ELECTRICIDAD MODULO 2

.Paniagua Física 20 ELECTRICIDD MODULO 2 Enegía Potencial Eléctica nalicemos la siguiente situación física: una patícula q 0 cagada elécticamente se mueve desde el punto al punto B. Estos puntos están ubicados en el campo eléctico de una caga q, como se muesta en la fig. fig.1 Si ambas cagas son del mismo signo tenemos que la caga eléctica q 0 no puede desplazase po si sola desde el punto al punto B, po lo tanto debeá habe un agente exteno que le aplique una fueza paa desplazala ente esos puntos. Puesto que la caga q ejece también una fueza sobe q 0 tenemos entonces que al i de a B sobe dicha caga actúan dos fuezas: la poducida po el campo eléctico E y la fueza aplicada po el agente exteno, cada una de ellas ealiza tabajo sobe la caga q 0 Si la fueza aplicada po el agente exteno en cada punto de la tayectoia es de igual magnitud que la fueza eléctica y de sentido contaio, la caga se mueve con una velocidad constante; entonces en esa ext situación el tabajo ealizado po el agente exteno W B y el tabajo E ealizado po el campo eléctico W B están elacionados como E W B ext = "W B En el análisis que haemos, buscaemos la elación que existe ente el tabajo ealizado po el campo eléctico poducido po la caga q, cuando la caga q 0 se mueve desde el punto hasta el punto B, po la tayectoia I I II y po la tayectoia II. Designaemos dichos tabajos como W B y W B. Las tayectoias I y II son las que se indican en la fig. 1. 41

I a) Tabajo W B ealizado po el campo eléctico en la tayectoia I I W "B = B $ F # dl B = q 0 $ E # dl (18 T) II b) Tabajo W B ealizado po el campo eléctico en la tayectoia II Puesto que la tayectoia II no es una tayectoia adial, la descomponemos en pequeños tamos difeenciales adiales y cuvos como se muesta en la fig. 1. Calculemos el tabajo a tavés de esa tayectoia. II W B B = F " d B # l = q 0 E "dl B # + q 0 E "dl $ # (19 T) Puesto que E y dl son pependiculaes tenemos que el segundo integal de la expesión (19 T) se anula, consideando que dl = d l tenemos entonces que II W "B B = $ F # dl B = q 0 $ E # dl (20 T) Compaando las expesiones (18 T) y (20 T) tenemos que I W B II = W B El tabajo ealizado po el campo eléctico no depende de la tayectoia que une los puntos y B, po la tanto la fueza ejecida po el campo eléctico es una fueza consevativa. Podemos entonces defini una función de la posición. Paa enconta dicha función calculamos el tabajo ealizado po el campo eléctico al move una caga eléctica q 0 ente los puntos y B I W "B = B $ F # dl B = q 0 $ E # dl B B = q 0 $ Edl cos180 = %q 0 $ Edl (21 T) En este caso paa los puntos y B que apaecen en la fig.1, tenemos la siguiente elación ente los difeenciales dl y d. 42

0 B 1 2 3 4 5 6 7 8 B l = B " = 2 7 = 5 l = l B " l = 5 0 = 5 l = " = "("5) = 5 7 6 5 4 3 2 1 0 dl = "d Reemplazando dl = "d en (21 T) tenemos I W "B B B kq = q 0 # Ed = q 0 # d = kqq 0 $ kqq 0 2 B I W B = kqq 0 " kqq 0 B (22 T) Podemos entonces defini a pati de la expesión (22 T) a esa función que depende solamente de los puntos y B. Llamaemos a dicha función enegía potencial eléctica y la designaemos po la leta U. La enegía potencial eléctica es una enegía de inteacción. Decimos entonces que U = kqq 0 + cte U B = kqq 0 B + cte (23 T) Siendo la sepaación ente las cagas q y q 0 cuando la caga q 0 se encuenta en el punto y B la sepaación ente las cagas q y q 0 cuando la caga q 0 se encuenta en el punto B. Po lo cual la expesión (22 T) la podemos escibi como I W B = U "U B = "#U B Puesto que esta expesión es independiente de la tayectoia podemos entonces escibi paa el tabajo ealizado po el campo eléctico paa cualquie tayectoia que una los puntos y B. W B = "#U B (24 T) 43

El signo menos de la expesión (24 T) indica que cuando el campo eléctico ealiza un tabajo positivo la enegía potencial de la patícula que se mueve disminuye. pati de la expesión (23 T) podemos deci que la enegía potencial de inteacción de un pa cualquiea de cagas elécticas q 1 y q 2 que se encuentan sepaadas una distancia está dada po U = kq 1q 2 + cte (25 T) Paa detemina la cte debemos asigna un nivel ceo de enegía potencial. De la expesión (25 T) podemos ve que el nivel ceo de enegía potencial lo podemos considea cuando " en ese caso tenemos U = 0 cuando " lo cual cte = 0 Tenemos entonces que U = kq 1q 2 (26 T) es la enegía potencial de inteacción de dos patículas cagadas que se encuentan sepaadas una distancia. Difeencia de potencial y potencial eléctico La difeencia de potencial ente los puntos B se designa po V " B donde V " B = V B # V Se define difeencia de potencial eléctico ente dos puntos a la difeencia de enegía potencial eléctica ente ellos po unidad de caga eléctica. B = #% E $dl (27 T) V " B = U " B q 0 = # W " B q 0 Podemos entonces a pati de esta expesión y consideando que E W B ext = "W B da dos definiciones de difeencia de potencial eléctico. 44

a) Difeencia de potencial eléctico V " B es igual a menos el tabajo ealizado po el campo eléctico al move una unidad de caga eléctica desde el punto B b) Difeencia de potencial Eléctico V " B es igual al tabajo ealizado po un agente exteno paa move con velocidad constante una unidad de caga desde el punto B I Tenemos de la expesión (22 T) que W B = kqq 0 " kqq 0 B po lo tanto podemos escibi la expesión (27 T) como B V " B = #% E $dl = kq # kq (28 T) B V B V = kq B kq Si consideamos V = 0 cuando " tenemos entonces que V B = kq B (29 T) V B es el potencial eléctico en el punto B poducido po la caga B distancia de la caga q al punto B. Paa enconta el potencial eléctico poducido po una distibución continua de caga, dividimos el cuepo en elementos difeenciales dq. Tenemos entonces que el potencial poducido po todos los elementos del cuepo está dado po V B = kdq " (30 T) El integal va po toda la distibución de caga Utilizando la expesión (27 T) que coesponde a la difeencia de potencial ente los puntos y B, podemos obtene el potencial en un punto dq q. B 45

