Transformada discreta de Fourier

Transcripción

1 Transormada discreta de Fourier Convolución en el espacio = multiplicación de la TDF de la imagen por la TDF de la respuesta impulsional del iltro. Mayor rapidez de aplicación (algoritmo FFT) Permite aplicar iltros diseñados mediante técnicas de tratamiento de señal (versiones discretas de iltros analógicos conocidos: Butterworth, Chebychev, Elipticos) Principal aplicación: eliminación de ruído, iltrado de ciertas recuencias Otras aplicaciones: detección de movimiento, detección de patrones repetidos. T4. Filtrado. Dominio de la recuencia Transormada discreta de Fourier Transormada continua de Fourier (D) (TF) Todo el desarrollo matemático del tema se verá en clase. En estas notas solo se dan las principales ideas. Una señal continua variable, escalar (D), variable con el tiempo o el espacio, puede también expresarse en unción de la recuencia. h(t) <-> H() Frecuencia: Nueva variable, inversa del periodo espacial o temporal. Esta transormación es reversible: transormada de Fourier y transormada inversa de Fourier T4. Filtrado. Dominio de la recuencia 2

2 Transormada discreta de Fourier La Convolución entre dos señales, la Correlación entre dos señales, la Autocorrelación, la densidad espectral de potencia de una señal, y la potencia total de una señal, pueden expresarse en el dominio de la recuencia a partir de las transormadas de Fourier de las señales. Especialmente, la convolución en el dominio del tiempo o del espacio se convierte en una multiplicación en el dominio de la recuencia. Esto hace más sencilla la aplicación de iltros en el dominio de la recuencia. Dichos iltros pueden ser muy complicados en cuanto a su diseño, tener una respuesta impulsional grande, pero su aplicación en el dominio de la recuencia es siempre sencilla: una multiplicación. T4. Filtrado. Dominio de la recuencia 3 Transormada discreta de Fourier Transormada discreta de Fourier (D) (TDF) La TDF se deduce a partir de TF para señales discretas. Se aplican los conceptos de muestreo y reconstrucción. Aparece el enómeno de aliasing, solo existe un zona limitada de recuencias únicas, la mayor recuencia alcanzable en una señal discreta es /2 (recuéncia crítica de Nyquist). Las imágenes son señales de 2 dimensiones ya discretizadas, aunque normalmente no se conoce (ni importa) el periodo de muestreo (distancia entre píxeles). Por ello se suele tomar periodo de muestreo =. Es decir, = pixel, las recuencias se medirán en píxeles -. T4. Filtrado. Dominio de la recuencia 4

3 Transormada discreta de Fourier Transormada rápida de Fourier (D) (FFT) La FFT (Fast Fourier Transorm) es simplemente un algoritmo rápido para calcular la TDF. La aplicación de la órmula de la TDF, en D, tiene un coste cuadrático O(N 2 ). La FFT tiene un coste O(N logn) En 2D la TDF tiene un coste O(N 4 ). La FFT tiene un coste O( (N logn) 2 ) El algoritmo es debido a Danielson-Lanczos, 942. Requiere que la señales tengan una dimensión potencia de 2. En imágenes tanto ilas como columnas han de ser potencia de 2. T4. Filtrado. Dominio de la recuencia 5 Transormada discreta de Fourier Frecuencias en la TDF de una imagen La TDF de una imagen (real) es compleja. Normalmente la guardaremos en dos imágenes, donde los índices de ila y columna representan índices de recuencias verticales y horizontales. Al ser la imagen una señal real la parte real de la TDF es simétrica, y la parte imaginaria antisimétrica. Por tanto el módulo de la TDF es simétrico y la ase antisimétrica. Debido a la simetría existe una zona de recuencias únicas, que va de 0 a N/2 y de 0 a M/2 en una imagen de N x M. Las zonas restantes son relexiones de la zona única. T4. Filtrado. Dominio de la recuencia 6

4 Transormada discreta de Fourier Filtro de Buterworth Para realizar un iltrado en el dominio de la recuencia hay que multiplicar la TDF de la imagen por la TDF de la respuesta impulsional de iltro. Normalmente se conoce ya la TDF del iltro. Existen iltros muy usados en tratamiento de señal analógica, el más sencillo es el iltro de Butterworth. La expresión de un iltro de Butterworth paso bajo con recuencia de corte, es: En D: A( ) = 2n En 2D: + A(, ) = 2 + 2n + 2n 2 T4. Filtrado. Dominio de la recuencia 7 Transormada discreta de Fourier n: orden del iltro. Indica la caída de ganancia en la zona de transición entre la banda de paso y la banda eliminada. Dicha caída es de 20n db/década. El iltro de Butterworth tiene respuesta maximalmente plana en la zona de paso (=0) y en la zona eliminada (=ininito). Las recuencias de las expresiones anteriores son recuencias continuas. Se deben calcular a partir de la recuencia discreta, y esta a partir de los índices de recuencia, para poder multiplicar la TDF de una imagen por la TDF de un iltro de Butterworth: Índice de recuencia -> rec. discreta -> rec. Continua -> -> ormula del iltro de Butterworth T4. Filtrado. Dominio de la recuencia 8

5 Transormada discreta de Fourier Para aplicar técnicas de análisis de señal continua a señales discretas es necesario realizar una aproximación de la recuencia continua a discreta, pues la recuencia continua tiene un rango ininito y la recuencia discreta va de 0 a ½. Una de las aproximaciones más usadas es la tranormación bilineal, cuyo undamento transciende este curso, pero puede hallarse en cualquier libro de teoría de control. En dicha transormación la relación entre recuencias es: = tg π ( π ) continua discreta T4. Filtrado. Dominio de la recuencia 9 Transormada discreta de Fourier A partir de la expresión del iltro paso bajo de orden n y recuencia de corte, se pueden obtener, mediante cambios de variable, iltros con otra recuencia de corte y otros comportamientos: Filtro paso bajo: ' = 0 Filtro paso alto: ' = 0 Filtro paso banda: Filtro elimina banda: ' = + ' = 2 2 c, b = sup in, c = b b c sup in T4. Filtrado. Dominio de la recuencia 0

6 Manipulación del nivel de gris Bibliograía Numerical Recipes in C, the art o scientiic computing. Cambridge University Press. Capítulos 2 y 3. ( T4. Filtrado. Dominio de la recuencia