MÉTODOS MATEMÁTICOS (Curso 8-9) Cuarto Curso de Ingeniero Industrial Departamento de Matemática Aplicada II Universidad de Sevilla Lección 4: Interpolación Polinómica Introducción Son muchas y muy distintas las situaciones en las cuales aparecen series de datos o resultados de mediciones experimentales de los que sólo se conoce una cierta cantidad finita de ellos, y para los cuales se necesita encontrar una ley general que sirva para su tratamiento Usualmente esa ley general no es otra cosa que una función que tome los valores predeterminados Precisamente, este es el cometido básico de la interpolación: dada una tabla de datos (que podemos suponer procedente de una cierta función desconocida o conocida pero de cálculo problemático), se trata de encontrar otra función cuyo comportamiento en los puntos dados se ajuste, en algún sentido, a los valores proporcionados por la tabla La función interpoladora servirá para sustituir a la función de partida, tanto para evaluarla en distintos puntos, como para estimar todo tipo de propiedades analíticas La elección del tipo de funciones interpoladoras depende básicamente del contexto en que se esté trabajando y, como es previsible, hay una gran variedad En este curso, sólo trataremos la interpolación polinómica de Lagrange, ciertos tipos de interpolación polinómica a trozos (lineal y splines) y la interpolación trigonométrica ITERPOLACIÓ POLIÓMICA La interpolación polinómica tiene gran importancia teórica en análisis numérico pues permite fundamentar una amplia gama de métodos para la diferenciación numérica, la aproximación numérica de integrales o cuadratura, la integración numérica de ecuaciones diferenciales, cálculo de extremos de funciones, etc Los polinomios son funciones con muchas ventajas a la hora de su manejo práctico Por ejemplo, son derivables con continuidad tantas veces como se desee De un polinomio de grado p(x) = a + a x + + a x, basta disponer de sus + coeficientes para poder calcular su valor en cualquier punto x Sacando factor común a x, x, etc, podemos escribir p(x) = a + x(a + x(a + x( x(a + a x) )), de donde se obtiene de modo natural el algoritmo de Horner-Rufini para su evaluación: p a, para j =,, : p a j + xp Este algoritmo permite evaluar el polinomio con multiplicaciones y sumas
El problema general de la interpolación polinómica consiste en, dada una función f : [a, b] R y + puntos diferentes {x < x < < x } [a, b], denominados nodos de la interpolación, encontrar un polinomio p (x) tal que p (x j ) = f(x j ), para todo j =,, Si consideramos los + polinomios L j (x) = l= l j x x l x j x l, j =,,, es decir, polinomios tales que L j (x l ) = {, l = j,, l j, se observa que una solución del problema de interpolación es simplemente p (x) = f(x )L (x) + + f(x )L(x) () Los polinomios L j (x) se denominan polinomios de Lagrange (asociados a los nodos x,, x ), y la expresión () forma de Lagrange del polinomio interpolador (de f(x) en los nodos x,, x ) Ejemplo Los cuatro polinomios de Lagrange de grado 3 asociados a los nodos x =, x = /, x = y x 3 = 3 son y tienen las gráficas siguientes L (x) = (x )(x )(x 3) ( )( )( 3) = (x )(x )(x 3), 3 x(x )(x 3) )(x 3) L (x) = ( )( = 8x(x, )( 3) 5 L (x) = x(x )(x 3) ( )( )( 3) = x(x )(x 3), 3 L 3 (x) = x(x )(x ) (3 )(3 )(3 ) = x(x )(x ), 5 4 4
4 4 donde con círculos indicamos los nodos de interpolación y con un asterisco el punto de la gráfica donde el polinomio de Lagrange toma el valor uno sobre el nodo de interpolación correspondiente Si tomamos como función a interpolar f(x) = cos(x), la correspondiente combinación lineal de los polinomios de Lagrange para formar el polinomio interpolador es p 3 (x) = cos()l (x) + cos(/)l (x) + cos()l (x) + cos(3)l 3 (x) En el siguiente gráfico mostramos la función f(x) = cos(x) (en trazo continuo) y su polinomio interpolador p 3 (x) (en trazo discontinuo) 5 5 5 5 3 4 Observe que en el intervalo definido por los nodos de interpolación apenas se distingue la gráfica de la función de la de su polinomio interpolador Fuera de dicho intervalo, la diferencia entre ambas curvas es más clara Si exigimos que el grado del polinomio interpolador sea menor o igual que, se tiene que p (x) es único Pues, si hubiera dos polinomios p (x) y p (x) interpoladores de f(x) en los nodos x,,x, el polinomio q(x) = p (x) p (x) de grado menor o igual que se anula en los + puntos de interpolación (que recuérdese que estamos suponiendo distintos) Es decir, q(x) tiene + raíces distintas, luego debe ser el polinomio nulo Estos comentarios se recogen en el siguiente teorema Teorema Consideremos una función f : [a, b] R y + puntos diferentes {x < x < < x } [a, b] Entonces, existe un único polinomio p(x) de grado menor o igual que que verifica p(x j ) = f(x j ), para todo j =,,, 3