paa una distibución de caga localizada, si consideamos V = 0 cuando " Tenemos entonces paa una distibución de caga continua finita V B = V "# B = U "# B q 0 = $ W B "# B = $ E %dl q & 0 " (31 T) Podemos a pati de esta expesión da una definición de potencial eléctico. Potencial Eléctico en un punto es igual a menos el tabajo ealizado po el campo eléctico al move una unidad de caga desde el al punto en cuestión. Utilizando la expesión E W B ext = "W B Se puede da ota definición de potencial eléctico. Potencial Eléctico en un punto es igual al tabajo ealizado po un agente exteno paa move con velocidad constante una unidad de caga desde el al punto en cuestión. Tenemos po lo tanto paa calcula el potencial eléctico dos expesiones que son las siguientes V B = k dq " (30 T) B V B = "% E # dl (31 T) En cada situación específica se debe decidi con cual de estas expesiones se tabajaá. En la expesión (30 T) el integal va po todo el cuepo que está cagado, po lo tanto nos daá un integal doble si se tata de una distibución de caga supeficial y un integal tiple si se tata de una distibución de caga un volumética. En la expesión (31 T) debemos conoce en pime luga el campo eléctico geneado po la distibución de caga, po lo tanto esta expesión es más páctico utilizala cuando ese campo eléctico se puede obtene po la Ley de Gauss y coesponde a una distibución de cagas localizadas. $ 46

Supeficies equipotenciales Las supeficies equipotenciales son supeficies cuyos puntos tienen el mismo potencial eléctico. Supongamos que los puntos y B petenecen a una supeficie equipotencial o sea V B = V "V # B = 0 (31 T) Tenemos a pati de la definición de difeencia de potencial (27 T) que B V " B = # E $dl Reemplazando la expesión (31 T) tenemos B " E dl = 0 # E $d % l en una supeficie equipotencial (32 T) E en todos los puntos de una Tenemos entonces que el campo eléctico supeficie equipotencial, es pependicula a dicha supeficie. E en la supeficie de un conducto, Recodemos que el campo eléctico cagado en equilibiio electostático, es siempe pependicula a esa supeficie. Po lo tanto la supeficie de un conducto, independientemente de la foma que tenga, es siempe una supeficie equipotencial. Las siguientes figuas muestan las líneas equipotenciales de distintas distibuciones de caga. Las líneas equipotenciales están dibujadas po medio de líneas punteadas y se puede obseva que son pependiculaes a las líneas de campo eléctico dibujadas po medio de líneas continuas. 47

Unidad de difeencia de potencial La unidad de difeencia de potencial eléctico es el volt (V). pati de la definición de "V #B tenemos que "V #B = $W #B q 0 1V =1 J C Movimiento de una patícula cagada ente puntos de difeente potencial nalizaemos el movimiento de una patícula cagada, que tiende a movese ente dos puntos de difeente potencial V y V B y aveiguaemos la elación que existe ente dichos potenciales, cuando la caga es positiva y cuando es negativa. Paa simplifica suponemos que la patícula se encuenta inicialmente en eposo en el punto, su velocidad en ese pto. es nula v = 0 Po lo tanto la enegía cinética ese punto K = 1 2 mv 2 K de la patícula es también nula en K = 0 Tenemos que po se la fueza eléctica consevativa U + K = 0 (38 T) 48

De la definición de difeencia de potencial tenemos "U = q"v (39 T) Combinando las expesioness (38 T), (39 T) y consideando que K = 0 tenemos q( V B "V ) = "K B La enegía cinética de la patícula es siempe positiva po lo tanto q( V B "V ) < 0 (40 T) Utilicemos la expesión (40 T) paa analiza el movimiento de cagas elécticas. a) Si q > 0 tenemos a pati de (40 T) que V B "V < 0 # V B < V Puesto que la caga que estamos analizando se mueve desde el pto. " B, podemos entonces deci que una caga eléctica positiva se desplaza desde los puntos de mayo a meno potencial. b) si q < 0 tenemos a pati de (40 T) que V B "V > 0 # V B > V Puesto que la caga que estamos analizando se mueve desde el pto. " B, podemos entonces deci que una caga eléctica negativa se desplaza desde los puntos de meno a mayo potencial. pati de la expesión (39 T) "U = q"v y consideando q = e (caga del electón) podemos defini ota unidad de enegía. Llamaemos electón volt (ev) a la enegía que adquiee un electón al movese en una difeencia de potencial de 1 volt. ev = ( 1.60 "10 #19 C)1.0V =1.60 "10 #19 J kev =10 3 ev MeV =10 6 ev GeV = 10 9 ev 49

Poblema 1 Se tiene una esfea conductoa de adio a, que posee una caga q. Enconta el potencial eléctico en las siguientes zonas: Q P a Paa puntos fuea de la esfea conductoa. Paa puntos dento de la esfea conductoa. Hace un gáfico de V vs. Solución nálisis de la situación física Po se la esfea conductoa, la caga q se encuenta distibuida en su supeficie. i) Se puede calcula el potencial eléctico po medio de la la expesión kdq V B = " en este caso se integaía po la supeficie de la esfea que es donde se encuenta distibuida la caga eléctica, lo cual implica que es necesaio tabaja con un integal doble. ii) Se puede calcula también el potencial utilizando la expesión V B = B $ # E "dl En ese caso se debe conoce el campo eléctico tanto paa puntos dento como fuea de la esfea conductoa. Sea E d el campo eléctico dento de la esfea ( < a) y E f el campo eléctico fuea de la esfea ( > a ). Sabemos que E d = 0 paa < a po se un conducto. Conocemos también que una esfea cagada se compota paa puntos fuea de ella como si fuea una caga puntual ubicada en su cento. Po lo tanto E f = kq 2 > a En la esolución de este poblema tabajaemos con el pocedimiento indicado en el punto ii). 50

