ESTRUTURAS ARTIULADAS Prof. arlos Navarro Departamento de Mecánica de Medios ontinuos y Teoría de Estructuras
uando necesitemos salvar luces importantes (> 10 ó 15 m), o necesitamos vigas de gran canto, puede resultar más económico utilizar estructuras articuladas en celosía que vigas de alma llena Terminología estructural de las estructuras articuladas Diagonal ordón superior Montantes Rótulas ordón inferior Luz
barra o elemento apoyo nudo Sistema físico Sistema estructural IDEALIZAIÓN
ANALÍSIS DE ESTRUTURAS ARTIULADAS ESTÁTIAMENTE DETERMINADAS
Luces cortas (<20 m) Plantas en las que se requiere espacio vertical
Howe Pratt Luces moderadas (20-30 m) Su diseño puede modificarse para conseguir techos planos
Fan Fink Luces grandes (>30 m)
Warren Aplicable cuando se desean cubiertas planas
techo techo ventana ventana En diente de sierra uando la localización de pilares no es problema uando se precisa iluminación natural
Garajes y hangares aeronáuticos
Arco tri-articulado Alturas altas y luces grandes
Hipótesis de diseño Las barras se unen unas a otras mediante uniones flexibles Los ejes de las barras son concurrentes en un punto En la realidad, esta unión proporciona alguna rigidez (tensiones secundarias)
ESTRUTURAS ARTIULADAS ANÓNIAS Formadas por triángulos
ESTRUTURAS ARTIULADAS OMPUESTAS erchas simples erchas simples
ESTRUTURAS ARTIULADAS ISOSTÁTIAS O ESTRITAMENTE OMPLETAS Son aquéllas en las que pueden determinarse los esfuerzos axiles en todas las barras utilizando, exclusivamente, las ecuaciones de la estática. Si denominamos b al número de barras de la Estructura, n al número de nudos de la misma y c al número de coacciones externas, podemos establecer: Número de incógnitas por barra: 4 Número de incógnitas: 4b + oacciones externas: c 4b+c Número de ecuaciones que podemos plantear: Equilibrio de una barra: 3 (ΣH0, ΣV0 y ΣM0) 3b+2n Equilibrio de un nudo: 2 (ΣH0 y ΣV0) El problema es estáticamente determinado cuando: 4b+c3b+2n b2n-c GDHb+c-2n Sí GDH < 0 (Mecanismo) Sí GDH 0 (Isostática?) Sí GDH >0 (Hiperestática)
La condición anterior de isostaticidad es una condición necesaria, pero no suficiente: b9, n6, c3 Se cumple la condición! b9, n6, c3 Se cumple también la condición pero no existe equilibrio, ante las posibles cargas, por tratarse de un mecanismo! Pero, desde luego
Estabilidad externa de la estructura Estructura inestable Estructura inestable
Métodos de análisis Método de los nudos Método de las secciones Métodos gráficos (remona)
Métodos de análisis Método de los nudos Método de las secciones Métodos gráficos (remona)
Estructura articulada en equilibrio > Todos y cada uno de sus nudos están en equilibrio B 500 N 2 m A B 500 N F (compresión) F AB (tracción) 2 m
Procedimiento Plantee las ecuaciones de equilibrio en cada nudo Tenga en cuenta las posibles simetrías Identifique las barras que no sufren ningún esfuerzo (i) cuando sólo dos barras de diferentes direcciones coincidan en un nudo, y éste no está exteriormente cargado, ninguna de las dos barras sufre esfuerzo axil (ii) Si tres barras coinciden en un nudo, y éste no está cargado, y dos de las barras tienen la misma dirección, la barra no colineal con las dos anteriores no sufre esfuerzo axil
Dos barras coincidentes en un nudo no cargado (nudo ): B F B F D A E D F x F B 0 F y F D 0 Nota: lo mismo se podría aplicar al nudo A. Por tanto, en la estructura de la figura, sólo las barras BE, ED y DB sufrirán esfuerzos axiles
Tres barras coincidentes en un nudo no cargado (nudo D) siendo dos de ellas colineales: F D D D F DF F DE F E y x F x 0 F D y F DE iguales y contrarias F y F DF 0
Métodos de análisis Método de los nudos Método de las secciones Métodos gráficos (remona)
Estructura articulada en equilibrio > Todas sus partes están en equilibrio EJEMPLO: y + x F M1 F M2 E F M3 50 N 100 N 50 N 50 N
Ecuaciones de equilibrio F F x y M 0 0 0 Si tomamos momentos respecto de podríamos determinar el valor de F M3. Si, posteriormente, tomamos momentos respecto de E, determinaríamos F M1,..