Obviamente, una expresión para dicho polinomio viene dada en () Posteriormente, veremos otra forma de expresar este polinomio en () Es importante saber qué error se comete al reemplazar una función f(x) por su interpolante Para deducir cuál es el error f(x) p (x) en un punto x x j, j =,,, basta observar que la función g(y) = f(y) p (y) (f(x) p (x)) (y x ) (y x ) (x x ) (x x ), se anula en + puntos distintos (en los + puntos de interpolación y el punto x) Por tanto, por el teorema de Rolle, g (y) se anulará en + puntos intermedios a los anteriores, g (y) en puntos intermedios a estos últimos, y, siguiendo con este razonamiento, concluimos g (+) (ξ) = para algún punto ξ (mín(x, x), máx(x, x)) Pero como la derivada de orden + del polinomio p (y), de grado, es nula y la del polinomio (y x ) (y x ), de grado +, es ( + )! concluimos que = g (+) (ξ) = f (+) (ξ) (f(x) p (x))( + )! (x x ) (x x ), de donde podemos despejar el valor del error f(x) p(x), en la fórmula que se recoge en el siguiente resultado Teorema Consideremos una función f : [a, b] R de clase C + [a, b] y + puntos diferentes {x < x < < x } [a, b] Si p (x) es el correspondiente polinomio interpolador, se tiene que para cada x [a, b], existe un punto ξ = ξ(x) tal que Además, mín(x, x) < ξ < máx(x, x) f(x) p (x) = f(+) (ξ) ( + )! (x x ) (x x ) Respecto a la fórmula anterior conviene hacer dos precisiones En primer lugar, en el exterior del intervalo [a, b], la función W(x) = (x x ) (x x ) tiende muy rápido a infinito cuando x se aleja de dicho intervalo hacia infinito Por tanto, en el uso de la interpolación de Lagrange para aproximar f(x) fuera de este intervalo (proceso denominado extrapolación) debe evitarse, salvo para valores de x cercanos a [a, b] En segundo lugar, puede verse que la fórmula del error depende obviamente de f(x) pero también de la elección de los nodos Es posible buscar la mejor disposición de éstos para que el error sea pequeño, cuestión en la que no abundaremos en este curso pues raramente se presenta en la práctica la ocasión de elegir los nodos de interpolación La forma en que hemos escrito el polinomio interpolador no siempre es la más útil en la práctica, pues no permite evaluarlo en un punto con + flops Además, si necesitamos añadir algunos nodos más (esquemas adaptativos) no podemos reutilizar los cálculos Para solventar estas dificultades, se usa la forma de ewton del polinomio interpolador, que se define de manera recurrente como p (x) = f(x ), p j (x) = p j (x) + f[x,,x j ](x x ) (x x j ), j =,,, 4
donde cada p j (x) es el polinomio interpolador de f(x) basado en los nodos x,,x j, y f[x,,x j ] es el coeficiente líder de p j (x) De esta manera, tenemos que p (x) = f(x ) + f[x, x ](x x ) + f[x, x, x ](x x )(x x ) + () + f[x, x, x, x 3 ](x x )(x x )(x x ) + + f[x,,x ](x x ) (x x ) Así por ejemplo, el polinomio de grado 3 que interpola a f(x) = + x 4 en los nodos,,, 4 se escribe como p 3 (x) = + x + 7x(x ) + 7x(x )(x ) Los diversos coeficientes f[x ], f[x, x ],,f[x,,x ] de la forma de ewton () del polinomio interpolador reciben el nombre de diferencias divididas de f(x) en los nodos x, x,,x Para calcular su valor, basta observar que el orden en que consideremos los nodos no afecta al polinomio p (x) y, por tanto, también se tiene p (x) = f(x ) + f[x, x ](x x ) + + f[x,,x ](x x ) (x x ) + f[x,,x, x ](x x ) (x x ) (3) Puesto que el polinomio interpolador es único, los coeficientes líderes en () y (3) deben ser iguales, esto es, f[x, x,, x ] = f[x,,x, x ] Por otro lado, igualando los coeficientes de grado en () y (3) tenemos: f[x,,x ] f[x,, x ](x + + x ) = f[x,,x ] f[x,, x ](x + + x ), de donde podemos despejar el valor f[x,,x ] como f[x,,x ] = f[x,,x ] f[x,,x ] x x Esta expresión permite el cálculo recurrente de las diferencias divididas Para ello, construimos la siguiente tabla: f[x ] = f(x ) f[x ] = f(x ) f[x, x ] = f(x ) f(x ) x x f[x ] = f(x ) f[x, x ] = f(x ) f(x ) x x f[x, x, x ] = f[x,x ] f[x,x ] x x f[x 3 ] = f(x 3 ) f[x, x 3 ] = f(x 3) f(x ) x 3 x f[x, x, x 3 ] = f[x,x 3 ] f[x,x ] x 3 x f[x, x, x, x 3 ] = f[x,x,x 3 ] f[x,x,x ] x 3 x Observe que los datos permiten construir la primera columna, y el resto de la tabla se completa columna a columna: cada elemento se obtiene a partir de los elementos de la columna anterior que están situados al oeste al noroeste de él Los coeficientes de la forma de ewton del polinomio interpolador vienen dados por la diagonal de la tabla El número de operaciones de calcular todos los coeficientes es ( + )/ divisiones y ( + ) restas 5
Para llevar a cabo este proceso en un ordenador se requiere un vector de longitud + : f[x ] f[x ] f[x ] f[x ] f[x ] f[x ] f[x, x ] f[x, x ] f[x, x ] f[x, x, x ] f[x, x ] f[x, x, x ] (4) f[x 3 ] f[x, x 3 ] f[x, x, x 3 ] f[x, x, x, x 3 ] conteniendo el último vector los coeficientes de la forma de ewton del polinomio interpolador Terminamos esta sección comentando que, en algunos casos, el polinomio interpolador no es la mejor forma de representar una función en todo un intervalo, aunque la fórmula del error nos lleve a pensar que así sea Ejemplo de Runge Para la función f(x) = + x, en el intervalo [ 5, 5], el polinomio interpolador p (x) basado en nodos x j = 5 + jh, j =,, h =, no converge a f(x) cuando en el sentido que máx f(x) p (x), cuando x [ 5,5] Las siguientes figuras muestran en trazo continuo la gráfica de la función f(x), y en trazo discontinuo la gráfica de los polinomios interpoladores p y p 4, y con círculos los puntos en que ambas funciones coinciden La amplitud de las oscilaciones aumenta a medida que se toma mayor 8 grado = 8 grado =4 7 7 6 6 5 5 4 4 3 3 5 5 5 5 6