Solución a) Paa puntos fuea de la esfea > a Sea Q un punto fuea de la esfea que se encuenta a una distancia Q del cento de la esfea. Q V Q = "% E # dl Q = "% Edl cos180 puesto que dl = d $ $ Q Q V Q = " $ Ed = " $ kq # d = "kq " 1 % ( Q ' * = kq 2 & # )# Q V Q = kq Q Tenemos po lo tanto que paa puntos fuea de una esfea cagada elécticamente, el potencial eléctico es simila al de una caga puntual q ubicada en su cento. Solución b) Paa puntos dento de la esfea < a Sea P un punto dento de la esfea y que se encuenta a una distancia P del cento de la esfea. En esta situación paa intega desde al punto P se debe atavesa dos zonas de distinto campo eléctico. Po lo cual el integal paa calcula el potencial paa un punto dento de la esfea se divide en dos integales, coespondiendo cada uno de ellos a los campos elécticos dento E d y fuea de la esfea E f. P V p = " % E # dl a = "% E f # dl " $ $ P % a E d # dl puesto que E d = 0, E f = kq 2 y dl = d tenemos a V P = " % kq 2 # d = "kq & " 1 ) ( ' + * $ a $ = kq a V p = kq a El potencial dento de una esfea conductoa tiene el mismo valo que en su supeficie. 51

Solución c) Paa ealiza el gáfico del potencial V en función del adio, se divide el eje hoizontal en dos zonas sepaadas po el punto a. V En la zona desde 0 = a se gáfica la función de V obtenida paa puntos dento de la esfea conductoa. En la zona desde = a " se gáfica la función de V obtenida paa puntos fuea de la esfea conductoa. kq a = a kq Poblema 2. H-29-2(N)(V) Una caga q se distibuye unifomemente en un volumen esféico no conducto de adio R. a) Demosta que el potencial a una distancia a del cento, siendo a < R, está dado po la siguiente expesión: ( ) V = q 3R2 a 2 8"# 0 R 3 b) Es azonable que, de acuedo con esta expesión, V no valga ceo en el cento de la esfea? Solución Consideemos un punto que se encuenta a una distancia a del cento, siendo a < R como se muesta en la fig. a R Paa calcula el potencial eléctico utilizaemos la expesión V = " % $ E # dl 52

V = "% E # dl & R = "(% E f # dl + '( $ $ a % R E d # dl ) + * + (1-P2) Necesitamos po lo tanto conoce el campo eléctico paa puntos fuea de la esfea E f ( > R ) y dento de la esfea E d ( < R ). Dichos campos se calculaon en el Módulo 1, Ley de Gauss y son E f = 1 4"# 0 q 2 > R y E d = q 4"# 0 R 3 < R Reemplazando los valoes de los campos elécticos y consideando que " =180 y dl = "d tenemos V = q R d 4"# % + 1 a ' * ) & d 0 ( 2 R % 3 +, = q 3R2 a 2 8"# 0 R 3 $ R ( ) Capacito Un capacito es un dispositivo que está fomado po dos conductoes que poseen cagas de igual magnitud y signo contaio. Según la foma de las placas conductoas se tienen capacitoes planos, cilíndicos y esféicos. En la fig. se pueden ve las difeentes fomas de los capacitoes y las líneas de campo eléctico coespondientes a cada uno de ellos. Los capacitoes comunes se componen de dos láminas paalelas muy póximas o de dos cilindos concénticos. Los capacitoes sive paa almacena caga eléctica y también enegía como veemos más adelante. 53

En la fig. tenemos el cote tansvesal de un capacito plano en el cual se han dibujado las láminas planas muy guesas, paa facilita la explicación. Podemos obseva que la lámina de la izquieda se encuenta aislada. esa lámina se le popocionan cagas elécticas, las cuales inducen en la lámina de la deecha cagas de igual magnitud y de signo contaio Capacitancia C Es una caacteística de los capacitoes y se define como la elación que existe ente la caga eléctica en una de sus placas y la difeencia de potencial ente ellas. C = q V (41 T) Puesto que la difeencia de potencial ente las placas de un capacito es popocional a la caga en una de ellas, tenemos entonces de la expesión (41 T) que la capacitancia no dependeá de la caga y sólo dependeá de la estuctua geomética del capacito (tamaño, foma y distibución de las placas conductoas). La cantidad de caga almacenada en un capacito, está limitada po el hecho de que campos elécticos gandes ionizan las moléculas de aie y lo hacen conducto, descagándose las placas a tavés de él. Este fenómeno conocido como uptua del dieléctico se poduce en el aie cuando la intensidad del campo eléctico es E " 3#10 6 N C = 3#10 6 V m Unidad de capacitancia La unidad de capacitancia es el faad que se designa con la leta F. pati de la definición de capacitancia C = q V tenemos que 1F =1 C V 54

Puesto que el faad (F) es una unidad muy gande, se utilizan submúltiplos de él micofaad(µf) =10 "6 faad(f) picofaad(pf) =10 "12 faad(f) Conexiones de capacitoes Fecuentemente se utilizan conexiones de dos o más capacitoes. Cuando se tiene en un cicuito más de un capacito, se puede sustitui esta conexión po un solo capacito equivalente que almacene la misma cantidad de caga paa una difeencia de potencial deteminada. Entonces la capacitancia equivalente de una conexión está dada po C e = q T V (42 T) Un capacito se epesenta mediante el símbolo Capacitoes en paalelo Se entiende po conexión en paalelo, aquella conexión en la cual los capacitoes están unidos a una misma difeencia de potencial como se muesta en la fig. La capacitancia equivalente de esta conexión esta dada po Donde C e = q T V (42 T) q T = q 1 + q 2 + q 3 (43 T) y V = V 1 = V 2 = V 3 (44 T) Reemplazando estas expesiones en (42 T) tenemos C e = q 1 + q 2 + q 3 V = q 1 V 1 + q 2 V 2 + q 3 V 3 = C 1 + C 2 + C 3 Tenemos entonces que la capacitancia equivalente de esta conexión de capacitoes en paalelo está dada po C e = C 1 + C 2 + C 3 (45 T) 55

Paa un númeo cualquiea de capacitoes la capacitancia equivalente de la conexión en paalelo está dada po Capacitoes en seie Es una conexión en la cual los capacitoes están unidos como se muesta en la fig. y el potencial eléctico se epate ente ellos. n C e = " C i (46 T) i=1 La capacitancia equivalente de esta conexión está dada po Donde Tenemos entonces V = V 1 +V 2 +V 3 Invitiendo (47 T) tenemos 1 = V 1 +V 2 +V 3 C e q 56 y C e = q T V q T = q = q 1 = q 2 = q 3 (42 T) q C e = (47 T) V 1 +V 2 +V 3 = V 1 q 1 + V 2 q 2 + V 3 q 3 = 1 C 1 + 1 C 2 + 1 C 3 Tenemos entonces que la capacitancia equivalente de esta conexión en seie esta dada po 1 = 1 + 1 + 1 (48 T) C e C 1 C 2 C 3 Paa un númeo cualquiea de capacitoes la capacitancia equivalente de la conexión en seie está dada po 1 1 = " (49 T) C e i=1 C i La capacitancia equivalente de una conexión de capacitoes en seie es meno que la meno capacitancia que inteviene en dicha conexión. n

