Revista de Teledetección. 1997 iltrado de imágenes en el dominio de la recuencia C. Pinilla, A. Alcalá y. J. Ariza Departamento de Ingeniería Cartográica, Geodésica y otogrametría. Universidad de Jaén. RESUMEN El iltrado digital de imágenes se basa en la operación de convolución entre la imagen y la unción iltro. El cambio de dominio espacial de descripción de la imagen al recuencial permite sustituir las convoluciones por productos, con claras ventajas para el proceso de cálculo. Además, el iltrado en el dominio de la recuencia permite mayor lexibilidad al ser posible seleccionar no sólo la dirección de iltrado, sino también los intervalos de recuencia que requieran ser eliminados. PALABRAS CLAVE: iltrado ourier, dominio de la recuencia ABSTRACT Image digital iltering is based on a convolution operation beteen the base image and the ilter unction. The change rom image spatial domain, hich describes a photographical image, into a requency space allos the substitution o convolution operations by products, hich have evident advantages or the computational process. Also, the requency domain iltering allos a great lexibility, it's possible to select both the iltering direction and the requency intervals to be eliminated. KEY WORDS: iltering, ourier, requency domain. NATURALEZA DEL ILTRO DIGITAL El iltrado digital es una operación de convolución de la imagen original con la unción iltro. La operación de convolución entre las unciones l (t) y 2 (t) se deine mediante una tercera la unción (t) del siguiente modo: 1(t) * 2 (t) = 1(x) - (t) = 2 (t-x)dx (1) Considerando, en general, una imagen de entrada inita y discreta caracterizada por la unción de luminancia j) -en la cual i,j representan las coordenadas de las celdillas-, una imagen de salida z'(i,j) y un sistema de iltrado W, cuya unción de respuesta es (m,n) -siendo m,n las coordenadas matriciales de la unción de iltrado, que en general dierirán del sistema de reerencia de la imagen-, puede describirse el proceso de iltrado como la siguiente operación de convolución: k z '(i, j) = (m,n)* j) = (m,n) z(i-m, j-n) (2) l m= -k n= l que es la ecuación del iltrado espacial de una imagen digital, donde el operador representa la matriz deslizante de dimensión (2k+1)x(21+ 1) utilizada en el iltrado y donde i y j son respectivamente las líneas y columnas de la imagen (Pinilla, 1995). Los elementos m,n constitutivos de la matriz son denominados coeicientes de peso, y el entorno [-k,k]x[ -l,l] ventana del iltro. Usualmente k = l, es decir, la ventana de iltrado es cuadrada. Así, pues, el iltrado de una imagen mediante la matriz deslizante: = 11 21 31 12 22 32 13 23 33 dará lugar a una imagen de la orma: z'(i, j) = 11 31 j-1) + + 21 j-1) + 1, j-1) + 12 32 j) + 22 13 j) + 1, j) + j+ 1) + 33 23 j+ 1) + 1, j+ 1) (3) (4) A medida que k y l son mayores, la inluencia del entorno de cada celdilla en el nivel digital asignado a la celdilla resultante será progresivamente mayor, modiicándose en consecuencia la apariencia de la imagen iltrada. Habitualmente los iltros utilizados son de 3x3 elementos (igura 1). ILTROS EN EL DOMINIO DE LA RECUENCIA El sistema matricial de coordenadas de una imagen es lo que se denomina dominio espacial. Sin embargo, la misma imagen puede ser considerada como una unción no periódica y deinirse en otro espacio bidimensional, cuyos ejes vengan determinados por la amplitud y la recuencia para cada dirección de la imagen. Este nuevo espacio de reerencia para la descripción de la imagen se conoce como dominio de la recuencia. Nº 8 Diciembre 1997 1 de 5
C. Pinilla, A. Alcalá y. J. Ariza () recibe el nombre de integral de ourier o transormada de ourier de la unción (t) y puede expresarse: ( ω) = [ (t) ] = - (t)e -iωt dt (7) En virtud de ello, cualquier unción no periódica da da tiene dos modos equivalentes de representación: uno en el dominio del tiempo (t) y otro en el de la recuencia (). La representación gráica de () en unción de la recuencia angular se denomina espectro de magnitud de la unción (t) y permite describirla en el dominio de la recuencia, igura 1. La matriz deslizante de iltrado en el dominio espacial es decir, explica la composición de recuencias de la superposición de diversas unciones simples, de igual orma que la representación de (t) rente a t La transormada de ourier deine dicha unción en el dominio del tiempo. La expresión (7) permite transormar la unción (t), Se demuestra (Hsu, 1973) que cualquier unción en el dominio del tiempo, en su equivalente (), periódica (t) con un período T, que sea continua en el dominio de la recuencia, pudiéndose analizar por tramos e integrable sobre cualquier intervalo la primitiva unción del tiempo mediante su correspondiente espectro. La expresión (6) invierte el (condiciones de Dirichlet), puede representarse mediante la serie de ourier en orma exponencial proceso, sintetizando el espectro de recuencias compleja: para obtener de nuevo la unción en términos de tiempo. inωot (t) = cne (5) Si en lugar del