EJEMPLO: y + x F M1 F M2 F M3 50 N 100 N 50 N 50 N F y 0; 50 F M 2 cos30 0; F M 2 57, 7 N M 0; 50 1 2 a + F M 3 0, 866a 0; F M 3 28, 9 N F x 0; F M1 + 57, 7 cos 60 + 28, 9 0; F M1 57, 7N
Métodos de análisis Método de los nudos Método de las secciones Métodos gráficos (remona)
ÁLULO DE DESPLAZAMIENTOS Para calcular desplazamientos en nudos de una estructura articulada, aplicaremos el teorema de astigliano. Para ello, consideraremos como Sistema 0 el sistema estructural real, con sus cargas, del que partimos, y como Sistema I el mismo sistema estructural pero, ahora, sólo sometido a una carga unidad en el nudo y dirección en que deseamos obtener el desplazamiento. Sin embargo, puede haber casos en los que, además de cargas mecánicas, algunas barras experimenten un cambio de temperatura o que, alguna de ellas, presente un error de fabricación (que haya quedado más corta o más larga que la longitud requerida). En estas condiciones, la energía elástica del sistema estructural se expresa como: U barras 1 2 2 Ni Li E Ω i + N barras con error i e i + barras con T N i T i e i T i error de ejecución de la barra i cambio de longitud de la barra i debido a la variación de temperatura T i α Li Ti
+ + Ω T i I i e i I i barras i i I i i j j N N E L N N P U d 0 Al igual que hicimos para el caso de cargas mecánicas actuando sobre la estructura, el desplazamiento de un nudo en una determinada dirección lo calcularemos como ya hacíamos sólo que, ahora, hay que añadir los sumandos: e i I N i T i I N i
T.T.V. V r f Trabajo virtual fuerzas exteriores: V r δ dvol + V r f r δ dω ( δ δ δ δ δ δ σ ε + σ ε + σ ε + τ γ + τ γ + τ γ )dvol x Ω x Ω y y r r r r f + V δ dvol fω δ dω 0 Ω V z z xy xy xz xz yz yz Trabajo virtual tensiones internas: σ V ( δ δ δ δ δ δ σ ε + σ ε + σ ε + τ γ + τ γ + τ γ ) B x x δ cosα L B y y ( A L ) + σ ( A L ) B z z DB xy xy δ cos β L DB xz xz DB yz yz dvol σ B δ cosα L B ( A L ) + σ ( A L ) 0 B DB δ cos β L DB DB
En el sistema articulado de la figura formado por tres barras de idéntico material y siendo las áreas de sus respectivas secciones transversales: A, para las barras B y D, y 2A para la barra BD, determinar, cuando, sobre él actúa la carga P: a.- Las fuerzas axiles a las que se encuentran sometidas cada una de las barras b.- La energía elástica que almacena el sistema c.- El desplazamiento vertical del nudo y el horizontal del nudo D. B 2A D A A l/2 l l P
ASPETOS GEOMÉTRIOS DE LA ESTRUTURA ARTIULADA B 2A D α A A α l/2 l l P α arctan l / l 2 26, 565 B D l cos α 1118, l
RESOLUIÓN DE LA EXTRUTURA POR EQUILIBRIO DE NUDOS: NUDO B NUDO R B F BD F B 1,118P F B α α F D P F B F D por simetría 2F F F D BD D senα P 1118, P F B 1118, P cos α P
RESOLUIÓN DE LA EXTRUTURA POR EL P.T.V.: B 2A D α A A α l/2 l l P B D δ Desplazamientos virtuales: B y no se desplazan D lo hace hacia su izquierda una magnitud δ
B D δ D δ cosα ε δ D δ α cos l ε δ BD δ 2l Trabajo fuerzas actuantes: δw ext 0 Trabajo fuerzas internas: δ int σ DεD δw F D A δ cosα l δw ext F Al + σ Al + δw D int F BD 2A BD ε δ 2l cosα + F δ BD δ cosα l ( 2A 2l) σ Al + σ ( 2A 2l) ( 2A 2l) F δ cosα + F δ 0 F BD 0 D D D δ cosα + F BD BD BD δ δ δ 2l
U ( 2A) 2 ( 1118, P) ( 1118, l) 2 2 Fi Li P 2l U BD + U B + UD + 2 2A E 2 E 2AE i 1, 898P AE 2 l U W NUDO : NUDO D: 1 2 w u Pd ε BD 1, 898P AE ( 2l) 2 l P 2A E 3, 796Pl d AE P ( 2l) 2EA P l EA