Capacitoes de placas paalelas con dieléctico nalizaemos dos situaciones: a) Capacito con voltaje constante. b) Capacito con caga eléctica constante. a) Capacito con voltaje constante Se tienen dos capacitoes iguales conectados a una misma difeencia de potencial, como se muesta en la fig. Si uno de los capacitoes se llena completamente con un dieléctico, se puede compoba expeimentalmente que este almacena una caga q d, " veces mayo que el capacito sin dieléctico. ya que Entonces V 0 = V d = V, q d = "q 0 C 0 = q 0 V y C d = "C 0 (50 T) C d = q d V " se denomina constante dieléctica y depende del mateial del dieléctico. Tenemos entonces que un capacito que tiene el espacio ente sus placas completamente lleno con dieléctico y está conectado a una difeencia de potencial fija, tiene una capacitancia " veces mayo que cuando no tiene dieléctico ente sus placas. b) Capacito con caga eléctica constante Si se caga un capacito, que está conectado a un medido de voltaje, se puede compoba expeimentalmente que, al llena completamente el espacio ente sus placas con un dieléctico, el voltaje ente sus placas disminuye " veces. 57

V d = V 0 " (51 T) Puesto que la caga de dicho capacito no vaía tenemos que las capacitancias sin dieléctico y con dieléctico están dadas po C 0 = q V 0 C d = q V d Reemplazando estas expesiones en (51 T) tenemos que C d = "C 0 " se denomina constante dieléctica y depende del mateial del dieléctico. De (51 T) tenemos V 0 V d = K Consideando que V = Ed en un capacito plano, donde E es la magnitud el campo eléctico E ente las placas del capacito y d la sepaación ente ellas, se tiene V 0 = E 0d V d E d d = " E 0 E d = " E d = E 0 " tenemos entonces que el campo eléctico en un capacito plano con dieléctico disminuye " veces compaado con el campo en un capacito plano sin dieléctico. Dielécticos o aislantes. Compotamiento de los átomos Sabemos que los dielécticos se polaizan en pesencia de un campo eléctico exteno E ext, peo existen también dielécticos que tienen dipolos pemanentes. Un ejemplo es la molécula de agua. Los dipolos se encuentan en el dieléctico en foma desodenada como se muesta en la fig. l coloca el dieléctico en un campo eléctico alinean. E dichos dipolos se 58

paecen entonces en el dieléctico cagas elécticas inducidas po la pesencia del campo eléctico exteno. Las cagas elécticas inducidas en el dieléctico poducen un campo eléctico E i de sentido contaio al campo exteno que las indujo. Po lo tanto el campo eléctico esultante dado po la expesión E R = E ext + E i puesto que 59 E R dento del dieléctico está E ext "# E i E R < E ext E ext es el campo eléctico exteno poducido po las láminas cagadas y E i el campo eléctico inducido en el dieléctico. Po lo tanto el campo eléctico ente las placas del capacito disminuye en pesencia de un dieléctico. Puesto que la difeencia de potencial, ente las placas de un capacito plano, esta dada po V = Ed, tenemos entonces que la difeencia de potencial también disminuye cuando se coloca un dieléctico ente sus placas.

Utilizando la expesión (41 T) de la definición de capacitancia C = q V, tenemos que al disminui el potencial ente las placas de un capacito aumenta la capacitancia. Poblema 3 Calcula la capacitancia de un capacito plano cuyas placas tienen un áea y están sepaadas po una distancia d. Solución C = q V "V i#s difeencia de potencial ente la placa infeio y supeio. s "V i#s = $ & E % dl s d = $ & Edl cos180 = & Edy (1-P3) i dl = dy E =? i 0 Paa calcula el campo eléctico ente las placas del capacito, aplicamos la Ley de Gauss a la supeficie que se indica en la fig. " E = $ E # ds + sv $ E # ds + shs $ E # ds = q shi % 0 sv shi shs Supeficies veticales. Supeficie hoizontal infeio. Supeficie hoizontal supeio. Esta supeficie se encuenta ubicada dento de la placa conductoa supeio. Po lo tanto en ella E = 0. 60

Tenemos entonces que De donde se obtiene 67 0 8 " E = # EdScos90 + sv 0} # E $ ds 67 18 + # EdScos 0 = q shs shi % 0 E = q " 0 # E = q " 0 Reemplazando el valo de E en (1-P3) tenemos d q "V i#s = % dy = q d $ 0 $ 0 0 ya que C = q V C = 0 d Ejecicio Calcula la capacitancia de un capacito cilíndico. Calcula la capacitancia de un capacito esféico. Poblema 4 Se tiene la conexión indicada en la fig. Si C 1 =10µf, C 2 = 5µf, C 3 = 4µf y la difeencia de potencial es de 100V, enconta a) La capacitancia equivalente de dicha conexión. b) La caga almacenada en cada capacito. c) La difeencia de potencial en cada capacito. V c 1 c 3 c 2 Solución Los capacitoes C 1 y C 2 se encuentan conectados en paalelo, esta conexión tiene una capacitancia equivalente que la denominaemos C e ( 1,2). 61

El capacito equivalente seie. C e ( 1,2) y el capacito C 3 están conectados en V c e ( 1,2 ) c3 V (1,2,3) c e Solución a) C e (1,2) = C 1 + C 2 =1.50 "10 #5 F 1 C et = 1 C e (1,2) + 1 1 = C 3 1.50 "10 #5 F + 1 4 "10 #6 F C et = 3.16 "10 #6 F Solución b) y c) q T = q 3 = q 1,2 q 1,2 = q 1 + q 2 V T =100V q T = C et V T = 3.16 "10 #4 C q V 12 = 12 C e (1,2) = 3.16 "10#4 C 1.50 "10 #5 F = 2.11"101 V = 21.1V V 3 = q 3 C 3 = 3.16 "10#4 C 4 "10 #6 F = 7.90 "101 V = 79V V 12 = V 1 = V 2 = 21.1V q 2 = C 2 V 2 =1.06 "10 #4 C 62