tiempo, se considera como variable independiente el espacio, concretamente las m= - La consistencia de la representación de una unción periódica en orma de serie de ourier se basa en que dicha unción queda unívocamente deinida mediante la especiicación de los coeicientes c. de dicha serie. Pues bien, puede demostrarse asimismo que cualquier unción (t) no periódica también puede representarse de un modo análogo de la orma: 1 iωt (t) = ( ω)e dω 2π (6) - siendo esta expresión la representación de ourier de una unción aperiódica, similar a la serie de ourier de la unción periódica (5). La unción sucesivas celdillas de una misma ila de la imagen (igura 2), el razonamiento anterior no varía substancialmente, y se permite con ello describir la imagen digital en los dominios espacial (la imagen normalmente considerada) y recuencial (composición de recuencias de las distintas unciones no periódicas, cuya suma daría lugar a la imagen), para lo cual únicamente es necesario readaptar el concepto de recuencia, pasando de la tradicional deinición de recuencia temporal a la recuencia espacial. Ésta no describe otra cosa que el grado de repetitividad de los niveles digitales de una imagen. Esta exposición sin embargo entraña una simpliicación, al estar considerando una unción discreta como es la imagen digital en lugar de una continua para la cual se ha deinido anteriormente la trans- igura 2. Dominio de la recuencia en la imagen digital: línea original y transormada de ourier. 2 de 5 Nº 8 Diciembre 1997
iltrado de imágenes en el dominio de la recuencia ormada de ourier. Otros desarrollos matemáticos permiten deinir una transormada discreta de ourier (DT) e incluso algoritmos de aplicación muy sencilla para el cálculo de dicha unción (Brigham, 1974), tales como la transormada rápida de ourier o T (ast ourier Transorm) La imagen digital φ es una unción bidimensional, inita y discreta. Su transormada de ourier Φ es una unción generalmente compleja que puede describirse así (Pinilla, 1997): Φ(r,s) = k-1 k-1 i= 0 j= 0 Φ (i, j) e i2π(ir+ js)/k (8) que donde r y s son recuencias espaciales, i y j las líneas y columnas de la imagen original de dimensión KxK. Puede representarse el espectro de magnitud de (r,s) -esto es, el módulo de su transormada discreta de ourier situando la celdilla (0,0) en el centro de la imagen, de tal orma que el pixel central represente el promedio de luminancia de la imagen original (único componente de recuencia 0). Cuanto más alejada del centro esté una celdilla determinada, el nivel digital que representa entrará a ormar parte de la imagen con una recuencia espacial mayor (igura 3). Teorema de la convolución Si y [ 1 (t)] = 1 (ω) y [ 2 (t)] = 2 (ω) teniendo en cuenta la expresión de la transormada de ourier, y en virtud de la deinición de convolución, puede demostrarse que: (t)* (t)] = ( ω ) ( ω ) = [ (t)]* [ (t)] (9) [ 1 2 1 2 1 2 que es la expresión del teorema de convolución en el tiempo, el cual puede enunciarse del siguiente modo: l. La transormada de ourier de la convolución entre dos unciones en el dominio espacial o temporal es igual al producto de las transormadas de ourier de cada una de ellas. 2. La transormada inversa de ourier de un producto de dos unciones en el dominio de la recuencia es igual a la convolución de sus transormadas inversas. Esta propiedad es de vital importancia en el tratamiento digital de imágenes, ya que, como se dijo al principio, la operación de iltrado es en realidad una convolución entre la unción iltro y la imagen original. Poder realizar productos en lugar de convoluciones es algo de gran interés por cuanto permite reducir considerablemente el número de operaciones que el sistema de tratamiento habrá de realizar, aun a costa de tener que eectuar operaciones auxiliares de transormación: una directa hacia el dominio de la recuencia y otra inversa hacia el primitivo dominio espacial de la imagen (Beauchamp, 1987). igura 3. Imágenes originales (arriba) y sus transormadas rápidas de ourier (debajo). Las transormadas (d) y (e) obedecen a patrones geométricos derivados de la simplicidad de (a) y (b). Esta última consiste en el suavizado de un impulso unitario. La imagen (c) corresponde al entorno de la ciudad de Vitoria-Gasteiz y su transormada () maniiesta una gran mezcla de recuencias espaciales. Nº 8 Diciembre 1997 3 de 5