ITERPOLACIÓ POLIÓMICA A TROZOS; SPLIES Desde un punto de vista gráfico, la interpolación polinómica tiene una gran desventaja: cuando se tienen muchos datos a interpolar, el correspondiente polinomio interpolador tiene necesariamente un grado alto y presenta numerosas oscilaciones Para mitigar estos efectos, la estrategia usual es dividir el intervalo en varios trozos y en cada trozo interpolar los datos por un polinomio de grado bajo; es decir, realizar interpolación a trozos Si una función f(x) está definida en un intervalo [a, b], para poder construir su interpolante a trozos se debe seleccionar una partición del intervalo = {a = x < x < x = b} El interpolante a trozos p (x) (subordinado a la partición ) satisface p (x j ) = f(x j ), para cada j =,,, p (x) es un polinomio de cierto grado (prefijado a priori) en cada intervalo [x j, x j ] Puesto que p (x) es un polinomio en cada [x j, x j ], y coincide con f(x) en los extremos, el interpolante a trozos resulta ser entonces una función continua Interpolación lineal a trozos Si fijamos el grado en, p (x) es en cada intervalo [x j, x j ] el polinomio interpolador de grado menor o igual que uno basado en los nodos x j y x j, esto es, p (x) = x j x x j x j f(x j ) + x x j x j x j f(x j ), x [x j, x j ], j =,, Este interpolante se conoce con el nombre de interpolante lineal a trozos Su gráfica es una poligonal que coincide con f(x) en los puntos de interpolación Observe por ejemplo el interpolante lineal a trozos de f(x) = cos(x) en el intervalo [, 3] basado en la partición = {, /,, 3}: 5 5 5 5 3 4 7
(compare con el Ejemplo ) o los interpolantes lineales de f(x) = /( + x ) basados en los mismos y 4 nodos con los que construimos el polinomio interpolador del Ejemplo de Runge: 5 = 5 =4 5 5 5 5 5 5 Respecto al error del interpolante lineal a trozos, como en cada intervalo [x j, x j ] el interpolante lineal a trozos es un polinomio interpolador, tendremos que: f(x) p (x) = f (ξ) (x x j )(x x j ) Denotemos h j = x j x j, para j =,, El diámetro de la partición se define como Puesto que tenemos que y por tanto, h = máx j=,, h j máx (x x j )(x x j ) h j x [x j,x j ] 4, máx f(x) p (x) h j x [x j,x j ] 8 máx f (ξ), ξ [x j,x j ] máx f(x) p (x) h x [a,b] 8 máx f (ξ) (5) ξ [a,b] Esta última cota indica que, si f(x) es regular, su interpolante lineal converge cuadráticamente a f(x) cuando el diámetro h tiende a Observe que en el caso del Ejemplo de Runge, mientras el polinomio interpolador no converge a f(x), el interpolante lineal a trozos sí lo hace cuando se toman particiones uniformes de intervalos iguales con Interpolación por splines El interpolante lineal a trozos tiene el inconveniente de que, siendo una función continua, no es derivable con continuidad (su derivada es una función constante a trozos con saltos en los nodos) 8
Para obtener resultados que representen mejor a una función regular se recurre a polinomios de bajo grado en cada subintervalo, imponiendo condiciones adicionales que aseguren un empalme suave entre intervalos adyacentes El más habitual es el llamado spline La palabra inglesa spline denota un instrumento flexible usado en dibujo técnico que sirve para trazar curvas suaves (de hecho, algunas veces se traduce como trazador o cercha) Se trata de una regla que puede ser adaptada, flexionándola, a la forma que tome la curva que se desea dibujar Precisamente, la propiedad de adaptarse bien a formas dadas que tienen las funciones spline es su aspecto más destacado Se denomina spline respecto de la partición a cualquier función S (x) de clase C [a, b] que coincida en cada intervalo [x j, x j+ ] (i =,,, ) con un polinomio de grado menor o igual que 3 El problema de interpolación que estudiamos a continuación consiste en, dada la función f(x), encontrar un spline S(x) = S (x) tal que S (x j ) = y j = f(x j ), para todo j =,,, Si tomamos como incógnitas los valores de las derivadas segundas de S en los nodos: podemos escribir S (x) = m j x j x h j m j = S (x j ), j =,,,, + m j x x j h j, x [x j, x j ], puesto que en cada intervalo [x j, x j ] la derivada segunda S (x) es una función lineal Integrando dos veces queda, para x [x j, x j ]: S(x) = m j (x j x) 3 6h j + m j (x x j ) 3 6h j + a j (x x j ) + b j, donde a j y b j son constantes de integración Para determinar estas constantes, evaluamos en los extremos del intervalo: S(x j ) = y j b j = y j m j h j 6, S(x j ) = y j a j = y j y j h j (m j m j ) h j 6 Sustituyendo, obtenemos la expresión de S(x) en el intervalo [x j, x j ]: donde S(x) = α j (x x j ) 3 + β j (x x j ) + γ j (x x j ) + δ j, α j = m j m j, β j = m j 6h j, γ j = y j y j h j m j + m j h j, δ j = y j 6 Hasta este momento, hemos conseguimos que el spline pase por los puntos de interpolación y sus derivadas segundas por la izquierda y por la derecha coincidan en cada nodo interior 9