Poblema 5 Se tiene la conexión de capacitoes que se indica en la figua. Las capacitancias de dichos capacitoes son las siguientes C 1 = C 3 = C 5 =10µf C 2 = C 4 = 8µf El voltaje que se muesta en la fig. es 100V. Enconta a) La caga almacenada en cada capacito. b) La difeencia de potencial en cada capacito. V C 3 C 2 C 5 C4 C 1 Solución Los capacitoes C 4 y C 5 se encuentan conectados en paalelo, esta conexión tiene una capacitancia equivalente que la denominaemos C e ( 4,5). El capacito equivalente C e 4,5 C 2 y C 3 están conectados en seie, esta conexión tiene una capacitancia equivalente que la denominaemos C e [ 2,3, ( 4,5) ]. El capacito equivalente en paalelo. C 3 C e(4,5) ( ) y los capacitoes [ ] y el capacito C e 2, 3, ( 4,5) C e[2,3, (4,5)] C 1 están conectados C et C 2 C 1 V C 1 V V Respuestas V 1 =100V V 2 = 44.5V q 1 =10 3 C q 2 = 3.56 10 "4 C q T = 1.36 10 "3 C V 3 = 35.6V V 4 =19.8V V 5 =19.8V q 3 = 3.56 10 "4 C q 4 =1.58 10 "4 C q 5 = 1.98 10 "4 C 63

Poblema 6 Se tiene un capacito esféico de adios a y b que tiene la mitad del espacio ente sus placas lleno de pocelana, como muesta la figua a) Calcula la capacitancia de dicho capacito. b) Cuál es la máxima difeencia de potencial que puede existi ente las placas del capacito sin que exista uptua si a = 0.5cm b b= 3a + q c) Cuál es la máxima caga que puede almacena dicho capacito? Solución a) Paa calcula la capacitancia tenemos que calcula en pime luga la difeencia de potencial ente sus placas. a - q C = q V V =? Tenemos que el capacito se encuenta pacialmente lleno de pocelana. En el dibujo de la deecha se muesta que la zona que tiene pocelana está compendida ente a y c, y la zona que contiene aie ente c y b. b + q a a - q c b Si designamos como E d al campo eléctico en la zona que tiene el dieléctico pocelana y como E 0 al campo eléctico en la zona sin dieléctico, tenemos paa la difeencia de potencial ente las placas del capacito b "V a#b = $ & E % dl c = $ & E d % dl b $ & E 0 % dl Consideando que a a b = 3a Sepaación ente las placas b a = 2a Espeso del dieléctico b a 2 = a c 64

Tenemos que c = a + espeso del diélectico = 2a Entonces podemos escibi la difeencia de potencial ente las placas del capacito como 2a "V a#b = $ & E d % dl 3a $ & E 0 % dl (1-P6) a 2a Es necesaio entonces conoce los campos elécticos E d y calcula la difeencia de potencial E d =? campo eléctico en la zona que tiene dieléctico E 0 =? campo eléctico en la zona que sin dieléctico E 0 paa Es suficiente calcula E 0, ya que E d = E 0 " Paa calcula E 0 consideamos un condensado esféico sin dieléctico ente sus placas. plicamos la ley de Gauss a la - q supeficie indicada de la figua # E 0 " ds = E 0 4$ 2 = q b E 0 = q 4" 0 2 E d = % 0 q " p 4#$ 0 2 + q a donde " p es la constante dieléctica de la pocelana Supeficie Gaussiana eemplazando E 0 y E d en (1-P6) tenemos 2a 3a "V a#b = $ % E d d $ % E 0 d = $ q ) 2a 1 d + 4&' 0 ( % p 2 + * + a 2a a 3a % 2a d, 2. -. "V a#b = $ q 3+' p 4%& 0 a 6' p La constante dieléctica de la pocelana es " p = 6.5 65

C = q "V = 24#$ 0 a% p 3+% p = 2.28 &10 '12 F Solución b) La Intensidad Dieléctica coesponde al máximo campo eléctico que puede existi sin uptua del dieléctico (o sea sin que el diélectico se haga conducto y las placas se descaguen a tavés de él. Designamos la Intensidad Dieléctica como ID y sus unidades son KV/ mm. Sea ( ID) intensidad dieléctica del aie y de la pocelana. Si consideamos tenemos que d P espeso de la capa de pocelana d espeso de la capa de aie V máx = ( ID) P d P + ( ID) d ( ID) P intensidad dieléctica ( ID) = 0.8KV/ mm d = a = 0.5cm ( ID) P = 4KV/ mm d P = a = 0.5cm eemplazando los valoes numéicos coespondiente tenemos V máx = 2.4 "10 4 V Solución c) Qmáx =? C = q V C = Q máx V máx Q máx = CV máx = 5.48 "10 #8 C 66

Coiente eléctica continua (CC) Si los extemos de un conducto se conectan a una difeencia de potencial, como se muesta en la fig., se poducen supeficies equipotenciales en los planos tansvesales del conducto. Se establece po lo tanto un campo eléctico en todos los puntos del conducto que hace que los electones libes se desplacen en sentido contaio a E. La existencia de un campo eléctico dento de un conducto, no contadice la afimación que habíamos hecho con anteioidad de que el campo eléctico es ceo en un conducto cagado, aislado en equilibio electostático, pues ahoa estamos tatando con cagas elécticas en movimiento y po lo tanto la esticción de campo nulo dento del conducto ya no se cumple. Decimos en este caso que se ha establecido una coiente eléctica i, la cual se define como la cantidad de caga q que pasa po una sección tansvesal cualquiea del conducto en el tiempo t. Si esa tansfeencia de caga no vaía a tavés del tiempo, la coiente es constante y se expesa po i = q t (59 T) Si la velocidad de flujo de caga no es constante al tanscui el tiempo, la coiente vaía con el tiempo y está dada po el límite difeencial de la ecuación (59 T) i = dq dt En geneal consideaemos solamente coientes constantes. La unidad de coiente es el ampée () (60 T) 1 =1 C s 67

Se asignó como sentido de la coiente al sentido del movimiento de las cagas positivas. Posteiomente Hall en1879 encontó que los potadoes de caga en un conducto son negativos. Se mantuvo el sentido peviamente establecido paa la coiente, pues el movimiento de una caga positiva en un sentido es equivalente al movimiento de una caga negativa en sentido contaio. Paa aclaa esto, obsevemos los caitos que apaecen en la fig. de la deecha. Tenemos que si los caitos se desplazan hacia la deecha el espacio vacío que dejan se desplaza hacia la izquieda. nalicemos ahoa que sucede si en un mateial se desplazan electones de un átomo a oto. Podemos obseva en la fig. que el desplazamiento de electones hacia la deecha, poduce en el átomo que abandonan un ion positivo que se va desplazando hacia la izquieda Podemos entonces deci que el movimiento de electones hacia la deecha es simila la movimiento de cagas positivas hacia la izquieda. Fuea de la coiente eléctica i se define la densidad de coiente que se designa po j y que coesponde a la coiente que ataviesa el áea tansvesal de un conducto j = i (61 T) tenemos po lo tanto que la densidad de coiente es mayo en los alambes finos y meno en alambes de mayo goso. Resisto Tenemos que po cualquie conducto, al cual se aplica una difeencia de potencial, cicula una coiente eléctica. este conducto lo denominamos esisto y se epesenta simbólicamente po. un esisto se le puede asocia una caacteística denominada esistencia, la cual está deteminada po la difeencia de potencial eléctico aplicada a sus extemos y la coiente que cicula po efecto de esa difeencia de potencial. la esistencia de un esisto se le asigna el caácte R. 68