C. Pinilla, A. Alcalá y. J. Ariza La operación de iltrado El iltrado en el dominio de la recuencia es muy sencillo, poderoso y lexible. Los iltros deinidos en el dominio espacial en realidad tienen su repercusión en el de la recuencia. De ello deriva la terminología empleada cuando se habla de iltros de paso alto o bajo. Los términos se reieren a que retienen bajas o altas recuencias, explicando precisamente el eecto que causan en el espacio recuencial de la imagen. Transormando la imagen del dominio espacial al de la recuencia, la convolución entre y z será sustituida por el producto: Z' (r, s) = W ( ρ, σ) Z (r,s) (10) siendo Z', W y Z las T de la imagen iltrada z', la unción iltro y la imagen original z, respectivamente. La alta recuencia espacial está asociada a los cambios recuentes de nivel digital de las celdillas. Son ejemplos de datos de alta recuencia los bordes, las líneas y ciertos tipos de ruido en las imágenes. Por el contrario, las bajas recuencias en la imagen son producidas por los cambios graduales en el brillo de la imagen. Utilizando la unción de iltrado W en el dominio de la recuencia, pueden diseñarse iltros de suavizado o de realce simplemente haciendo O dicha unción para las recuencias cuyos componentes deban ser eliminados e igualándola a 1 para aquellos otros que deban ser retenidos en la imagen inal {Richards, 1994). Por 10 demás, el proceso de iltrado recuencial en sí consistirá simplemente en aplicar como máscara la unción de iltrado recuencial W sobre la imagen Z en el dominio de la recuencia. Los iltros que producen suavizado de la imagen se denominan de paso bajo y los que, por el contrario, producen realce de bordes se denominan de paso alto, en atención a las modiicaciones que producen en el espectro de magnitud de la imagen. Sin embargo, el iltrado en el dominio de la recuencia permite, dejar ajenos al iltrado determinados intervalos de recuencia espacial que convengan ser conservados como en la imagen original (igura 4) o adoptar para la unción de iltrado recuencial valores intermedios entre 0 y l. Además es posible diseñar iltros de muesca (notch ilters) que permiten omitir determinados intervalos de recuencia en ciertas direcciones espaciales y no en otras (B.S. Consulting, 1996). La igura 4 muestra cómo dejando solamente pasar los componentes de bajas recuencias mediante una plantilla de paso bajo (a) se obtiene un resultado (d) tanto más suave cuanto menor sea el radio de la abertura. El iltro de paso alto consiste en la operación contraria: dejar pasar los componentes de recuencias que superan un cierto umbral y eliminar los de recuencia inerior. Sin embargo, para lograr un resultado (e) que mantenga en cierta igura 4. Producto de la unción de iltrado por la imagen, ambos en el dominio de la recuencia (arriba) y su transormada inversa al dominio espacial (debajo). (a) y (d) paso bajo, (b) y (e) corte de banda simulando un paso alto y (c) y () iltrado de muesca selectivo. 4 de 5 Nº 8 Diciembre 1997
iltrado de imágenes en el dominio de la recuencia medida el aspecto de la imagen original sin una excesiva binarización se ha aplicado en realidad un iltro de corte de banda (b) consistente en eliminar las recuencias comprendidas en un determinado intervalo. En este caso el límite superior de recuencias eliminadas es similar al empleado como mínimo en el iltro de paso bajo, pero además se han respetado los componentes de recuencias ineriores a 3 celdillas. La imagen resultante orece una inormación muy detallada de la estructura parcelaria de la zona 'de estudio, si bien ha sido necesario para ello suavizar las aristas de la unción de iltrado recuencial de modo que la transición del valor 0 al valor 1 de la máscara uera gradual (conviene que el peril de la unción adopte siempre orma de campana en lugar de escalón) para evitar eectos indeseables. Por último, la lexibilidad del iltrado en el dominio de la recuencia se pone de maniiesto en el caso de la plantilla (c), la cual actúa como una muesca que elimina ciertos intervalos recuenciales relativamente amplios en una dirección bastante deinida. Puede demostrarse que la transormada de ourier de un impulso unitario es una constante y que, por tanto, la transormada inversa de ourier de una constante es un impulso unitario. Por ello cabe esperar que la línea continua de valores claros que aparece en la T de la imagen original con una inclinación de unos 30º con respecto a la horizontal (igura 3) corresponda a algún accidente en la imagen que pueda asimilarse a un impulso unitario en esa dirección (y no necesariamente en otras). En eecto, el elemento causante de esa suma continua de recuencias son las pistas de aterrizaje del aeropuerto de oronda. En consecuencia, si se eliminan de la T esos componentes recuenciales, presumiblemente deberán desaparecer de la imagen, como de hecho así ocurre en (), solamente las pistas orientadas en la dirección perpendicular a la mencionada, en tanto que se mantienen intactas las de rodadura y el resto de la inormación de la imagen. BIBLIOGRAIA BEAUCHAMP, K. G. 1987. Transorms or Engineers. A Guide to Signal Processing. Clarendon Press. Oxord. BETTER SOLUTIONS CONSULTING. 1996. Envi User's Guide. Research Systems. Boulder, Colorado. BRIGHAM, E.O. 1974. The ast ourier Transorm. Prentice-Hall. Ne Jersey. HSU, H.P. 1973. Análisis de ourier. ondo Educativo Interamericano. Bogotá. PINILLA RUIZ, C. 1995. Elementos de Teledetección. RaMa. Madrid. 1997. Transormaciones de ourier en Teledetección. Universidad de Jaén. Jaén., RICHARDS, J. A. 1994. Remote Sensing Digita image Analysis. An introduction. SpringerVer1ag. Berlín. Nº 8 Diciembre 1997 5 de 5