Sin embargo, las derivadas primeras por la izquierda y por la derecha también deben coincidir en cada nodo interior para que el spline sea de clase C [a, b] Puesto que: S (x) = m j (x j x) h j + m j (x x j ) h j + y j y j h j (m j m j ) h j 6, si x [x j, x j ], obtenemos las siguientes expresiones para las derivadas laterales de S(x) en x j : S (x j ) = y j y j h j Al imponer S (x j ) = S (x + j ), nos queda: h j + m j 3 + m h j j 6, S (x + j ) = y j+ y j h j+ h j+ m j m j+ h j+ 3 6 y j y j h j h j + m j 3 + m h j j 6 = y j+ y j h j+ h j+ m j m j+ h j+ 3 6, para j =,, Si denotamos λ j = h j+ h j+ + h j, µ j = λ j d j = 6 h j+ + h j ( yj+ y j h j+ y ) j y j, h j las ecuaciones anteriores quedan en forma matricial como µ λ µ λ µ 3 λ µ λ m m m m m = d d d Vemos que tenemos un sistema de ecuaciones y + incógnitas Es decir, este problema siempre tiene solución aunque no tiene porque ser única Para poder garantizar la unicidad hay que exigir condiciones adicionales, lo que conduce a toda una gama de splines: naturales, sujetos, periódicos, not-a-knot, El spline natural se determina imponiendo que S (a) = S (b) = En consecuencia, debemos añadir las ecuaciones m = y m =, y el sistema a resolver queda: λ µ λ µ 3 λ µ m m m = d d d
El spline sujeto se obtiene añadiendo condiciones del tipo S (a) = y y S (b) = y Estas condiciones implican que Si definimos h 3 m + h 6 m = y y y h, h 6 m + h 3 m = y y y h λ =, λ = ; µ =, µ =, d = 6 ( y y y h h ), d = 6 h ( y y ) y, h las ecuaciones nuevas se agregan al sistema y queda λ µ λ µ λ µ m m m m = d d d d El spline not-a-knot ( 4) se obtiene imponiendo que la cúbica en [x, x ] sea la misma que en [x, x ] y que la cúbica en [x, x ] sea la misma que en [x n, x n ] Estas condiciones equivalen a que la derivada tercera del spline sea continua en los nodos x y x ( o a eliminar un nodo del problema) otemos que los sistemas que surgen son tridiagonales y (salvo en el último caso) la matriz es de diagonal estrictamente dominante (ya que < λ j < y < µ < ), pudiendo resolverse eficientemente con la eliminación gaussiana tridiagonal El comportamiento del error para las funciones spline es bastante mejor que en el caso polinomial Una muestra es el siguiente resultado: Teorema 3 Sea f : [a, b] R de clase C 4 [a, b], con f (4) (x) M, para todo x [a, b] Si S(x) = S es el spline sujeto tal que S (a) = y y S (b) = y, que interpola a la función f(x) en los nodos de la partición, entonces: 5 máx f(x) S(x) a x b 384 M h4 Consecuentemente, si f C 4 [a, b], el resultado anterior implica que tomando el diámetro h de la partición tendiendo a cero, los correspondientes splines sujetos convergen hacia f(x) Ejemplo Típicamente en la industria se desea representar un perfil (la superficie de una herramienta, el casco de un buque, etc) midiendo con exactitud los menos puntos posibles de dicho perfil,
e interpolando el resto Por ejemplo, el contorno de la siguiente llave fija contiene cinco segmentos rectos, tres en el mango y dos en la muesca para abrazar la tuerca que se desee atornillar, y tres trozos curvos Para la representación gráfica que hemos mostrado, los tres trozos curvos se han reproducido con splines, tal y como indicamos en la siguiente figura, donde, como hemos venido haciendo, los puntos de interpolación aparecen marcados con círculos 75 7 65 6 55 5 45 4 35 3 5 3 4 5 6 Las curvas superior e inferior se han obtenido con splines donde se interpolan los valores de la coordenada vertical como función de la coordenada horizontal, y la curva restante se ha obtenido interpolando los valores de la coordenada horizontal en función de la vertical Así por ejemplo, la tabla de interpolación para la curva inferior fue la siguiente x j 55 65 45 3 38 46 5 58 y j 4 38 33 9 65 5 5 8 33 345 33 Las órdenes de Matlab que permiten realizar interpolaciones polinómicas a trozos son interp y spline ITERPOLACIÓ TRIGOOMÉTRICA; ALGORITMO FFT En muchos campos de la ciencia e ingeniería es frecuente tener que analizar datos que presenten algún tipo de comportamiento oscilatorio en el tiempo o en el espacio en términos de sus frecuencias componentes: espectroscopia de materiales, telecomunicaciones, dinámica de sistemas, etc