Tenemos entonces que la esistencia de un esisto está definida como i R R = V i (68 T) V Teniendo como unidades el ohm (") donde " = V. Resistividad La esistividad de un conducto se designa po el símbolo como " = E. Es una caacteística de cada mateial. j " y se define Desaollaemos la expesión de la esistividad paa enconta la elación que existe ente ella y la esistencia. Tenemos que V = E l po lo tanto E = V l donde l es la longitud del conducto. La densidad de coiente es j = i conducto. donde es el áea tansvesal del Reemplazando E y j en la definición de esistividad tenemos " = E j = V l i Consideando que R = V tenemos entonces " = R i l De esta expesión podemos ve que la unidad de la esistividad es " m. Podemos expesa la esistencia R a tavés de la esistividad " como R = " l (69 T) de donde vemos que la esistencia R paa un deteminado esisto es diectamente popocional a la longitud del conducto e invesamente popocional al áea tansvesal del mismo. Fuentes de fueza electomotiz l dispositivo capaz de mantene una difeencia de potencial ente los extemos de un esisto se le denomina fuente de fueza electomotiz (fem), se le asigna el caácte y se epesenta simbólicamente po 69

La línea más laga epesenta un punto de mayo potencial y la línea más cota un punto de meno potencial eléctico, la flecha junto a ella tiene un ciculo en su extemo paa difeenciala de la flecha que designa el sentido de la coiente. El cicuito compuesto po un esisto y una fem constituye el más simple cicuito eléctico. La coiente en un cicuito va desde los puntos de mayo a meno potencial, ya que el sentido asignado a la coiente coesponde al movimiento de las cagas elécticas positivas. Peo qué sucede cuando las cagas elécticas después de cicula llegan a un punto de meno potencial? Paa entende que sucede, analicemos un situación simila planteada en el campo gavitacional. Tenemos que una pesona coloca unas esfeas en la ampa supeio. Éstas se deslizan po la ampa debido a que está levemente inclinada, caen po un tubo que contiene aceite, de tal manea que al desliza no acelean debido al oce con el aceite, convitiendo su enegía potencial en calo. Después de atavesa el tubo caen a una ampa infeio que está también levemente inclinada y llegan hasta los pies de la pesona. Las esfeas po si solas no pueden ascende, la pesona debe tomalas y colocalas en la pate supeio paa empeza nuevamente el ciclo. En este caso, la pesona gasta su enegía intena paa lleva las esfeas hasta la ampa supeio. Sin este gasto de enegía no es posible que el poceso se mantenga. Regesemos nuevamente al cicuito eléctico y a la pegunta que teníamos planteada. Qué sucede cuando las cagas elécticas después de cicula llegan a un punto de meno potencial? Necesitan un agente exteno que las lleve desde los puntos de meno a mayo potencial, pues ellas no pueden flui po si solas ente esos potenciales. Es esa entonces la función que cumple la fem en un cicuito, ealiza un tabajo paa lleva las 70

cagas elécticas positivas desde un punto de meno potencial a uno de mayo potencial, gastando en ello su enegía intena. Peo de dónde saca la fem esa enegía intena? Paa da espuesta a esta pegunta analizaemos como funcionan algunas fuentes de fueza electomotiz. Son fuentes de fueza electomotiz el temopa, la celda fotovoltaica y la bateía. Todas estas fuentes de fueza electomotiz poducen una difeencia de potencial, peo cada una de ellas lo hace po medio del uso de distintas fuentes de enegía. Celda temoeléctica o temopa Celta fotovoltaica Consiste en la unión de dos metales difeentes; cuando se calienta dicha unión los electones libes cuzan de un mateial al oto poduciéndose en uno de ellos un déficit de electones y en el oto un exceso lo que genea una difeencia de potencial. Sin embago cuando cesa el calo se eviete el poceso y la fem se educe a ceo. Consiste en dos mateiales semiconductoes que están en contacto. Sobe uno de ellos se hace incidi luz que cumple una función simila a la del calo en el caso del temopa, poduciéndose po lo tanto una fem. 71

Bateía pimaia Una bateía está compuesta po dos metales difeentes llamados electodos y una sustancia química llamada electólito. Po medio de la eacción química de los metales con el electólito se poduce una difeencia de voltaje ente los electodos. nalicemos la eacción química que sucede y como se poduce esa difeencia de voltaje en una bateía compuesta po electodos de zinc y cobe, y un electólito que es ácido sulfúico. Cada molécula de ácido sulfúico se disocia en dos iones de hidógeno y un ion sulfato. El zinc cede dos electones paa combinase con el ion sulfato fomando sulfato de zinc que es soluble. Po oto lado el cobe cede dos electones a los dos iones de hidógeno y se conviete en ion positivo de cobe. Los electones despendidos al fomase sulfato de zinc hacen que el electodo de zinc quede cagado negativamente, y el ion positivo de cobe hace que el electodo de cobe quede cagado positivamente, poduciéndose ente ambos electodos una difeencia de voltaje. La eacción química que sucede está epesentada esquemáticamente en la siguiente fig. H 2 SO 4 ácido sulfúico SO 4 2 ion sulfato negativo H + ion positivo de Hidógeno Zn zinc Zn +2 ion positivo de zinc Cu cobe Cu +2 ion positivo de cobe 72