PRIMER TEOREMA DE ASTIGLIANO: d U P 1, 898 2Pl 3, 796Pl AE AE
Determinar, aplicando el teorema de reciprocidad y para la estructura articulada del problema anterior el desplazamiento vertical del punto cuando actúa la carga Q que se observa en la figura: B 2A D Q A A l/2 l l
SISTEMA I B 2A D Q A A l/2 l l SISTEMA II B 2A D A A l/2 l l P
P d I ( ) Q u II ( ) D w u II D P l EA d I Q ( ) u II ( ) P D Q l EA
PROBLEMA PROPUESTO 1 En la estructura articulada de la figura, las barras 1-2 y 2-4 sufren un descenso de temperatura de 15 º y las barras 1-3, 3-5, 5-7 y 7-8 un aumento de 30 º. Determinar el desplazamiento vertical que experimenta el nudo 4. 5 1 3 2 3 7 6 8 7 4 4,5 m 1 5 9 10 2 11 4 12 6 13 8 3 m 3 m 3 m 3 m NOTA: El material de las barras es acero (E210 GPa), y todas ellas tienen la Misma sección transversa (5 cm 2 ) y mismo coeficiente de dilatación lineal (α10-5 (º) -1 ) Solución: d v 4,35 mm hacia abajo
PROBLEMA PROPUESTO 2 Determinar los desplazamientos horizontal y vertical del nudo E de la estructura articulada de la figura. Tómese EA100 MN E 10 kn 60º 60º A 30º 45º D 45º 30º B 20 m Solución: d h 8,15 mm d v 8,67 mm
Hasta ahora, las cargas se han supuesto actuando en los nudos. Qué hacer cuando una barra se encuentre directamente cargada? E q kn/m 60º 60º A 30º 45º D 45º 30º B
E q kn/m 60º 60º A 30º 45º D 45º 30º B R E E E q kn/m + A 30º 45º 60º 60º D E 45º 30º B A 30º 45º D 60º 60º 45º 30º R B B R E q kn/m R B
Qué hacer cuando una barra se encuentra sometida a un incremento térmico? (Por ejemplo, la barra D sufre un incremento térmico T) E 60º 60º A 30º 45º D T 45º 30º B
E A 30º 45º D 60º 60º T 45º 30º B E E A 30º 45º D 60º 60º T 45º 30º + B A αl D T 30º 45º 60º 60º D αl D T 45º 30º B αl D T T αl D T D
Qué hacer cuando una barra sufrió un error de ejecución? (Por ejemplo, la barra DE es δ metros más corta) E δ 60º 60º A 30º 45º D 45º 30º B
E δ 60º 60º A 30º 45º D 45º 30º B F E E A 30º 45º δ 60º 60º D 45º 30º + B A 30º 45º 60º 60º D F 45º 30º B E FEA DE δ/l DE δ FEA DE δ/l DE D
ESTRUTURAS ARTIULADAS ESTÁTIAMENTE INDETERMINADAS
1 2 5 kn 2 m 4 3 2 m GDLE3 E3 GHE0 (estructura externamente isostática) GDLI3n-33.6-315 I2(n nudo -1)2(3-1).416 GHI1 (estructura internamente hiperestática)
1 2 5 kn 1 N 13 N 13 N 13 4 3 3 Sistema 0 (isostático) Sistema 2 N 13 Desplazamiento relativo entre los nudos 1 y 3 del sistema 0 Desplazamiento entre esos mismos nudos del sistema 2 (los desplazamientos mencionados deben entenderse medidos en la dirección 1-3)
RESOLUIÓN DEL SISTEMA 0 1 2 5 kn N 13 4 N 13 3 Barra Axil 1-2 -N 13 / 2 2-3 5-N 13 / 2 3-4 5-N 13 / 2 4-1 -N 13 / 2 2-4 -5 2+N 13 Sistema 1 (isostático)
RESOLUIÓN DEL SISTEMA 1 (Auxiliar para aplicar astigliano) 1 2 1 4 1 3 Barra Axil 1-2 -1/ 2-3 -1/ 3-4 -1/ 4-1 -1/ 2-4 1 2 2 2 2 Sistema 1 (isostático)
Estado 0 Estado 1 Barra Axil 1-2 -N 13 / 2 2-3 5-N 13 / 2 3-4 5-N 13 / 2 4-1 -N 13 / 2 2-4 -5 2+N 13 Barra Axil 1-2 -1/ 2-3 -1/ 3-4 -1/ 4-1 -1/ 2-4 1 2 2 2 2 0 1 0 I 1 1 N13 N13 13(acercamiento) N i N i Li [ ( 2 2 + ( 5 ) 2 2) + 1 (-5 2 + N13) 2 2] EA 2 2 2 EA barras 1 (acercamiento) [N13( 4 + 2 2) 10( 2 2)] EA 0 13 +
RESOLUIÓN DEL SISTEMA 2 1 N 13 3 Sistema 2 N 13 2 N13 2 2 13 (alejamiento) EA
0 13(acercamiento) 2 13 (alejamiento) [N EA N 2 ( 4 + 2 2) 10( 2 + 2)] - EA 1 13 13 2 N 13 3,53 kn