Como se estudió en Ampliación de Matemáticas, para las funciones periódicas, el análisis de Fourier trata de representarlas como una serie de funciones trigonométricas elementales En concreto, si f : R R es periódica de periodo T >, se definen sus coeficientes de Fourier como a n = T b n = T T T f(t) cos(nωt)dt, n =,,, f(t)sen(nωt)dt, n =,, donde ω = π La síntesis de Fourier es la validación de la representación T f(t) = a + (a n cos(nωt) + b n sen(nωt)) A este respecto, conviene citar el teorema de Dirichlet: si la función f(t) es continua en [, T], salvo un número finito de discontinuidades de salto y tiene un número finito de extremos relativos estrictos, la serie converge en cada t [, T] al valor (f(t+ ) + f(t )) Recordemos que los desarrollos en serie de Fourier también se pueden describir en términos de exponenciales complejas En este caso, los coeficientes de Fourier son y c n = T T f(t) = f(t)e inωt dt, n Z, n= c n e inωt Si se desea procesar señales computacionalmente en un ordenador, debemos restringirnos a manejar sólo una parte finita de la información presente en el Análisis de Fourier Esencialmente, la idea es reducir razonadamente las series de Fourier anteriores a una suma finita de funciones trigonométricas elementales, lo que conduce a la interpolación trigonométrica La interpolación trigonométrica Sea f : R R una señal periódica de periodo T >, de la que conocemos sus valores en un conjunto de puntos (que denominamos nodos) Supondremos que dichos puntos se toman uniformemente espaciados en el intervalo [, T], es decir: t k = k T, para cada k =,,, Por comodidad, asumiremos siempre que es par, es decir, = M Denotemos los valores de interpolación mediante y k = f(t k ) El problema de la interpolación trigonométrica consiste en encontrar una combinación lineal finita P(t) = M a + (a n cos(nωt) + b n sen(nωt)) + a M cos(mωt), 3
(denominado polinomio trigonométrico equilibrado) tal que P(t k ) = y k, para todo k =,,, En este caso, las condiciones de interpolación se traducen en las ecuaciones siguientes: a + M ( ( a n cos nπ k ) ( + b n sen nπ k )) ( + a M cos Mπ k ) = y k Como vemos, se ha reducido el problema de obtener la serie de Fourier que representa a f(t) en todo [, T], a conseguir una suma finita trigonométrica que representa a f(t) en los nodos t k Conviene subrayar que, en general, esta serie trigonométrica no es necesariamente una suma parcial finita de la serie de Fourier asociada a f(t) Las condiciones de interpolación, además, muestran la razón por la que no incluimos los términos sen(ωt) y sen(mωt): son funciones redundantes en el proceso de interpolación, pues valen cero en cada nodo t k Puede probarse que el polinomio trigonométrico equilibrado P(t) siempre existe y es único (es decir, las ecuaciones de interpolación tienen solución única) La interpolación trigonométrica desde el punto de vista complejo Como sucede con las series de Fourier, el uso de la variable compleja en el problema de la interpolación trigonométrica permite simplificar el problema, conceptual y manipulativamente, y es crucial para el desarrollo de técnicas numéricas eficientes para su resolución En concreto, si usamos las fórmulas de Euler: ( cos πn k ) ( = eπn k i + e πn k i, sen πn k ) = eπn k i e πn k i, i y observamos que e πn( k) i = e πn k i, de las condiciones de interpolación obtenemos: donde n= c n e nπ k i = n= c n e nω kt i = f(t k ), k =,,,, c = a, c M = a M, c n = a n ib n, c n = a n + ib n, para n =,, M Así, hemos reducido el problema a uno de interpolación trigonométrica compleja: dado un vector arbitrario y = (y, y,, y ) T C, se trata de encontrar una combinación lineal de exponenciales complejas : p(t) = ( β + β e ωti + + β e ω( )ti) = β n e nωti, tal que p(t k ) = y k, para todo k =,,, Como es previsible, por su analogía con el caso anterior, puede probarse que el problema de la interpolación trigonométrica compleja goza también de existencia y unicidad El factor / no es más que un convenio y se incluye para seguir la notación habitual en los textos de procesado digital de señales; que también utiliza el programa Matlab n= 4
Lógicamente, el problema numérico a tratar es la obtención eficiente del vector de los coeficientes β = (β,, β ) T C (quien determina la correspondiente función de interpolación) a partir del vector y = (y, y,, y ) T ) La transformada discreta de Fourier Imponiendo las condiciones de interpolación, nos queda: p (t k ) = y k n= β n e nωt ki = n= β n e n k πi = n= β n w nk = y k, para k =,,,, donde w = e πi es la raíz primitiva -ésima de la unidad Las relaciones anteriores las podemos expresar matricialmente: y y y = w w w w w 4 w ( ) w w ( ) w ( )( ) β β β, o en forma más compacta y = F β, donde F = [w nk ] matriz de Fourier de orden Teniendo en cuenta que las columnas de F son ortogonales (en C ) dos a dos y tienen norma igual a, se obtiene que F es invertible y que su inversa es F Esto nos permite obtener β de forma trivial: β = F y Este vector se denomina transformada discreta de Fourier del vector y, y se denota β := DFT(y) (Discrete Fourier Transform) Desde otra perspectiva, estos comentarios simplemente nos indican que el problema de la interpolación trigonométrica compleja tiene solución, es única y se puede calcular mediante la inversa de la matriz de Fourier Asimismo, se dice que y es la transformada discreta inversa de Fourier de β, y se denota y = IDFT(β) Resolución de la interpolación trigonométrica mediante la DFT Consideremos la correspondiente función periódica f : R R y denotemos al polinomio de interpolación trigonométrico equilibrado real como P(t) = M a + (a n cos(nt) + b n sen(nt)) + a M cos(mt), y al polinomio de interpolación trigonométrico complejo por p(t) = n= β n e nωti, 5
