = 320 + 48 + 7 567 8 = 375 10 2) El equivalente decimal del número octal 7315 8 es: 7315 8 = (7x8 3 ) + (3x8 2 ) + (1x8 1 ) + (5x8 0 ) 7315 8 = (7x512) + (3x64) + (1x8) + (5x1) 7315 8 = 3584 + 192 + 8 + 5 567 8 = 3789 10 SISTEMA HEXADECIMAL. Este sistema tiene base 16, y emplea el 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F. Las letras representan los siguientes números: A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15. 1) El equivalente decimal del número hexadecimal FE7 H es: FE7 H = (Fx16 2 ) + (Ex16 1 ) + (7X16 0 ) FE7 H = (15x16 2 ) + (14x16 1 ) + (7X16 0 ) FE7 H = (15x256) + (14x16) + (7x1) 10
FE7 H = 3840 + 224 + 7 FE7 H = 4071 10 2) El equivalente decimal del número hexadecimal A3B7 H es: A3B7 H = (Ax16 3 ) + (3x16 2 ) + (Bx16 1 ) + (7x16 0 ) A3B7 H = (10x16 3 ) + (3x16 2 ) + (11x16 1 ) + (7x16 0 ) A3B7 H = (10x4096) + (3x256) + (11x16) + (7x1) A3B7 H = 40960 + 768 + 176 + 7 A3B7 H = 41911 10 3) El equivalente decimal del número hexadecimal DEA H es: SISTEMA BCD. DEA H = (Dx16 2 ) + (Ex16 1 ) + (Ax16 0 ) DEA H = (13x16 2 ) + (14x16 1 ) + (10x16 0 ) DEA H = (13x256) + (14x16) + (10x1) DEA H = 3328 + 224 + 10 DEA H = 3562 10 En los instrumentos electrónicos digitales, en las calculadores modernas, en los juegos electrónicos y en muchos equipos digitales similares, se emplea para la entrada y salida de información la notación decimal. Los circuitos digitales como contadores, decodificadores y demás implementan este tipo de entrada y salida con la ayuda de un código binario especial llamado BCD. En el código BCD (Binary Coded Decimal: decimal codificado en binario), cada dígito decimal se convierte en su correspondiente número binario de cuatro bits. Estos bits toman su valor o peso según la columna o posición que ocupan. El bit LSB toma el valor de 1, los dos siguientes hacia la izquierda, toman los valores de 2 y 4 respectivamente y el bit MSB el valor de 8. Por la razón anterior, al código BCD se le llama código 8-4-2-1. BCD DECIMAL 8 4 2 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 2 0 0 1 0 3 0 0 1 1 4 0 1 0 0 5 0 1 0 1 6 0 1 1 0 7 0 1 1 1 8 1 0 0 0 9 1 0 0 1 Tabla 2.1 Equivalencia entre el sistema decimal y BCD. 1) El equivalente en BCD del número decimal 4657 es: 4657 10 = 0100 0110 0101 0111 BCD 2) El equivalente en BCD del número decimal 5148 es: 5148 10 = 0101 0001 0100 1000 BCD 11
CONVERSIÓN ENTRE LOS DIFERENTES SISTEMAS NUMERICOS. Entre los diferentes sistemas numéricos se pueden realizar conversiones, es decir, podemos representar un número de cierto sistema en otro sistema. Algunas conversiones se pueden realizar de manera directa y otras no. DECIMAL A BINARIO El procedimiento para convertir un número decimal entero a binario es: 1. Dividir el número decimal entre dos, y el residuo será el número binario menos significativo. 2. El cociente obtenido se divide nuevamente entre dos, y el residuo será el siguiente número binario. 3. Se repite el paso dos, hasta que el cociente tenga valor de cero. 4. Los números binarios se acomodan a partir del menos significativo hacia la izquierda. 1) Representar el número 24 10 en sistema binario. RESIDUO 24 2 0 12 2 0 6 2 0 3 2 1 1 2 1 0 24 10 = 11000 2 Se puede ver que del residuo tomando los números de abajo hacia arriba obtenemos el número binario. El procedimiento para convertir un número decimal fraccionario es el siguiente: 1. Se multiplica la parte fraccionaria por dos. 2. El producto obtenido, la parte entera obtenida (1 ó 0) es la que forma el número binario, y la parte fraccionaria se vuelve a multiplicar por dos. 3. Se repite el paso dos hasta que la parte fraccionaria sea cero o cuando uno crea conveniente. 4. El número binario se va tomando tal y como se obtiene la parte entera y se acomodan de izquierda a derecha. 1) Representar el número 0.875 10 en binario..875 X 2 1.750.750 X 2 1.500.500 X 2 1.000 12