Esta eacción química se detiene cuando el electodo de Zn alcanza una cantidad de caga negativa que impide que los iones sulfato negativo se acequen paa combinase con el ion positivo de zinc. Po lo tanto la eacción química se detiene cuando existe una deteminada difeencia de potencial ente los electodos, que es caacteística de los mateiales que constituyen una bateía, en el caso que estamos analizando es apoximadamente 1.08 V. nalicemos ahoa cual es la eacción química cuando se unen ambos electodos po medio de un bombillo y fluye coiente a tavés del cicuito. En este caso fluye caga negativa desde el electodo de zinc al electodo de cobe, disminuyendo la caga del electodo negativo; lo que hace que la eacción química se eanude y continue, hasta que el electodo de zinc se tansfome completamente en sulfato de zinc. En ese caso la bateía ya no es capaz de mantene el voltaje paa el cual fue diseñada y decimos entonces que la bateía se ha descagado. Tenemos entonces que en este caso la enegía que se utiliza paa poduci la coiente es enegía química. Ota fuente poco común de fem, es la anguila eléctica (Electophous electicus), que vive en los íos mazonas y Oinoco. Cuando ataca, la anguila puede desaolla hasta 600 V ente su cabeza (positiva) y su cola (negativa). Como hemos visto en los casos que se han analizado, las fuentes de fueza electomotiz (fem) utilizan distintos tipos de enegía paa poduci una difeencia de potencial. 73

Cicuitos elécticos Tenemos que el cicuito eléctico más simple está compuesto po un esisto y una fem. La coiente en un cicuito va desde los puntos de mayo a meno potencial, ya que el sentido asignado a la coiente coesponde al movimiento de las cagas elécticas positivas. nalicemos como son los potenciales elécticos en los extemos de un esisto po el cual cicula una coiente i. Si una coiente cicula desde el punto hacia el punto B, entonces V > V B, ya que el sentido de la coiente es el del movimiento de las cagas elécticas positivas y estas se mueven desde los puntos de mayo a meno potencial. Po definición de esistencia tenemos R = V i " V = R i Po lo tanto desde B existe una caída de potencial B existe una subida de potencial Tenemos po consiguiente una egla en el compotamiento de los cicuitos elécticos. Si ecoemos un esisto en el mismo sentido de la coiente existe una caída de potencial. Si ecoemos un esisto en sentido contaio al de la coiente existe una subida de potencial. Obsevemos el cicuito que apaece en la fig. Las líneas que unen los difeentes elementos del cicuito (esistoes, fem), son cables de conexión los cuales también tienen cieta esistencia. i V = " i R V = i R R B 74

Peo debido a que las esistencias de los cables de conexión son genealmente pequeñas, compaadas con las esistencias de los esistoes del cicuito, se considean despeciables. Puesto que V = i R tenemos entonces que las difeencias de potenciales ente los extemos de dichos cables son también despeciables. Fuente de fueza electomotiz ideal Hasta aquí nos hemos efeido a una bateía como fuente de fem. Si bien sive paa esta función, una bateía eal no es una fuente ideal. Una fuente ideal podía mantene la misma difeencia de potencial ente sus teminales sin impota la cantidad de coiente que cicule. Ninguna fuente eal de voltaje cumple con esas condiciones. Las bateías como cualquie ota fuente de fueza electomotiz poseen una esistencia intena. Podemos dibuja una bateía como se muesta en la fig. 1 donde a y b son sus teminales y i su esistencia intena. l conecta esta bateía en un cicuito tenemos el diagama mostado en la fig. 2 Fig. 1 Fig. 2 Compaemos la difeencia de potencial ente los bones de la bateía V a"b con el voltaje " que popociona la fem. pati de la definición de esistencia R = V i los extemos de un esisto está dado po V = ir tenemos que el voltaje en Encontemos la difeencia de potencial ente los bones de la bateía. V a + " i i = V b i i es la difeencia de potencial en los extemos de la esistencia intena de la bateía. Escibimos esta difeencia de potencial con signo negativo puesto que ente los extemos infeio y supeio de la esistencia intena hay una disminución de potencial. Tenemos entonces que la difeencia de potencial V b "V a está dada po 75

" # i i = V b #V a si designamos V b V a = V ab tenemos entonces que de donde podemos ve que V ab = " # i i V ab "( fem) V ab < "( fem) Solamente en el caso de una bateía ideal donde i = 0 V ab = Puesto que todas las fuentes de fueza electomotiz tienen una esistencia intena, la difeencia de potencial que apotan a un cicuito eléctico es siempe meno que ". Po lo tanto una fem es más eficiente mientas meno sea su esistencia intena. Leyes de Kichoff Las leyes de Kichoff son dos leyes que se aplican a los cicuitos elécticos y pemiten enconta las coientes que ciculan a tavés de las distintas amas del cicuito. ntes de pesenta estas leyes es necesaio defini dos téminos que se emplean en ellas, como son: nodo y malla. Nodo Los nodos son puntos del cicuito en los cuales las coientes se dividen o se juntan. Malla Las mallas son pates del cicuito que podemos ecoe patiendo de un punto y egesando al mismo punto sin pasa dos veces po ninguna pate del cicuito. nalicemos el cicuito que apaece en la fig. son nodos b y e, no son nodos a, c d y f, son mallas: abcdefa, abefa, no es malla: abedcba. 76

Pimea Ley En cualquie nodo la suma algebaica de las coientes debe se ceo. El signo asociado a la coientes entantes y salientes del nodo es abitaio, peo debe se difeente paa cada una de ellas. nodo b) i 1 i 3 i 2 = 0 (+ las que llegan, - las que salen). i 1 + i 3 + i 2 = 0 (- las que llegan, + las que salen). Podemos ve que ambas ecuaciones son equivalentes. Segunda Ley En cualquie malla la suma algebaica de las vaiaciones de potencial es nula. pliquemos esta ley a distintas mallas del cicuito mostado anteiomente. malla abcdefa i 1 R 1 i 3 R 3 i 1 R 4 + " = 0 malla abefa i 1 R 1 i 2 R 2 i 1 R 4 + " = 0 malla bcdeb i 3 R 3 +i 2 R 2 = 0 Las leyes de Kichoff son útiles paa enconta las coientes en los cicuitos elécticos. l aplica las leyes de Kichoff a un cicuito se obtiene un sistema de ecuaciones que tiene que tene tantas ecuaciones linealmente independientes como incógnitas tenga el poblema. Resistencia equivalente Se entiende po esistencia equivalente ( R e ) a la esistencia de un esisto que sustituye en el cicuito a vaios esistoes. a) Resistoes en seie Po cada uno de los esistoes conectadas en seie cicula la misma coiente i. i = i 1 = i 2 = i 3 y el potencial ente los ptos. a y b es V ab = V 1 +V 2 +V 3 77