cuyos coeficientes vienen dados por la transformada discreta de Fourier β = DFT(y) C del vector y = (y,, y ) t R, siendo y k = f(t k ) La idea es, a partir de p(t), determinar el polinomio de interpolación trigonométrico equilibrado P(t) Al ser y un vector real, es fácil probar que las coordenadas de β verifican: Esto permite escribir: ( p(t) = β + ( Si usamos que = = = β R, β M R, y β n = β n, para todo n =,, M β + M M β n e nωti + β M e Mωti + β n e nωti + β M e Mωti + M n=m+ M β n e nωti ) β n e ( n)ωti ) ( ) M M β + β n e nωti + β M e Mωti + e ωti β n e nωti ( ) M β + β n e nωti + β Me Mωti + M β Me ( M)ωti + e ωti β n e nωti β M e Mωti = β Me Mωti + β M e ( M)ωti = β M(e Mωti + e ωti e Mωti ), y suprimimos en toda la expresión las exponenciales de la forma e ωti (pues valen uno en todos los nodos t k ), obtenemos ( ) q(t) := M β + (β n e nωti + β n e nωti ) + β M(e Mωti + e Mωti ) Utilizando de nuevo las fórmulas de Euler, se tiene que ( ) q(t) = M β + (Re(β n ) cos(nt) Im(β n )sen(nt)) + β M cos(mt) Es decir, q(t) es un polinomio trigonométrico equilibrado tal que q(t k ) = y k y por tanto q(t) P(t) En consecuencia, si β = T DF(y), los coeficientes del polinomio trigonométrico equilibrado P(t) son a = β, a n = Re(β n), b n = Im(β n) para n =,, M, a M = β M El algoritmo FFT Anteriormente se ha mostrado que la resolución efectiva del problema de la interpolación trigonométrica depende de obtener algoritmos eficientes para el cálculo de la transformada discreta de Fourier La obtención de dicha transformada requiere la multiplicación de la En realidad, estamos sustituyendo unas funciones por otras que coinciden en los nodos de interpolación Este proceso se denomina aliasing 6
matriz F por el vector dado, lo que se traduce en multiplicaciones complejas y otras tantas sumas Aquí introducimos un algoritmo que reduce considerablemente el número de operaciones necesarias para obtener la transformada discreta de un vector cuando la dimensión es una potencia de El resultado esencial que permite acelerar el cálculo de la transformada discreta de Fourier es el denominado teorema de duplicación Teorema de Duplicación Sea y = (y, y,, y ) T C, donde = M es par Definamos las dos mitades de dimensión M que corresponden, respectivamente, a las coordenadas con índice par e impar: y = (y, y,,y ) T, y = (y, y 3,,y ) T Si disponemos de las transformadas discretas de Fourier de y e y : β = DFT(y ) = (β, β,, β M )T, β = DFT(y ) = (β, β,,β M ) T, entonces la transformada discreta de Fourier β = DFT(y) viene dada por β = (β, β,,β ) T, siendo: β n β M+n = ( β n + β n w n = ( β n β n w n ), ), para n =,,, M (recordemos que w = e πi/ es la raíz primitiva -ésima de la unidad) Ejemplo Si = 8, para calcular DF T(y) usando el Teorema de Duplicación necesitamos conocer las transformadas de sus mitades y e y A su vez, para calcular la transformada de y usando el Teorema de Duplicación, necesitamos las transformadas de los vectores [y, y 4 ] T e [y, y 6 ] T Para calcular las transformadas de los vectores de dimensión anteriores se obtienen a partir de las de dimensión uno, y estas últimas son triviales, pues DFT([y ]) = [y ] En el siguiente esquema aparecen, en columnas de izquierda a derecha, los vectores cuyas transformadas se calculan en cada etapa Las flechas indican qué componentes de las correspondientes transformadas de una etapa anterior se necesitan para calcular una nueva mediante el Teorema de Duplicación: [ ] y y [ y 4 y y y 4 [y ] [y 4 ] [y ] [y 6 ] [y ] [y 5 ] [y 3 ] [y 7 ] [ y y 6 ] [ y 5 y3 y 7 ] ] En general, si = r es una potencia de, la idea del algoritmo FFT (transformada rápida de Fourier) es la siguiente: empezamos con las componentes sueltas del vector y, durante r etapas, vamos calculando las transformadas de vectores cada vez el doble de grandes hasta terminar hallando 7 y 6 y y 3 y 5 y 7 y y y y 3 y 4 y 5 y 6 y 7
la transformada del vector inicial Puesto que hay r etapas, y en cada etapa se determinan un total de coeficientes cuyo cálculo requiere una multiplicación; el número total de multiplicaciones necesarias es r = log () Para = 8 nos quedan 896 multiplicaciones, en lugar de las 8 = 6384 multiplicaciones que requiere la multiplicación por la matriz de Fourier El problema del algoritmo es conocer la reordenación inicial de las coordenadas de y, para que aplicando el teorema de duplicación lleguemos a DFT(y) Un hecho básico del algoritmo es que si expresamos en base dos las posiciones que ocupan las coordenadas al principio e invertimos la representación, obtenemos las posiciones que conforman la reordenación inicial Es la denominada aplicación de inversión binaria, o bit-reversion Convolución discreta de vectores Una de las operaciones matemáticas avanzadas más importantes es el producto de convolución, ya sea continuo o discreto En este apartado estudiaremos la convolución discreta de vectores y su estrecha relación con las matrices de Fourier Este tipo de convolución aparece de modo natural, por ejemplo, al multiplicar polinomios, series de potencias o series de Laurent Dados y = (y,, y ), z = (z,, z ) dos vectores de C, se define su producto de convolución como: y z = y y y y y y y 3 y y y 3 y y y y y y z z z z Una matriz como la anterior se denomina circulante ya que los elementos de la primera columna van rotando su posición en columnas sucesivas Observemos que tiene diagonales constantes y que el vector y ocupa su primera columna Como esta primera columna nos permite reproducir toda la matriz, se dice que es la matriz circulante generada por y y se denota por C(y) La relación de las matrices circulantes con las matrices de Fourier es la siguiente: Teorema 4 Sea C(y) la matriz circulante generada por el vector y C Entonces, C(y) es diagonalizable, con matriz de paso F : C(y)F = F Λ C(y) = F ΛF siendo Λ la matriz diagonal cuyos elementos diagonales son β = DFT(y) Este teorema permite hallar el producto de convolución y z usando las transformadas de Fourier discreta y su inversa: si β = DFT(y) y γ = DFT(z), entonces y z = C(y)z = F ΛF z = F Λγ Observemos que Λγ es el vector que se obtiene multiplicando β y γ coordenada a coordenada (este tipo de producto se conoce con el nombre de producto de Hadamard y se denota β γ) Finalmente, En particular, DFT(y z) = DFT(y) DFT(z) y z = F (β γ) = IDFT(β γ) 8
CUESTIOES Ejercicio Determinar el polinomio interpolador asociado a la tabla x j 3 - f(x j ) 3 Ejercicio Determinar el polinomio interpolador de f(x) = x 4 x 3 x + 4x 3, asociado a los nodos x =, x =, x = y x 3 = Ejercicio 3 Pruebe que los polinomios de Lagrange asociados a x, x,,x, satisfacen la igualdad L (x)+ +L (x) = Qué razón habrá para que también x L (x)+x L (x)+ +x L (x) = x? Generalice Ejercicio 4 Si en el problema de interpolación de Lagrange, la propia función f(x) es un polinomio de grado menor o igual que, qué polinomio interpolador se obtiene? Si f(x) no es un polinomio y se interpola al interpolante de f(x), cuál es el resultado? Ejercicio 5 Si buscásemos un polinomio de grado menor o igual que + que interpolase a f(x) en los + nodos x,, x, el resultado ya no sería único Describa todos los posibles interpoladores de este tipo Ejercicio 6 Basándose en el algoritmo de Horner-Rufini, describa cómo se puede evaluar el polinomio interpolador con multiplicaciones si está escrito en forma de ewton Ejercicio 7 Pruebe que si f(x) es un polinomio de grado menor o igual que, entonces cualquier diferencia dividida de f(x) de orden + o mayor es nula Ejercicio 8 Para cada x x,, x, por qué es cierta la siguiente igualdad f(x) p (x) = f[x,,x, x](x x ) (x x )? Cambiando por, x por x y aplicando el Teorema, deduzca que para algún ξ (mín(x, x), máx(x, x)) f[x,,x ] = f(+) (ξ) ( + )!, Ejercicio 9 Calcular el spline cúbico asociado a la tabla x j - - y j y determinado por la condición not-a-knot en ambos extremos Ejercicio Comprobar, para un vector de ocho coordenadas, la relación entre la FFT y la aplicación bit-reversion 9
Ejercicio Sea β = DFT(y) donde y = (y,, y ) R Comprobar que β n = β n Ejercicio Resolver el problema de interpolación trigonométrica compleja para un vector de dos coordenadas Ejercicio 3 Comprobar la relación de Plancherel: y = β, donde β = DFT(y) C PROBLEMAS Problema Elabore una función de Matlab que dado un vector de abscisas [x,,x ] T y otro de ordenadas [y,,y ] T devuelva el vector de diferencias dividas [y, y[x, x ],,y[x,,y n ]] T Basándose en el ejercicio anterior, elabore otra función que, dado un vector de abscisas [x,,x ] T, otro de ordenadas [y,,y ] T, y otro s = [s, s,, s J ] T de puntos a evaluar, devuelva el vector [p (s ),,p (x J )] T, donde p es el polinomio que interpola a los valores y j en los nodos x j 3 Aplique las funciones anteriores a la tabla del ejercicio y al ejemplo de Runge y estime los errores de interpolación tanto numérica como teóricamente Problema Considere la función de Bessel J (x) Dibuje la función de Bessel J (x) en el intervalo [, 8] Estime además el valor de su derivada en los puntos x = y x = 8 mediante un cociente incremental con paso h = 5 Mediante el comando spline, dibuje el spline sujeto, basado en los nodos, 3, 4, 5, 6, 7 y 8, y con valores de la derivada y = 9 en x =, e y 8 = 5588 en x = 8 3 Considera que el spline obtenido en el apartado anterior representa bien a J en el intervalo [, 8]? Si se sustituyen los valores de la derivada en x = y x = 8 por los obtenidos en el primer apartado, por qué mejora la representación de J desde un punto de vista gráfico? Qué ocurre si cambiamos el spline sujeto por el que impone la condición not-a-knot en ambos extremos Estime el error máximo de estos interpolantes averiguando el máximo error sobre los puntos de una partición muy fina de [,8] 4 Dibuje ahora el polinomio interpolador basado en los nodos, 3, 4, 5, 6, 7 y 8 Estime su error máximo y compare con las estimaciones del error máximo en el apartado anterior 5 Repita los dos apartados anteriores con nodos, 5, 3,, 75, 8, con nodos, 5, 5,, 775, 8 y con nodos, 5, 5,, 7775, 8 Qué observa? Qué piensa ahora de lo significativo que pueda ser el ejemplo de Runge visto en la lección?