El número binario se obtiene tomando directamente la parte entera del producto. 0.875 10 = 0.111 2 2) Obtener el equivalente en binario del número 0.325 10.325 X 2 0.65.65 X 2 1.3.3 X 2 0.6.6 X 2 1.2.2 X 2 0.4.4 X 2 0.8.8 X 2 1.6 DECIMAL A OCTAL 0.325 10 = 0.0101001 2 El procedimiento para convertir un número decimal a octal, es el mismo que para el sistema binario, con la excepción que se divide el número decimal entre ocho. 1) Convertir el número 5734 10 al sistema octal. RESIDUO 5734 8 6 716 8 4 89 8 1 11 8 3 1 8 1 0 El resultado de la conversión es: 5734 10 = 13146 8 DECIMAL A HEXADECIMAL El procedimiento para convertir un número decimal a hexadecimal, es el mismo que para el binario y octal, solo que ahora se divide entre 16, es muy importante recordar que: A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15. 1) Convertir el número 57615 10 a sistema hexadecimal. RESIDUO 57615 16 15 3600 16 0 225 16 1 14 16 14 13
BINARIO A OCTAL Recordar que 15=F y 14=E. El número en hexadecimal es: E10F H 57615 10 = E10F H 0 Para convertir de binario a octal, solo basta agrupar al número binario en grupos de tres dígitos empezando del bit menos significativo hacia el bit más significativo. En la siguiente tabla, se muestra la equivalencia entre el binario y el octal. BINARIO OCTAL 000 0 001 1 010 2 011 3 100 4 101 5 110 6 111 7 Tabla 2.2 Equivalencia entre el sistema binario y octal. 1) Convertir el siguiente número binario a octal. 110010101 2 110 010 101 6 2 5 110010101 2 = 625 8 2) Convertir el siguiente número binario a octal. 1101010111 2 1 101 010 111 Se observa que al agrupar los números, queda el primer número solo, solo basta agregarle dos ceros (001 = 1) o simplemente ya con la práctica sabemos que su equivalente octal es 1. 001 101 010 111 1 5 2 7 1101010111 2 = 1527 8 14
BINARIO A HEXADECIMAL Para convertir de binario a hexadecimal solo basta agrupar a los dígitos del número binario de cuatro en cuatro del menos significativo al más significativo. La siguiente tabla muestra la equivalencia entre el sistema binario y el hexadecimal. BINARIO HEXADECIMAL 0000 0 0001 1 0010 2 0011 3 0100 4 0101 5 0110 6 0111 7 1000 8 1001 8 1010 A 1011 B 1100 C 1101 D 1110 E 1111 F Tabla 2.3 Equivalencia entre el sistema binario y el hexadecimal. 1) Convertir el siguiente número binario a hexadecimal. 11101000101010 2 11 1010 0010 1010 se agregan dos ceros para completar los cuatro dígitos. 0011 1010 0010 1010 3 A 2 A 11 1010 0010 1010 2 = 3A2A H OCTAL A BINARIO Para realizar la conversión solo hay que representar cada número octal en su equivalente binario de acuerdo a la tabla de equivalencia entre el sistema binario y octal. (ver tabla 2.2 ). 1) Convertir el siguiente número octal a binario. 502 8 101 000 010 101000010 2 502 8 = 101000010 2 15
OCTAL A HEXADECIMAL Los pasos para realizar la conversión son: 1. Convertir el número octal a binario. 2. Convertir el número binario a hexadecimal. 1) Convertir el siguiente número octal a hexadecimal. 1654 8 001 110 101 100 = 1110101100 2 0011 1010 1100 3 A C 1654 8 = 3AC H HEXADECIMAL A BINARIO Para convertir un número hexadecimal a binario solo basta representar de manera directa cada dígito hexadecimal en binario (ver tabla 2.3). 1) Representar el siguiente número hexadecimal a binario. 9A4C H 9 A 4 C 1001 1010 0100 1100 9A4C H = 1001101001001100 2 HEXADECIMAL A OCTAL Para realizar la conversión hay que seguir los siguientes pasos: 1. Convertir el número hexadecimal a binario de manera directa. 2. Convertir el número binario a octal. 1) Representar el número hexadecimal en octal. F0CA H F 0 C A 1111 0000 1100 1010 001 111 000 011 001 010 1 7 0 3 1 2 F0CA H = 170312 8 16
EJERCICIOS PROPUESTOS Convertir los siguientes números a sistema decimal. 1. 110010101 2 2. 5690 8 3. 10BA H 4. 10101011111101 2 5. 6544 8 6. 0001 0111 1000 0101 BCD 7. 110000010111 2 8. FO10 H 9. 7715 8 10. 1001 1000 0000 BCD Convertir los siguientes números a sistema binario. 1. 5683 10 2. 67BD H 3. 5432 8 4. 1001 0011 0100 0101 BCD 5. BACO H 6. 10011 10 7. 1236 8 8. 0011 0010 1001 0001 BCD 9. 2000 10 10. 99ABC H Convertir los siguientes números a sistema octal. 1. 3457 10 2. 8743 H 3. 11010111011 2 4. 0001 0111 0010 BCD 5. FFFF H 6. 9897 10 7. 11010101100111011 2 8. 0010 0000 000 0000 BCD 9. 2000 10 10. 10101111100111 2 Convertir los siguientes números a sistema hexadecimal. 1. 10101010101011111 2 2. 26374 10 3. 2346 8 4. 0011 0111 0110 BCD 5. 11010101011111 2 6. 34781 10 7. 36512 8 8. 111111100011 2 9. 98765 10 10. 0010 1000 0110 0101 BCD 17
Convertir los siguientes números al código BCD. 1. 1234 10 2. 101011101010101 2 3. 23FB H 4. 6652 8 5. 10010101010111 2 6. 7891 10 7. 4675 H 8. 7213 8 9. 1000000010001 2 10. 5436 10 18