Po lo tanto la esistencia equivalente R e de los esistoes que se encuentan conectados en seie, está dada po R 1, R 2 y R 3 R e = V ab i = V 1 +V 2 +V 3 i = V 1 i 1 + V 2 + V 3 i 2 i 3 lo que se puede escibi como R e = R 1 + R 2 + R 3 b) Resistoes en paalelo Los esistoes conectadas en paalelo, en el cicuito que se muesta en la fig., tienen la misma difeencia de potencial V = " ente su extemos V = V 1 = V 2 = V 3 y la coiente i del cicuito se subdivide en las coientes i 1, i 2, i 3 i = i 1 + i 2 + i 3 Po lo tanto la esistencia equivalente R e de los esistoes conectados en paalelo, está dada po R e = V i = V i 1 + i 2 + i 3 R 1, R 2 y R 3 Invitiendo esta expesión tenemos que 1 = i 1 + i 2 + i 3 = i 1 + i 2 + i 3 R e V V 1 V 2 V 3 lo que nos pemite elaciona la esistencia equivalente R e con las espectivas esistencias R 1, R 2 y R 3 de los esistoes conectados en paalelo, po medio de la siguiente expesión 1 R e = 1 R 1 + 1 R 2 + 1 R 3 78

Una muesta de conexiones seie-paalelo son las luces de Navidad. En ellas cada colo constituye una conexión en seie y los coloes ente sí, se conectan en paalelo. Poblema 7 Se tiene el cicuito indicado en la fig. Si $ " 1 = " 3 = 3 V &" 2 = " 4 =10 V % & R 1 = R 3 = R 5 = 5 # '& R 2 = R 4 = R 6 =12 # a) Enconta las coientes del cicuito e indica su sentido. b) La difeencia de potencial ente los puntos c y f. Nota Po todas las esistencias que están en seie cicula la misma coiente. El sentido de las coientes se elige abitaiamente. Si al calcula la coiente el valo que se obtiene es negativo significa que el sentido coecto es contaio al elegido. El sentido en que se ecoen las mallas es también abitaio. Solución a) Elegimos abitaiamente los sentidos de las coientes que apaecen en la figua de la deecha. Escibimos las ecuaciones de Kichoff paa esos sentidos de las coientes Malla abefa i 1 R 1 i 1 R 2 " 2 i 2 R 3 " 3 i 1 R 4 + " 1 = 0 Reemplazando los valoes coespondientes tenemos 79

"( 5# )i 1 " ( 12# )i 1 "10V " ( 5# )i 2 " 3V " ( 12# )i 1 + 3V = 0 Malla bcdeb "( 29# )i 1 " ( 5# )i 2 =10V (1-P7) i 3 R 5 i 3 R 6 + " 4 + i 2 R 3 + " 2 = 0 "( 5# )i 3 " ( 12# )i 3 +10V + ( 5# )i 2 +10V = 0 Nodo b ( 5" )i 2 # ( 17" )i 3 = #20V (2-P7) i 1 i 2 i 3 = 0 (3-P7) Tenemos un sistema de tes ecuaciones (1-P7), (2-P7) y (3-P7) y tes incógnitas que son las coientes i 1, i 2 y i 3 Resolvemos el sistema de ecuaciones. De (3-P7) tenemos i 1 = i 2 + i 3 eemplazando en (1-P7) se tiene "( 29# )i 2 " ( 29# )i 3 " ( 5# )i 2 =10V ( i 2 = " 29# )i 3 +10V 34# ( ) (4-P7) eemplazando i 2 en (2-P7) tenemos $ ( 29# )i "( 5# ) 3 +10V ' & )" ( 17# )i 3 = "20V % 34# ( i 3 = 0.87 eemplazando i 3 en (4-P7) tenemos ( )( 0.87) +10V ( 34# ) i 2 = " 29# i 2 = "1.04 despejando i 1 de (1-P7) y eemplazando el valo de i 2 se tiene 10V + ( 5# )i i 1 = " 2 [ 10V + ( 5# )("1.04)] = " 29# 29# i 1 = "0.17 80

Los sentidos coectos de las coientes son los que apaecen en la fig. Solución b) Paa calcula la difeencia de potencial ente los puntos c y f ( "V c# f ) podemos considea el cicuito que se muesta en la Solución a) con los sentidos abitaios de las coientes o considea el cicuito con las coientes dibujadas con sus sentidos coectos. Consideaemos el cicuito indicado en la Solución a) V c " i 3 R 6 +# 4 "# 3 " i 1 R 4 = V f Tenemos entonces que "V c# f = V f $V c i 3 R 6 +" 4 #" 3 # i 1 R 4 = V f #V c = $V c% f En este caso se deben eemplaza los valoes de las coientes con sus espectivos signos. "V c# f = $0.87 ( )( 12% ) +10V $ 3V $ ( $0.17) ( 12% ) = $1.40V "V c# f = $1.40V El signo menos de la difeencia de potencial nos indica que V f < V c Poblema 8 Se tiene el cicuito indicado en la figua Si R 1 = R 2 = R 3 = 3 ", y " =150 V, R 4 = R 5 = 5 " Enconta a) La esistencia equivalente del cicuito. b) La coiente que cicula po cada esistencia. 81

Solución Dibujemos las coientes que ciculan po el cicuito. Solución a) Las esistencias R 3 y R 4 están en paalelo. Po lo tanto la esistencia equivalente R e ( 3,4) ) está dada po 1 R e (3,4) = 1 + 1 = 1 R 3 R 4 3" + 1 5" R e (3,4) =1.88 " Las esistencias R 3,R e (3, 4) y R 5 están en seie po lo tanto su esistencia equivalente está dada po R e [ 2,(3,4),5] = R 2 + R e (3,4)+ R 5 = 3" +1.88" + 5" La esistencia R e 2, (3, 4), 5 en paalelo. R e [ 2,(3,4),5] = 9.88 " [ ] y R 1 están 1 R et = 1 R 1 + 1 R e [ 2,(3,4),5] = 1 3" + 1 9.88" R et = 2.30 " Solución b) i = " = 65.22 i = i 1 + i 2 R et i 1 = " R 1 = 50 i 2 = " R e [ 2,(3, 4),5] =15.18 82

V 3,4 = i 2 R(3,4) = 28.54 V V 3,4 = V 3 = V 4 = 28.54 V i 3 = V 3 = 9.51 R 3 i 4 = V 4 R 4 = 5.71 i 3 + i 4 = i 2 Bibliogafía ecomendada Halliday D. y Resnick R. - Física Pate II Tiple P.. Física Tomo II Seway R.. y Beichne R. J. Física Tomo II Wilson J. D. Física Hewitt P. G. Conceptos de Física Máximo. y lvaenga B. Física Geneal. Tippens P. E. Física. Conceptos y plicaciones 83