6 Repita el apartado anterior pero cambiando el intervalo [, 8] por el intervalo [, 8] Cómo debemos entender entonces el ejemplo de Runge? Problema 3 Sea f : R R una función periódica de período T > Consideremos el problema de interpolación trigonométrica con un número par = M de nodos equiespaciados en el intervalo [, T) Denotemos los valores de f en los nodos t k = k T mediante y k = f(t k ) () El polinomio complejo de interpolación es p(t) = ( β + β e ωti + + β e ω( )ti), donde ω = π T El vector de coeficientes β = (β, β,, β ) es la transformada discreta de Fourier del vector y = (y, y,,y ) T, que se obtiene en Matlab con el comando fft Diseñe una función de Matlab que evalúe el polinomio complejo de interpolación Los argumentos de entrada deben ser el vector de coeficientes β, la frecuencia ω y los puntos donde se quiere evaluar el polinomio trigonométrico Muestre que la parte real de p(t) resuelve el problema de interpolación, mientras que la parte imaginaria interpola a la función nula Aplique lo anterior a la función f(t) = 3 5 + cos(t) + sen(t), tomando 8 nodos equiespaciados en el intervalo [, π) () Para obtener resultados mejores en cuanto al ajuste de la función fuera de los nodos, se puede recurrir a equilibrar el polinomio complejo de interpolación El polinomio trigonométrico equilibrado es P(t) = ( β + M que, a diferencia de p(t), toma valores reales ( Re(β n ) cos(ωnt) Im(β n ) sen(ωnt)) + β M cos(ωmt) Diseñe una función de Matlab que evalúe el polinomio trigonométrico equilibrado De nuevo, los argumentos de entrada deben ser el vector de coeficientes β, la frecuencia ω y los puntos donde se quiere evaluar el polinomio trigonométrico Aplique de nuevo lo anterior a la función f(t) del apartado () Observe la mejora en el ajuste de la función fuera de los nodos Problema 4 Considere la función f(t) = / + sen(πω t) + cos(πω t), con ω = 35 y ω = 65 en el intervalo [, T], siendo T = 3 Represente las componentes de frecuencia del polinomio de interpolador complejo de la función con 64 puntos Repita el problema con el tiempo de medida T = 34 En el ejemplo anterior, el muestreo se realizaba a lo largo de un número entero de periodos de los armónicos presentes en la señal 3 3 T = /f = /35 = 3 = T/ y T = T / ),
Cuando esta condición no se cumple aparece el fenómeno de leakage o smearing de la DFT 3 Aumente la frecuencia ω gradualmente hasta sobrepasar la frecuencia de yquist y analice el fenómeno del aliasing Problema 5 Para encontrar el mínimo de una función sin necesidad de derivar, podemos seguir el siguiente procedimiento: localizamos una terna de puntos x, x, x tales que x < x < x, f(x ) > f(x ), f(x ) > f(x ) (6) Con estos podemos construir el polinomio interpolador de grado dos y tomar como mínimo de f(x) el de su interpolante Tal sería el caso de la función f(x) = cos(x) y de la terna de puntos x = 5, x = y x = El interpolante (en línea de trazo discontinuo en la figura) 5 55 6 65 7 75 8 85 9 95 5 5 no coincide exactamente con f(x) (en línea de trazo continuo en la figura) pero se aproxima a f(x) bastante, y el mínimo del interpolante, que se alcanza en x min = 77, dista poco de que es donde se alcanza el mínimo de f(x) Diseñe una función de Matlab que, dados los vectores x = [x, x, x ] T, f = [f(x ), f(x ), f(x )] T, cuyos valores satisfagan (6), devuelva el valor x min donde se alcanza el mínimo del interpolante Pruébela con f(x) = x, y x = 5, x = y x = Una idea para mejorar el valor de x min es repetir el cálculo cambiando x por x min y f(x ) por f(x min ) Diseñe una función de Matlab que ejecute un proceso iterativo con esta idea Los valores de entrada deben ser el vector x, el nombre del fichero m que evalúa la función f(x), un número máximo de iteraciones a realizar y el valor de una tolerancia El proceso iterativo se debe detener cuando o bien se supere el máximo de iteraciones permitido o bien dos valores de x min consecutivos disten menos que la tolerancia dada 3 Pruébelo con la función f(x) = cos(x) y el vector x del punto Al llamar a su procedimiento iterativo, el nombre del fichero donde se evalúa la función debe ir entre apóstrofos Así por ejemplo, si su función está en el fichero de nombre menoselcosm y su procedimiento iterativo está en escrito en el fichero de nombre miniterm, debe ejecutar miniter(x, menoselcos,tol,maxiter)
4 Mejora la aproximación si disminuimos la tolerancia? Qué explicación se le ocurre? Basándose en la fórmula del error del Teorema explique lo que se observa 5 Modifique su programa para de un paso al siguiente x permanezca en la terna de abscisas, pasando a ocupar el lugar de x si x min > x o el de x 3 en caso contrario Mejora ahora la aproximación al disminuir el valor de tolerancia? 6 Modifique su programa para que también devuelva la última terna de abscisas Cuánto vale f(x) en estos valores? Teniendo en cuenta que f se anula en el mínimo, es razonable lo que observa? Con qué error cabe esperar entonces que se calcule el mínimo? Problema 6 Diseñe una función de Matlab que obtenga el producto de convolución de dos vectores de igual dimensión, usando las órdenes fft y ifft Los argumentos de entrada deben ser los dos vectores Determine analíticamente la relación existente entre el producto de dos polinomios arbitrarios con la convolución de vectores 3 Dados los polinomios p(x) = +3x 3 8x 6 +x +x x 3, q(x) = x+x 3x 3 +4x 4 5x 5 + +3x 3 3x 3, obtenga, usando la función del apartado uno, los coeficientes de las potencias 3,8, 3 y 45 del polinomio producto: p(x)q(x) 4 Considere el número entero a = Calcule a analíticamente y utilizando el producto usual de Matlab A tenor del ejemplo, explique los problemas que pueden surgir al intentar evaluar en un ordenador productos de dos números elevados 5 Utilizando la función del apartado uno, diseñe una nueva función de Matlab que permita representar de forma exacta el producto de dos números enteros muy grandes Los argumentos de entrada deben ser dichos números escritos en formato vectorial (es decir, 3 se identifica con [ 3]) Compruebe dicha función, calculando con este enfoque el producto a 3